ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Черницька Ольга Валентинівна
УДК 517.5
Апроксимація функцій класів у
просторах з інтегральною метрикою
Спеціальність 01.01.01 математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Донецьк 2001
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті.
Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор
Пічугов Сергій Олексійович,
професор кафедри теорії функцій
Дніпропетровського національного університету
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Лигун Анатолій Олександрович,
професор кафедри прикладної математики і
комп’ютерного моделювання Дніпродзержинського
державного технічного університету;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Заставний Віктор Петрович,
доцент кафедри математичного аналізу і теорії
функцій Донецького національного університету.
Провідна установа – Одеський національний університет
ім.. І.І.Мечникова Міністерства освіти і науки
України, кафедра математичного аналізу.
Захист відбудеться _05.12.2001 р. о_15_год., ауд. 309 , на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.
Автореферат розісланий “29 ” жовтня 2001 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ____________________________ О.С.Чані
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
В дисертації розглядається наближення класів H[a,b] кусково-постійними функціями в просторах з інтегральними метриками.
H[a,b] є множина функцій, неперервних на відрізку [a,b], модуль неперервності яких не перевищує заданого модуля неперервності (t).
Актуальність теми. В 1971 році М.П. Корнєйчук одержав точну оцінку зверху найкращого наближення класів H[a,b] константами в метриках просторів Lp[a,b], 1p<. Цей результат дав можливість оцінити зверху n_вимірні колмогоровські поперечники dn(H[a,b], Lp[a,b]), 1p<, n=1,2,….
Точна оцінка зверху Lp[a,b]_норми неперервної функції з нульовим середнім значенням відома для 0<p3 ( М.П. Корнєйчук, 1980). Цей результат дозволив виявити значення n_вимірних лінійних поперечників класів H[a,b] в просторах Lp[a,b], 1p3, для опуклих вгору модулів неперервності (t).
У зв'язку з наведеними результатами виникає питання про знаходження точної оцінки зверху Lp[a,b]_норми різниці неперервної на відрізку [a,b] функції та її константи найкращого Lq[a,b]_наближення.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація складає частину досліджень відповідно до держбюджетної науково-дослідної теми "Найкраще наближення функцій і оптимізація квадратурних формул", номер держреєстрації 0199V001310.
Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є вирішення таких задач.
a)
Для фіксованого p
[1,
) та довільного модуля неперервності
(t) виявити, при яких значеннях q>0 має місце оцінка зверху Lq[a,b]_норми різниці функції f , що належить класу H
[a,b], та константи cp( f ) її найкращого наближення, Lq[a,b]_нормою стандартної функції f(a,b;
;t).
b)
Нехай функція
задана із [0,
) в [0,
), неперервна, неспадна,
(0)=0. Встановити, які умови повинна задовольняти функція
, щоб було можна оцінити зверху лінійні поперечники класів H
[a,b] у просторах Орліча L
[a,b].
Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються сучасні методи теорії апроксимації функцій дійсного змінного.
Наукова новизна одержаних результатів. Одержані наукові результати є новими. Як окремі випадки вони містять в собі результати, що були одержані раніше іншими авторами. У роботі
1)
знайдено точну оцінку зверху Lq[a,b]_норми різниці неперервної функції f та її константи найкращого Lp[a,b]_наближення для p
[1,
), q
(0,2p-1] (для випадків p=q та p=2 розв’язок цієї задачі належить М.П. Корнєйчуку);
2)
знайдені значення поперечників та лінійних поперечників класів H
[a,b], визначених опуклим вгору модулем неперервності, в просторах Орліча L
[a,b], які породжуються N_функціями
, що задовольняють спеціальні умови (для випадку
(t) = t p, p
1, ця задача розглянута М.П. Корнєйчуком).
Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути використані для подальших досліджень наближення неперервних функцій кусково-постійними.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень оприлюднені на семінарах з теорії функцій у Дніпропетровському національному університеті, на Міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам’яті В.К. Дзядика (26 – 31 травня 1999 р., Київ), на Міждержавній науково-методичній конференції з комп’ютерного моделювання (30 червня – 2 липня 1999 р., Дніпродзержинськ), на VIII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (11 – 14 травня 2000 р., Київ).
Публікації. За матеріалами дисертації опубліковані три статті в наукових журналах, тези доповідей в збірниках тез трьох наукових конференцій.
Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації – 119 сторінок. Список використаних джерел займає 4 сторінки і включає 37 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Зміст першого розділу. Основним результатом першого розділу є така теорема.
Теорема 1.2. Нехай фіксовано p[1,). Яким би не був модуль неперервності (t), для q(0,2p-1] справедливо співвідношення
|| f - cp(f) || q || f (a,b;) || q .
Для доведення теореми 1.2 ми запропонували таку нерівність.
xy + xy (x + y ).
Для випадку р=2 ця нерівність була доведена раніше М.П.Корнєйчуком.
Зміст другого розділу. В другому розділі дисертації ми розглядали такі класи функцій.
клас функцій : [0,) [0,), диференційовних, зростаючих, строго опуклих вниз, таких, що (0)=0.
клас функцій : [0,) [0,), неперервних, неспадних, таких, що (0)=0.
Якщо (t) N_функція, то множину дійсних функцій для яких виконується умова
|| f ||:= (|f(t)|)dt <
називають класом Орліча L[a,b].
Через c(f) ми позначаємо константу, яка надає найкраще наближення функції f в “метриці” .
Теорема 2.1. Нехай функція належить класу або (t) = t, нехай функція належить класу . Якщо функції та для будь-яких x,y 0 задовольняють спеціальну нерівність то, яким би не був модуль неперервності (t), справедливо співвідношення
|| f - c(f) || || f (a,b;) || .
Зміст третього розділу. В розділі 3 ми знайшли значення поперечників d n( H[a,b], L ) ( n = 1,2,….) та лінійних поперечників n ( H[a,b], L ) ( n = 1,2,….), де диференційовна строго опукла униз на [0,) N_функція, яка задовольняє деякі додаткові умови.
ВИСНОВКИ
В дисертації розглянуті питання наближення неперервних функцій кусково-постійними в просторах з інтегральними метриками.
Основним результатом першого розділу дисертації є теорема, в якій ми одержали точну оцінку зверху Lq[a,b]_норми різниці неперервної функції f та кусково-постійної (за рівномірним розбиттям відрізка [a,b]) функції, що надає функції f найкраще Lp[a,b]_наближення.
У другому розділі дисертації ми розглядали кусково-постійну апроксимацію неперервних функцій в просторах Орліча. Ми одержали узагальнення основного результату першого розділу для випадку, коли замість просторів Lp[a,b] 1p<, розглядаються класи Орліча L[a,b].
Третій розділ дисертації присвячений поперечникам. Нами знайдені значення поперечників d n( H[a,b], L ) ( n = 1,2,….) та лінійних поперечників n ( H[a,b], L ) ( n = 1,2,….), де N-функція, яка задовольняє деякі додаткові умови.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
1.
Черницкая О.В. Об аппроксимации непрерывных функций кусочно-постоянными в интегральных метриках// Вісник Дніпропетровського державного університету. Сер. Математика. 1998. Вип. 3. С. 128 – 138.
2.
TchernitskayaApproximation of continuous functions by step functions in integral metrics// East Journal on Approximations. 1999. V. 5, №4. P. 403 – 418.
3.
Черницкая О.В. Поперечники классов H
[a,b] в пространствах Орлича// Вісник Дніпропетровського державного університету. Сер. Математика. 1999. Вип. 4. С. 101- 105.
4.
Tchernitskaya O.V. One Inequality for Exponential Function and his Application in Approximation // Тези доповідей Міжнар. конф. з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченої пам'яті В.К.Дзядика. - Київ : Ін-т математики НАН України. - 1999. - С. 81-82.
5. Черницкая О.В. Приближение кусочно-постоянными функциями в интегральных метриках //
Тези доповідей Міждержавної науково-методичної конф. з комп'ютерного моделювання. - Дніпродзержинськ : Дніпродзержинський державний технічний ун-т. - 1999. - С.28-29.
6.
Черницкая О.В. О поперечниках классов H
[a,b] в пространствах Орлича // Тези доповідей Міжнар. наук. конф. імені академіка М.Кравчука. – Київ : Нац. техніч. ун-т України. – 2000. – С.390.
АНОТАЦІЯ
Черницька О.В. Апроксимація функцій класів H у просторах з інтегральною метрикою. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2001.
Дисертацію присвячено питанням наближення неперервних функцій кусково-постійними в просторах з інтегральною метрикою. Нами одержана точна оцінка зверху Lq[a,b]_норми різниці неперервної функції f та її константи найкращого Lp[a,b]_наближення. Для доведення основної теореми першого розділу ми запропонували спеціальну нерівність для степеневої функції.
Ключові слова: наближення, кусково-постійні функції, простори Lp[a,b], класи Орліча, поперечник, лінійний поперечник, модуль неперервності.
АННОТАЦИЯ
Черницкая О.В. Аппроксимация функций классов H в пространствах с интегральной метрикой. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2001.
Диссертация посвящена вопросам приближения непрерывных функций кусочно-постоянными в пространствах с интегральной метрикой. Нами получена точная оценка сверху Lq[a,b]_нормы разности непрерывной функции f и ее константы наилучшего Lp[a,b]_приближения. Для доказательства основной теоремы первого раздела ми предложили специальное неравенство для степенной функции. В третьем разделе диссертации мы нашли значения поперечников и линейных поперечников классов H[a,b], задаваемых выпуклым вверх модулем непрерывности в пространствах Орлича L[a,b], где функция удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.
Ключевые слова: приближение, кусочно-постоянные функции, пространства Lp[a,b], классы Орлича, поперечник, линейный поперечник, модуль непрерывности.
SUMMARY
TchernitskayaApproximation of the functions of the classes H in the spaces with integral metric. Manuscript.
The thesis for degree of candidate of physical and mathematical sciences in the Mathematical Analysis with the code 01.01.01. Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NAS of Ukraine, Donetsk, 2001.
In the thesis we consider some problems of approximation of continuous functions by step functions in the spaces with integral metric.We obtained exact upper estimation of Lq[a,b]_norm of difference between a continuous function f and its constant of the best Lp[a,b]To prove the main theorem of part 1 we suggested the special inequality for exponential function.
Key words: approximation, step function, spaces L p [a,b], classes of Orlicz, width, linear width, modulus of continuity.
