НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАУКОВО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ КОНЦЕРН“

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ”

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

На правах рукопису

ДОМБРОВСЬКИЙ

Маріуш

УДК 530.12;530.145

СТРУННІ КОСМОЛОГІЇ

01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2001

Дисертацією є рукопис.

Работа виконана в Інституті фізики Щецінського університету,

Польща

Офіційні опоненти:

Академик НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор С. В. Пелетмінський,

Начальник відділу Інституту теоретичної фізики Національного наукового центру “Харківський фізико-технічний інститут”;

Доктор фіз.-мат. наук, професор Ленур Яг'я Аріфов, завідуючий кафедрою теоретичної фізики Таврійського національного університету

ім. В.І. Вернадського;

Доктор фіз.-мат. наук, професор О. О. Капустніков,

професор кафедри теоретичної фізики Дніпропетровского національного університету.

Провідна установа:

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України,

Відділ астрофізики і елементарних частинок, м. Київ.

Захист відбудеться _19_ _вересня_ 2001 року о_14.00_ годині на

засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.169.01 при Інституті

монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.

Автореферат розісланий __8__ ___серпня___ 2001 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Д.64.169.01,

кандидат технічних наук Л.В. Атрощенко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

На сьогодні теорія суперструн є однією з найбільш передових і водночас найбільш обіцяючих фізичних теорій, що стосуються матерії у Всесвіті, яка дає повну уніфікацію чотирьох фундаментальних взаємодій. Теорія виходить з того, що основними складовими матерії є не точкові елементарні частинки, а об'єкти, розтягнуті в просторі - одновимірні струни (більш загально - багатовимірні мембрани). Ці об'єкти можуть виконувати складні коливання і їх моди проявляються в масштабі довжин, менших за довжину Планка (10-33 см) елементарної частинки. З огляду на відсутність до цих пір основного принципу теорії струн (подібного до принципу загальної коваріантності в загальній теорії відносності), остаточна форма теорії струн, виражена у вигляді дії (вторинне квантування струни), також невідома.

Незважаючи на це, широко розглядаються різного типу ефективні теорії струн, які застосовні в області низьких енергій нижче енергії Планка частинок (слабкої взаємодії). В залежності від напрямку руху різних осциляційних мод струни, а також числа суперсиметрій, існують такі ефективні теорії: бозонна (без суперсиметрії), типу І, типу ПА, типу ІІВ, крім того, гетеротична S0(32) і E8 x E8. Усі ці теорії формулюються в 26 (бозонна) або в 10 (суперструнна) часопросторових вимірах, проте звичайно припускається компактифікація додаткових вимірів і розглядаються тільки 4 макроскопічні виміри.

Однією з найбільш інтригуючих властивостей теорії суперструн є дуальні симетрії (наприклад, Т- дуальність, S- дуальність), які дозволяють переходи від однієї ефективної теорії до іншої, а також чітко вказують, що ці ефективні теорії пов'язані між собою і складають підрозділ більш загальної теорії, названої попередньо М-теорією. М-теорія формулюється в 11 часовопросторових вимірах, а її ефективною теорією є 11-вимірна супергравітація. В теоріях суперструн з'являються різні, не обов'язково відомі до цього часу частинки (їм можна надати прийменник "струнної природи"). Спільний сектор суперструнних теорій складають безмасові моди: гравітон (його існування свідчить, що теорія струн включає квантову гравітацію), дилатон (скалярне поле типу Бранса-Діка), а також аксіон (поле Неве-Шварца (NS-NS) з потенціалом, який є 2-формою). Цікавою є отримана за допомогою компактифікації супергравітації на орбіфолді теорія Ходжави-Віттена, котру ідентифіковано з границею сильної взаємодії для гетеротичної теорії Е8 х Е8. В цій теорії істотним є те, що калібрувальні поля пропагуються у 10 часопросторових вимірах, в той час як гравітація пропагується в усіх 11 вимірах.

Теорія суперструн є сильно розвиненою математичною теорією. Однак для масштабу енергії, якого вона стосується, не можна виконати жодного експерименту на існуючих в світі прискорювачах (хоч недавно розглядались певні надзвичайно низькоенергетичні ефекти теорії, сконструйованої в аналогії до теорії Ходжави-Віттена). Тому дуже важливою є розробка передбачень теорії суперструн, що стосуються великомасштабної структури Всесвіту, а також інших ефектів, які могли залишити видимі до сьогодні наслідки - як релікти попередньої фази еволюції. Останні спостереження супернових зірок типу Іа у віддалених галактиках наводять на думку про необхідність включення матерії з від'ємним тиском (наприклад, додатна космологічна стала), як одного із субстратів Всесвіту. Мотивацію до такої матерії можна знайти тільки в теоріях елементарних частинок (до них належить і теорія суперструн), при цьому виявляється, що подібні результати можна отримати й при аналізі різних галузей теорії суперструн в контексті космології. Ці проблеми складають предмет поданої дисертаційної роботи.

В останні кілька років значно зросла зацікавленість суперструнними космологіями і здобувач включився в ці дослідження, співпрацюючи з колегами в цілому світі. Про актуальність і великий інтерес до цієї тематики свідчить кількість цитувань в роботах інших авторів на праці здобувача, які включені до дисертації. Ці праці (роки 1997-2000) мають таку кількість цитувань (без автоцитувань): праця [1] - 21 цитування, праця [2] - 10 цитувань, праця [3] - 11 цитувань, праця [4] - 3 цитування, праця [5] - 2 цитування, праця [6] - 3 цитування, праця [9] - 3 цитування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тема дисертації пов'язана з тематикою наукових досліджень, що виконувались у Відділі космології й теорії гравітації Інституту фізики Шецінського університету в рамках проекту "Космологічні моделі в різних теоріях гравітації"" (1992-1999 р.р.) і фінансувались Комітетом наукових досліджень Польщі. Крім того, вона є предметом двох грантів автора, які реалізовувались при частковій співпраці з закордонними науковими центрами (університет Сассекс у Великій Британії, університет Оденсе в Данії та Харківський фізико-технічний Інститут). Це гранти "Класичні і квантові струни в різних часопросторах" N2 РОЗВ 196 10 (1996-1998 р.р.) і "Космологічні аспекти теорії суперструн та М-теорії" N2 РОЗВ 105 16 (1999-2001 р.р.). Деякі дослідження, подані в цій дисертації, фінансувались також в рамках проектів Королівського товариства (Велика Британія), Німецького бюро академічного обміну (ФРН) та НАТО.

Мета дисертаційної роботи

З самого початку виникнення теорій, уніфікуючих фундаментальні взаємодії (від уніфікації Салама-Вайнберга до моделі суперструн), існує велика відмінність поміж стандартним підходом до космології (де, по суті, розглядається феноменологічний субстрат матерії у Всесвіті) і підходом, що виникає з глибшого фізичного розуміння світу на базі теорії елементарних частинок. Дана дисертація в однією із спроб заповнити цю прогалину.

Її головну мету можна сформулювати так:

- дослідження впливу частинок, існування яких виникає з теорії, що уніфікує взаємодії - конкретно теорії суперструн, на глобальну космологічну еволюцію Всесвіту;

- дослідження можливостей, сконструйованих на базі теорії суперструн космологічних моделей, в розв'язанні стандартних проблем космології, а саме: проблеми початкової особливості, ізотропії фонового випромінювання і виникаючої звідси ізотропії розподілу галактик;

- дослідження питання про принципові відмінності між стандартними космологічними моделями і моделями, сконструйованими на базі теорії суперструн (наприклад, поява хаотичної поведінки).

Наукова новизна одержаних результатів.

В дисертації знайдено найзагальніший клас неособливих космологічних моделей Фрідмана, для якого допускаються осциляції масштабного множника поміж двома скінченими значеннями. Цей клас отримується для просторово замкнутих моделей з матерією у вигляді доменних стінок і з від'ємним космологічним членом (енергія вакууму). Унікальним є розгляд квантовомеханічиого ефекту тунелювання (макроскопічного) в точку максимального розширення для таких моделей.

Знайдено також дві явні космологічні моделі з неоднорідним тиском, які потім порівнюються з астрономічними спостереженнями супернових зірок типу Іа. Це перша спроба порівняння неоднорідних моделей Всесвіту із спостереженнями.

В дисертації вперше досліджувалась еволюція струн в космологічних часопросторах, складніших ніж ізотропні часозмінні Фрідмана . Стосується це класу однорідних часопросторів тину Б'янчі. Цей розгляд є повністю оригінальним - навіть після опублікування автором результатів розрахунків ніхто не зробив спроби їх узагальнити.

Цілком новаторським є також розгляд еволюції нульових струн як нульового наближення струн, що розтягуються, в цих часопросторах. Цей же метод нульових струн був застосований до дослідження еволюції струн в часопросторі Шварцшильда. Оригінальний розв'язок автора для нульової струни на фотонній сфері був використаний, в свою чергу, в пертурбарційній схемі О. Желтухіна. Розв'язок в часопросторі Шварцшильда пізніше був поширений на випадок Керра та більш загальні.

Щодо суперструнних космологій, то вперше було досліджено вплив аксіона на еволюцію космологічної моделі Кантовського-Закса. Унікальними є також дослідження космологічних моделей типу Гьодля (до першого порядку за '), так само як і знаходження класу моделей Гьодля без замкнутих часових петель. Тут була подолана перешкода на шляху до дальших узагальнень.

Іншим, повністю започаткованим в дисертації новим аспектом є детальна дискусія про можливість появи хаотичної поведінки в космологічних моделях типу Великого Змішування, що будуються на базі теорії суперструн. Стосується це як спільного сектора частинок для ефективних взаємодій типу ІІА, ІІВ, і гестеротичного (гравітон, дилатон, аксіон), так й взаємодії Ходжави-Віттена. В останньому випадку вперше обговорено явний розв'язок у формі Каснера, який виходить за ізотропні розв'язки. Питання можливості появи хаотичної поведінки розвиваються також іншими дослідниками.

Питання квантової космології струн, в яких розглядаються мінісуперпростори з додатною і від'ємною кривизною, або аксіонним полем, також повністю нові. Це саме стосується і завдання граничних умов в області слабкої взаємодії замість завдання цих умов в області сильної взаємодії, як це робилося раніше. Нарешті, розгляд струнних мінісуперпросторів з анізотропною геометрією здійснений вперше.

Практичне значення одержаних результатів.

Знайдені здобувачем явні розв'язки для нульових струн в часопросторі Шварцшильда дали можливість іншим дослідникам проаналізувати більш складні випадки. Стосується це як суперструнних космологій - космологічних моделей Гьодля, так і хаотичного режиму в моделях Великого Змішуваня.

Застосування методу нульових струн в пертурбаційному контексті є потужним знаряддям при дослідженні поведінки струн, що розтягуються, у викривлених просторах.

Положення, що в припущенні елементарного анзатцу для аксіона неможливою є ізотропізація моделі Кантовского-Закса, має велике значення при знаходженні верхньої спостережуваної межі на кількість матерії в аксіонній формі у попередньому Всесвіті. Подібне положення, що при такому анзатці аксіона його взагалі не можна узгодити з геометрією Великого Змішування, дає простий висновок про відсутність впливу цієї частинки на можливу хаотичну поведінку в околі початкової особливості.

Особистий внесок здобувача.

У роботах, виконаних спільно із співавторами, вклад здобувача визначається наступним чином.

Здобувач застосував метод нульових струн до вивчення еволюції струн у викривлених часопросторах [2]. Знайшов розв'язок для такої струни, що рухається на фотонній сфері у часопросторі Шварцшильда, а також два явні асимптотичні розв'язки, які наближаються до цієї сфери, аналогічно до випадку фотонів, що обертаються навколо чорної дірки [2]. Крім того, знайшов декілька явних розв'язків для еволюції нульових струн та струн, що розтягуються, в просторах Кантовського-Закса (на основі отриманого раніше розв'язку для моделі з нестисливою рідиною [19]), а також у вісесиметричних просторах Б'янчі IX. Здобувач ввів постулат про застосування т.зв. еліптичного анзатцу для струни, що еволюціонує у часопросторі Б'янчі І [4].

В суперструнних моделях здобувачеві належить явний космологічний розв'язок для моделі Кантовського-Закса з дилатоном і аксіоном в припущенні анзатцу солітона [1]. Здобувач самостійно знайшов явні розв'язки для космології суперструнних Гьодля, що не містять замкнутих часових петель, опрацював метод генерації розв'язків такого типу в моделях першого порядку за ' [6].

Здобувачеві повністю належить ідея розгляду моделей Великого Змішування в межах спільного сектора суперструнних теорій, і зв'язку відсутності прояву хаосу в цих моделях з існуванням симетрії дуальності [5,7,8]. Доведення відсутності прояву хаотичної поведінки в моделях Ходжави-Віттена також належить здобувачеві [9].

Нарешті, здобувач був автором і виконавцем розгляду рівняння Віллера-де Вітта, знайшов деякі розв'язки цього рівняння для випадку однорідних геометрій типу Б'янчі І, IX і Кантовського-Закса [10].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких наукових зустрічах:

International Seminar on Mathematical Cosmology (Роtsdam, 1998), International Conference Beyond the Standard Model (DESY, Hamburg, 1998), 2nd ICRA Workshop The Chaotic Universe (Rome-Pescara, 1999) 1st International Conference Chaos in Dynamical Systems}(Miкdzyzdroje, 1999), 2nd International Conference Chaos in Dynamical Systems (Miкdzyzdroje, 2000), IX Marcel Grossmann Meeting (Rome, 2000), SSQFT2 Conference (D.V.Volkov Memorial) (Kharkov, 2000).

Окремі результати були темами семінарів, проведених автором в університеті Сассекс (Велика Британія, 1993, 1994, 1996-1998), університеті Портсмута (Велика Британія, 1996, 1998); університеті Грайфовальда (ФРН, 1998), Вроцлавського університету (Польща, 1990-1992, 1998, 1999), Варшавського університету (Польща, 1999), Шецінського університету (Польща, 1992-1999), університету Неаполя (Італія, 1999), університету Бонна (ФРН, 1996), університету Фрайбурга (ФРН, 1996), університету Лондона (Велика Британія, 1997).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 44 роботи. Список праць, котрі містять основні положення дисертації, що виносяться на захист, приведено в кінці автореферату. Він налічує 22 статті та 2 електронних препринти.

Структура і об'єм дисертації.

Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 241 посилань. Повний обсяг дисертації - 277 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі аналізується стан обраної для досліджень проблеми, обґрунтовується її актуальність. Проводиться також короткий огляд літератури, відзначається новизна отриманих результатів та їх практичне значення.

Перший розділ

В першому розділі коротко обговорено основні проблеми стандартної космології, відомі під назвами проблем горизонту (ізотропність мікрохвильового фону при великих кутових розмірах), плоскості або початкових умов (близькість до нуля початкової кривизни Всесвіту) і надмірної поширеності монополів (усупереч з теорією великої уніфікації, яка передбачає існування величезної кількості магнітних монополів, останні залишаються до цих пір експериментальне не виявленими). Усі ці проблеми з'явилися в результаті протиріч між передбаченнями теорії і даними спостереження. Найважливішим тут є проблема горизонту, яка виникає з факту спостережуваної високої ізотропії мікрохвильового випромінювання фону на кутових розмірах, значно більших, ніж розміри причинно зв'язаних між собою у минулому просторі. Стандартною космологією вважається започаткована у праці А. Ейнштейна теорія, в якій він подав перший космологічний розв'язок на підставі отриманого ним раніше рівняння поля загальної теорії відносності, відомий сьогодні під назвою статичної моделі Ейнштейна. "Закінчується" ж стандартна теорія роботами А. Гута і А. Лікде. Математичні основи стандартної космології, крім Ейнштейна, були представлені А. Фрідманом, який довів, що найзагальніший розв'язок рівнянь Ейнштейна не є статичним, а також, що Всесвіт еволюціонує в часі. Пізніше цей результат був підтверджений Е. Хабблом при спостереженні червоного зсуву в спектрах віддалених галактик. Спостережуване розширення Всесвіту з необхідністю свідчить, що в попередньому він був густішим, а оскільки так, то усі частинки були ближчі одна до одної і, відповідно, Всесвіт мав вищу температуру. Звідси виникла концепція гарячого Всесвіту, найважливішим експериментальним підтвердженням якої було спостереження мікрохвильового випромінювання фону, як релікту фази, в якій матерія була іонізованою.

Поряд з працями Гута і Лінде, на початку вісімдесятих років була започаткована теорія, відома сьогодні під назвою інфляційної космології. Інфляційна космологія розв'язує три основні проблеми стандартної космології (горизонту, плоскості і надмірної поширеності монополя), однак залишає нерозв'язаними інші проблеми (наприклад, проблема відповідного вибору потенціалу для інфлатону, проблема початкової особливості та інші). Відсутність розв'язання цих проблем дала мотивації до конструювання космологій, які б спиралися на більш фундаментальні теорії уніфікації взаємодій. Ними є теорії суперструн. Останні є головною проблемою даної дисертації.

В підрозділі 1.2 коротко розглянуто основний набір космологічних розв'язків рівнянь Ейнштейна на основі однорідної і ізотропної метрики Робертсона-Волкера. Космологічні розв'язки, які називають моделями Фрідмана, отримуються в припущенні, що матерія яка заповнює Всесвіт, може бути описана тензором енергії-імпульса ідеальної рідини. Проте стандартними вважаються такі моделі Фрідмана, які отримуються для матерії у вигляді пилу (тиск р = 0) і які розпочинаються з початкової особливості. В підрозділі 1.2 подано загальний космологічний розв'язок (за допомогою еліптичних функцій) для рівнянь Ейнштейна як з матерією з додатним тиском (пил р = 0, випромінювання р = (1/3) , де - густина енергії), так і з т.зв. екзотичною матерією, яка допускає від'ємний тиск (космічні струни р = -(1/3) , доменні стінки р = -(2/3) , космологічна стала р = - = -). Далі в підрозділі 1.2 увагу зосереджено на окремому класі рівнянь (для просторово замкнутих моделей), який допускав можливість уникнути початкової і кінцевої особливості - еволюція Всесвіту характеризується осциляціями між двома скінченими значеннями масштабного множника а(t). Для отримання такого розв'язку тензор енергії-імпульса повинен містити матерію у вигляді від'ємної космологічної сталої < О і доменних стінок. Виявляється, що осциляції допускають такі важливі процеси попереднього Всесвіту, як рекомбінація зарядів і нуклеосинтез у формі, яка не суперечила б спостереженням.

В підрозділі 1.2 вивчено також можливість квантовомеханічного макроскопічного тунелювання Всесвіту в точці його максимального розширення до розглянутого раніше осциляційного режиму. Головна ідея виглядає так: Всесвіт розширюється від початкової особливості доходячи до точки максимального розширення, де наступає тунелювання до стану, в якому Всесвіт осцилює поміж двома скінченими значеннями масштабного множника. Далі, в точці мінімального стискання може наступити "ретунелювання" до стану, в якому Всесвіт починає стискуватись до кінцевої особливості. Ідеї застосування квантової механіки до космології започатковані Фоміним і розвинені пізніше Віленкіним, Хартлі і Хокінгом. В підрозділі 1.2 розраховано імовірність такого тунелювання і доведено, що вона істотно залежить від величини космологічної сталої (енергії вакууму). Важливим результатом тут є факт, що зміна стану Всесвіту за рахунок тунелювання відбувається без зміни складу субстрату матерії (в розглянутому випадку визначено кількість матерії у формі доменних стінок і космологічної сталої).

В підрозділі 1.2 розглянуто також проблему горизонту в моделях Фрідмана з космологічним членом . Показано, що врахування невеликого космологічного члена, який має місце на сучасному етапі еволюції Всесвіту, не дозволяє розв'язати проблему горизонту, хоча при цьому й зростає розмір причинно зв'язаних між собою областей в епосі рекомбінації.

Остання частина підрозділу 1.2 присвячена дослідженню впливу екзотичної матерії (доменні стінки, космічні струни , текстури і космологічна стала) на кутові розміри анізотропії випромінювання фону, які відповідають збуренню густини з розмірами, що дорівнюють розмірам типової галактики в ері рекомбінації (т.зв. малокутове анізотропне випромінювання фону, виражене в секундах дуги). Розрахунки показують, що доменні стінки і космічні струни у кілька разів збільшують розмір анізотропії, що не суперечить даним спостереження. З іншого боку, допущення космологічного члена збільшує розмір анізотропії у багато разів, і тому дані спостережень можуть бути використані для визначення верхньої границі кількості матерії у Всесвіті в формі космологічної сталої.

В підрозділі 1.3 розглянуто узагальнені космологічні моделі, в яких зроблено відхід від Космологічного Принципу (однорідність та ізотропність простору). В найзагальнішому випадку такі моделі цілком неоднорідні, проте, з огляду на можливості розрахунку, розглянуто лише їх сферично-симетричні випадки. Однак, це дає можливість отримати цілком загальні результати, хоча б в такому випадку, коли спостерігач знаходиться поза центром симетрії. Ці так звані моделі Стефані, характеризуються неоднорідністю тиску, тобто тиск є однаковим на концентричних сферах, що оточують центр симетрії, але змінюються радіально від сфери до сфери. Іншими словами, в цих моделях виступає градієнт тиску, який може спричиняти ефект притягання (або відштовхування) між частинками у Всесвіті. В моделях Стефані крім особливостей густини (Великий Вибух) можуть виступати особливості іншого типу, які називаються особливостями тиску.

Мотивація до розгляду таких узагальнених моделей Всесвіту має сенс при умові несуперечливості із даними спостережень. В підрозділі 1.3 запропоновано дві сферично-симетричні моделі Стефані, досліджено їх глобальні властивості (за допомогою діаграм Пенроуза), а потім розглянуто узагальнений закон Хаббла (співвідношення між зсувом до червоної границі спектру спостережуваних галактик з прозорістю спостереження цих галактик). Розрахунок закону Хаббла дозволив зробити спробу порівняння передбачень моделі з неоднорідним тиском і надзвичайно важливих спостережень зірок типу Іа. Якщо застосувати спостережувальні дані до моделі Фрідмана, то отримуємо результат, що еволюція Всесвіту повинна бути прискореною. Відповідно до рівнянь Ейнштейна це можливе для форм матерії з від'ємним тиском, про яку згадано в підрозділі 1.2 (космологічна стала, космічні струни або доменні стінки).

В підрозділі 1.3 виявилось, що спостережувальні дані про супернові не суперечать неоднорідним моделям з від'ємним тиском, і, що цікавіше, можуть дати вік Всесвіту на 3-5 гігароків довший, ніж відповідні моделі Фрідмана з екзотичними формами матерії. Це важливо, оскільки останні вимірювання віку сферичних утворень показали, що вони дуже близькі до віку Всесвіту. Неоднорідні моделі Стефані дають також альтернативне пояснення прискореній експансії Всесвіту - у центрі симетрії Всесвіту (або локальної неоднорідності) існує тиск, вищий ніж поза центром симетрії, і тому усі частинки відштовхуються з центра назовні. Цей тиск залежить від точки простору і часу, в той час як в моделях Фрідмана тиск залежить тільки від часу. Треба підкреслити, що в кожному з випадків мотивацію від'ємного, або залежного від точки простору тиску, треба шукати в теорії елементарних частинок (вакуум), а тому також, відповідно, в теорії суперструн.

Другий розділ дисертації містить опис еволюції тестових струн у викривлених часопросторах. Класично еволюція струн в часопросторі Мінковського відображається через дію Намбу-Гото, або рівноважну дію Полякова

, (1)

де Т = 1/2, x0 = і x1 = - просторово- і часо-подібні координати струни, - 2-вимірна метрика світової поверхні (а,b = 0,1), ( 0,1,... D - 1) - координати світової поверхні струни, що поширюється в 0-вимірному просторі Мінковського з метрикою . Спінори на світовій поверхні позначаються а - 2 х 2 матриці Дірака з алгеброю . Основна різниця поміж еволюцією точкової частинки і еволюцією струни полягає в тому, що струна замість світової лінії утворює в часопросторі світову поверхню. Рівняння руху являють собою складну систему спряжених нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку, яка є інтегрованою лише у спеціальних випадках.

Знаходження багатьох явних розв'язків для еволюції струн в цьому розділі є можливим, зокрема, для випадку нульових струн (такі об'єкти вперше розглядали ще в 1977 році Шільдом). На основі результатів, отриманих для нульових струн, зроблено певні якісні висновки для струн масивних (по-іншому, з напруженням - часом вживають назви ненапружений й напружений). Нульові струни так співвідносяться із струнами масивними, як безмасові частинки з частинками масивними, при цьому роль маси тут відіграє напруження струни Г, котре є обернено пропорційне до параметра Редже ' (докладно T = 1/('), , где , - фундаментальна довжина струни). Ця аналогія не є, однак, повною, оскільки точкова частинка (як безмасова, так і масивна) взаємодіє лише з гравітаційним полем і перехід до границі нуля маси є в цьому сенсі гладким. У випадку ж струни маємо справу як із взаємодією струни і гравітаційного поля, так і з самовзаємодією масивної струни. Самовзаємодія зникає для нульової струни, і, отже, граничний перехід до нульового напруження не є таким гладким. Проте, навіть нульові струни проявляють нетривіальні динамічні властивості, оскільки, як об'єкти протяжні, в гравітаційному полі підлягають дії припливних сил. Виникає тут повна аналогія з пучками світлових променів в теорії Ейнштейна, на які, згідно з рівнянням Рейчавдурі, діють припливні сили. Звичайно знаходження явної еволюції для нульової струни не є складним завданням, оскільки рівняння руху для неї таке ж, як і рівняння нульової геодезичної в теорії Ейнштейна. Але тут мають місце додаткові в'язі, яких немає в теорії Ейнштейна, а це є причиною можливої нетривіальної динаміки нульових струн.

В підрозділі 2.2 знайдено форму явної еволюції пробної струни (як масивної, так і нульової) в часопросторах Кантовського-Закса, Б'янчі І і вісесиметричному Б'янчі IX. Для цих розв'язків зроблено припущення (анзатц) про кільцеву форму струни. Існує три типи розв'язків. В найпростішому випадку струна просто збільшується і зменшується разом з експансією і колапсом Всесвіту. В другому розв'язку струна виконує скінчену або нескінчену кількість осциляцій під час еволюції Всесвіту, а в третьому - скорочення струни є строго рівноважна експансія Всесвіту у випадку, коли фізичний розмір струни є постійним.

Іншою цікавою проблемою, яка обговорюється в Розділі 2, є твердження, що в часопросторі типу Б'янчі І припущення про еліптичну форму струни веде до неузгоджених рівнянь руху. На перший погляд така форма (анзатц) струни повинна ідеально підходити до часопростору, в якому експансія є анізотропною. Нами видається, що існуюча ситуація є наслідком самовзаємодії струни (для струн масивних) і припливних сил (для нульових струн), котрі таку конфігурацію роблять неможливою.

Найцікавішим результатом Розділу 2 в знаходження явного розв'язку, який описує нульову струну, що рухається від полюса до полюса на фотонній сфері часопростору Шварцшильда з координатами

, (5)

котрі означають, що струна може рухатись вертикально від південного полюса до північного і в такий спосіб навиватися на фотонну сферу (г = ЗМ). Тут маємо справу із якісно цілком новим ефектом. Точкова частинка в часопросторі Шварцшильда завжди рухається в площині, яка проходить через початок координат. Для нульової струни це не має місця - як ціле вона не рухається в жодній площині, що проходить через початок координат, в той же час кожна її точка зокрема, рухається власне так. Це можна зрозуміти, якщо прийняти до уваги, що нульова струна певної форми (а тут взято форму кільця) не має напруження і може трактуватись як рухома система безмасових точкових частинок. Показано, що цей ефект залежить від того, чи автоматично задовольняються певні в'язі. Як уже згадувалось у зв'язку із зникненням само-взаємодії для нульової струни, границя нульового, напруження для струни є якісно іншою, ніж для точкової частинки, яка взаємодіє лише з гравітаційним полем.

Крім того, в Розділі 2 обговорена можливість отримання явних розв'язків для напружених струн. Наприклад, доведено, що для напруженої струни не може існувати розв'язок, для якого радіальна координата є сталою. Фізичну причину цього факту слід вбачати в самовзаємодії струни.

В останній частині Розділу 2 для знаходження зв'язку між описом нульової струни і струни масивної, яка рухається на фотонній сфері, - явного розв'язку знайденого раніше в підрозділі 1.2, застосовано пертурбаційну схему Рощупкіна і Желтухіна. Виявилось, що пертурбаційна схема є досконалою, якщо в якості малого параметра прийняти , де М є масою Шварцшильда. Отримане рівняння з точністю до першого порядку за параметром є можна розв'язати за допомогою функцій Бесселя. У випадку незалежної від часу першої поправки для радіальної координати г, в інших координатах з'являються осциляції, викликані ненульовим напруженням струни. Знаходяться вони на поверхні фотонної сфери і не спричиняють її деформації. Відповідно, радіальна поправка описує невелику деформацію фотонної сфери, викликану ненульовим напруженням струни. Успішне застосування пертурбаційної схеми до часопростору Шварцшильда дає підстави сподіватися на її можливе використання при розгляді інших більш складних часопросторів.

Предметом третього розділу дисертації є обговорення різноманітних космологічних моделей, отриманих на базі спільного сектора частинок для ефективних суперструнових взаємодій. Обмежуючись нульовим порядком в розкладі за , Каллан та інші розрахували функції ренормалізаційної групи і, таким чином, отримали ефективне рівняння для бозонної струни в наближенні дерев. Це ефективне рівняння можна отримати і з ефективної класичної взаємодії, яка в найнижчому порядку за і без аксіона є нічим іншим, як відомою в теорії Бранса-Діка взаємодією з параметром . Як відомо з теорії Бранса-Діка (по-іншому її називають скалярно-тензорною теорією), взаємодію можна записати в двох конформне зв'язаних системах відліку, т.зв. системі Йордана і системі Ейнштейна. В теорії струн ці системи відповідають т.зв. системі' струн і системі Ейнштейна. В контексті теорії струн система струн вважається фундаментальною в тому розумінні, що тільки її потрібно використовувати при розгляді частинок з енергіями, близькими до шкали Планка. У віддалених більших від довжини Планка обидві системи можна вважати рівноправними. В теорії Бранса-Діка гравітаційна стала G є обернено-пропорційною до поля Бранса-Діка. В ефективній теорії струн ситуація є подібною, при тому що поле Бранса-Діка замінюємо на поле дилатона , і, що важливіше, виконує роль константи взаємодії. При великих значеннях поля дилатона взаємодія є сильною, і це визначає границю застосовності ефективної теорії. В свою чергу, для малих значень поля дилатона взаємодія є слабкою і ефективна теорія може бути застосованою.

Явні ізотропні космологічні розв'язки типу Фрідмана, що ґрунтуються на бозонних ефективних взаємодіях в системі струн, були на початку 90-х років представлені Гасперіні і Венеціано. Зв'язаний з ними сценарій розвитку Всесвіту відомий під назвою космології перед-Великим-Вибухом (prе-Віg-Bang cosmology). Назва походить від того, що такі розв'язки означені не тільки для додатних значень часу (при умовному нулеві даного моменту часу (t= 0), але й для часів від'ємних, які в стандартній космології не мають фізичного змісту. Для аналізу загальних властивостей моделі досить обмежитись моделлю з рівною нулеві просторовою кривизною. Еволюції в часі підлягає як масштабний множник, так і дилатон. При ' цьому з'являються чотири можливості, які звичайно називають гілками еволюції. Кожна гілка еволюції масштабного множника має відповідну гілку еволюції дилатона, що дає разом вісім зв'язаних гілок. Розглядаючи це в термінах масштабного множника, можна сказати, що існують дві гілки для від'ємних часів і дві гілки для часів додатних, і кожна з них описує або розширення (експансію), або стискання (зменшення) Всесвіту (рис. 1).

, , (6)

де а(t) - масштабний множник. В момент часу t= 0 маємо справу з особливістю кривизни (скаляр Річчі є розбіжним) і особливістю сильної взаємодії () . Цю точку можна означити так само як і в стандартній космології - Великий Вибух. В моделях з додатною кривизною простору, крім того що масштабний множник прямує до безмежності для часів нескінчених , з'являється друга особливість кривизни і відповідав вона Великому Колапсу в стандартній теорії. Запропонована Гасперіні і Венеціано ідеологія космології перед-Великим-Вибухом полагає в тому, що початкова фаза є фазою з тривіальним вакуумом Мінковського (слабка взаємодія, мала кривизна). Ця ідеологія надає перевагу моделям плоским, або просторово відкритим.

Рис. 1: Схематичне зображення космології перед-Великим-Вибухом. Існує чотири можливі типи еволюції масштабного множника а(t), які називаємо гілками. Еволюція дилатона якісно така ж. Гілки 1-3 і 2-4 пов'язані між собою симетрією дуальності. Гілка 1 є суперінфляційною, в той час як гілка 4 в деінфляційною і описує звичайну променисту еволюцію Всесвіту. Всесвіт розпочинається асимптотично тривіальним станом вакууму Мінковського (), кривизна в якому є малою, а взаємодія слабкою, з тим, щоб після того перейти через суперінфляційну фазу, викликану кінетичною енергією дилатона, досягаючи особливості кривизни і сильної взаємодії в момент часу (t= 0). Регуляризація за допомогою вищих струнових поправок повинна дозволити "вийти" з фази суперінфляції і перейти до фази променистої еволюції.

Реалізацією симетрії дуальності (точніше, Г-дуальності) в космології перед-Великим-Вибухом є т.зв. дуальність масштабного множника, звана також O(d,d) симетрією, яка вперше розглядалася Мейснером і Венеціано. Вона дає інваріантність ефективних рівнянь при заміні масштабного множника на зворотний до нього, тобто , разом з відповідною заміною дилатона (зв'язок поміж гілками 1-3 і 2-4 на рис. 1). Ця симетрія, разом з симетрією відбиття в часі, дає зв'язок між гілкою експансії 1 в моменти часу t<0 і гілкою експансії 4 в моменти часу t>0. Детальний аналіз похідних масштабного множника показує, що гілка 1 є інфляційного типу (тобто ), її називають суперінфляцією, в той час як гілка 4 є зростаючою і може описувати стандартну променисту еволюцію Всесвіту. Ці гілки розділяються особливістю сильної взаємодії і Кривизни; вони складають головну базу запропонованого сценарію розвитку Всесвіту. Вважається, що ця особливість може бути регуляризована, наприклад, вищими струновими поправками (в і струнових петлях). Однак, перехід від гілки 1 до гілки 4 завжди треба розглядати як проблему "елегантного виходу" з суперінфляційної фази. Істотним аспектом суперінфляції є факт, що, на відміну від стандартної інфляції, викликаної виключно потенціальною енергією скалярного поля - інфлятона, в сценарії перед-Великим-Вибухом суперінфляція викликається лише кінетичною енергією дилатона, оскільки в лагранжіані маємо лише кінетичний член. Це звільняє розглянутий нами сценарій від проблеми з вибором потенціалу.

Слід підкреслити, що існування 4 типів еволюції Всесвіту, а також суперінфляції, має місце лише в системі струн. В системі Ейнштейна суперінфляція відповідає простому зменшенню Всесвіту, з особливістю тут не відбувається нічого. Звідси виникає питання, чи в системі струн мають місце якісь додаткові ефекти, яких немає в системі Ейнштейна. Цих питань торкаємось в Розділі 3 дисертації.

В підрозділі 3.2 на основі геометрії Кантовського-Закса досліджено ефективні рівняння бозонної теорії. Знайдено декілька явних розв'язків еволюції конденсату струн як без аксіона, так і з аксіоном, підтверджуючи при цьому, що часопростір Каптовського-Закса є добрим струновим вакуумом. Звичайно, нема жодних проблем з узгодженням дилатона із симетричними геометріями (ізотропними або анізотропними), оскільки це ефективне поле в тензорі енергія-імпульс може трактуватись як густа матерія. Проте виявилось, що включення аксіона до рівнянь поля створює проблеми в анізотропних часопросторах. Це поле узагальнює електромагнітне поле на триіндексні об'єкти (3-форма ), а чотирипотенціал - на двоіндексний об'єкт (2-форма , так що ). Тут існують дві можливості. Якщо антисиметричний потенціал не є функцією часу, то тоді напруженість поля аксіона повинна бути функцією часу , і аксіон може бути легко введений до рівнянь. Такий вибір називається солітонним анзатцем. Застосування солітонного анзатцу дозволяє без труднощів ввести аксіон до геометрії Кантовського-Закса, і, в аналогії до дилатона, трактувати його ефективно, як густу матерію. Проте виглядає, що як і в електромагнітному полі, тут головну роль повинен відігравати потенціал , який для однорідних геометрій треба вибирати як функцію часу. Тобто напруженість поля повинна бути функцією просторових координат. Такий вибір називаємо елементарним анзатцем.

В підрозділі 3.2 доведено, що в припущенні елементарного анзатцу, при прямуванні часу до безмежності аксіон робить неможливою ізотропізацію анізотропної моделі Кантовського-Закса, оскільки існує одна з його складових () і яка є виділеною. З усією очевидністю це суперечило б спостереженням мікрохвильового випромінювання фону. Виглядає, що не можна просто нехтувати полем аксіона, оскільки, якщо довіряємо теорії струн, не можна знехтувати однією з головних частинок безмасового спектру цієї теорії, котра має типово "струнову" природу і не виступає в жодній з інших теорій. В цьому ж підрозділі подано також багато явних космологічних розв'язків для випадків як без поля аксіона, так і з полем аксіона для обох анзатців: солітонного і елементарного. Заслуговує на увагу обговорення цих розв'язків в контексті симетрії дуальності. Ця симетрія приймає тут менш тривіальний вигляд, ніж для ізотропних моделей, змішуючи між собою масштабні множники, поля дилатона і аксіона.

В підрозділі 3.3 йдеться про те, що елементарний анзатц взагалі не може бути застосований до однорідного часопростору типу Б'янчі IX (ВІХ) навіть у вісесиметричному випадку. Цей висновок є правильним, оскільки він дає можливість, в припущенні солітонного анзатцу, ізотропізувати модель. Головна увага в підрозділі 3.3 присвячена дослідженню космологічних моделей Б'янчі IX, що конструюються на базі ефективних бозонних взаємодій в околі особливості. Як відомо, в теорії Ейнштейна вакуумні (точніше, з матерією іншою, ніж густа рідина, тобто , де р - тиск, а - густина енергії) моделі ВІХ при наближенні до особливості ведуть себе хаотично. У випадку моделі з густою рідиною р = хаос зникає. В теорії струн взаємодія може бути записана в системі Ейнштейна, або в системі струн. Показано, що в системі Ейнштейна моделі ВІХ з дилатонним полем поводять себе як моделі з густою рідиною і, отже, не проявляють хаосу. Але, з огляду на зміни масштабу і появу симетрії дуальності, постало питання, чи будуть ці моделі хаотичними в системі струн. Для відповіді на це питання застосовано гамільтонові методи, в яких еволюція Всесвіту зводиться до еволюції частинки в потенціальній ямі з похило наростаючими стінками. В теорії Ейнштейна частинка, що знаходиться у вакуумі, може нескінчену кількість разів відбиватись від стінок, при цьому за кожним разом наростав невизначеність початкових умов, що є проявом хаосу. У випадку моделі з густою рідиною