???????? ?????????????? ??????
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
МАЗОРЧУК Володимир Степанович
УДК 512.553.1
ЗОБРАЖЕННЯ ГРАДУЙОВАНИХ
АЛГЕБР ЛІ ТА ЇХ УЗАГАЛЬНЕНЬ
01.01.06 - алгебра і теорія чисел
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ-2000
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Київському національному університеті
імені Тараса Шевченка
Офіційні опоненти:
ГУДІВОК Петро Михайлович, доктор
фізико-математичних наук, завідувач кафедри
алгебри Ужгородського державного
університету, м.Ужгород
ОНІЩІК Аркадій Львович,
доктор фізико-математичних наук,
професор кафедри алгебри
Ярославльського державного університету,
м. Ярославль, Російська Федерація
САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, доктор фізико-математичних наук,
провідний науковий співробітник
Інституту математики НАН України, м.Київ
Провідна установа:Львівський державний університет
ім. І.Франка, м.Львів
Захист відбудеться “ 28 ” квітня 2000 р. о 14 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка за адресою
01127, м. Київ-127, проспект акад. Глушкова, 6,
Київський університет імені Тараса Шевченка,
механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського
національного університету імені Тараса Шевченка
(вул. Володимирська, 58).
Автореферат розіслано “_24_”___березня____1999 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ___________________ А.П.Петравчук
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Класичні модулі Верма над (напів)простими комплексними скінченновимірними алгебрами Лі було введено в розгляд у докторській дисертації Верма Verma D.N. Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras // Bull. AMS, 74 (1968), 160 -166., де також було досліджено деякі базові властивості цих модулів. Зокрема, Верма навів деякі достатні умови входження одного модуля Верма у інший в якості підмодуля. Принциповим моментом розвитку теорії модулів Верма стала класична робота Бернштейна, Гельфанда та Гельфанда И.Н.Бернштейн, И.М.Гельфанд, С.И.Гельфанд, Структура представлений, порождённых векторами старшего веса // Функц. анализ и прилож., 5 (1971), 1 - 9., в якій необхідна умова, розглянута Верма, була поширена до критерія (який, насправді, був сформульований самим Верма у якості гіпотези). Отриманий критерій, який тепер називається БГГ-критерієм вкладеності одного модуля Верма в інший, формулюється в термінах дії групи Вейля, яка відповідає алгебрі Лі, на просторі, дуальному до підалгебри Картана, який параметризує модулі Верма. А саме, модуль Верма M() вкладається у модуль Верма M() тоді та тільки тоді, коли від до можна дістатись додатніми цілочисельними послідовними відбиттями відносно додатніх коренів.
В двох подальших роботах И.Н.Бернштейн, И.М.Гельфанд, С.И.Гельфанд, Об одной категории g-модулей // Функц. анализ и прилож., 10 (1976), 1 - 8. I.N.Bernstein, I.M.Gelfand, S.I.Gelfand Differential operators on the base affine space and the study of g-modules // in I.M.Gelfand, ed., Publ. Of 1971 Summer School in Math., Janos Bolyai Math. Soc., Budapest, 21 – 64., присвячених вивченню модулів Верма, було отримано два наступних знаменитих результати, в яких модулі Верма відігравали головну роль. Тут йдеться, по-перше, про БГГ-резольвенту простого скінченновимірного модуля за допомогою модулів Верма. Компоненти цієї резольвенти визначаються чисто комбінаторно, використовуючи властивості порядку Брюа на групі Вейля. По-друге, мова йде про знамениту категорію O, дослідження якої (про нього ще піде мова) стимулювало розвиток цілої низки алгебраїчних теорії у 80-ті та 90-ті роки.
Ще у початковій роботі був помічений тісний зв’язок між властивостями категорії O та комбінаторикою групи Вейля. В роботі було доведено, що категорія O природнім чином розкладається в пряму суму повних підкатегорій, кожна з яких, в свою чергу, еквівалентна категорії модулів над деякою скінченновимірною асоціативною алгеброю. Модулі ж Верма природньо з’являються в категорії O, саме за їхньою допомогою описуються прості об’єкти. А що саме головне, як виявилось, модулі Верма займають у категорії O певну проміжну позицію між проективними та простими модулями. Цей факт є змістом знаменитої теореми про БГГ-дуальність у категорії O, яка стверджує, що кожен проективний модуль має фільтрацію, фактори якої ізоморфні модулям Верма; причому, підрахунок кількості входжень певного модуля Верма, як підфактора у фільтрацію деякого проективного модуля, зводиться до обчислення кратності відповідного простого модуля у початковому модулі Верма.
Наступним базовим результатом в теорії модулів Верма стало доведення на початку 80-х років A.Beilinson, J.Bernstein, Localization de g-modules, C.R. Acad. Sc. Paris, 292 (1981), 15 - 18. J.L.Brylinsky and M.Kashiwara, Kazhdan-Lusztig conjecture and Holonomic systems, Inv. Math., 64 (1981), 387 - 410. знаменитої гіпотези Каждана-Люстіга D.Kazhdan and G.Lusztig, Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, Inv. Math., 53 (1979), 165 - 184. про кратність входження простих модулів у модулі Верма. Ця гіпотеза дала нескладний комбінаторний алгоритм індуктивного обчислення кратностей за допомогою комбінаторики групи Вейля, пов’язаною з алгеброю Лі. Методика доведення була дуже нетривіальною і застосовувала глибокі результати з алгебраїчної геометрії та з теорії голономних диференціальних рівнянь. Щоправда, варто зауважити, що остаточний результат було доведено лише для певного (проте - найбільш складного і цікавого) класу модулів Верма з цілочисельними параметрами. Поширити результат на всі модулі запропонованими методами не вдавалось.
Заповнення цієї прогалини мусило чекати ще близько десяти років до виходу класичної роботи Сьоргеля W.Soergel, Kategorie O, perverse Garben und Moduln ueber den Koinvarianten zur Weulgruppe. (German)
[Category O, perverse sheaves and modules over the coinvariant for the Weyl group], J.AMS, 3 (1990), 421 - 445., в якій він спромігся звести загальну проблему дослідження кратностей у модулях Верма до вже відомих випадків шляхом глибокого вивчення вже згадуваної категорії О. Ще з оригінальної роботи БГГ було відомо, що категорія О природнім чином розбивається на пряму суму блоків (тобто повних підкатегорій) зі скінченною кількістю простих об’єктів у кожному блоці. Зафіксувавши деякий блок категорії О, Сьоргель встановив, що він еквівалентний деякому блоку категорії О, модулі Верма якого мають цілочисельні параметри. Щоправда, при застосуванні подібної еквівалентності, як правило, виникає потреба замінити початкову алгебру Лі іншою (меньшої розмірності). З урахуванням доведення класичної гіпотези Каждана-Люстіга це повністю розв’язувало питання про кратності простих модулів у довільних модулях Верма. Крім цього, згадувана робота Сьоргеля також містила детальну комбінаторну конструкцію скінченновимірних асоціативних алгебр, які відповідають блокам категорії О.
Аналізуючи вплив описаної теорії модулів Верма на інші галузі математики, ми підкреслимо, що саме ця теорія стимулювала подальше дослідження многовидів Шуберта, превратних пучків, когомологій перетину та інше. Вивчення структури категорії О призвело у середині 80-х років до появи поняття квазі-спадкової алгебри (чи еквівалентного поняття категорії старшої ваги) E.Cline, B.Parshall and L.Scott, Finite-dimensional algebras and highest weight categories, J.Reine Angew. Math., 391 (1988), 85 - 99.. Це дозволило підвести спільну основу до деяких питань, які до тих пір вивчались абсолютно різними методами, як-то: категорія O, алгебри Шура, зображення алгебраїчних груп у додатній характеристиці, зображення квантових груп та інше. Крім цього, вивчення деяких властивостей категорії О A.Beilinson, V.Ginzburg and W.Soergel, Koszul duality patterns in representation theory, J. AMS, 9 (1996), 473 - 527. привернуло увагу до вивчення Кошульових алгебр та Кошульової дуальності у категоріях. Крім іншого, було показано, що категорія О має багато симетричних властивостей, наприклад, вона співпадає зі своєю дуальною у сенсі Кошуля і у сенсі Рінгеля W.Soergel, Character formulas for tilting modules over Kac-Moody algebras, Repr. Theory 1 (1997), 115 - 132.. Крім зазначених властивостей категорії О, самі модулі Верма знайшли декілька важливих застосувань у теоретичній та квантовій фізиці L.Dolan, Why Kac-Moody algebras are interesting in Physics, Lectures in Appl. Math., 21 (1985), 307 - 323. P.Goddar, D.Olive, Kac-Moody and Virasoro algebras in relation to quantum physics, Int. J. Mod. Phys., 148 (1992), 403 - 416..
Паралельно до вивчення класичних модулів Верма сама конструкція модулів Верма постійно узагальнювалась, і отримані об’єкти, як правило, природньо називали узагальненими модулями Верма. Спочатку це були певні фактори звичайних модулів Верма, які розглядались як модулі, індуковані з простого скінченновимірного модуля над деякою параболічною підалгеброю A.Rocha-Caridi, Splitting criteria for G-modulesinduced from a parabolic and a Bernstein - Gelfand - Gelfand resolution of a finite-dimensional, irreducible G-modules. Trans. AMS, 262 (1980), 335 - 366.. Потім конструкцію було узагальнено і на модулі, які не мають ні старшої, ні молодшої ваги В.Футорний, Весовые представления полупростых конечномерных алгебр Ли, Дисс. Канд. Физ-Мат. наук, Киев, 1986.. Природньо виникало питання про перенесення класичних результатів про модулі Верма на узагальнені модулі Верма. Для узагальнених модулів Верма зі старшою вагою було отримано майже повний список результатів, аналогічних відомим результатам про модулі Верма, зокрема, було сформульовано та доведено аналог гіпотези Каждана-Люстіга L.Casian, D.Collingwood, Kazhdan-Lusztig conjecture for generalized Verma modules, Math. Z., 195 (1987), 581 - 600. . На відміну від таких модулів, теорія узагальнених модулів Верма, які не мають старшої (або молодшої) ваги, залишалась у зароджувальному стані. Проте, вже на той час важливість цієї теорії була абсолютно зрозумілою, хоча б завдяки Теоремі Фернандо D.Fernando, Lia algebra modules with finite-dimensional weight spaces I, Trans. AMS, 322 (1990), 757 - 781. (яку у випадку серійних простих алгебр Лі було передоведено і посилено у згадуваній кандидатській дисертації В.Футорного). Остання Теорема описувала всі прості вагові модулі зі скінченновимірними ваговими підпросторами над простими скінченновимірними алгебрами Лі, розбиваючи їх на два великі класи: перший з них, це так-звані щільні модулі, тобто модулі, носій яких займає повну вагову решітку; другий, це прості фактори узагальнених модулів Верма, індукованих з простих щільних модулів над деякою параболічною підалгеброю. Отже, робота Фернандо зводила вивчення простих вагових модулів зі скінченновимірними ваговими підпросторами до вивчення щільних модулів і до вивчення узагальнених модулів Верма. Проблема опису всіх щільних модулів зі скінченновимірними ваговими підпросторами нещодавно розв’язана О.Метью O.Mathieu, Classification of irreducible weight modules, Preprint, Strasbourg University, 1997.. Отже, наприклад, для завершення повного опису простих вагових модулів зі скінченновимірними ваговими підпросторами необхідно з’ясувати будову відповідних узагальнених модулів Верма.
Початок досліджень, пов’язаних з узагальненими модулями Верма, які не мають ні старшої, ні молодшої ваги, приходиться на вже неодноразово згадувану кандидатську дисертацію В.Футорного та на спільну статтю В.Футорного та А.Колмана A.Coleman, V.Futorny, Stratified L-modules, J.Algebra, 163 (1994), 219 - 234.. Дисертація містила лише загальне визначення узагальнених модулів Верма та їх базові структурні властивості. В статті з А.Колманом розглядались декілька питань, пов’язаних з центральним характером узагальнених модулів Верма, особливо індукованих з параболічної підалгебри, напівпроста частина фактора Леві якої ізоморфна sl(2,C). Крім іншого, було також визначене певне узагальнення категорії О, в якій проміжна роль відводилась саме узагальненим модулям Верма, індукованим з простого щільного sl(2,C)-модуля (який автоматично не має ні старшої, ні молодшої ваги). Проте, для отриманої категорії вдалося лише встановити розклад у пряму суму повних підкатегорій, які еквівалентні категоріям модулів над скінченновимірними асоціативними алгебрами. Подальша спроба перенести на це узагальнення, наприклад, теорему про БГГ-дуальність V.Futorny, D.Pollack, A new category of Lie algebra modules satisfying the BGG-duality principle, Comm. Alg., 22 (1994), 213 - 227., виявилась невдалою (згадувана робота містить суттєву помилку). Варто ще також згадати роботу про узагальнений гомоморфізм Харіш-Чандри Ю.А.Дрозд, С.А.Овсиенко, В.М.Футорный, S-гомоморфизм Хариш-Чандры и G-модули, порождённые полупримитивными элементами, Укр. Мат. Журн., 42 (1990), 1032 - 1037., яка була написана саме для спрощення досліджень, пов’язаних з модулями Верма, та описувала властивості центральних характерів узагальнених модулів Верма.
Наступним кроком в дослідженнях даного напрямку стала кандидатська дисертація автора В.Мазорчук, Будова узагальнених модулів Верма, Дис. Канд. Фіз.-Мат. наук, Київ, 1996., в якій досліджувалися вагові узагальнені модулі Верма над алгеброю sl(n,C), індуковані з параболічної підалгебри, напівпроста частина фактора Леві якої ізоморфна sl(2,C). Основними результатами дисертації стали: узагальнення БГГ-критерію про вкладеність на узагальнені модулі Верма у термінах дії групи Вейля алгебри Лі на множині параметрів узагальнених модулів Верма та побудова БГГ-резольвенти і обчислення формули Вейля для характерів деяких простих підфакторів узагальнених модулів Верма. В ході досліджень, зокрема, з’ясувалось, що поняття скінченновимірного простого модуля має два різні природні узагальнення на -розшаровані узагальнені модулі Верма. В кандидатській дисертації було опрацьовано більш простий випадок цього узагальнення і питання про більш складний випадок (котрий був би до того ж і трішечки більш природній) залишалося відкритим. На час початку даного дисертаційного дослідження наведений список вичерпував результати, відомі про узагальнені модулі Верма.
Як правило, вивчення усіх узагальнених модулів Верма одночасно є досить складною задачею. Тому на першому етапі має сенс розглянути деякі сімейства узагальнених модулів Верма, які визначаються певним класом простих модулів, з яких узагальнені модулі Верма індукуються. Так і відбувалося з хронологічної точки зору. Першим природнім класом узагальнених модулів Верма були модулі, індуковані з простих скінченновимірних модулів над параболічною підалгеброю. Природнім розширенням класу скінченновимірних модулів є клас вагових модулів зі скінченновимірними ваговими підпросторами, який, наприклад, містить клас -розшарованих модулів у випадку індукування з алгебри sl(2,C). Інший клас модулів, які узагальнюють прості скінченновимірні модулі (правда лише для алгебри sl(n,C)), було визначено порівняно недавно в роботах Ю.Дрозда, В.Футорного та С.Овсієнка Ю.А.Дрозд, С.А.Овсиенко, В.М.Футорный, Модули Гельфанда-Цейтлина над алгеброй Ли sl(3), Функ. Анализ и его прил., 23 (1989), 57 – 58. Yu.A.Drozd, S.A.Ovsienko and V.M.Futorny, Harish-Chandra subalgebras and Gelfand-Zetlin modules, Math. And Phys. Sci., 424 (1994), 72 – 89.. Це сімейство модулів, яке було назване модулі Гельфанда-Цейтліна, пов’язується з класичним результатом Гельфанда і Цейтліна И.М.Гельфанд, М.Л.Цейтлин, Конечномерные представления группы унимодулярных матриц, Докл. АН СССР, 71 (1950), 1014 – 1016. про існування канонічного ортонормованого базису в довільному простому скінченновимірному sl(n,C)-модулі. Дія породжуючих елементів алгебри sl(n,C) в цьому базисі записується у простому комбінаторному вигляді за допомогою нескладних поліноміальних формул, які тепер називають формулами Гельфанда-Цейтліна. Грубо кажучі, модулі Гельфанда-Цейтліна загального положення складають клас усіх простих модулів, в яких існує (нескінченний) аналог ортонормованого базиса, дію твірних елементів алгебри в якому можна записати за допомогою формул Гельфанда-Цейтліна. Ці модулі дуже близькі за деякими своїми властивостями до скінченновимірних модулів, і їх основною перевагою є те, що конкретний запис у вигляді формул дозволяє порівняно просто проводити обчислення і підраховувати приклади з такими модулями. Отже, прості модулі Гельфанда-Цейтліна загального положення складають природній клас простих модулів, для яких можна спробувати вивчити будову узагальнених модулів Верма.
Перейдемо тепер до структур, які природньо виникають в теорії зображень алгебр Лі. Перший крок - це перехід до більш звичних асоціативних алгебр. З кожною алгеброю Лі природнім чином пов’язана асоціативна універсальна обгортуюча алгебра, яка є нескінченновимірною навіть у випадку скінченновимірної початкової алгебри Лі. Зображення обох алгебр знаходяться у природній взаємно-однозначній відповідності. Універсальні обгортуючі алгебри простих алгебр Лі, таким чином, складають природнє сімейство нескінченновимірних асоціативних алгебр, які природнім чином градуйовані (за допомогою градуювання, яке походить від системи коренів алгебри Лі), і зображення яких можна досліджувати, використовуючи як абстрактні методи асоціативних алгебр, так і методи алгебр Лі. Природнім чином виникає питання про пошук нескінченновимірних асоціативних алгебр, які були б, в деякому сенсі, близькі до універсальних обгортуючих алгебр, та, крім того, на які можна було б переносити та узагальнювати результати, вже відомі для універсальних обгортуючих алгебр. Одним з таких узагальнень стало введення поняття узагальненої алгебри Вітта V.Bavula, Generalized Weyl algebras and their representations, St. Pet. Math. J., 4 (1993), 71 - 92., яке визначило широкий клас нескінченновимірних асоціативних алгебр, який, з одного боку, містив усі класичні алгебри Вейля та, з іншого боку, містив деякі універсальні обгортуючі алгебри та їх квантові деформації. Основним результатом цього узагальнення стала спільна класифікація усіх простих модулів над узагальненими алгебрами Вейля рангу один. Крім іншого, це передоводило знамениті результати Блока про класифікацію простих модулів над першою алгеброю Вейля та над sl(2,C) R.Block, The irreducible representations of the Lie algebra sl(2,C) and of the Weyl algebra, Adv. Math., 9 (1981), 69 - 110., пояснювало їх схожість та поширювало їх на весь клас узагальнених алгебр Вейля. Проте, далеко не всі універсальні обгортуючі алгебри могли бути природньо зображеними у вигляді універсальних алгебр Вейля. Це стосувалося, в основному, прямих степенів алгебри sl(2,C), тому в 1991 році Ю.Дрозд на Київському алгебраїчному семінарі поставив проблему пошуку більш широкого узагальнення універсальних обгортуючих алгебр, яке б містило узагальнені алгебри Вейля та, крім того, універсальні обгортуючі алгебри деяких серійних простих алгебр Лі, наприклад sl(n,C). Це питання, насправді, досить тісно пов’язане з вивченням простих вагових модулів та узагальнених модулів Верма над алгебрами Лі. Наприклад, одним із методів отримання змістовних деформацій універсальних обгортуючих алгебр є розглядання операторних алгебр, пов’язаних з певним одноманітним методом запису деякого сімейства модулів, наприклад, з методом Гельфанда-Цейтліна запису простого скінченновимірного модуля над алгеброю sl(n,C).
Переносити на асоціативний випадок можна не лише властивості самої універсальної обгортуючої алгебри, а також і деякі властивості її модулів, наприклад, існування БГГ-резольвенти. Для квазі-спадкових алгебр спробу подібної абстрактизації поняття БГГ-резольвенти було зроблено С.Кьонігом S.Koenig, Cartan decomposition and BGG-resolution, Manuscr. Math., 86 (1995), 103 – 111., який, крім іншого, отримав критерій існування БГГ-резольвенти для довільного простого модуля заданого блоку категорії О. Цікавість та важливість цієї задачі пояснюється ще й тим, що у загальному випадку побудова проективної резольвенти простого модуля над деякою асоціативною алгеброю (наприклад, алгеброю шляхів) є дуже важкою задачею з одного боку E.Green, R.Huang, Projective resolutions of straightening of closed algebras generated by minors, Adv. Math., 110 (1995), 314 – 395. (в хороших випадках якої відповідь, як правило, формулюється у термінах складної геометричної реалізації C.Feustel, E.Green, Constructing projective resolutions, Comm. Alg., 21 (1993), 1869 – 1887.), але, з іншого боку, інформація про проективну резольвенту автоматично може дати багато цікавої інформації про саму алгебру, наприклад, про її кошулевість, глобальну розмірність та таке інше. Останні ж властивості є дуже важливими в застосуваннях Yu.Manin, Topics in non-commutative geometry, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1991..Таким чином природньо виникає питання про знаходження нових серій асоціативних алгебр, побудова проективних резольвент простих модулів над якими може бути здійснена методами, схожими до побудови класичної БГГ-резольвенти.
Грунт останньої проблеми, про яку піде мова, найбільш класичний. Основною задачею теорій зображень є класифікація усіх зображень певного математичного об’єкту. Ця задача дуже часто просто нерозв’язна (або, в термінології теорії зображень - дика Ю.Дрозд, О ручных и диких матричных задачах, сб. “Матричные задачи” под ред. Ю.Митропольского, Киев, 1977, 104 – 114.), а тому, як перше наближення, спочатку розв’язується задача класифікації простих (незвідних) модулів. Для скінченновимірних асоціативних алгебр остання задача проста, проте, у випадку алгебр Лі, які, як ми вже згадували, відповідають нескінченновимірним асоціативним алгебрам, ця задача також може бути дуже складною (чи дикою). Отже, навіть при дослідженні простих модулів над алгебрами Лі починають з їх грубої класифікації, або, скажімо, виділення певних “природних” класів модулів (вагові, унітаризовні, інше), та дослідження окремо модулів кожного класу. У випадку градуйованих алгебр Лі, або градуйованих асоціативних алгебр, найбільш природнім класом модулів є градуйовані модулі. Якщо градуювання алгебри Лі проводилося по відношенню до деякої картанівської підалгебри, відповідні градуйовані модулі називають ваговими (у діагоналізовному випадку), або узагальнено-ваговими (у загальному випадку). Перевага поняття просто градуйованого модуля в його широкій загальності, яка автоматично переноситься на квантові групи, узагальнені алгебри Вейля та інше.
Знову ж таки, навіть класифікація простих вагових (градуйованих) модулів над фіксованою алгеброю може виявитись або важкою, або безнадійною. Наприклад, для простих скінченновимірних алгебр Лі лише нещодавно було завершено класифікацію простих вагових модулів зі скінченновимірними ваговими підпросторами O.Mathieu, Classification of irreducible weight modules, Preprint, Strasbourg, 1997.. Отже, природньо виникає питання про грубу класифікацію вже самих вагових (градуйованих) модулів. Виявляється, одним з інваріантів, за допомогою яких можна розрізняти певні вагові модулі (крім іншого, і за їх властивостями), є носій модуля, тобто, множина параметрів градуювання, котрі параметризують ненульові градуйовані компоненти. Вперше це питання природньо і незалежно виникло в роботах Д.Фернандо D.Fernando, Lie algebra modules with finite-dimensional weight spaces I, Trans. AMS, 322 (1990), 757 – 781. та В.Футорного В.М.Футорный, Весовые представления полупростых конечномерных алгебр Ли, Дисс. Канд. Физ.-Мат. Наук, Киев, 1986. (ми вже коротко згадували ці результати при обговоренні модулів Верма, оскільки вони мають відношення і до них; тут ми зупинимося на них більш детально). До того ж, Фернандо застосував отриманий опис носія простого модуля до задачі класифікації усіх простих модулів, звівши її, як ми вже говорили, до вивчення простих факторів узагальнених модулів Верма та так-званих щільних модулів, тобто модулів з максимально можливим носієм (який, в свою чергу, збігається з суцільною ваговою решіткою). Основним результатом Фернандо була дихотомійна теорема, яка стверджувала, що довільний простий ваговий модуль зі скінченновимірними ваговими підпросторами над простою скінченновимірною алгеброю Лі є або щільним (у сенсі, визначеному вище), або простим підфактором узагальненого модуля Верма, індукованого зі щільного модуля над деякою параболічною підалгеброю. Результат Футорного був, з одного боку, трошки сильнішим, бо не вимагалась скінченновимірність вагових підпросторів, але, з іншого боку, доведення Футорного працювало лише для серійних алгебр Лі (тип A, B, C, D). Нещодавно, Теорему Футорного було поширено на загальний випадок I.Dimitrov, O.Mathieu, I.Penkov, On the structure of weight modules, to appear in Trans. AMS.. З точки зору будови носія модуля згадуваний результат означає, що носій простого вагового модуля над простою скінченновимірною алгеброю Лі або збігається з ваговою решіткою для щільного модуля, або займає “не більше як половину” решітки для простого фактора узагальненого модуля Верма.
Для простих скінченновимірних алгебр Лі описане питання повністю вирішене. Існує неопублікований результат І.Пєнкова, який переносить Теорему Футорного на афінні алгебри Каца-Муді, і цим історія відомих результатів закінчується. Проте, існує велика кількість інших градуйованих нескінченновимірних алгебр, для яких аналогічне питання виникає природнім чином. Це тороїдальні алгебри, алгебри Вітта і їх узагальнення, алгебра Вірасоро і її узагальнення та інше.
Взагалі, теорія зображень нескінченновимірних алгебр Лі розвинена набагато меньше за відповідну теорію для скінченновимірних алгебр. Навіть для найбільш класичних ситуацій – алгебр Вітта та Вірасоро відомо не дуже багато. Найбільш вивченим класом є афінні алгебри Каца-Муді V.Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Third edition, Cambridge University Press, 1990. та алгебри Вітта і Вірасоро B.Feigin, D.Fuchs, Representations of the Virasoro algebra, in: “Representations of Lie groups and algebras”, Adv. Stud. Cont. Math., 7, Gordon and Breach, New York, 1990, 447 – 554.. Вивченню алгебр Каца-Муді присвячені десятки тисяч журнальних статей і серед них, крім вже згадуваної книжки Каца, має сенс ще згадати структурну теорему про будову модулів Верма над контраградієнтними алгебрами V.G.Kac, D.A.Kazhdan, Structure of representations with highest weight of infinite-dimensional Lie algebra, Adv. Math., 34 (1979), 97 – 108.. З алгеброю Вірасоро ситуація простіша. Найвідомішими результатами для неї є класифікація модулів Харіш-Чандри O.Mathieu, Classification of Harish-Chandra modules over the Virasoro algebra, Inv. Math., 107 (1992), 225 – 234., класифікація унітаризовних модулів зі старшою вагою D.Friedan, Z.Qui, S.Shenker, Details of non-unitarity proof for highest weight representations of the Virasoro algebra, Comm. Math. Phys., 107 (1986), 535 – 542., та, знову ж таки, теорема про будову модулів Верма Б.Л.Фейгин, Д.Б.Фукс, Модули Верма над алгеброй Вирасоро, Функц. Анализ и его прилож., 17 (1983), 91 – 92..
Існує багато різних узагальнень алгебр Вірасоро та Вітта, серед яких найбільш природніми є так-звані алгебри Вірасоро вищого рангу J.Patera, H.Zassenhaus, The higher rank Virasoro Algebras, Comm. Math. Phys., 136 (1991), 1 – 14. та узагальнені алгебри Капланського-Вітта I.Kaplansky<Seminar on simple Lie algebras, Bull. AMS, 60 (1954), 470 – 471.. Вони отримуються природнім перенесенням визначальних формул у алгебрі Вірасоро (Вітта) на випадок градуювання вільною абельовою групою рангу більше за один. На момент початку дисертаційного дослідження про такі алгебри було відомо зовсім мало, зокрема, теорія зображень була практично не розвинутою.
Зауважуючи на попередній опис, природньо виникає питання про носій простого вагового (градуйованого) модуля над такими алгебрами. Вже на прикладі алгебри Вірасоро виникає нова можливість – в класичній проміжній серії простих модулів Харіш-Чандри для алгебри Вірасоро Y.Su, Harish-Chandra modules of the intermediate series over the high rank Virasoro algebras and high rank super-Virasoro algebras, J. Math. Phys., 35 (1994), 2013 – 2023. (приклад легко переноситься на узагальнені алгебри Вірасоро вищого рангу) існує простий модуль, носій якого рівно на один елемент меньше за повну вагову решітку. Якщо перенести термінологію з випадку скінченновимірних алгебр Лі, ми матимемо, що такий модуль не є ні щільним, ні фактором узагальненого модуля Верма. Отже, довільна спроба перенесення результатів Фернандо-Футорного на нескінченновимірні алгебри має починатись з вгадування правильного розподілу можливостей для носіїв простих вагових модулів. Наприклад, для алгебри Вірасоро неважко отримати (результат ніде не опубліковано, а тому, він наведений у вступній частині дисертації з повним доведенням), що усі можливості носія простого вагового модуля вичерпуються: повною ваговою решіткою (як і раніше, такі модулі називаються щільними), ваговою решіткою, в якій бракує рівно одного елемента (проколоті модулі), точкою (тривіальний модуль), та носієм модуля Верма. Прості аргументи, які застосовуються у випадку алгебри Вірасоро рангу один, на випадки вищого рангу не переносяться.
Крім описаної проблеми дослідження форми носія простого вагового модуля над згадуваними нескінченновимірними алгебрами, залишається і стара проблема дослідження узагальнених модулів Верма, а в більшості випадків, навіть класичних модулів Верма.
В дисертаційній роботі саме вивчаються проблеми, на які зосереджувалася увага вище, а саме, дослідження будови узагальнених модулів Верма над простими скінченновимірними та нескінченновимірними градуйованими алгебрами, дослідження будови модулів Верма над нескінченновимірними градуйованими алгебрами, формулювання та дослідження узагальнень універсальних обгортуючих алгебр, опис носія простого вагового модуля над нескінченновимірними градуйованими алгебрами.
Мета роботи. Метою роботи є дослідження будови узагальнених модулів Верма над градуйованимим алгебрами Лі, зокрема, їх незвідності та вкладеності один в один. Перенесення на модулі Верма класичних результатів, пов’язаних з формулами Вейля та Демазюра для характерів, БГГ-резольвенти та фільтрації Шуберта. Визначення узагальненої категорії О, в якій узагальнені модулі Верма відігравали б проміжну роль між простими та проективними модулями. Дослідження нескінченновимірних та скінченновимірних алгебр Лі, які виникають при вивченні узагальнених модулів Верма. Зокрема, отримання часткової класифікації простих модулів, узагальнення методу Гельфанда-Цейтліна та обчислення глобальної розмірності таких алгебр. Вивчення будови простих вагових модулів над деякими нескінченновимірними градуйованими алгебрами Лі: зокрема, опис структури носія простого вагового модуля над цими алгебрами.
Наукова новизна. В дисертаційній роботі автором отримані нові теоретичні результати, зокрема:
Описано підмодульну будову -розшарованих узагальнених модулів Верма над напівпростими комплексними алгебрами Лі. Зокрема, отримано аналог БГГ-критерію для існування нетривіальних гомоморфізмів між двома -розшарованими узагальненими модулями Верма.
отримано критерій існування нетривіальних гомоморфізмів між двома узагальненими модулями Верма над алгеброю Лі sl(n,C), індукованими з модуля Гельфанда-Цейтліна загального положення над деякою параболічною підалгеброю.
Отримано критерій незвідності узагальнених модулів Верма в наведених вище прикладах.
Отримано табличну реалізацію модулів Верма та узагальнених модулів Верма загального положення.
Обчислено детермінант узагальненої форми Шаповалова, асоційованої з -розшарованими узагальненими модулями Верма над контраградієнтними алгебрами Лі з добре вкладеною sl(2,C)-підалгеброю. На основі цього отримано загальний аналог БГГ-Теореми для контраградієнтних алгебр.
Отримано достатню умову незвідності довільного узагальненого модуля Верма.
Отримано формулу Демазюра для характерів простих факторів -розшарованих узагальнених модулів Верма та побудовано відповідну фільтрацію Шуберта (останнє для алгебри sl(3,C)).
Побудовано БГГ-резольвенту простого фактора -розшарованого узагальненого модуля Верма над простою алгеброю Лі, діаграма Динкіна якої не має кратних зв’язків.
Побудовано різні узагальнення категорії О, пов’язані з параболічною підалгеброю. Доведено, що блоки відповідних категорій еквівалентні категоріям модулів над квазі-спадковими скінченновимірними алгебрами.
Обчислено глобальну розмірність категорії модулів над алгебрами інцидентності, пов’язаними з регулярними CW-комплексами. Доведена кошулевість таких алгебр. Обчислено глобальну розмірність деяких факторалгебр таких алгебр.
Визначено поняття скручених узагальнених алгебр Вейля і класифіковано вагові модулі без скруту над такими алгебрами.
Введено та досліджено ортогональні алгебри Гельфанда-Цейтліна, які узагальнюють обгортуючі алгебри. Досліджено певні класи вагових модулів над такими алгебрами, зокрема, в часткових випадках побудовано та досліджено відповідну категорію О.
Досліджено будову модулів типу Верма над узагальненими алгебрами Вітта та алгебрами Вірасоро вищого рангу. Побудовано резольвенти простих модулів зі старшою вагою та обчислено формули характерів.
Описано носій простого вагового модуля над узагальненими алгебрами Вітта, Вірасоро, q-аналогом алгебри Вірасоро та узагальненою алгеброю Капланського, все рангу 2.
Описано два класи унітаризовних модулів над узагальненою алгеброю Вірасоро.
Описано носій простого вагового обмеженого модуля Харіш-Чандри над узагальненими алгебрами Вітта та алгебрами Вірасоро вищого рангу.
Описано носій простого вагового модуля над тороїдальними алгебрами, пов’язаними з sl(2,C).
Побудовано та досліджено клас простих вагових модулів над q-аналогом алгебри Вірасоро.
Всі ці результати отримано вперше.
Теоретична та практична цінність дисертації. Робота має теоретичний характер. Результати можуть бути використані в подальших дослідженнях з теорії алгебр Лі, теорії зображень, теоретичної фізики та функціонального аналізу.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи в різний час доповідались:
на міжнародній алгебраїчній конференції пам’яті П.Казімірського (м. Львів 1994 р.),
на міжнародній алгебраїчній конференції пам’яті М.Кравчука (м. Київ 1995 р.),
на міжнародній конференції “Симетрія у нелінійній математичній фізиці” (м. Київ 1995 р.),
на міжнародній конференції “Теорія Кілець” (м. Мішкольц, Угорщина, 1996 р.),
на міжнародній конференції з теорії зображень та комп’ютерної алгебри (м. Київ 1997 р.),
на міжнародній конференції “Будова алгебраїчних груп” (м. Кембрідж, Великобританія 1997 р.),
на міжнародній конференції “Методи нескінченновимірного функціонального аналізу” (м. Київ 1997 р.),
на міжнародній конференції “Алгебри Хопфа” (м. Брюссель, Бельгія 1998 р.),
на міжнародній конференції “ICRTA-98” (м. Білефельд, Німеччина 1998 р.),
на міжнародній конференції “Квантові групи та інтегровні системи” (м. Прага, Чехія 1999 р.),
на міжнородній конференції “Теорія зображень” ” (м. Білефельд, Німеччина 1999 р.).
Крім того, результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались на Київському алгебраїчному семінарі (1995-2000 роки), на алгебраїчних семінарах Київського університету імені Тараса Шевченка (1993-2000 роки), на алгебраїчному семінарі університету міста Страсбург (Франція, 1997 та 1999 роки), на семінарі “Зображення алгебр та квантові групи” університету міста Білефельд (Німеччина, 1996-1999 роки) та на алгебраїчному семінарі університету міста Антверпен (Бельгія, 1998-1999 роки). Результати також доповідались на алгебраїчному семінарі Інституту математики НАН України (2000 р.), на семінарі відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (2000 р.), семінарі з алгебраїчної геометрії університету міста Кайзерслаутерн (Німеччина, 1999 рік), на семінарі університету міста Лідс (Великобританія, 1999 рік), спільному алгебраїчному семінарі Білефельд-Хемніц (Німеччина, 1997 рік), спільному алгебраїчному семінарі Базель-Страсбург-Фрайбург (Швейцарія, Франція, Німеччина, 1998 рік).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 21 науковій статті, це публікації [1] -- [21] в списку робіт, який наведено в кінці автореферату.
Особистий внесок автора. Усі результати, які виносяться на захист, отримані автором самостійно. Зі спільних робіт на захист виносяться лише результати, отримані автором особисто. Співавторами спільних робіт отримано наступні результати, які на захист не виносяться: у статтях [3,9] О.Хоменку належить доведення Леми 3, у статті [4] О.Хоменку належить обчислення зміни власних значень малого оператора Казіміра під дією визначених елементів, у статті [8] О.Хоменку належать результати Частини 4, у статті [10] О.Хоменку належить конструкція, визначена в Частині 3, у статті [5] В.Футорному належить Теорема 4.5, у статті [6] В.Футорному належать результати Частини 4, у статті [7] В.Футорному належать результати Прикладу 3 в Частині 3 та Частини 5.4, у статті [11] О.Ковилянській належить доведення Леми 3, у статті [20] С.Овсієнку належить доведення Теореми 6.1, у статті [21] Л.Туровській належить формулювання та доведення Теореми 2. Деякі результати співавторів включено без доведення у текст дисертації для збереження повноти викладу матеріалу.
Структура та об’єм дисертації. Робота починається зі вступу, який, в свою чергу, містить історію досліджень, огляд основних результатів дисертації, розділ зі списком нових проблем, які виникли під час досліджень, інформацію про публікації, особистий внесок здобувача та апробацію роботи і подяки. Змістовна частина роботи складається з трьох великих розділів: “Структура узагальнених модулів Верма над простими скінченновимірними алгебрами Лі”, який містить сім параграфів, “Категорії резольвенти та фільтрації, пов’язані з узагальненими модулями Верма”, який містить п’ять параграфів та “Вагові модулі над нескінченновимірними градуйованими алгебрами”, який містить п’ять параграфів. Закінчується дисертація висновками та бібліографією. Обсяг роботи без висновків та списку літератури 265 сторінок. Список літератури складається з 345 найменувань. Загальний обсяг роботи (зі списком літератури) 290 сторінок.
ЗМІСТ РОБОТИ
Перша частина дисертації, Вступ, складається з шести параграфів. У першому з них робиться огляд історії досліджень, пов’язаних з дослідженням модулів Верма над алгебрами Лі та простих вагових (градуйованих) модулів над градуйованими алгебрами Лі. Крім цього наводяться усі попередні позначення, формулюються базові означення та встановлюються загальні домовленості. Зокрема, наводиться визначення узагальненого модуля Верма над алгеброю Лі, індукованого з деякої параболічної підалгебри. В наступних параграфах Вступу робиться короткий огляд основних результатів дисертації, формулюються результати останніх часів, які пов’язані з тематикою дисертації, наводиться апробація роботи, список публікацій з урахуванням особистого внеску здобувача та висловлюються подяки.
Першою змістовною частиною дисертації є другий розділ, який називається Структура узагальнених модулів Верма над простими скінченновимірними алгебрами Лі. Цей розділ складається з восьми параграфів, в першому з яких робиться огляд тем, які вивчаються в цьому розділі. В другому параграфі (2.3.1) вивчається будова узагальнених -розшарованих модулів Верма над простими скінченновимірними алгебрами Лі, система коренів яких не є типу G2. Такі узагальнені модулі Верма пов’язуються з деякою параболічною підалгеброю описаної алгебри Лі, напівпроста частина фактора Леві якої ізоморфна sl(2,C) та відповідає деякому простому кореню, який ми позначили . Модулі задаються парою елементів (,p), де позначає вагу твірного (-примітивного) елементу узагальненого модуля Верма, а p задає дію на нього центру алгебри U(sl(2,C)). У підпараграфі 2.2.4 вводиться у розгляд нова дія групи Вейля на множині параметрів узагальнених модулів Верма. Ця дія визначається за допомогою громіздких формул, які отримуються в попередньому підпараграфі за допомогою безпосереднього вивчення будови узагальнених модулів Верма над алгебрами Лі рангу 2 (крім G2). Позначимо через l(,p) результат дії на (,p) відбиття в групі Вейля, яке відповідає кореню . Природній частковий порядок на просторі ваг природньо індукує на множині параметрів узагальнених модулів Верма частковий порядок, який ми позначатимемо ?. Основним результатом даного параграфу є наступна теорема:
Теорема 2.2.6.1. Нехай (,p) та (,q) позначають параметри -розшарованих узагальнених модулів Верма, які належать одній компоненті незвідності дії групи Вейля на множині параметрів. Тоді наступні умови рівносильні:
M(,q) M(,p);
L(,q) є композиційним підфактором модуля M(,p);
Існує послідовність коренів 1, 2,…, k, така, що виконується
У доведенні наведеної вище теореми важливу роль відіграє наступне узагальнення відомої теореми Харіш-Чандри про центральні характери Модулів Верма, отримане у підпараграфі 2.2.5, яке навіть саме по собі досить важливе.
Теорема 2.2.5.1. Нехай (,p) та (,q) позначають параметри -розшарованих узагальнених модулів Верма, які належать одній компоненті незвідності дії групи Вейля на множині параметрів. Центральні характери модулів M(,q) та M(,p) співпадають тоді та тільки тоді, коли (,p) та (,q) належать одній орбіті дії групи Вейля.
В параграфі 2.3 неведені вище результати поширюються на випадок простої алгебри Лі типу G2. В цьому випадку алгебри рангу два безпосереднє отримання БГГ-критерію, як
