НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

ЧЕРНІЙ Дмитро Іванович

УДК 532.5 : 519.6

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

ТЕЧІЙ ІДЕАЛЬНОЇ НЕСТИСЛИВОЇ РІДИНИ В ОБЛАСТЯХ

З РІЗНОТИПНИМИ НЕПРОНИКНИМИ РУХОМИМИ ГРАНИЦЯМИ

01.02.05 –механіка рідини, газу та плазми

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації для здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України, Довгий Станіслав Олексійович, Державний комітет зв'язку та інформатизації України, голова комітету

Офіційні опоненти доктор фізико-математичних наук, професор Ладіков-Роєв Юрій Павлович, Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України, провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент Попов Валерій Вікторович, механіко-математичний факультет, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, доцент

Провідна установа Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна Міністерства освіти та науки України

Захист відбудеться "06"_грудня 2001 р. о _____14.00_ на засіданні спеціалізованої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою:

032057, Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України

Автореферат розіслано "__01_"____листопада___2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради,

доктор технічних наук, професор С.І.Криль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одну з необхідних умов науково-технічного прогресу становить здійснення фундаментальних досліджень та систематичних прикладних дослідницьких робіт при створенні принципово нових технічних систем. У теоретичній та прикладній гідроаеромеханіці через складність проведення лабораторних, а тим більше натурних експериментів найвагомішого значення набуває повномасштабний обчислювальний експеримент. Необхідними його складовими є розроблення адекватних математичних моделей та побудова ефективних методів та алгоритмів розв'язання нелінійних нестаціонарних задач та алгоритмів, що забезпечують проведення обчислювального експерименту в реальному масштабі часу на доступних персональних комп'ютерах. Важливе теоретичне та велике практичне значення має розв'язання еволюційних аерогідродинамічних задач з рухомими, в тому числі й вільними границями. Такі задачі постають при дослідженні процесів обтікання, вихороутворення, проникання, утворення струменів, кумуляції, поширення (еволюції) та взаємодії поверхневих хвиль, процесів перемішування.

Актуальність теми полягає в тому, що подібні задачі є складними для аналітичного та чисельного дослідження як через нелінійність, так і внаслідок прояву ефектів істотної нестаціонарності. Найскладнішими є процеси, які поєднують у собі одразу кілька ефектів. Через неможливість одержання загального аналітичного розв'язку задачі в нелінійній постановці зростає значення розроблення чисельних методів, об'єднаних спільним підходом, універсальних для цілих класів задач, та побудови алгоритмів для проведення повномасштабного обчислювального експерименту.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботи із зазначеної тематики виконувалися в межах програми планових теоретичних досліджень, здійснюваних на факультеті кібернетики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, підтримуваних Національною Академією наук України, Держкомітетом України з питань науки та технологій: НДР № 11128/444-91, НДР "ГР-КУ-3-УО", НДР № 247 “Розроблення ефективних чисельно-аналітичних методів розв'язання задач аерогідродинаміки з урахуванням в'язкості середовища та динаміки границь”, а також у межах госпдоговірних робіт.

Мета і задачі дослідження: узагальнення математичної моделі та чисельне моделювання руху ідеальної нестисливої рідини в областях з різнотипними непроникними рухомими границями для встановлення якісних та кількісних закономірностей течії в процесах із взаємодією рухомих границь.

Для досягнення поставленої мети необхідним було розв'язання таких задач:

1. Узагальнення нелінійної математичної моделі для нестаціонарної течії ідеальної нестисливої рідини в деформованій області з різнотипними рухомими границями.

2. Дослідження інтегро-диференційних рівнянь та застосовуваних різницевих схем.

3. Визначення властивостей розв'язання у внутрішніх та граничних точках області.

4. Розроблення чисельного методу.

5. Чисельне моделювання динаміки вихорових структур, процесів обтікання, занурювання тіл у рідину, схлопування каверни на поверхні рідини для визначення якісних та кількісних характеристик течії.

Методика дослідження:

·

· Використовуючи метод "часових шарів", здійснюється поділ задачі на стаціонарну-крайову та нестаціонарну-початкову.

· Крайові задачі зводяться до системи граничних інтегро-диференційних рівнянь та задачі Коші.

· Будується спеціальне квадратурне представлення чисельного розв'язання крайової задачі та екстраполяційний метод розв'язання задачі Коші.

· Апроксимація та дискретизація початкової задачі виконуються залежно від дискретизації крайової задачі, що визначає стійкість та необхідну точність шуканого розв'язку.

· Будується алгоритм чисельного моделювання нелінійної початково-крайової задачі, який складається зі збіжної послідовності розв'язків стаціонарних граничних задач.

· Здійснюється чисельне моделювання течій ідеальної нестисливої рідини в областях з різнотипними рухомими границями.

Наукова новизна одержаних результатів

1. Узагальнено нелінійну математичну модель для нестаціонарної течії ідеальної нестисливої рідини в деформованій області з різнотипними рухомими границями, яка враховує утворення нових елементів границь.

2. Узагальнено метод дискретних особливостей (МДО) на плоскі нестаціонарні гідродинамічні задачі з різнотипними непроникними рухомими границями (в тому числі з вільною границею поділу середовищ).

3. Для нерівномірного розбиття границі складної форми визначені похибки апроксимації розв'язку інтегро-диференційних рівнянь сукупністю раціональних функцій як у внутрішніх, так і в граничних точках області.

4. Для довільного розбиття вперше аналітично визначено залежність локального "радіусу дискретності" від місця розташування дискретного вихору на відповідному граничному елементі, а також те, що представлення розв'язку крайової задачі у вигляді сукупності дискретних особливостей справедливе тільки для зовнішності покриття границі сукупністю кругів. Показано, що необхідною умовою мінімізації покриття границі є розміщення кожного дискретного вихору в точці, рівновіддаленій від кінців свого граничного елемента.

5. Сформульовано обмеження на застосування МДО як стосовно геометрії течії, так і стосовно часу існування розв'язку у представленні МДО.

6. У нелінійній нестаціонарній постановці досліджено динаміку безперервних вихорових структур та вільних границь з ефектами формування струминних бризкових течій. Досліджено взаємодію та деформацію різноманітних елементів границі, що виявляються в процесах проникання через вільну границю та еволюції вільної границі у полі сил тяжіння.

Практичне значення одержаних результатів. Теоретичні та практичні результати дисертаційної роботи було використано у звітах лабораторії методики та практики обчислювального експерименту факультету кібернетики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Узагальнення математичної моделі та методу дискретних особливостей для задач на рух рідини в областях з різнотипними непроникними рухомими границями дозволяють реалізувати обчислювальні схеми та алгоритми на доступній дослідникам персональній обчислювальній техніці, проводити з гарантованою вірогідністю та заданою точністю обчислювальний експеримент в реальному масштабі часу. Результати роботи можуть бути використаними при створенні програмно-моделюючих комплексів на підприємствах суднобудівної та авіабудівної промисловості та у профільних науково-дослідних та проектно-конструкторських організаціях.

Особистий внесок здобувача. У наукових роботах, виконаних у співавторстві, загальна постановка задач здійснювалася разом зі співавторами. Вибір методів дослідження, проведення теоретичних досліджень та розроблення алгоритмів, програм, а також виконання розрахунків виконано дисертантом самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи були представлені та обговорені на семінарах кафедри чисельних методів математичної фізики факультету кібернетики Київського національного університету ім.Тараса Шевченка, на 4 міжнародних конференціях, 3 міжнародних симпозіумах, в тому числі: на міжнародній конференції “Плавання та політ у природі та техніці “AQUAPROP'95” (Санкт-Петербург 1995), міжнародній конференції “Інформатика, обчислювальна та прикладна математика “INAMTAP'96” (Київ 1996), міжнародній конференції “Fluid Dynamics Problems of Vehicles Operating Near or in the Air-Sea Interface” (Амстердам 1998), VIII Міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики “МДОЗМФ'99” (Крим 1999), VIII Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ 2000); IX Міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики “МДОЗМФ'2000” (Орел 2000), X Міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики “МДОЗМФ'2001” (Херсон 2001). В остаточному вигляді дисертаційну роботу було представлено й обговорено на семінарі в Інституті гідромеханіки НАН України у 2001 р.

Публікації. Основні ідеї та положення дисертації викладено в 11 публікаціях, у тому числі в 4 статтях, опублікованих у збірниках наукових праць (вміщених у переліку ВАК України) та в 7 статтях і тезах, опублікованих у матеріалах міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна праця складається зі списку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи становить 160 сторінок, включаючи 55 рисунків, та 18 сторінок – 198 використаних літературних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульована мета дисертації, обґрунтовані її актуальність, наукова новизна та практичне значення.

Перший розділ дисертації присвячений постановці задачі. Подано аналіз стану досліджень нестаціонарних течій ідеальної нестисливої рідини в областях з непроникними границями. Здійснено класифікацію границь досліджуваних областей течії. Подано математичну постановку задачі та узагальнено модель, яка описує течію рідини та динаміку різнотипних непроникних границь з урахуванням утворення нових елементів.

Теорія течій ідеальної нестисливої рідини бере свій початок ще з праць Л.Ейлера, Д.Лагранжа, О.Коші, Д.Бернуллі. Її розвиток нерозривно пов'язаний з іменами таких визначних учених, як Г.Гельмгольц, Г.Кірхгоф, Г.Ламб, Т.Карман, М.Е.Жуковський, С.О.Чаплигін, Л.Прандтль. Подальшому просуванню теорії сприяли праці Г.Біркгофа, Г.Вагнера, В.В.Голубєва, М.В.Келдиша, М.Е.Кочіна, М.О.Лаврентьєва, Т.Леві-Чевіта, Г.В.Логвиновича, О.І.Некрасова, Є.Сарантанелло, Л.І.Седова, Д.Стокера, М.Туліна, та ін.

Великий практичний інтерес викликає рух рідини в областях з різними типами границь. До них належать задачі обтікання, динаміки вихорових структур, поширення хвиль по вільній поверхні, взаємодія тіл з вільною поверхнею поділу середовищ з формуванням бризкових струменів, обтікання поблизу вільної границі, кавітаційні задачі, рух рідини в посудинах складної форми тощо. Найбільший інтерес викликають процеси, супроводжувані виявом водночас кількох ефектів. Розв'язання вищеназваних проблем у кожному з перелічених випадків вимагає окремого підходу.

Формування наукових напрямків та шкіл стимулювалося розвитком спеціальних підходів та поглибленням досліджень у різних галузях гідродинаміки. Так, дослідженням динаміки вихорових структур, стабілізації процесів у суцільних середовищах присвячені праці С.М.Білоцерковського, С.К.Бетяєва, Г.Біркгофа, О.М.Веретенцева, В.Я.Рудяка, Ю.П.Ладікова-Роєва, С.О.Довгого, В.В.Мелешко, М.Ю.Константінова, О.Г.Гомана. Дослідженням динаміки рідини в замкнених об'ємах просвячені праці М.І.Моісєєва, В.В.Румянцева, І.О.Луковського, А.О.Кузнєцова, В.М.Монахова, О.Фалтисена, а також їхніх учнів та послідовників. Дослідженням кавітаційних течій, процесам проникнення, глісирування присвячені праці С.О.Чаплигіна, В.М.Буйвола, Г.Вагнера, І.І.Єфремова, В.В.Константінова, М.Е.Кочіна, Г.В. Логвиновича, А.Б.Лотова, Г.Є.Павленка, О.М. Панченкова, М.В.Полякова, В.В.Попова, Ю.М.Савченка, О.Я.Сагомоняна, Л.І.Седова, О.Г.Терентьєва, М.Туліна, Е.Фонтейна та багатьох інших. Дослідженням хвильових процесів присвячені праці Г.Бейкера, В.В.Гуляєва, М.Е.Кочіна, М.Лайтхілла, М.Лонге-Хігенса, Д.Мейрона, М.М.Молякова, О.І.Некрасова, І.Т.Селезова, Л.М. Сретенського, Д.Уізема, Л.В. Черкесова. Слід констатувати, що найбільш розвинені методи теорії крила. З дослідженнями у цій галузі пов'язані різні школи та імена, такі, як Бірнбаум, Т.Карман, Сірс, Л.Прандтль, М.Е.Жуковський, С.О. Чаплигін, В.В.Голубев, Л.І.Седов, О.І.Некрасов, М.Е.Кочін, С.М.Білоцерківський, М.І.Нішт, І.К.Ліфанов, Д.М.Горелов, О.О.Федотов, С.О.Довгий, М.А.Басін, В.П.Шадрін.

Слід зазначити, що рівень розвитку аналітичних методів не дозволяє розв'язувати нелінійні задачі. Найбільш продуктивною була лінеаризація задач, що дало можливість побудувати та розвинути лінійну теорію. Найповніший розвиток вона здобула в працях Г.Вагнера, М.В. Келдиша, М.Е.Кочіна, О.І.Некрасова, Л.М.Сретенського, Л.І.Седова, М.Лайтхілла, О.М.Панченкова, І.І.Єфремова, О.Г.Терентьєва.

Побудова нелінійних моделей нестаціонарних течій пов'язана з розвитком теорії потенціала, методів граничних інтегральних рівнянь та їхньою чисельною реалізацією. Питаннями існування та одиничності рішень нелінійних задач займалися Л.В.Овсянников, В.І.Налімов, В.М.Монахов, М.М.Моїсеєв, О.М.Тер-Крикоров та багато інших. Найбільш закінчене дослідження наведене в монографії В.М.Монахова, проте для нестаціонарних задач з вільними та вихоровими границями питання до кінця не досліджене.

Задачі, розв'язувані аналітичними методами, не дозволяли досліджувати нестаціонарні процеси, описувані нелінійними рівняннями. Революційний прорив у розвитку чисельних методів та просуненні в дослідженнях викликала поява обчислювальної техніки. Найконструктивніший та успішний розвиток чисельних методів пов'язаний також з використанням теорії потенціала.

Ідею використання дискретних вихорів для моделювання течій вперше сформулював Розенхед, а трохи пізніше М.О.Лаврентьєв сформулював теорему про обтікання дуги, апроксимованої дискретними вихорами. В 50-х роках С.М.Білоцерківський розробив метод дискретних вихорів (МДВ), розвиток та використання якого пов'язані з такими іменами, як М.І.Нішт, І.К.Ліфанов, Д.Н.Горелов, В.Е.Сарен, О.Г.Гоман, С.О.Довгий, В.М.Котовський, В.В.Мелешко, Р.М.Федоров та багатьох їхніх учнів та послідовників. Традиційно МДВ використовувався для задач аеродинаміки крила та досліджень динаміки й стабільності вихорових структур. Питаннями математичного обгрунтування метода дискретних особливостей (МДО), складовою частиною якого є МДВ, присвячені праці М.О.Лаврентьєва, Я.Е.Полонського, В.Е.Сарена, Д.М.Горелова, М.Ф. Воробйова, Ю.В.Ганделя, Д.Г.Саникидзе, Т.Сарпкайя, Д.Уолша та ін. Найбільш повне та закінчене дослідження для канонічних контурів виконано І.К.Ліфановим.

При застосуванні МДВ для задач з вільними границями О.В. Двораком, М.М.Моляковим, О.М.Майбородою, Д.О.Теселкіним, І.І.Єфремовим та ін. виявлена обмеженість можливостей методу, що не дозволило моделювати такі тонкі, але важливі ефекти, як формування струменів, перекидання хвиль, що мають велике значення для гідроавіацій, суднобудування тощо.

Узагальнювальний чинник для вищезгаданих задач становить те, що всі течії рідини відбуваються в областях, границі яких можна умовно поділити на три типи: - детермінована, обтічна границя; - вихорова границя, складки вихорової поверхні; - вільна границя поділу середовищ.

Для потенціальної течії рідини всередині області поза границями: - детермінованої, - вихорової, - вільної ставиться така задача:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

де - нормальна складова швидкість точок границі ; - нормальна складова швидкість точок границі , визначена з розв'язку задачі; - потенціал масових сил (рис.1).

Рис. 1 Для розв'язання вищеподаної задачі в двомірному випадку пропонується така математична модель, що описує динаміку непроникних границь , яка дозволяє врахувати утворення нових елементів границі вищеназваних типів. Так, для віднайдення комплексних потенціалів течії та комплексно-спряженої швидкості:

(8)

(9)

задачу (1) - (7) розбито на складові частини:

Для детермінованої границі :

I (10)

(11)

(12)

(13)

Для вихорової границі :

II (14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Для вільної границі :

III (20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

де для точок

, (26)

(27)

, (28)

- швидкість переміщення точок границі,

- швидкість розтягування точок границі,

- комплексний потенціал масових сил,

- визначає швидкість прирощення границі.

Другий розділ дисертації присвячений обґрунтуванню нелінійної математичної моделі, яка описує динаміку непроникних деформованих границь, а саме: вибору інтегральних представлень, аналітичному дослідженню динаміки безперервних вихорових структур та визначенню впливу новоутворених елементів границі на характеристики течії. Встановлено, що інтегральні представлення розв'язків (8), (9) для задач (10) – (28) повинні мати вигляд:

(29)

(30)

де - множина маркованих частинок рідини, які складають границю .

У цьому випадку (27) визначає швидкість зміни комплексного потенціалу течії в залежності від розподілу швидкості на границі та від швидкості прирощення та інтенсивності елементів границі. Схема деформації обмеженої області подана на Рис. 2, де проілюстрований механізм утворення нових елементів за рахунок виходу на границю нових частинок між точками та .

а) б)

Рис. 2. Динаміка границь

Для неперервних вихорових структур внутрішніх границь , які деформуються, справедливі такі закони збереження:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

Порівняння з класичним співвідношенням для дискретних вихорових структур показало, що (34) дозволяє одержати точніше значення для “суми моментів кількості руху” елементарних мас (44) відносно початку координат, яке не змінюється з плином часу:

. (36)

У третьому розділі дисертації виконано дискретизацію задачі та узагальнення методу її розв'язання. Показано, що радіус дискретизації вихору становить локальну характеристику, залежну від розташування дискретної особливості на граничному елементі. Показано, що похибка розв'язку крайової задачі мінімальна при розташуванні кожної дискретної особливості на рівному віддаленні від кінців власного граничного елемента. Показаний вплив похибки апроксимації інтегральних представлень на точність розв'язку початково-крайової задачі.

Розбиття границі множиною точок та називатиметься узгодженим, якщо для кожної точки з єдиним чином визначена пара послідовних точок з так, що .

Можливі варіанти нерівномірного розбиття границі та особливості її дискретизації проілюстровано на рис. 3, рис. 4.

Так, позначивши через

(37)

мінімальну відстань від до границі з кривизною , можна зробити розбиття границі, з нормою , яка відповідає умові:

(38)

Через те, що для будь-якого моменту часу можливе розбиття границі на сукупність граничних елементів , тоді для інтегральних представлень (8), (9) справедливе:

(39)

(40)

a) a)

б) б)

в) в)

г) г)

Рис. 3. Варіанти нерівномірного розбиття границі Рис. 4. Особливості дискретизації границі області течії

а) нерівномірне узгоджене розбиття; б) нерівномірне узгоджене розбиття, застосовується у МДВ; в) нерівномірне канонічне розбиття; г) нерівномірне канонічне розбиття апроксимованої границі

У тому випадку, коли

(41)

для представлень (39), (40) справедливе:

(42)

, (43)

де

. (44)

У цьому випадку для всіх точок , що відповідають умові (42), справедливі:

Твердження 3.1: Хай аналітична функція має представлення вигляду (8)-(9), де щільність інтегрована на , тоді для будь-якого , існуютьтакі, що справедливі оцінки:

(45)

(46)

, (47)

де .

Твердження 3.2: Хай аналітична функція має представлення вигляду (8)-(9), де щільність кусково безперервна, обмежена на гладкій спрямній , то для будь-якого існують такі, що для будь-якогосправедливі оцінки:

(48)

(49)

(50)

де

(51)

(52)

(53)

Твердження 3.3: Хай аналітична функція має в одне із представлень вигляду (8), (9), де щільність - кусково безперервна обмежена функція на гладкій спрямній , тоді для існує (узгоджене розбиття кривої ), що справедливі оцінки (48)-(50).

При визначенні похибки крайових умов у -ій точці колокації () на суміжних граничних елементах здійснюється виділення особливості в розумінні головного значення. Відповідні доданки з індексами та із представлень (42), (43) вилучаються, що дозволяє використовувати вищеподані оцінки.

Зауваження. Якщо узгоджене розбиття таке, що кожний граничний елемент становить гладку Ляпуновську дугу, так що виконується умова (38), то оцінки (48)-(50) справедливі саме для канонічного розбиття, а кінцеве покриття кривої буде складатися з ланцюжка кругів , причому міра при згущенні канонічного розбиття (при ).

З нерівності

, (54)

випливає, що похибка чисельного розв'язку початково-крайової задачі (10) – (25) визначається похибкою апроксимації інтегральних представлень в МДО та періодом моделювання, проте слабо залежить від методу чисельного розв'язання задачі Коші.

З огляду на вищевикладене для розв'язання задачі Коші у роботі застосовувалася явна двокрокова схема типу Адамса, адаптована для змінного кроку за часом.

(55)

У четвертому розділі дисертації продемонстровано, що вдосконалення МДО дозволяє моделювати рух безперервної поверхні тангенціального розриву, які становлять границі різних типів, значно краще, ніж застосування його класичних реалізацій.

Так, при дослідженні динаміки вихорових структур та сліду за пластиною виявлено, що протягом значного часу зберігаються стійкі вихорові структури, які складаються зі щільних складок поверхонь тангенціального розриву (рис. 5), причому зміна методу розв'язування задачі Коші та дискретизації границі, на відміну від МДВ (рис. 6), не впливає на стійкість та на динаміку вихорових структур, а позначається лише на точності одержуваного розв'язку. Змикання несусідніх дискретних вихорів у сліді відповідає формуванню області суцільної завихороності. Зміна значень “локальних радіусів дискретності” еквівалентна перерозподілу завихороності вздовж вихорової поверхні.

Step 250, dt =0.01. Euler method Step 250, dt =0.01. Euler method

а) а)

Step 250, dt =0.01. Adams method Step 250, dt =0.01. Adams method

б) Рис. 5.Вихорова поверхня в представленні узагальненого МДО б) Рис. 6. Вихорова поверхня в представленні МДВ

При моделюванні процесів занурення пластинки та клину, супроводжуваних формуванням бризкових струменів, досліджено залежність характеристик струменів від швидкості утворення нових елементів границі за рахунок виходу на поверхню внутрішніх границь рідини. Одержано якісну відповідність розподілених характеристик струменів та перекидної хвилі. Результати чисельного моделювання занурення пластинки (рис.7) та клину (рис.8) показали добрий збіг з експериментальними даними, одержаними раніше іншими дослідниками.

а) б)

Рис. 7. Занурення пластини

а) б)

Рис. 8. Занурення клину

Моделювання еволюції вільної границі дозволило дослідити динаміку поверхневих хвиль протягом скінченного періоду часу після схлопування порожнини (рис. 9). Представлення розподілу характеристик течії у двомірному випадку у різні моменти часу (рис. 10) дозволило дослідити динаміку течії у послідовності зрізів кільватерного сліду за судном.

Рис. 9 Рис. 10

Чисельне моделювання руху границі здійснювалось переміщенням кінців кожного граничного елементу (дискретна особливість завжди рівновіддалена від його кінців), що забезпечує як гладке згортання вихорових структур (рис. 5), так і стійкий рух вільної границі.

Період вірогідного чисельного моделювання визначає момент часу , коли змінюється зв'язність області за рахунок дотикання не сусідніх дискретних особливостей.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Узагальнено нелінійну математичну модель, яка описує динаміку непроникних границь області течії рідини та дозволяє врахувати утворення нових елементів границь за рахунок виходу внутрішніх частинок рідини. Показано, що інтеграл типу Коші та інтеграл з логарифмічним ядром зі спеціальним представленням щільності підінтегральної функції моделюють вихорові границі, що дозволяє не лише задовольнити класичні закони збереження, відомі у дискретному представленні, а й уточнити чисельне значення одного з них. У комплексній формі, з урахуванням деформації, руху границь та утворення нових елементів рухомих непроникних границь, для інтегралу Коші-Лагранжа отримано залежність тиску від швидкості утворення нових границь.

2. Виявлено, що при практично будь-якому розміщенні на контурі дискретних особливостей (в МДО) забезпечується виконання умов непроникненості у точках колокації та зменшення швидкості при видаленні від контуру, але залишається відкритим питання про похибку апроксимації інтегрального представлення квадратурним. Розглядання МДО з більш загальної позиції методу граничних елементів дозволяє зменшити похибку апроксимації дискретними особливостями безперервної поверхні тангенціального розриву (обтічних границь, вихорових заволок і вільних границь розділу середовищ) при нерівномірному узгодженому розбиттю границі. Отримано, що при моделюванні рухомих границь зберігається порядок апроксимації, якщо забезпечується збереження положення кожної дискретної особливості відносно кінців власного граничного елементу. Ця умова дозволяє удосконалити метод дискретних особливостей для моделювання нестаціонарних рухів неперервної поверхні тангенціального розриву.

3. Встановлено, що для нерівномірного узгодженого розбиття границі складної форми похибка апроксимації рішення сукупністю раціональних функцій пропорційна , а для нерівномірного канонічного розбиття похибка пропорційна , де в міру віддалення від точок розміщення дискретних особливостей на границі .

4. В МДО встановлено, що "радіус дискретності" вихору становить локальну характеристику і визначається положенням точки (кожної - дискретної особливості) відносно власного граничного елементу, а чисельне значення . Представлення розв'язку задачі у вигляді сукупності дискретних особливостей на справедливе лише поза покриттям границі сукупністю кругів радіусу . При розміщенні дискретних особливостей на рівному віддаленні від кінців власних граничних елементів мінімізується покриття границі та зменшується викривлення області течії.

5. Встановлено, що процес чисельного моделювання течій рідини в областях з непроникними границями методом МДО можна вважати коректним тільки до моменту зміни зв'язності області течії за рахунок зміни локальних радіусів дискретності вихорів та деформації границі.

6. При чисельному дослідженні динаміки безперервних вихорових структур та вільних границь з ефектом формування струминних бризкових течій установлено, що узагальнення МДО збільшує часовий період стійкого розв'язування задач, дозволяє моделювати взаємодію границь з урахуванням утворення їхніх нових елементів при формуванні бризкових струменів, дозволяє дослідити динаміку схлопування порожнини, розбігання та трансформацію хвиль. При застосуванні методу часових шарів та гіпотези плоских перерізів досліджено течію в кільватерному сліді за судном.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ВИКЛАДЕНО В ТАКИХ ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Черний Д.И. Аппроксимация решения начально-краевой задачи с подвижными границами //Обчислювальна та прикладна математика. - Київ: Київський університет. – 1997. – Вип. 2(82). – С.112-123.

2. Черній Д.І. Про інтегральні характеристики рухомих границь // Вісник Київського університету, Серія: фізико-математичні науки. – Київ: Київський університет. – 1997. – Вип.3.- С.217-221.

3. Черній Д.І. Про наближене подання граничної умови для гідромеханічних задач з рухомими границями // Вісник Київського університету, Серія: фізико-математичні науки. – Київ: Київський університет. – 1999. – Вип.2.- С.307-313.

4. Черній Д.І. Про похідну по параметру від функцій, поданих у вигляді інтеграла по границі, що змінюється // Вісник Київського університету, Серія: фізико-математичні науки. – Київ: Київський університет. – 2000. – Вип.4.- С.316-320.

5. Черний Д.И. Об аппроксимации решения рациональными функциями для краевых задач с подвижными границами // Труды международной конференции “INAMTAP'96”. - Киев: Київський університет. – 1998.– С.247-258.

6. Довгий С.А., Черний Д.И. Математическое моделирование движения в идеальной жидкости деформирующегося тела вращения // Программа конференции и тезисы докладов., Международная конференция “Плавание и полет в природе и технике “AQUAPROP'95”. -г. Санкт-Петербург: СПбГМТУ-1995.-С.34-35

7. Довгий С.А., Черний Д.И. О вычислительных особенностях в гидродинамических задачах с подвижными границами // Труды VIII международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики "МДОЗМФ'99". – Харьков: ХГУ – 1999. – С.26-27.

8. Довгий С.А., Черний Д.И. О представлении топологии границ в МДВ // Труды IX международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики "МДОЗМФ'2000". – г. Орел: ОГУ – 2000. – С.465-467.

9. Cherniy D.I. The Complex Boundary Integral Equation Method for a Problem of Entry of a 2D Solid Body in an Incompressible Liquid // Fluid Dynamics Problems of Vehicles Operating Near or in the Air-Sea Interface. – France: RTO/NATO-1999. - RTO-MP-15. – p. 27.1-27.6.

10. Черний Д.И. Численный метод решения начально-краевых гидродинамических задач с разнотипными непроницаемвми подвижными границами // VIII Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Матеріали конференції. – К.:НТТУ(КПІ)- 2000.– С.216.

11. Довгий С.А., Черний Д.И. О точности решения нестационарных гидродинамических задач при использовании МДО // Труды Х Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики "МДОЗМФ'2001". – г. Херсон. – 2001. – С.116-120.

АНОТАЦІЯ

Черній Д.І. Чисельне моделювання течій ідеальної нестисливої рідини в областях з різнотипними непроникними рухомими границями. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 02. 05 – механіка рідини, газу та плазми. – Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 2001.

У дисертації узагальнена нелінійна математична модель, що дозволяє врахувати утворення нових елементів нестаціонарної течії ідеальної нестисливої рідини в області, що деформується, з різнотипними непроникними рухомими границями.

Для чисельного розв'язання системи сингулярних інтегро-диференційних рівнянь, що описують течії рідини в областях з вільними границями поділу середовищ, удосконалений та узагальнений метод дискретних особливостей (МДО). Одержано формулу для визначення характеристик течії залежно від швидкості утворення нових елементів границь.

Встановлено значення локального "радіусу дискретності" вихору для випадку довільного розбиття границі. Визначені обмеження на використання МДО як за геометрією області течії, так і за часом існування розв'язку в представленні МДО. Це дозволило зменшити похибку визначення характеристик течії у внутрішніх точках області, продовжити процес моделювання до моменту зміни зв'язності області.

Досліджені динаміка вихорових структур, ефекти формування струминних бризкових течій, взаємодії та деформації границі, що виявляються у процесах проникнення крізь вільну границю та еволюції вільної границі. Вивчено явище перебудови хвильових структур після схлопування порожнини на вільній поверхні.

Ключові слова: нелінійна модель, нестаціонарні течії, метод дискретних особливостей (МДО), непроникні рухомі границі.

АННОТАЦИЯ

Черний Д.И. Численное моделирование течений идеальной несжимаемой жидкости в областях с разнотипными непроницаемыми подвижными границами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 02. 05 – механика жидкости, газа и плазмы. – Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 2001.

В диссертации обобщена нелинейная математическая модель, позволяющая учесть образование новых элементов нестационарного течения идеальной несжимаемой жидкости в деформирующейся области с разнотипными непроницаемыми подвижными границами.

Для численного решения системы сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих течения жидкости в областях со свободными границами раздела сред усовершенствован и обобщен метод дискретных особенностей (МДО). Получена формула для определения характеристик течения в зависимости от скорости образования новых элементов границ.

Определено значение локального "радиуса дискретности" вихря для случая произвольного разбиения границы. Определены ограничения на применение МДО как по геометрии области течения, так и по времени существования решения в представлении МДО. Это позволило уменьшить погрешность определения характеристик течения во внутренних точках области, продолжить процесс моделирования до момента изменения связности области.

Исследованы динамика вихревых структур, эффекты формирования струйных брызговых течений, взаимодействия и деформации границ, проявляющиеся в процессах проникания через свободную границу и эволюции свободной границы. Изучено явление перестройки волновых структур после схлопывания полости на свободной поверхности.

Ключевые слова: нелинейная модель, нестационарные течения, метод дискретных особенностей (МДО), непроницаемые подвижные границы.

ABSTRACT

Cherniy D.I. Numerical modeling of flows of ideal incompressible fluid in domains with polytypic impenetrable moving boundaries. – Manuscript.

Thesis to acquire the academic degree of a candidate of physical and mathematical science in speciality 01. 02. 05 – mechanics of fluid, gas and plasma. – Institute of hydromechanics of the Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2001.

In the thesis, a non-linear mathematical model is generalized, which permits to consider creation of new elements of non-stationary flow of ideal incompressible fluid in a deformable domain with polytypical impenetrable moving boundaries.

For numerical solution of a system of integro-differential equations describing fluid flows in domains with free boundaries of media, the method of discrete singularities (MDS) is generalized and updated. A formula is obtained for determination of flow characteristics depending on velocity of creation of new elements.

A local vortex “discretion radius” value is determined for the case of arbitrary partition of the boundary. Restrictions for the MDS application are defined, both on the flow domain geometry and on solution existence in the MDS representation. It allowed to reduce the error of determination of the flow characteristics within the domain, to continue the process of modelling to the moment of domain connectedness change.

Vortex structure dynamics, effects of jet spray flows creation, of the boundary interaction and deformation apparent in the processes of penetration through the free boundary and of the free boundary field are investigated. The phenomenon of reconstruction of wave structures after collapse of the cavity on the free boundary is studied.

Key words: non-linear model, non-stationary flows, method of discrete singularities (MDS), impenetrable moving boundaries.