На правах рукопису

УДК 621.317

ДОРОЖОВЕЦЬ Михайло Миронович

ТОМОГРАФІЧНІ ВИМІРЮВАННЯ

ПРОСТОРОВОГО РОЗПОДІЛУ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН

(На прикладах електричної та акустичної томографій)

Спеціальності: 05.11.05 – прилади та методи вимірювання

електричних та магнітних величин

05.11.04 – прилади та методи вимірювання

теплових величин

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів -2001

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі “Інформаційно-вимірювальна техніка” у Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти України.

Науковий консультант - доктор технічних наук, професор СТАДНИК Богдан Іванович, Національний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедрою “Інформаційно-вимірювальна техніка”, м. Львів.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор ЦІДЕЛКО Владислав Дмитрович, Національний технічний університет “Київський політехнічний інститут”, завідувач кафедрою “Інформаційно-вимірювальна техніка”, м. Київ

доктор технічних наук, професор НАЗАРЕНКО Леонід Андрійович, завідувач відділом Державного науково-виробничого об’єднання “Метрологія”, м.Харків

доктор технічних наук, професор СОПРУНЮК Петро Маркіянович, Фізико-механічний інститут ім. Карпенка НАН України, завідувач відділом електричних вимірювань фізичних величин, м. Львів

Провідна установа: Державний науково-дослідний інститут “Система” відділ розроблення наукових, методичних та технічних основ метрологічного забезпечення ВІС та АСКТП, м. Львів.

Захист відбудеться “30”листопада 2001 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.08 у Національному університеті “Львівська політехніка” за адресою: 79013, м. Львів, вул. Ст. Бандери, 12, головний корпус, ауд. 226.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (м. Львів, вул. Професорська 1)

Автореферат розісланий “29” жовтня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради, д.т.н., проф. Луцик Я.Т.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. З кінця 80-х та початку 90-х років 20-го століття науковцями різних країн проводяться інтенсивні наукові дослідження нового наукового напрямку інформаційно-вимірювальної техніки – томографічних вимірювань у промисловості. Цей напрямок реалізує нові якості вимірювань - отримання поточних образів просторового розподілу фізичних величин, завдяки чому створюється можливість об’єктивного керування протіканням технологічними процесами промислових об’єктів, забезпечуючи технічну, економічну чи екологічну ефективність. Зокрема, томографічні методи можуть застосовуватися для вимірювань температурних полів газового середовища в топках котлоагрегатів теплових електростанцій, фабрик спалювання сміття, в тепличних господарствах; температурних полів рідин в агрегатах харчової, медичної та хімічної промисловості; контролю температурних полів, механічних тисків, напружень та деформацій у внутрішніх шарах корпусів та кришок агрегатів; поточного аналізу складу та концентрацій багатокомпонентних сумішей рідин у закритих агрегатах та трубах хімічної, нафтодобувної та переробної промисловості; лабораторних та промислових досліджень утворення газових бульбашок в рідинах при протіканні технологічних процесів; контролю параметрів при транспортуванні газових та рідких сумішей; процесів розмелювання, змішування та сепарації складових сухих речовин в млинах і сепараторах, в тому числі для контролю безпеки їх роботи; поточного контролю складу і концентрації магнітних матеріалів, наприклад, в пульпах металургійного виробництва; контролю середовища атомних реакторів та сховищ радіоактивних відходів; контролю шкідливих викидів в атмосферу з промислових об’єктів; вимірювання параметрів ґрунтів на наявність та рівень підземних вод, пустот та різних забруднень; локалізація об’єктів в охоронних системах, тощо.

Важко переоцінити перспективи, які відкриваються з практичним застосуванням томографічних вимірювань в промисловості та в наукових дослідженнях. Такі вимірювання мають певні переваги перед традиційними, найголовніші серед яких полягають у тому, що в результаті томографічних вимірювань отримують інформацію про просторовий розподіл (а не локальне значення) досліджуваного параметра об’єкту, при цьому відбір вимірювальної інформації здійснюється без розміщення вимірювальних перетворювачів всередині об’єкту, а лише на його зовнішній границі. Тобто можна говорити про томографічні вимірювання як безконтактні вимірювання.

Основними науковими центрами досліджень технічної томографії є університети Великобританії, Італії, Норвегії, Польщі, Португалії, Росії, США, України, ФРН, та ін. країн. Європейська Комісія створила спеціальну організацію ECAPT для координації та фінансування досліджень в європейському масштабі з метою застосування томографічних вимірювань і контролю в промисловості .

Автор вельми вдячний професору Богданові Стаднику за пропагування ідеї проведення в Україні наукових досліджень в галузі промислової томографії та за постійну підтримку при виконанні цієї наукової роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках пріоритетних напрямків розвитку науки і техніки в Україні, а саме: згідно ТЗ ДК/11 6.4.4/059-92 Державного комітету з питань науки, техніки і технологій „Ультразвукові контактні термометри та інформаційно-вимірювальні системи для автоматизованого безконтактного акустичного моніторингу температурних полів” №ДР0193U040298 (1992-1995рр.) Державної науково-технічної програми 6.4.4.”Відкриті інформаційно-вимірювальні системи й автоматизація вимірювань”, а також в рамках держбюджетних науково-дослідних робіт Міносвіти: “Розробка науково-методичних засад створення математичного, програмного, метрологічного забезпечення й засобів вимірювання температури на основі нетрадиційних методів, фізичних явищ і властивостей нових матеріалів” №ДР01910041766 (1991-1993рр.), “Томографічні системи вимірювання просторового розподілу діелектричної проникності та провідності” №ДР0196U000184 (1996-1997рр.), “Інтелектуалізовані системи обслуговування вимірювальних експериментів та для томографічного вимірювання просторового розподілу технологічних параметрів промислових об’єктів на основі акустичних, ультразвукових та електроімпедансних властивостей досліджуваного середовища” №-198U002401 (1998-1999рр.), “Інтелектуалізована вимірювальна система” №ДР0198U007858 (1999-2000рр.), та ін.

Загальний стан проблеми. Вимірювальні томографічні методи найперше знайшли успішне застосування в медичній практиці. При цьому високого рівня досягнуто як у технічних засобах збирання первинної вимірювальної інформації, так і в алгоритмах реконструкції образів. Для успішного впровадження таких вимірювань у промисловість необхідно вирішити низку як теоретичних, так і практичних проблем. Ці проблеми пов’язані з певними відмінностями технічної томографії від медичної. Зокрема, відтворення образів просторових розподілів фізичних величин необхідно здійснювати за суттєвим обмеженням кількості (десятки чи в кращому випадку сотні) результатів вимірювань, в той час як у медичних системах кількість результатів вимірювань становить десятки і сотні тисяч. Отримувана вимірювальна інформація про просторовий розподіл величини в промисловому об’єкті повинна використовуватися для керування цим об’єктом, тобто результати відтворення образу необхідно отримувати в режимі, близькому до „реального” масштабу часу. Тому алгоритми вимірювань первинних величин і реконструкції образів повинні бути швидкодіючими. В технічній томографії мають справу з низьким співвідношенням значень вимірювана величина/завада. При цьому корисна інформація міститься лише в молодших розрядах результатів первинних вимірювань, в діапазоні від декількох одиниць до (в найкращому випадку) декількох десятків відсотків результату. Завдяки цьому відбувається еквівалентне підсилення впливу похибок використовуваних вимірюваних засобів відносно інформативної частини результатів. Тому вимірювальні засоби повинні мати високу точність, чутливість та завадостійкість. Нелінійність залежностей результатів первинних вимірювань від інтегральних значень просторового розподілу досліджуваної фізичної величини часто унеможливлює застосування відпрацьованих та ефективних методів апроксимації. Вимірювальні томографічні системи повинні мати нормовані метрологічні характеристики, для чого необхідне створення відповідних методик метрологічної перевірки таких систем.

На даний час у різних дослідницьких центрах створені експериментальні зразки томографічних систем для промислових вимірювань, є повідомлення також про створення робочих вимірювальних систем для моніторингу температурних полів. Однак, при цьому переважно дається інформація лише загального технічного та рекламного характеру. Незважаючи на певні успіхи в окремих напрямках, у першу чергу, в математичному моделюванні процесів відтворення образів та створенні лабораторних прототипів томографічних систем, загальна методологічна база промислової томографії, як нового виду вимірювань, відсутня. У рішеннях, прийнятих на 1-му Конгресі із промислових томографічних процесів (Букстон, Великобританія) у 1999р., як основну поставлено задачу переходу до строгого кількісного оцінювання всіх аспектів томографічних методів і перетворення їх в галузь вимірювань. Вирішення перелічених проблем вимагає проведення широких комплексних досліджень як методичних, так інструментальних аспектів томографічних вимірювань, а також створення нових методів опрацювання результатів вимірювань, щоб за обмеженою їх кількістю і за короткі інтервали часу отримати якісні образи просторового розподілу досліджуваних величин.

Науковий напрямок - це розробка науково-методичних засад нових видів вимірювань, а також їх математичного, інструментального та метрологічного забезпечення.

Мета й задачі дослідження. Метою досліджень є становлення й розвиток томографічних вимірювань при моніторингу промислових процесів, а саме: розвиток теорії та практики відтворення образів просторового розподілу фізичних величин електричними та акустичними томографічними методами, включаючи їх методичні, алгоритмічні та інструментальні аспекти.

Для досягнення цієї мети розв’язувалися наступні задачі:

1) аналіз і класифікація фізичних принципів томографічних вимірювань; встановлення найважливіших методичних проблем відтворення образів просторового розподілу фізичних величин; систематизація основних факторів похибок при відтворюванні образів;

2) розвиток теорії апроксимації в акустичній томографії для відтворення із заданою точністю образів температури газового та рідкого середовищ, враховуючи інтегральну залежність результатів вимірювань від шуканої температури; дослідження і корекція впливу неоднорідності температури та руху середовища;

3) аналіз методичних похибок розв’язування електричної польової задачі, створення методологій апроксимацій розподіленими та зосередженими елементами при розв’язуванні прямої задачі томографії провідності з необхідною точністю; розробка й обґрунтування методів стійкого розв’язування прямої задачі томографії без регуляризації; синтез відповідних методик вимірювань;

4) аналіз впливу параметрів апроксимаційних моделей та глибини регуляризації на точність відтворення образів; розвиток теорії адаптації параметра регуляризації та синтез нового алгоритму розв’язування оберненої задачі з метою покращання стійкості та збіжності ітераційного відтворення образів;

5) розробка методики оцінювання впливу різних за характером інструментальних похибок томографічних вимірювань на характеристики похибок відтворення образу; формулювання вимог щодо точності, чутливості та завадостійкості використовуваних інструментальних засобів; розвиток методів підвищення завадостійкості засобів збирання вимірювальної інформації з оптимізацією їх за швидкодією;

6) створення зразків томографічних вимірювальних систем, обґрунтування засад їх метрологічної перевірки.

Об’єкт наукових досліджень - томографічне відтворення просторового розподілу фізичних величин.

Предмет досліджень - пряма та обернена задачі акустичних та електричних томографічних вимірювань і пов’язані з ними методичні, обчислювальні, інструментальні та інші метрологічні аспекти.

Методи досліджень. Методологічну основу наукових досліджень складає комплексний підхід до аналізу методичних, інструментальних і обчислювальних аспектів відтворювання томографічних образів просторового розподілу фізичних величин. Дослідження здійснювались з застосуванням теорії реконструкції томографічних образів, акустики, електротехніки, метрології, теорії вимірювальних і радіотехнічних сигналів і кіл, числових методів (в розділах розв’язання диференціальних рівнянь в часткових похідних із змінними коефіцієнтами, систем лінійних і нелінійних рівнянь), стійкості та регуляризації, лінійної алгебри, конформного перетворення, теорії апроксимації, імітаційного моделювання, планування експерименту, теорії похибок та обробки результатів вимірювань, випадкових процесів, спектрального аналізу. Основні результати перевірялись експериментальними методами.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі отримані наступні наукові результати:

1.

- на основі аналізу фізичних принципів та методів реконструкції образів здійснено їх систематизацію і, відповідно до виду математичних моделей, виділено дві узагальнені томографії - променеву та електричну, що створило передумови застосування однакових математичних методів опрацювання результатів вимірювань у кожній з узагальнених томографій;

- здійснена комплексна систематизація та запропонована класифікація похибок відтворення образів при промислових томографічних вимірюваннях; виявлено нерозривний зв’язок методичних, обчислювальних та інструментальних аспектів таких вимірювань.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

- одержано теоретичні співвідношення для кореляційних матриць похибок відтворення образів, за якими можна оцінити вплив різних складових похибок первинних вимірювань;

- встановлено, що при сумірній інтенсивності складових похибок, на точність відтворюваного образу найсильніше впливають випадкові адитивні похибки; сталі систематичні адитивні похибки не призводять до адитивного зміщення відтвореного образу, а внаслідок широкої зміни значень результатів первинних вимірювань відбувається їх рандомізація впливу; сталі мультиплікативні похибки первинних вимірювань не підсилюються реконструктивним алгоритмом, а спричиняють лише мультиплікативну зміну образу.

9.

10.

Практичне значення одержаних результатів полягає у наступному:

- розроблені апроксимаційні та вимірювальні схеми, практичні алгоритми та програми відтворення образів і результати досліджень їх похибок створюють передумови для переходу від експериментальних, лабораторних томографічних вимірювань до промислових;

- створено лабораторний прототип системи ультразвукового томографічного вимірювання просторового розподілу температури рідини в хімічному реакторі (в рамках гранту ІЕЕ у м. Шеффілд, Великобританія);

- при виконанні технічного проекту ДК/11 6.4.4/059-92 Державного комітету з питань науки техніки і технологій в рамках Державної науково-технічної програми 6.4.4.”Відкриті інформаційно-вимірювальні системи й автоматизація вимірювань” було створено систему акустичного томографічного вимірювання температурного поля (включаючи акустичні випромінювачі та приймачі, засоби обробки сигналів, багатоканальні вимірювачі часових інтервалів, програму відтворення образу просторового розподілу температури та виведення результатів), яка дозволяє проводити експериментальні дослідження з наступним використанням результатів при проектуванні вимірювальної системи моніторингу температурних процесів у котлоагрегатах теплової електростанції, розроблено технічне завдання на ДКР такої системи. Система змонтована в лабораторії з температурних вимірювань кафедри “Інформаційно-вимірювальна техніка” НУ “Львівська політехніка”;

- результати роботи, стосовно корекції похибок при вимірюваннях витрат рідини, в т.ч. від невизначеності профілю швидкості її руху, використані в системі обліку нафтопродуктів на одній з дільниць нафтопроводу “Дружба”;

- створено експериментальний зразок системи томографічного відтворення просторового розподілу електричної провідності в об’єкті циліндричної форми, експерименти на якому дозволяють випробовувати різні теоретичні та практичні рішення з метою покращання характеристик такого виду вимірювань.

Практичне значення окремих результатів виходять за рамки дисертаційних досліджень. Зокрема, методика трансформації матриць систем рівнянь методу вузлових потенціалів у матриці методу контурних струмів може знайти застосування при розв’язуванні електротехнічних задач. Нелінійні мультиплікативні функції можуть знайти застосування при синтезі алгоритмів розв’язування крайових задач, що описують явища іншої фізичної природи. Синтезовані вагові функції реалізовані для підвищення завадостійкості цифрових приладів для вимірювань різних фізичних величин. Запропонована автором гіперболічна частотна модуляція може знайти застосування в інших галузях передачі та прийому сигналів.

Розроблені теоретичні моделі, алгоритми реконструкції образів та розроблені засоби використовуються навчальному процесі кафедри інформаційно-вимірювальної техніки Національного університету “Львівська політехніка”, зокрема в магістерських курсах, дипломному проектуванні, випускних роботах магістрів та дослідженнях аспірантів

При розробці практичних схем пристроїв та експериментальному дослідженні характеристик систем, при виконанні науково-дослідних робіт були залучені співавтори. В цих випадках частка участі автора відображена у звітах та визначена у супроводжувальних документах.

Апробація результатів роботи. Викладені в дисертаційній роботі наукові положення та наукові результати виголошувались на 25 науково-технічних конференціях, симпозіумах та семінарах, в т.ч. на 22 міжнародних.

Публікації. За темою дисертації опубліковано понад 50 наукових робіт, в тому числі 28 статей у фахових виданнях, з них 14 одноосібних.

Обсяг і структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів і висновків, викладена на 335 сторінках друкованого тексту, містить 120 рисунків, 22 таблиці, перелік цитованої літератури та додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлені актуальність проблеми, мета і задачі дослідження, наукова новизна отриманих результатів і їх практична цінність, а також апробація результатів роботи.

У першому розділі аналізується місце томографічних вимірювань серед інших видів вимірювань, показані відмінності та особливості таких вимірювань. Зроблено систематизацію фізичних принципів, що лежать в основі томографічних вимірювань. Показані відмінності промислових і медичних томографічних систем. Подаються області застосування томографії у промисловості. Із загальних позицій проаналізована вимірювальна інформація при томографічних вимірюваннях і пов’язані з нею методи відтворення образів просторового розподілу фізичних величин. Висвітлені проблеми апаратурного та математичного забезпечення систем для технічного застосування. Систематизовано похибки томографічних вимірювань.

В загальному випадку, томографічне вимірювання - це вимірювання просторового розподілу фізичної величини у внутрішній частині досліджуваного середовища за сукупністю результатів вимірювань зовнішніх величин, що пов’язані з розподілом шуканої величини певними інтегральними залежностями. Результатом томографічного вимірювання є образ просторового розподілу фізичної величини, як сукупність її просторових значень. Однак, часто результатом також можуть бути характеристики цього образу, такі як середнє, найменше, найбільше, середнє квадратичне значення, неоднорідність, градієнт, тощо. В певних випадках результати первинних вимірювань, розставлені на відповідній координатній площині, можуть також служити результатами томографічних вимірювань.

Приводиться узагальнена схема томографічного вимірювання, основними складовими якої є: вимірювальні перетворювачі, що розміщені на границі досліджуваного середовища; підсистема збирання, нагромадження і первинного опрацювання вимірювальної інформації; система відтворення образу, відображення й розрахунку шуканих параметрів просторового розподілу величини, (рис.1).

Однією з найважливіших рис томографічних вимірювань є певна інтегральна (у просторових координатах) залежність вихідних сигналів, а значить, і результатів первинних вимірювань від шуканого просторового розподілу, тобто

(1)

де L[] - оператор, в загальному випадку нелінійний, що пов’язує кожне локальне значення досліджуваної величини Qx(x,y,z) з окремим значенням безпосередньо вимірюваної величини (вид оператора залежить від фізичного принципу, покладеного в основу томографічного вимірювання); i - область інтегрування в i-тому просторовому ракурсі (між заданими позиціями вимірювальних перетворювачів). Для різних фізичних принципів інтегрування може відбуватися вздовж ліній li , в тому числі замкнених, по поверхнях si чи об’ємах vi.

Рис.1. Узагальнена схема томографічного вимірювання.

Запропонована класифікація фізичних принципів промислових томографічних вимірювань, серед яких виділено дві основні групи. Перша група ґрунтується на застосуванні випромінювань різної фізичної природи як самого об’єкта досліджень, так і від зовнішніх джерел, а друга – на використанні електричних та магнітних властивостей досліджуваного середовища. Як власне випромінювання об’єкта найчастіше використовується теплове, радіоактивне і хвильове. При застосуванні зовнішнього випромінювання його взаємодія з досліджуваним середовищем визначається шляхом вимірювань характеристик поглинання, відбивання, затримки, дифракції та інтерференції хвиль. Електричні методи, в свою чергу, діляться на пасивні (імпедансні), в яких вимірюваними величинами є провідність, діелектрична й магнітна проникність, і активні, що ґрунтуються на електродинамічних та індукційних явищах.

Дається огляд математичних та обчислювальних проблем промислової томографії. При цьому вибір методів відтворення образу залежить від виду інтегральної залежності (1) між результатами вимірювань і розподілом величини, кількості результатів вимірювань, наявності та рівня похибок вимірювань, потрібної точності реконструкції та інших факторів.

В результаті аналізу класичних методів реконструкції образів, що виходять з перетворення Радона, показано, що суттєва нерівномірна й рідка дискретизація радонівського образу унеможливлює ефективне застосування для промислової томографії добре відпрацьованих у медичній томографії методів. В томографіях на основі випромінювань найефективнішим є метод, побудований на основі апроксимації властивостей середовища лінійною комбінацією відомих базових функцій. Невирішеною проблемою таких апроксимацій є відсутність залежностей, які б пов’язували параметри апроксимацій з параметрами просторового розподілу та допустимими методичними похибками відтворення його образу. Іншою проблемою, яка загалом не вирішена для акустичної томографії і лише частково вирішена для кусково-сталої апроксимації, є проблема оцінювання і наступної корекції методичної похибки від викривлення акустичних траєкторій поширення імпульсів в середовищі з неоднорідною температурою.

Проаналізовані методи розв’язувань прямої задачі електричних томографій. Основною невирішеною проблемою прямої задачі електричної томографії є отримання точних розв’язків без застосування регуляризації при поміркованих обчислювальних затратах. Звернено увагу на те, що стандартні програмні пакети для методу скінчених елементів, по при те, що звичайно вимагають великих обсягів оперативної пам’яті (часто навіть до кілька гігабайт) та високопродуктивних дорогих комп’ютерів, для томографічних задач не є ефективними з обчислювальної точки зору. Це зумовлено тим, що результатом роботи таких програм є значення параметрів польової задачі у всіх вузлах апроксимаційної сітки, а для відтворення томографічного образу можна використати лише значення на зовнішніх вузлах.

Розглядається проблема стійкості та збіжності обернених задач, наголошено, що застосування відомих методів регуляризації, наприклад, методу Левенберга-Марквардта, спричиняє дуже погану збіжність ітераційної процедури (кілька десятків ітерацій). Іншою проблемою, незважаючи на сучасний стан розвитку обчислювальних засобів, є швидкість отримання образу просторового розподілу. Кількість операцій на одну ітерацію пропорційна до п’ятого ступеня кількості апроксимаційних елементів, що становить кілька сотень мільярдів і більше операцій при просторовій роздільчій здатності відтворення образу менше відсотка. Тому навіть на 2000р. переважна більшість алгоритмів є лише однокроковою, а для отримання якісних образів часові затрати виносять від кількох десятків хвилин часом аж до кількох днів. Альтернативою є використання дорогих мультипроцесорних (кілька тисяч паралельно працюючих процесорів) систем. Тому для можливості виконання томографічних вимірювань в реальному масштабі часу необхідне створення ефективних обчислювальних методів точного розв’язування прямих задач і регуляризаційних методів з високою збіжністю розв’язування обернених задач.

Здійснена систематизація похибок томографічних вимірювань, детально розписані складові методичних, інструментальних, а також динамічних похибок. Висвітлені основні проблеми апаратурного забезпечення томографічних вимірювань. Зокрема, найголовнішою проблемою є вимірювання величини низького рівень при корисній інформації лише в молодших розрядах результатів первинних вимірювань. Тому до засобів вимірювань промислових томографічних систем ставляться взаємно протилежні вимоги: висока чутливість, висока точність, висока швидкодія, висока завадостійкість, тощо.

У другому розділі розглядаються методичні аспекти застосування акустичної томографії для відтворювання образів просторового розподілу температури в газовому і рідкому середовищах та інших фізичних величин, пов’язаних зі швидкістю руху середовища, зокрема витратою. Систематизовані основні операції відтворення образу просторового розподілу температури. В цій томографії (так званій час-імпульсній томографії) безпосередньо вимірюють інтервали часу поширення акустичних імпульсів між генератором Гj і приймачами Пj (рис.2)

, (2)

де V(x,y)=f[T(x,y)] - швидкість акустичних коливань, що залежить від абсолютної температури Т(х,у) середовища (зокрема для газового середовища , коефіцієнт КГ - визначається концентраціями складових газу); W(x,y)=1/V(x,y) - обернена швидкість; lj - лінія між передавачем та приймачем акустичного імпульсу (j-ий акустичний канал); m - кількість акустичних каналів, що залежить від кількості та схеми розміщення вимірювальних перетворювачів.

Для відтворення температурного розподілу за виміряними часовими інтервалами (2) досліджені апроксимації оберненої швидкості лінійною комбінацією відомих базових функцій (кусково-сталих, кусково-лінійних, неперервних многочленних – алгебраїчних, Чебишова, тригонометричних, комбінованих)

. (3)

Невідомі коефіцієнти Сі розраховують в процесі розв’язування оберненої задачі томографії, матрична форма якої має вигляд

, (4)

де R - матриця, елементи якої є результатами інтегрування і-ої апроксимаційної функції вздовж j-го каналу; tmeas - вектор результатів вимірювань інтервалів часу; - реконструктивна матриця.

Розрахувавши і підставивши у (3) коефіцієнти Сі, знаходять шуканий температурний розподіл

. (5)

При розміщенні на протилежних стінках прямокутного об’єкта порівну акустичних перетворювачів кількість вимірювальних каналів – незалежних результатів вимірювань становить

, (6,а)

де р1 і р2, - кількості перетворювачів на суміжних стінках об’єкта. Для квадратного (з р перетворювачами на одній стінці) та круглого (з р перетворювачами) об’єктів кількість каналів становлять відповідно

M=6p2, (6,б) M=p(p-1)/2. (6,в)

Виходячи з фізичного та математичного принципів акустичного томографічного вимірювання просторового розподілу температури, досліджено наступні основні складові методичної похибки: від апроксимації, від алгоритму реконструкції, від нелінійності траєкторій поширення акустичних хвиль в середовищі з нерівномірною температурою та від руху досліджуваного середовища.

Можливість практично безпосереднього отримання середніх на ділянках і по всьому об’єкту температури є найголовнішою перевагою кусково-сталих апроксимаційних функцій (рис.3,б), особливо коли потрібно швидко отримувати середнє значення температури та орієнтовний образ температурного розподілу. Шляхом теоретичного аналізу і експериментальних досліджень на моделях показано, що для типових моделей температурного поля при дискретизації квадратного об’єкта кроком 88 і використанні 4-х перетворювачів на стінці об’єкта (М=642=96 незалежних результатів вимірювань) максимальне значення зведеної похибки відтворення температурного поля може досягати 5..10%. Інтерполяційне згладжування зменшує похибку в 2..3 рази (рис.3,в). Досліджено особливості дискретизації об’єктів круглої форми.

Площинні апроксимації, (рис.3,г), при такій самій кількості результатів вимірювань забезпечують похибку апроксимації 1..2%, однак вимагають додаткових обчислень, необхідних для лінійної інтерполяції локальних значень температури за відтвореними її вузловими значеннями.

Рис.3. Відтворення температурного поля. Температурна модель (а). Відтворення: кусково-сталими функціями (б); з лінійною інтерполяцією (в); кусково-плоскими функціями (г); многочленом Чебишова: поверхня (д), контури сталих значень (е); розподіл зведеної похибки відтворення: поверхня (є); контури сталих значень (ж).

Встановлено, що похибки апроксимації при відтворенні температурного поля алгебраїчними та многочленами Чебишова (рис.3,д) співпадають, однак застосування останніх забезпечує на декілька порядків кращу зумовленість реконструктивних матриць, що дає можливість застосовувати многочлени вищих порядків, зменшуючи методичну похибку. Для коливних моделей температурного розподілу тригонометричні многочлени забезпечують меншу методичну похибку.

Якщо інформативнішою є середня температура поля, то вже при порядках многочленів рм4 і кількості результатів вимірювань М24 (2 перетворювача на стінці об’єкта) зведена середня методична похибка не перевищує 0,1..0,2%. Якщо важливими є локальні значення похибки, інтегральною характеристикою яких є середньо - квадратична похибка, то для забезпечення зведеного значення відтворення локальних температур 1..2% порядок апроксимаційних многочленів повинен становити рм4..6, а кількість вимірювань М24..54 (2-3 перетворювачі на стінці об’єкта). Застосування 96 вимірювань (4 вимірювальних перетворювачів на стінці) і апроксимаційних многочленів 8-го порядку з точки зору методичних похибок (рис.3,е) практично вирішує задачу реконструкції температурних полів.

Досліджено методичну похибку від викривлення траєкторій y(x) поширення хвиль. Виведено рівняння траєкторії поширення акустичного коливання між двома перетворювачами у вигляді нелінійного диференціальним рівнянням

, (7)

з крайовими умовами y(x1)=y1, y(x2)=y2, що визначаються координатами перетворювачів. Показано, що для типових розподілів температури в газовому середовищі похибка від викривлення може досягати декількох відсотків. З метою оцінювання та корекції відповідної похибки запропоновано і розроблено алгоритм розв’язання цього рівняння з апроксимацією температурного розподілу і його градієнта вздовж траєкторії. Отримано вираз відносної похибки

, (8)

де - середнє значення проекції градієнта на перпендикуляр до напрямку між перетворювачами, відстань між якими l; - середнє значення температури вздовж вимірювального каналу. На підставі отриманих результатів розроблено метод корекції похибки від викривлення траєкторій, що ґрунтується на апостеріорному визначенні оцінок похибок змін часових інтервалів із наступною модифікацією останніх за виразом

. (9)

Практично вже після однієї ітерації похибка від викривлення траєкторії стає меншою за допустимі значення. На основі аналізу розв’язків рівняння (8), встановлено, що в ультразвуковій томографії рідин складова похибки від нелінійності траєкторій нехтовно мала.

Проаналізовані ефекти, що викликані циркулярним (в площині вимірювання) і поздовжнім (перпендикулярно до неї) рухом середовища, які також можуть спричиняється до викривлення траєкторій. Інформацією про циркулярну швидкість руху є різниця між часовими інтервалами поширення акустичних імпульсів в протилежних напрямках того самого каналу. Для визначення поздовжньої швидкості запропоновано здійснювати вимірювання в декількох площинах. Таке вимірювання дає можливість також відтворювати об’ємний розподіл температури. Показано, що в діапазоні швидкостей руху до 20м/c зміни вимірюваних часових інтервалів не перевищують 0.1..0.2% і похибками відтворювання температури, викликаними переміщенням середовища, можна знехтувати.

Проаналізовано вплив відхилення профілю швидкості руху нафтопродуктів у трубопроводах від номінального. Така зміна залежить від значення самої середньої швидкості, тиску, в’язкості та міжшарового дотичного напруження, температури, тощо, і спричиняє методичну похибку у декілька відсотків. Запропоновано вирішити задачу корекції впливу такої похибки при ультразвуковому вимірюванні витрат методом томографії середньої швидкості, інваріантної до її просторового профілю за виразом

, (10)

де Vuz - швидкість ультразвуку у рідині; - кут нахилу вимірювальної площини до осі трубопроводу; L - максимальна довжина вимірювального каналу; N - вектор середніх по площі труби значень апроксимуючих функцій об’ємної швидкості; P – вектор середніх вздовж вимірювальних ліній значень апроксимуючих функцій; t - вектор виміряних різниць часу проходження ультразвукових імпульсів (за і проти течії). Показано, що при виборі апроксимації 4-ма функціями, при 6-ти вимірювальних каналах, вплив похибки від невизначеності профілю швидкості нафти може бути скоригований до рівня кількох сотих відсотка.

Показано, що результати первинних вимірювань – часові інтервали поширення акустичних імпульсів між передавачами та приймачами, шляхом їх віднесення до радонівських проекцій від сталого значення досліджуваного параметра, на площині в координатах радонівського образу, стають інформативнішими. Завдяки цьому, не розв’язуючи обернену задачу, за модифікованими результатами первинних вимірювань можна безпосередньо судити про характер просторового розподілу величини, при тому тим точніше, чим розподіл є ближчим до однорідного.

В третьому розділі викладено теоретичні засади розв’язування прямої задачі томографії електричної провідності. Використовуючи методи конформного відображення та перетворення Крістофеля-Шварца, отримано залежності вимірюваних величин від кількості та параметрів електродів

; , (11)

де I0, U0 - збуджувальні струм та потенціал; - питома провідність середовища; - товщина провідного шару; n - кількість електродів; a=tg(0-); k=tg(0-)/tg(0+) - параметри, що залежать від кутової відстані між електродами 0=/n та кутової ширини електрода ; Е - параметр, що визначає ширину електродів на декартовій площині. На основі аналізу залежностей показано, що вимірювальні схеми зі струмовими збудженням об’єкта і вимірюванням різниць електродних потенціалів та з потенціаловим збудженням і вимірюваннями електродних струмів є інформаційно еквівалентними (рис.4). Крім того, встановлено, що при кутовій ширині електродів 0/16 (рис.4) значення вимірюваних величин, отримуваних від електродів, наступних за збуджувальними, майже не залежать від розмірів електродів (рис.4) і досить точно описуються залежністю .

Рис.4.Залежності вимірюваних величин від номера та ширини електродів

(а-при струмовому збудженні, б- при потенціаловому збудженні об’єкта).

Створена методологія апроксимації польової задачі скінченими елементами, в тому числі оптимальними за формою (рис.6,а), для круглого об’єкта (рис.6,б), та з заданою кількістю апроксимаційних елементів.

Отримано вираз методичної похибки розв’язування електричної польової задачі, на основі якого показано, що для отримання однакового впливу похибок апроксимації потенціалу та провідності порядок апроксимації потенціалу має бути принаймні на порядок вищою, ніж порядок апроксимації провідності. Знайдено вираз для членів характеристичної матриці трикутного елемента з параболічною апроксимацією потенціалу та лінійною апроксимацією провідності

, (12)

де K,L,M - кути трикутника; k, l, m - вузлові значення провідності; Ui, Uj - апроксимації потенціалу. Відповідно до характеристичної матриці побудована заступна схема такого елемента з 15-ти зосереджених елементів, яка використовується при формуванні системи лінійних рівнянь, що описує апроксимовану польову задачу. Досліджені часткові випадки характеристичної матриці і відповідні заступні схеми при сталій апроксимації провідності та параболічній або лінійній апроксимації потенціалу, при рівносторонніх трикутниках, тощо. Здійснено порівняний аналіз похибок різних апроксимацій в залежності від кількості апроксимаційних елементів (рис.5) .

Рис.5. Залежність похибки апроксимації польової задачі від кількості ділянок. (Апроксимації: 1а - потенціалу лінійна, провідності стала; 2а - потенціалу параболічна, провідності стала; 3а - потенціалу параболічна, провідності лінійна; 4а - потенціалу лінійна, провідності стала при розбитті трикутників на 4 менші;).

Отримано вирази для розрахунку кількості елементів, загальної кількості вузлів апроксимації, зовнішніх вузлів та кількості результатів вимірювань в залежності від кількості шарів апроксимаційних елементів. Розроблена методологія апроксимації зосередженими елементами (рис.6,в,г), а також спосіб адаптації форми трикутних елементів в залежності від відтворених значень провідностей.

Рис.6. Апроксимація оптимальними 96 (а) та 120 (б) скінченими елементами; 90 (в) та 120 (г) зосередженими елементами.

Четвертий розділ присвячений вирішенню проблеми забезпечення стійкості та збіжності розв’язування прямої та оберненої задач томографії. Показано, що обчислення елементів якобіана виникають два види похибок. Перша зумовлена скінчено-різницевим способом обчислення похідних, а друга – похибками обчислень функцій (числового розв’язування польової задачі), які можуть бути викликані поганою зумовленістю розв’язування прямої задачі. Встановлено, що пряме застосування природного для апроксимації скінченими елементами методу вузлових потенціалів унаслідок поганої зумовленості матриць приводить до нестійких розв’язків. Для вирішення проблеми стійкості прямої задачі запропоновані два методи: формування прямої задачі зі зміною крайових умов диференціального рівняння та трансформації матриці методу вузлових потенціалів у матрицю методу контурних струмів.

У першому методі завдяки заданим поверхневим потенціалам U1 (замість зондувальних струмів) відпадає потреба знаходити обернену зредуковану матрицю, а результат розв’язування прямої задачі (електродні струми I1) знаходимо відразу

I1=b11U1, (13)

де b11 – зредукована до зовнішніх вузлів матриця провідності апроксимаційної схеми. Зауважимо, що при зондуванні об’єкта струмами I1 для знаходження електродних потенціалів (U1=b11-1I1) явно чи неявно необхідно знаходити обернену матрицю b11-1, яка є гранично погано зумовленою.

Доведено, що швидкість розв’язування повного набору прямих задач електричної томографії можна збільшити пропорційно до кількості вимірювальних електродів, якщо задати еквіпотенціаліальними (наприклад, нульовими) всі, крім одного (з потенціалом U0), зовнішні вузли апроксимаційної схеми. Завдяки еквіпотенціалізації всі електродні струми даного ракурсу зондування об’єкта знаходимо відразу за зредукованою матрицею: I1=b11U0.

Спрощений варіант такої вимірювальної схеми приведений на рис.7. Тут операційні підсилювачі (ОП) застосовуються для підтримання заданих потенціалів електродів, а також для формування відповідних електродних струмів Ii, які далі вимірюють за спадком напруги Ui на резисторах RN у колі зворотного зв’язку. Завдяки еквіпотенціальності 1-5 електродів струми через об’єкт протікають лише між нульовим та відповідним електродом, а решта міжелектродні струми відсутні, і пряма задача електричної томографії наближається до прямої задачі променевої томографії. Запропонований метод і відповідна схема вимірювань з еквіпотенціальними електродами вирішують поставлену мету: усувається проблема стійкості розв’язування прямої задачі при потенціаловому зондуванні та зменшуються обчислювальні затрати на її розв’язування.

Забезпечення стійкості прямої задачі при струмовому зондуванні об’єкта полягає у трансформації матриці провідності G, яка відповідає методу вузлових потенціалів, у резистивну матрицю R, яка відповідає методу контурних струмів. У трансформованій резистивній матриці для всіх зовнішніх контурів сума модулів недіагональних елементів завжди менша за її діагональні елементи: , тому зредукована до зовнішнього контуру резистивна матриця c11 є завжди добре зумовленою. Завдяки цьому розв’язки прямої задачі – зовнішні контурні струми

(14)

при зондуванні об’єкта струмами I0 є завжди стійкими. Тут Rз- еквівалентні опори, що відповідають зовнішнім сторонам зовнішніх апроксимаційних елементів.

Розроблена методологія трансформації матриці системи вузлових потенціалів у матрицю системи контурних струмів.

Досліджено стійкість і збіжність розв’язування оберненої задачі електричної томографії. Для забезпечення стійкості цієї задачі була здійснена спроба використати відомі методи (зокрема, одного з найпоширенішого, методу Левенберга-Марквардта), однак вони виявилися неефективними через погану збіжність (десятки ітерацій) або через непомірну кількість (десятки і більше мільярдів) операцій на одну ітерацію. Тому був фізично обґрунтований, досліджений і зреалізований метод, що ґрунтується на запропонованій математичній моделі опису задачі електричної томографії (з апроксимацією провідного середовища методами скінчених та зосереджених елементів) у вигляді системи нелінійних мультиплікативних функцій багатьох змінних виду

, (15)

де ai, bij, ci, dijk, eij,...