О.І.Маркушевич, аналізуючи математичний розвиток учнів, від-значав основні навички математичної діяльності: розвиток кількісних і просторових уявлень, уміння вирізняти сутність питання, тобто уміння абстрагуватися, переходити від конкретної постановки питання до схеми, узагальнювати отримані висновки і ставити нові питання, а також точність, стислість і зрозумілість словесного вираження думки.

Достатньо повно властивості й особливості математичного мис-лення розкриті В.Крутецьким в результаті дослідження математичних здібностей школярів. Вони виражаються, зокрема, в здібностях до формалізованого сприймання матеріалу, розуміння формальної стру-ктури задачі, до логічного мислення у сфері кількісних і просторових співвідношень, числової і знакової символіки; у здібності до швидкого і широкого узагальнення математичних об'єктів, співвідношень і дій, до згортання процесу математичного міркування, у здатності мис-лити згорнутими структурами.

Доповнюють характеристику математичного мислення такі його особливості якгнучкість, прагнення до ясності, уміння переходити з прямого до оберненого ходу думки, узагальнена пам'ять на матема-тичні співвідношення, типові характеристики, схеми міркувань і доведень, методи розв'язування задач і принципи підходу до них.

Формування людського мислення – означає навчання діалектиці. Останнє означає усвідомлення змінюваності, подвійності, суперечливості, єдності, взаємозв'язку і взаємозалежності понять і співвідношень. Мислити діалектично означає виявляти здатність до нешаблонного, різнобічного підходу до вивчення об'єктів, предметів і явищ. Надзвичайно важливо розвивати у школярів якості, що прита-манні науковому стилю мислення: гнучкість, активність, цілеспрямованість, організованість пам'яті, глибина, критичність.

Гнучкість мислення характеризується:

1) здатністю до доцільного варіювання способами діяльності;

2) легкістю перебудови системи знань, умінь і навичок при зміні умов діяльності;

3) легкістю переходу від одного способу дій до іншого, уміння вийти за межі звичного способу діяльності.

Гнучкість мислення виявляється в швидкій орієнтації в нових умовах, в умінні бачити нове у здавалося б відомому, виділяти істотне, що знаходиться у схованій формі.

Антипод гнучкості – рутинність, зашкарублість мислення.

Активність мислення характеризується постійністю зусиль, спрямованих на розв'язання конкретної проблеми, бажанням обов'яз-ково розв'язати її, вивчити різноманітні підходи до її розв'язання, дослідити різноманітні варіанти постановки проблеми в залежності від змінюваних умов.

Антипод активності – пасивність мислення.

Цілеспрямованість мислення характеризується прагненням здійснювати розумний вибір дій у процесі вирішення певної пробле-ми, постійно орієнтуючись на визначену цією проблемою мету, а також прагнення до пошуку найпростіших і оптимальніших шляхів її розв'язання. Цілеспрямованість тісно пов'язана з такою моральною якістю особистості як допитливість, цікавість.

Організованість пам'яті означає здатність до швидкого і прави-льного відтворення необхідної інформації. Розрізняють образну (рухо-ву, зорову, слухову), емоційну ісловесно-логічну пам'ять. Пам'ять розвивається особливо ефективно, якщо запам'ятовування яких-небудь фактів ґрунтується на розумінні їхньої сутності.

Розвитку і зміцненню пам'яті сприяє:

а) мотивація навчання;

б) складання плану навчального матеріалу;

в) широке використання в процесі запам'ятовування порівняння,
аналогії, класифікації і. т. д.

Широта мислення — характеризується здатністю до формування узагальнених способів дій, що мають широкий діапазон перенесення на частинні, нетипові випадки.

Антиподом широти є вузькість мислення.

Глибина мислення — характеризується здатністю глибокого ро-зуміння кожного факту, що пізнається, у взаємозв'язку з іншими фактами. Глибина мислення виявляється в умінні відокремити друго-рядне від основного, віднайти логічну структуру судження, відокремити те, що суворо доведене від того, що прийнято на віру.

Антиподом глибини мислення є поверховість мислення.

Критичність мислення – характеризується вмінням оцінити правильність вибраних шляхів розв'язання проблеми і отриманих при цьому результатів з точки зору їх достовірності, значимості і т. д.

Антипод – некритичність мислення.

Поєднання різноманітних компонентів мислення виявляється в особливих здібностях людини, а саме, здатності до:

1) швидкого і правильного сприймання, просторової уяви;

2) швидкого зосередження і перенесення уваги зі збереженням її стійкості й інтенсивності;

3) репродукувати провідні знання і досвід;

4) інтенсивної творчої уяви;

5) негайного оцінювання ситуації з різноманітних точок зору, бачити більше того, що є і що очевидно;

6) глибокого проникнення в сутність головних взаємозв'язків, схованих у даній проблемі, перед тим як приступити до її вирішення;

7) потреби в пізнанні нового, проблем, які можуть виникнути;

8) образності, точності й стислості мови, оригінальної відповіді на специфічні питання;

9) створення наочно-дійових і наочно-образних моделей тих чи інших ситуацій;

10) абстрактного мислення, визначення головних закономірностей пізнавального процесу;

11) лаконічного висловлення власних думок у відповідності з відомими правилами, вміння схематично і графічно їх зобразити;

12) створення об'єктів, які подібні за зовнішніми і внутрішніми ознаками до пізнавального об'єкту;

13) встановлення класу, до якого належить даний об'єкт і дана проблема;

14) передбачення проміжних і остаточних результатів;

15) виявлення деталей, корисних з точки зору розвитку основної ідеї аналізованої проблеми;

16) виявлення різноманітних функцій пізнавального об'єкта в проблемі, з тим, щоб дослідити його по-новому, здатність реор-ганізувати елементи структури даної ситуації так, щоб вони функціонували по-новому;

17) здійснення розумового експерименту;

18) розкриття різноманітних зв'язків між об'єктами та ідеями, вміння використовувати логічні зв'язки для перевірки достовірно зроблених висновків;

19) знаходження оригінальних ідей в різноманітних ситуаціях; використання в новій ситуації відомої ідеї;

20) моделювання життєвих ситуацій;

21) своєчасного відмовлення від звичних методів розв'язання проблеми, якщо вони неефективні, організовувати пошук нових шляхів їх розв'язання;

22) того, щоб у випадкових фактах, явищах, образах знайти опо-рний факт, корисний для вирішення даної проблеми.

Творчій особистості властиві такі якості:

1) глибина і широта знань у галузі своєї діяльності;

2) всебічна (або вузька) допитливість, зацікавленість;

3) замріяність, схильність до фантазії;

4) незалежність суджень;

5) винахідливість, здатність до імпровізації;

6) схильність до ризику.

Дослідженням мислення займаються логіка, психологія, філософія, мовознавство та інші науки.

Педагогічний аспект формування мислення пов'язаний з вияв-ленням умов, шляхів і засобів розвитку мислення в учнів у навчально-виховному процесі.

Під розумовими здібностями (силами) розуміють певний ступінь розвитку розуму, що сприяє здатності людини до накопичення знань, удосконалення основних розумових операцій, оволодіння певними інтелектуальними уміннями, пов'язаними з різноманітними аспектами мислення і які характеризують розумову діяльність люди-ни.

Все вищевикладене дозволяє окреслити завдання розумового виховання:

1. Накопичення фонду знань як умови розумової діяльності.

2. Оволодіння основними розумовими операціями.

3. Формування інтелектуальних умінь, що характеризують інтелектуальну діяльність.

4. Формування наукового світогляду.

Накопичення фонду знань передбачає, перш за все, оволодіння конкретним навчальним матеріалом: фактами, термінологією, симво-лами, іменами, назвами, датами, різноманітними поняттями (загаль-ними, частинними, окремими, абстрактними тощо), зв'язками і залеж-ностями, що існують між ними і, які виражаються в правилах, законах, закономірностях, формулах. Знаннями є також уявлення про галузі і способи використання цих знань, володіння методами їх використан-ня, розуміння місця кожної даної частини знань у загальній системі наукового уявлення про світ.

Важливу роль у досягненні високого рівня оволодіння знання-ми відіграє особиста цілеспрямованість людини — мета, мотиви, що спонукають до пізнавальної діяльності, ґрунтовне оволодіння загально-навчальними уміннями (читати, працювати над засвоєнням навча-льного матеріалу, вироблення звичок до здійснення інтелектуальних зусиль і тривалої інтелектуальної діяльності та інші).

Розумовий розвиток і уміння мислити передбачає й оволодіння розумовими операціями, зокрема, такими як аналіз, синтез, порівнян-ня, класифікація. Нагадаємо коротко характеристики цих операцій.

Так, аналіз – це мислене розчленування цілого на частини, або мислене відокремлення його властивостей.

Синтез – це мислене об'єднання частин предметів або окремих явищ, їх ознак і властивостей. Будучи операціями протилежними одна до одної, вони, однак, нерозривно пов'язані між собою і є складовими ряду розумових операцій.

Порівняння – це встановлення схожості і відмінності між пред-метами чи явищами за якоюсь ознакою чи кількома ознаками, що виділяють за певною послідовністю. Порівняння - необхідна умова для здійснення узагальнення.

Класифікація (систематизація) – це розподіл предметів чи явищ на групи в залежності від схожості чи відмінності між ними.

Вміння здійснювати аналіз, синтез, порівнювати та кла-сифікувати предмети і явища надзвичайно потрібні в усіх ситуаціях, що вимагають прийняття рішень, формулювання висновків, оцінок, узгодження з поняттями, визначення належності явища чи предмета до того чи іншого класу.

До інтелектуальних умінь, якими необхідно оволодіти, щоб успішно навчатися, належать так звані навчальні уміння або уміння навчальної діяльності. Розрізняютьзагальні навчальні уміння, що мають місце при вивченні будь-яких навчальних дисциплін, і спеціальні, необхідні для оволодіння знаннями в якійсь певній галузі чи одній навчальній дисципліні.

До загальних навчальних умінь належать уміння читати, слухати, усно викладати свої думки, писати, працювати з книгою. Для кожної вікової категорії учнів ці вміння поступово ускладнюються як за структурою, так і за пред'явленням до них вимог.

Уміння читати характеризується виразністю, свідомістю, пра-вильністю вимови слів, звуків, інтонації, темпу, вірним прочитанням різноманітних текстів за жанром і стилем.

Уміння слухати передбачає слухання читання, розповіді чи лекції учителя, відповідей, повідомлень чи доповідей товаришів і характеризується тривалістю зосередженої уваги, умінням, якщо потрібно оцінювати, аналізувати і рецензувати прослухане.

Уміння усно викладати і формулювати свої думки реалізується у відповідях на запитання, описі малюнка, тематичної картинки, пере-казі змісту прочитаного чи почутого, в описі спостереження, викла-данні власних думок з теми, формулюванні запитань за текстом, оповіданням, розповіддю вчителя, відповіддю учня і т.д.

Уміння писати передбачає техніку письма й письмової мови і проявляється в умінні правильно переписувати з дошки, книги, писати під час диктування, описати побачене, написати переказ тексту, твору на задану чи вільну тему, використовувати різноманітні стилі викладу і т.д.

Уміння працювати з книгою передбачає як уміння знаходити книгу, визначати її загальний зміст, так і здійснювати різноманітні замітки (записи) у зв'язку з ЇЇ вивченням. Воно передбачає також оволодіння умінням користуватися книгами різного призначення (науковою, художньою, довідковою літературою, періодикою, слов-никами).

Прикладом спеціальних умінь можуть слугувати уміння читати ноти,