Вінницький державний технічний університет

Гассан Шобаш

УДК 519.87:621.31

математичне моделЮванНЯ

в задачах оптимізації складних динамічних систем

на основі принципу найменшої дії

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Вінниця – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Вінницькому державному технічному

університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: кандидат технічних наук, доцент

Нагул Володимир Іванович,

Вінницький державний технічний університет,

доцент кафедри електромеханічних систем

автоматизації

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Квєтний Роман Наумович,

Вінницький державний технічний університет,

завідувач кафедри автоматики і інформаційно-

вимірювальної техніки

кандидат технічних наук, доцент

Данилюк Олександр Володимирович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

доцент кафедри електричних мереж та систем

Провідна установа: Державний науково-дослідний інститут

інформаційної інфраструктури

Державного комітету зв'язку та інформатизації і

НАН України, відділ інформаційних технологій

і систем (м. Львів)

Захист відбудеться 06.07.2001 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 05.052.01 у Вінницькому державному технічному університеті за адресою:

21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Вінницького державного технічного університету за адресою:

21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

Автореферат розісланий 04.06.2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Захарченко С.М.

Загальна ХАРАКТЕРИСТИКА роботи

Актуальність теми. Інтенсифікація виробництва і технічний прогрес породжують нові проблеми при оптимізації складних систем. У першу чергу це відноситься до динамічних систем, для яких характерними є часті зміни параметрів станів, що викликаються зовнішніми і внутрішніми чинниками. Часта і швидка зміна станів таких систем потребує при оптимальному управлінні адекватних оптимізаційних дій. Невідповідність поточних і оптимальних станів призводить до значних енергетичних і матеріальних втрат. Ефективність оптимізаційних заходів багато в чому визначається тим, наскільки відповідають математична модель і обраний метод оптимізації реальним умовам функціонування системи.

При математичному моделюванні має місце певна подібність процесу, відтвореного ЕОМ, і реального процесу функціонування системи, що моделюється. Ця подібність виникає внаслідок ідентичності будови, можливих сполучень і змін станів системи, у тому числі оптимальних. Моделювання оптимальних станів у цьому випадку можливо за допомогою різних методів оптимізації, але суттєві переваги можна одержати, якщо скористатися методами, які повною мірою використовують властивості систем до самооптимізації. До таких методів відноситься оснований на варіаційному численні принцип найменшої дії (ПНД).

Проблеми математичного моделювання оптимальних станів і оптимального управління ними є особливо актуальними для електроенергетичних систем (ЕЕС), в яких процес контролю станів і керування ними здійснюється в темпі процесу. Для ЕЕС проблема ще більше ускладнюється тим, що задача оптимізації її станів має велику розмірність, а змінні, що оптимізуються, є нескалярними числами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в плані наукових досліджень, проведених у Вінницькому державному технічному університеті за програмою “Розробка системи оптимізації робочих режимів і діагностики територіально відокремлених потужних електроприводів в умовах їхнього взаємовпливу через мережу живлення” (Рішення науково-експертної Ради "Наукові основи вдосконалення виробництва, передачі та використання електроенергії" - протокол №1 від 29.01.98 р.).

Об'єктом дослідження є процес оптимізації нормальних станів складних динамічних систем. Предмет дослідження - математичні моделі в задачах оптимізації, побудовані на основі принципу найменшої дії.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є розробка методів і засобів математичного моделювання в задачах оптимізації нормальних станів складних динамічних систем на основі принципу найменшої дії.

Відповідно до зазначеної мети основні задачі, що розв'язуються в роботі, полягають в наступному:

- аналіз методів математичного моделювання в задачах оптимізації і вивчення ефективності застосування з цією метою принципу найменшої дії;

- узагальнення можливостей і шляхів використання принципу найменшої дії для моделювання оптимальних станів складних динамічних систем;

- математичне моделювання оптимальних станів складних динамічних систем з нескалярними змінними на основі принципу найменшої дії;

- розробка методу та алгоритму визначення з допомогою побудованих моделей незалежних і залежних параметрів оптимальних станів електроенергетичних систем;

- розробка критеріальних моделей оптимальних станів для узагальнення оптимальних рішень і оцінки впливу похибок математичної моделі, вихідних даних та обмежень на критерій оптимальності.

Методи досліджень. В дисертації використовуються методи теорії подібності і математичного моделювання, числові методи розв'язування систем лінійних і нелінійних рівнянь, варіаційного числення, теорія електричних систем. Алгоритми і програми, які реалізують побудовані математичні моделі оптимальних станів, базуються на елементах матричної алгебри та теорії графів.

Наукова новизна одержаних результатів. В результаті виконання даної роботи:

- показана можливість і обгрунтована доцільність застосування універсального закону природи - принципу найменшої дії - для моделювання оптимальних станів складних систем з нескалярними змінними;

- подальше розвинуто метод математичного моделювання для задач оптимізації нормальних станів систем із формуванням умов їх самооптимізації, який, на відміну від відомих методів, дозволяє оцінити глобальний мінімум за енергетичним критерієм і побудувати стратегію максимального наближення до нього;

- на основі принципу найменшої дії розроблено метод розв'язування оптимізаційних задач із нескалярними змінними, який дає можливість збільшити розмірність задач, які розв'язуються, та характеризується хорошою збіжністю і високою надійністю ітераційних процесів;

- розроблені критеріальні моделі оптимальних станів електроенергетичної системи, отриманих на основі принципу найменшої дії, а також метод оцінки чутливості оптимальних рішень до варіацій параметрів моделі та активних обмежень, що дозволяє обгрунтовано переносити оптимальні впливи на подібні стани системи.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень можуть бути використані для створення математичних моделей оптимізації нормальних станів складних динамічних систем. Особливо ефективними вони можуть бути для розробки алгоритмів визначення нескалярних параметрів оптимальних станів систем з енергетичним критерієм оптимальності (типу систем водопостачання, теплопостачання, газопостачання, електроенергетичних та електромеханічних) для задач оперативного керування.

Розроблені в дисертації математичні моделі, методи, алгоритми і програми визначення оптимальних станів ЕЕС передані для дослідної експлуатації в Південно-Західну електроенергетичну систему України і Національне енергетичне об'єднання Сирії. Вони також використовуються в навчальному процесі на кафедрі електромеханічних систем автоматизації та кафедрі електричних станцій і систем ВДТУ.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У роботах, опублікованих у співавторстві, дисертанту належить: дослідження й аналіз областей використання ПНД [4], формування критеріальних моделей для розв'язування задач чутливості оптимальних рішень, метод і алгоритми їх застосування [1,2], результати досліджень форм застосування ПНД в електротехніці й електромеханіці, метод і алгоритм застосування ПНД для моделювання оптимальних станів ЕЕС [3, 5, 6].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на Міжнародній науково-технічній конференції "Контроль і управління в технічних системах" (м. Вінниця, 1998), Міжнародній науково-технічній конференції "Development and application system" (Румунія, м. Сучава, 2000), Міжнародних науково-технічних конференціях "Проблеми створення нових машин і технологій" (м. Кременчук, 1999, м. Кременчук, 2000).

Публікації. За результатами виконаних досліджень опубліковано 6 статей, з них 4 статті в провідних наукових фахових виданнях, що входять у список ВАК.

Структура й об'єм роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (105 найменувань), містить 151 сторінку основного тексту, рисунки (25 сторінок), чотири додатки (15 сторінок).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ роботи

У вступі обгрунтована актуальність проблеми, сформульовані мета і задачі роботи, приведені основні наукові результати дослідження і показано їх практичне значення.

У першому розділі характеризується проблема прийняття оптимальних рішень у складних динамічних системах з нескалярними параметрами. Показана можливість і доцільність моделювання задачі оптимізації нормальних станів системи методом, який побудований на основі принципу найменшої дії. Досліджується можливість формування математичної моделі задачі оптимізації станів складної динамічної системи, як задачі з нескалярними змінними.

Задачі математичного програмування - це екстремальні задачі, в яких цільова функція й обмеження є скалярними співвідношеннями дійсних аргументів. Тому важливою умовою застосування методів математичного програмування є таке представлення математичних моделей, коли їхні компоненти – цільова функція, функціональні обмеження і змінні можуть бути відображені на числовій осі. Деякі технічні задачі мають нескалярну природу, тобто їх змінні визначені не на числовій осі, а на комплексній площині. Ці задачі відносяться до області дослідження нескалярних операцій. Вони є характерними для електротехніки, електроенергетики, радіоелектроніки, автоматики та інших галузей техніки. У математичному описі таких систем використовуються такі параметри як струм, напруга, потужність, коефіцієнти передачі різного роду фільтрів, коефіцієнти струморозподілу в колах складної топології є нескалярними величинами. Вони зображуються точками або векторами на комплексній площині.

Закони електричних кіл (закони Ома, Кірхгофа) і функціональні обмеження, що зв'язують електричні величини, також є нескалярними. Визначені на комплексній площині параметри станів систем мають дві характеристики: модуль і фазу. Ігнорування будь-якої з них призводить до втрати адекватності математичного опису. В задачах моделювання оптимальних станів таких технічних систем всі або деякі керовані змінні можуть бути нескалярними, а цільова функція й обмеження - нескалярними функціями комплексних або дійсних аргументів. Це їх суттєвою ознакою.

Моделювання оптимального стану системи полягає у визначенні значень залежних Y і незалежних Х параметрів режиму, при яких задовольняються рівняння стану системи

, (1)

технічні обмеження на контрольовані параметри

(2)

а функція цілі приймає найменше значення.

Тут - j-та контрольована величина; найбільше і найменше значення контрольованих величин.

Оптимальний стан визначається в результаті спільної мінімізації відхилень небалансів рівнянь (1), параметрів стану від їхніх граничних значень (2) і цільової функції оптимізації З(X, Y), тобто

. (3)

У якості функції цілі З(Х,Y) в задачах моделювання оптимальних станів системи звичайно приймають енергетичні затрати або змінні складові затрат на функціонування, що залежать від характеру системи.

В роботі показано, що коли стан системи наближати до певного ідеального (екстремального), то можна зекономити обчислювальні ресурси, якщо знати форму цього ідеального стану і прямувати до нього свідомо. Відкриття екстремальних принципів (Ферма, Гаусса, Гамільтона, Остроградського, ПНД) і моделювання на їх основі оптимальних станів оптичних та механічних систем, породило в свій час надію, що до мінімальних значень функції цілі можна йти не тільки "зверху" шляхом індукції від відомого початкового стану X(0) до оптимального Xопт (рис.1,а), а й "знизу" шляхом дедукції від екстремальних принципів (рис.1,б). Для цього досить на основі загальних міркувань знайти ту величину, яку "економить" природа в даній технічній області (тобто цільову функцію або функціонал), і відповідний екстремальний принцип. Не дивлячись на відносну простоту такого підходу, реалізувати його для конкретних технічних систем досить складно, оскільки не існує регулярних методів знаходження мінімальних значень функцій, що оптимізуються.

а) б)

Рис. 1

Разом з тим є ряд систем, де саме "непрямий" підхід до моделювання оптимальних станів має шанси на успіх. До них можна віднести в першу чергу електромеханічні та електроенергетичні системи, а також системи водо-, тепло-, газопостачання, в яких згідно з принципом найменшої дії природа “економить” втрати енергії, а мінімальне значення втрат легко знайти відносно простими методами.

У другому розділі на прикладі електроенергетичних систем проаналізовано методи і математичні моделі представлення оптимізаційних задач з нескалярними змінними у формі задач з дійсними змінними. Порівняно математичні моделі оптимальних станів систем, застосування й обмеження методів оптимізації, які найчастіше використовуються для задач довгострокового та короткочасного планування. Зокрема, досліджуються методи невизначених множників Лагранжа, градієнтні і випадкового пошуку.

Моделювання оптимальних станів складних динамічних систем методом невизначених множників Лагранжа пов'язано з розв'язуванням систем нелінійних рівнянь високих порядків.

Градієнтні методи характеризуються повільною збіжністю, накопиченням помилок округлення при великому числі обчислень. Оптимальне значення цільової функції в них залежить від початкового наближення.

Методи випадкового пошуку, незважаючи на відносну простоту обчислювальних алгоритмів, у більшості випадків, особливо при великій кількості незалежних параметрів і врахуванні функціональних обмежень, потребують покоординатної оптимізації.

Методи випадкового пошуку, як і градієнтні методи, не гарантують одержання параметрів оптимальних станів за кінцеве число ітерацій, що ускладнює їх використання.

Названі методи досить широко використовуються в електроенергетиці для довгострокового та короткострокового планування оптимальних станів енергосистем. Застосування їх в задачах оперативного управління, з огляду на вказані обмеження, залишається проблематичним.

Одним із можливих шляхів моделювання оптимальних станів для потреб оперативного управління може бути застосування принципу найменшої дії. Очевидною перевагою такого підходу є відоме (визначене з допомогою нескладних процедур) значення глобального оптимуму, до якого потрібно прямувати, виконуючи технічні обмеження.

Таким чином, відмінною рисою розробленого в роботі методу моделювання оптимальних станів систем на основі ПНД є те, що процес розпочинається з визначення економічного стану системи (безумовного мінімуму) з параметрами Xmin (див. рис.1,б). Для визначення цього стану використовуються природні закономірності, характерні для системи, яка моделюється. Введення в допустиму область і досягнення в ній Xопт може здійснюватися з використанням стандартних процедур. Ефективність їх залежить від типу системи та характеристик її стану. Обов'язковим етапом алгоритму пошуку і прийняття оптимального рішення в задачах оперативного управління є аналіз і оцінка чутливості розв'язку, знайденого з застосуванням ПНД.

Третій розділ присвячено дослідженню можливості й ефективності використання варіаційного числення та принципу найменшої дії для моделювання оптимізаційних процедур в технічних системах з нескалярними змінними.

Задача моделювання оптимального стану системи звичайно зводиться до задачі динамічної оптимізації на мінімальну вартість і полягає в мінімізації вартості дії системи протягом заданого проміжку часу або дії системи від відомого початкового стану до заданого кінцевого.

Так, якщо цільовою функцією є функція енергетичних витрат , що визначає швидкість витрат енергоресурсів у фізичному (т.у.т. /год) або вартісному (лір/год) вираженнях, то вартість роботи системи Ф за деякий період часу виразиться сумою капіталовкладень за цей період.

Цільова функція З, що підлягає мінімізації, може бути отримана інтегруванням погодинних витрат від до Т:

(4)

за умови, що моделлю фізичного процесу є рівняння

(5)

із початковими і кінцевими умовами

.

Завдання полягає у визначенні незалежних змінних управління Х(t), що мінімізують цільову функцію З за умови, що залежні змінні стану Y(t) задовольняють моделі фізичного процесу, заданої рівняннями (5), і граничним умовам. Розв'язування задачі (4) зводиться до розв'язування системи рівнянь Эйлера-Лагранжа:

, (6)

де G=f( ) є функцією Y і dY/dt; Ао, А1 - постійні коефіцієнти.

В електричних колах з резистивними елементами та джерелами струму або в схемі електричної мережі, представленій тільки активними опорами (R-схема), умовам Ейлера-Лагранжа відповідає система лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

GU=J , (7)

де G – матриця вузлових провідностей заступної R–схеми; U, J – відповідно вектори вузлових напруг та струмів.

В таких колах природній струморозподіл (економічний) завжди мінімізує сумарні втрати активної потужності за будь-яких конфігурації кола і складу джерел електричної енергії. Таким чином, задача моделювання оптимального стану системи з мінімальними втратами на кожному крокові ітераційного процесу зводиться до розв'язування системи лінійних рівнянь (7) і визначення умов, за яких економічний струморозподіл буде існувати в схемі з комплексними опорами і технічними обмеженнями на залежні та незалежні змінні.

З позицій ПНД для систем з енергетичним критерієм оптимальності цю задачу можна записати таким чином:

(8 )

за умови виконання балансних обмежень

;

,

де - втрати активної потужності в активних опорах, що моделюють джерела електричної енергії; - втрати активної потужності в електричній мережі; - вектор комплексів струмів у вітках розрахункової схеми ( - транспонований і спряжений вектори струмів у вітках); R - діагональна матриця активних опорів віток, що включає й економічні опори, які моделюють електричні станції.

Мінімальні втрати в R - схемі мають місце, якщо струми в вітках визначаються через коефіцієнти струморозподілу:

, (9)

де - матриця коефіцієнтів струморозподілу для активних складових струмів; - матриця коефіцієнтів струморозподілу для реактивних складових струмів; - перша матриця з'єднань ( транспонована перша матриця з'єднань), в якій закреслені рядки і стовпці, що відповідають генеруючим вузлам активної (реактивної) потужності. У загальному випадку (вузли, що балансують по активній і реактивній потужностях, можуть не співпадати).

Задача моделювання оптимізаційних процедур пошуку найвигіднішого стану системи з нескалярними змінними розв'язується в два етапи. На першому етапі на основі ПНД по (9) визначається економічний струморозподіл, на другому - за знайденими економічними значеннями струмів генеруючих вузлів , визначають всі інші нескалярні параметри стану системи: величини вузлових напруг, активні та реактивні потужності джерел електричної енергії. За розрахованими напругами уточнюються значення вузлових струмів J і здійснюється перехід до нової ітерації. Ітераційний процес закінчується, якщо найбільше відхилення величини струму генеруючого вузла на поточній і попередній ітераціях не перевищує наперед заданого малого числа, величина якого визначається похибкою засобів телеметрії та розрахунків.

Цільові функції в моделях оптимальних станів деяких технічних систем достатньо пологі в області екстремуму. Отже, зовсім не обов'язково при оперативному управлінні прагнути досягти глобального оптимуму. У більшості випадків достатньо ввести систему в оптимальну область, розмір якої визначається точністю вихідних даних, обчислень і т.д. Можливості оперативної зміни незалежних параметрів системи Х при оптимальному управлінні визначаються технологічними умовами експлуатації, їхнім технічним станом, ймовірністю відмов. Наприклад, з огляду на велику вартість електроенергетичних об'єктів і розміри можливих збитків через відмови в їхній роботі при оперативних переключеннях, кількість таких перемикань повинна бути обмежена або строго обгрунтована.

Оцінити вплив незалежних параметрів на величину критерію оптимальності та узагальнити таку оцінку на ряд подібних станів системи в роботі пропонується за допомогою критеріальних моделей, в яких цільова функція і параметри системи виражені у відносних одиницях, та теорії чутливості, суть яких у нашому випадку може бути зведена до наступного.

Зміни в значеннях параметрів викликають зміну вихідної характеристики, відносну величину якої наближено можна оцінити як

(10)

Для аналізу чутливості в роботі запропоновані і побудовані критеріальні моделі. Вони зв'язують параметри вузлів і віток критерієм оптимальності. Критеріальна залежність, що зв'язує втрати в ЕЕС і відхилення напруг у вузлах від їх оптимальних значень, отримана у вигляді:

, (11)

де додаткові втрати активної потужності в електричних системах за рахунок відносних відхилень напруги у вузлах від їхніх оптимальних значень на велиичину DU*; b, c, d - постійні коефіцієнти, що визначаються параметрами віток заступної схеми ЕЕС.

У такий спосіб відносні втрати активної потужності однозначно виражаються через параметри ЕЕС і відносні відхилення вузлових напруг від їхніх оптимальних значень. Представлення і аналіз додаткових втрат у критеріальній формі дає можливість визначити необхідність оперативної корекції параметрів оптимального режиму в окремих вузлах ЕЕС, виділити пріоритетні для оптимального керування рівнями напруг регулювальних пристрої, а також установити зони нечутливості регуляторів напруги (рис.2).

Рис.2

Для аналізу чутливості оптимальних рішень до обмежень в роботі отримано такі критеріальні моделі:

,

або , (12)

де ; - критерії подібності математичної моделі.

Застосування критеріальних моделей для оцінки чутливості дозволяє поширити рішення, отримані на основі принципу найменшої дії, в область рівно-економічних, що робить їх більш адаптованими до реальних умов функціонування системи.

Четвертий розділ присвячено реалізації й аналізу ефективності розроблених в роботі моделей і алгоритмів стосовно до електроенергетичних систем. Показано їхню працездатність і можливість використання при моделюванні оптимальних станів електроенергетичної системи для задач оперативного управління.

На основі ПНД розроблено метод моделювання оптимальних станів ЕЕС. Метою застосування розроблених алгоритмів є визначення значень нескалярних змінних, що забезпечують мінімальне значення цільової функції за дотримання всіх умов і обмежень, що визначають допустимість

стану системи.

На рис.3 наведена структурно-логічна схема алгоритму розрахунку оптимальних станів системи на основі ПНД. Алгоритм і програма передбачають три режими роботи. У першому - розрахунок сталого стану

ЕЕС при зафіксованих значеннях коефіцієнтів трансформації і реактивної потужності у всіх генеруючих вузлах (крім балансувального). В другому - значення реактивних навантажень джерел реактивної потужності (ДРП) визначається в межах обмежень - . У третьому - моделюється оптимальний стан ЕЕС за всіма змінними (комплексна оптимізація стану ЕЕС). До змінних, що оптимізуються, відносяться всі дійсні і уявні (модулі і фази) складові параметрів стану ЕЕС, тобто, активні і реактивні потужності генеруючих вузлів, коефіцієнти трансформації трансформаторів і модулі вузлових напруг.

За розробленою програмою для схеми 220-400 кВ ЕЕС Сирії, що містить 59 вузлів і 99 віток, та інших енергосистем виконані розрахунки сталих і оптимальних станів. Результати розрахунків підтвердили

ефективність розробленого підходу. У результаті оптимізації досягнуте зниження втрат у залежності від навантаження на 3-5%.

У роботі досліджені питання збіжності обчислювального процесу, який використовується для оптимізації з застосуванням ПНД. В основі математичних моделей, алгоритмів і оптимізаційних програм, що використовують властивості електричних кіл із резистивними елементами до самооптимізації або принцип найменшої дії, лежить розв'язання систем лінійних рівнянь. При розв'язуванні систем лінійних рівнянь вузлових напруг збіжність ітераційних процесів визначається властивостями матриці вузлових провідностей . Для збіжності методів простої ітерації і Зейделя необхідно і достатньо, щоб усі власні значення матриці вузлових

провідностей були по модулю менше одиниці. Це значить, що повинно

виконуватися умова , де - найбільше за модулем значення

елемента матриці . У нашому випадку ця умова виконується. На рис. 4 показано хід ітераційного процесу для різної кількості вузлів, у яких оптимізуються активні і реактивні навантаження.

Аперіодичний характер ітераційних процесів підтверджує усталеність одержання оптимального рішення при будь-якому початковому наближенні і векторі змінних, що оптимізуються.

ОСНОВНІ результати ТА висновки

У дисертації виконані теоретичне узагальнення і нове рішення наукової задачі, що полягає в розробці засобів і методів математичного моделювання для визначення оптимальних станів складних динамічних систем із нескалярними змінними. Запропонований підхід до моделювання оптимальних станів відрізняється від відомих тим, що в основу його покладено принцип найменшої дії. Використання останнього дозволяє отримати глобальний мінімум і цілеспрямовано прямувати до нього, виконуючи технічні обмеження, звівши складну нелінійну задачу до простих, добре алгоритмічно і програмно забезпечених, обчислювальних процедур.

В результаті виконання даної роботи отримані такі наукові і практичні результати:

1. Показано можливість і визначені оптимальні шляхи використання принципу найменшої дії стосовно математичного моделювання в задачах оптимізації нормальних станів складних динамічних систем. Встановлено умови формування математичних моделей в задачах оптимізації станів складних систем із нескалярними змінними.

2. Показано, що проблема оперативної оптимізації нормальних станів складних систем, типу електроенергетичних, вирішена недостатньо ефективно. Одним із можливих шляхів вдосконалення математичних моделей для пошуку оптимальних станів може бути використання здатності деяких технічних систем до самооптимізації, зокрема моделювання оптимізаційних процедур на основі принципу найменшої дії.

3. Сформовано математичні моделі, що дозволяють організувати оптимізаційні обчислювальні процедури на основі принципу найменшої дії. Вони можуть бути використані для розробки алгоритмів розрахунку нескалярних значень параметрів станів складних систем, оптимальних за загальносистемним енергетичним критерієм.

4. Показано, що пошук оптимального рішення задачі оптимізації станів електричної системи на основі принципу найменшої дії зводиться в загальному випадку до розрахунку сталого стану системи за її заступною схемою, складеною тільки з активних складових комплексних параметрів. Таким чином, пошук оптимальних розв'язків здійснюється на основі простих добре програмно забезпечених обчислювальних процедур (формування систем рівнянь матричними методами, розв'язування систем рівнянь методами Ньютона, Зейделя, Гаусса).

5. Показано, що отримані за допомогою принципу найменшої дії рішення щодо оптимізації станів складних динамічних систем потребують аналізу й оцінки їхньої чутливості. На прикладі електроенергетичної системи показано, що з цією метою можуть успішно використовуватися критеріальні моделі. Застосування останніх дозволяє розширити розв'язок, який отримано на основі принципу найменшої дії, в область рівно-економічних рішень, що робить його більш пристосованим до реальних умов функціонування систем.

6. Розроблені алгоритм і програми моделювання оптимальних станів електроенергетичних систем. Їхня реалізація на практиці дозволяє здійснити оперативну корекцію поточних режимів ЕЕС в темпі процесі, підвищити ефективність виробництва електроенергії і зменшити технологічні втрати на її транспортування.

7. За допомогою програм, розроблених на основі запропонованих у роботі методів і алгоритмів і які базуються на принципі найменшої дії, проведено моделювання оптимальних станів реальних електричних систем. Результати розрахунків і дослідна експлуатація в умовах енергосистем підтвердили їхню працездатність і ефективність.

Основні результати роботи відображені в наступних публікаціях:

1. Гассан Шобаш, Нагул В.І. Критеріальні моделі оптимальних режимів електроенергетичних систем // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах. - 1998. - №3. - С. 47-50.

2. Нагул В.І., Гасан Шобаш. Критеріальна модель для аналізу техніко-економічної чутливості оптимальних рішень // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах (Технологічний університет Поділля, Хмельницький). - 1998. -№4. - С. 153-155.

3. Безверхий С.О., Нагул В.І., Гассан Шобаш, Каленська В.В. Системні аспекти електромеханічної аксіоматики // Проблеми створення нових машин і технологій (Наукові праці Кременчуцького державного політехнічного інституту). - 1999. - №2. - С. 51-56.

4. Безверхий С., Нагул В., Гассан Шобаш. Принцип найменшої дії: історична довідка та деякі застосування в електротехніці та електромеханіці // Проблеми створення нових машин і технологій (Наукові праці Кременчуцького державного політехнічного інституту). - 2000. - №1. - С. 272-276.

5. S. Bezverkhy, V. Nahul, G. Shobash. System analogies of elektromechanics // Proceedings of the 5th International Conference on “Development and Application Systems”. - Suceava, Romania, 2000. - Pg. 155-160.

6. V. Nahul, D. Rodkin, O. Chorny, Gassan Shobash. Energy saving problems on the enerprises by means of electric drive // Proceedings of the 5th International Conference on “Development and Application Systems”. - Suceava, Romania, 2000. - Pg. 151-154.

АНОТАЦІЇ

Гассан Шобаш. Математичне моделювання в задачах оптимізації складних динамічних систем на основі принципу найменшої дії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи. - Вінницький державний технічний університет. - Вінниця, 2001.

Дисертація присвячена розробці математичних моделей оптимальних станів складних динамічних систем з нескалярними змінними. В роботі узагальнено можливості і шляхи застосування принципу найменшої дії для задач оперативного управління системами з енергетичним критерієм оптимальності. Показано, що на основі принципу найменшої дії можна визначити глобальний мінімум системи і побудувати стратегію максимального наближення до нього при виконанні технічних обмежень. Розроблено критеріальні моделі оптимальних станів електроенергетичної системи, а також метод оцінки чутливості параметрів математичної моделі та активних обмежень.

Ключові слова: принцип найменшої дії, нескалярні змінні, самооптимізація, критеріальна модель, оцінка чутливості, варіація параметрів, глобальний мінімум.

Ghassan Shobash. Mathematical modeling in tasks of optimization of complex dynamic systems on the basis of a principle of the least action. - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a specialty 01.05.02 - Mathematical modeling and computing methods. - Vinnytsia: Vinnytsia State Technical University, 2001.

The dissertation is devoted to development of mathematical models of optimum condition of complex dynamic systems with not scalar parameters. In work is generalized opportunities and ways of application of a principle of the least action for tasks of operative management of bower systems by criterion of an optimality. Is shown, that on the basis of a principle of the least action it is possible to define a global minimum of system and to construct strategy of the maximal approximation to it at performance of technical restrictions. Are developed criterions model of optimum condition of power system's and method of an estimation of sensitivity of the optimum decisions to variations of parameters of mathematical model and to active restrictions.

Key words: principle of the least action, not-scalar variable, self-optimization, criterion model, estimation of sensitivity, variation of parameters, global minimum.

Гассан Шобаш. Математическое моделирование в задачах оптимизации сложных динамических систем на основе принципа наименьшего действия. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – Математическое моделирование и вычислительные методы. - Винницкий государственный технический университет. - Винница, 2001.

Диссертация посвящена разработке математических моделей оптимальных состояний сложных динамических систем с нескалярными параметрами. В работе показана возможность и определены оптимальные пути использования принципа наименьшего действия в задачах математического моделирования оптимальных состояний сложных динамических систем. На основе принципа наименьшего действия в некоторых случаях можно определить глобальный минимум системы и построить стратегию максимального приближения к нему при выполнении технических ограничений.

Разработаны математические модели, которые позволяют организовать оптимизационные вычислительные процедуры на основе простых хорошо программно обеспеченных вычислительных процедур. Они могут быть использованы для разработки алгоритмов расчета нескалярных параметров состояний сложных систем, оптимальных по общесистемному энергетическому критерию.

Показано, что поиск оптимальных состояний сложных систем на основе принципа наименьшего действия сводится в общем случае к расчету установившегося состояния системы по ее схеме замещения, составленной только с активных составляющих комплексных параметров.

Установлено, что в задачах оперативного управления оптимальные решения требуют анализа и оценки их чувствительности. На примере электроэнергетической системы показано, что с этой целью могут успешно использоваться критериальные модели. Применение последних позволяет распространить полученные решения в область равно-экономических, что делает их более приспособленными к реальным условиям функционирования систем. Разработаны критериальные модели оптимальных состояний электроэнергетической системы, а также метод оценки чувствительности оптимальных решений к вариациям параметров математической модели и к активным ограничениям.

Разработаны алгоритм и программа моделирования оптимальных состояний электроэнергетических систем. Их реализация на практике позволяет осуществить оперативную коррекцию текущих режимов ЭЭС в темпе процессе, повысить эффективность производства электроэнергии и уменьшить технологический расход на ее транспорт.

Ключевые слова: принцип наименьшего действия, нескалярные переменные, самооптимизация, критериальная модель, оценка чувствительности, вариация параметров, глобальный минимум.

Автор висловлює щиру подяку завідувачу кафедри "Електричні станції та системи" ВДТУ докт. техн. наук, професору Лежнюку П.Д. за консультації та допомогу у виконанні даної роботи.