КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ГОНЧАРОВА Світлана Яківна

УДК 519.21

СТОХАСТИЧНА СТІЙКІСТЬ ТА ОПТИМАЛЬНЕ

КЕРУВАННЯ НАПІВМАРКОВСЬКИМИ

ПРОЦЕСАМИ РИЗИКУ

01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ –2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі теорії ймовірностей

та математичної статистики Інституту математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

Свіщук Анатолій Віталійович,

завідувач відділу математичних проектів та програм

Міжнародного математичного центру

НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Мішура Юлія Степанівна,

Київський університет ім. Тараса Шевченка,

кафедра математичного аналізу

кандидат фізико-математичних наук,

Пашко Анатолій Олексійович,

Український науково-дослідний інститут

прогнозування та випробування

техніки та технологій для сільськогосподарського

виробництва, провідний науковий співробітник відділу

математичного моделювання

та прогнозування

Провідна установа:

Інститут прикладної математики та механіки

НАН України, відділ теорії

ймовірностей та математичної статистики, м. Донецьк

Захист відбудеться 28 травня 2001 року о 14.00 годині

на засіданні спеціалізованої ради Д 26.001.37 у Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ-127, проспект Акад. Глушкова, 6, Київський

національний університет імені Тараса Шевченка,

механіко-математичний факультет, ауд. 42.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

(Київ, вул. Володимирська, 58, к. 10).

Автореферат розісланий “20” квітня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради Моклячук М.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Робота присвячена дослідженню стохастичної стійкості та оптималь-ного стохастичного керування напівмарковськими процесами ризику.

Сучасна актуарна (страхова) математика є повнокровною гілкою прикладної математики та прикладної теорії ймовірностей. Математична теорія ризику – найважливіший розділ в актуарній математиці, саме вона є основною темою даної дисертації.

Напівмарковський процес ризику є одним з узагальнень класичної моделі ризику.

Теорія ризику розвивається вже декілька десятиріч і містить різні аспекти, яким присвяче-ні численні роботи. Основна увага в теорії ризику зосереджена на вивченні ймовірності банк-рутства в класичній моделі ризику та її узагальненнях, що є абстрактними математичними моделями реальних стохастичних систем.

Серед досліджень, що були зроблені в цьому напрямку, можна назвати роботи Асмуссе-на С., Бюльмана Г., Гербера Г., Грендела Ж., Гусака Д., Ембрехтса Т., Клюппельберга К., Коро-люка В., Леоненка М., Мішури Ю., Пархоменко В., Свіщука А., Шмідлі Г., Ядренка М.

Ми розглядаємо таку стохастичну модель процесу ризику, в якій джерелом ризику є весь страховий портфель деякої страхової компанії і сумарний її капітал за час t описується про-цесом z(t), що є імпульсним процесом пе-реносу в напівмарковському випадковому середо-вищі, а тому має інтерпре-тацію напівмарковської випадкової еволюції.

Теорія напівмарковських випадкових еволюцій має різноманітне застосування. Одне з застосувань теорії напівмарковських випадкових еволюцій – дослідження напівмарковських процесів ризику.

Суттєвого розвитку теорія еволюційних стохастичних систем і випадкових еволюцій набула завдяки роботам Гіхмана І., Королюка В., Пінського М., Свіщука А., Скорохода А., Турбіна А.

Стійкість еволюційних стохастичних систем і випадкових еволюцій досліджувалась в ро-ботах Арнольда Л., Бланкеншіпа Дж., Гіхмана І., Дороговцева А., Королюка В., Кушнера Г., Папаніколау Г., Пінського М., Свіщука А., Скорохода А., Хасьмінського Р.

Тематиці стохастичного керування еволюційними стохастичними системами і випадкови-ми еволюціями присвячені роботи Бланкеншіпа Г., Гіхмана І., Кушнера Г., Папаніколау Г., Портенка М., Свіщука А., Скорохода А., Хасьмінського Р.

Стійкість напівмарковських систем в схемах усереднення та дифузійної апроксимації дос-ліджувалась Королюком В., Свіщуком А., Скороходом А. Стійкість напівмарковських сис-тем в схемах нормальних відхилень досліджувалась Свіщуком А.

Вивченню стохастичних керувань напівмарковськими системами в схемах усереднення, дифузійної апроксимації присвячені роботи Свіщука А.В.

Незважаючи на велику кількість робіт по тематиці еволюційних стохастичних систем і випадкових еволюцій, багато питань залишається нез’ясо-ваними. Зокрема це стосується застосування теорії напівмарковських випадкових еволюцій до напівмарковських процесів ризику. Ось чому математичні дослідження цих питань є актуальними та перспективними.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту математики НАН України.

Мета роботи. Метою даної роботи є дослідження стохастичної стійкості та оптимального стохастичного керування напівмарковськими процесами ризику, а саме: стійкості, асимпто-тичної стійкості, експоненційної стійкості з ймовірністю 1 нульового положення напівмарко-вського процесу ризику, стійкості напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення, дифузійної апроксимації, нормальних відхилень, побудова оптимального стохастичного керування за допомогою функціоналів якості, дослідження оптимального стохастичного ке-рування напівмарковськими процесами ризику в схемах усереднення, дифузійної апрокси-мації.

Методи дослідження. Методами дослідження даної роботи є методи напівмарковських випадкових еволюцій, стохастичних функцій Ляпунова та мартингальні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають науко-ву новизну та виносяться на захист, є такі:

Досліджено стійкість з ймовірністю 1 нульового положення напівмарковського процесу ризику.

Досліджено експоненційну стійкість з ймовірністю 1 нульового положення напівмарко-вського процесу ризику. Як наслідок, отримані достатні умови асимптотичної стійкості з ймовірністю 1 нульового положення напівмарковського процесу ризику.

Встановлено умови, за яких для достатньо малих значень параметра серії е стійкість усередненого процесу ризику забезпечує асимптотичну рівномірну по е стійкість напів-марковського процесу ризику в схемі серій.

Доводиться асимптотична рівномірна по е стійкість напівмарковського процесу ризи-ку в схемі серій за умов експоненційної стійкості дифузійного процесу ризику.

Встановлено умови асимптотичної стійкості в середньоквадратичному нормально від-хиленого процесу ризику. Доводиться асимптотична стійкість в середньоквадратично-му напівмарковського процесу ризику в схемі серій за умов асимптотичної стійкості в квадратичному усередненого процесу ризику.

Виводиться рівняння Беллмана для напівмарковських процесів ризику.

Досліджено задачі оптимального стохастичного керування напівмарковськими проце-сами ризику в схемах усереднення, дифузійної апроксимації.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати доповнюють відповідні дослідження процесів ризику та напівмарковських випадкових еволюцій. Практична цінність результатів дослідження визначається можливістю їх використання в економіці, страховій справі, а також в навчальному процесі в області фінансової та страхової математики, теорії ймо-вірностей та теорії випадкових процесів.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану та напрямок досліджень, пос-тановка задач належать науковому керівнику – А.В. Свіщуку. Всі результати дисертації, що виносяться на захист, належать автору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були представлені на УІІ Вільнюській міжнародній конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (серпень 1998р., Вільнюс, Литва), допо-відались і обговорювались на ІІІ Українсько-Сканді-навській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (червень 1999р., Київ, Ук-раїна), на семінарі з теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту матема-тики НАН України (14.10.1999р., керівник акад. НАН України Королюк В.С.), на семінарі з теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (5.04.2000р., керівник член-кор.НАН України, д.ф.-м.н., проф. Портенко М.І.), на семінарі з теорії ймовірностей та мате-матичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського державного університету (5.11.1999р., керівник д.ф. м.н., проф. Козаченко Ю.В.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 7 наукових праць, із них 5 – в наукових журналах, 2 – у збірниках тез міжнародних наукових конфере-нцій.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, розбитих на 14 підрозділів, висновків та списку використаних джерел з 50 назв і викладена на 115 сторінках друкованого тексту.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, сфор-мульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати.

В першому розділі дисертації вивчається напівмарковський процес ризику.

Нехай ( Щ, F, P) ймовірнісний простір, (X, Ч) деякий вимірний простір.

Означення 1. Напівмарковським процесом ризику z(t) є розв’язок наступного рівняння:

Тут: x(t) – регулярний напівмарковський процес, побудований за процесом марковського відновлення (xn, иn); н(t):=max{n: фn<t} – лічильнийпроцес;

n

фn:=? иk– моменти відновлення; процесу x(t) відповідає напівмарковське ядро

k=1

що означає

Процес B(t) описує суму внесків страхової компанії до моменту часу t; процес A(t) описує суму виплат страхової компанії своїм клієнтам до моменту часу t; н(t) – кількість страхових виплат на інтервалі [0, t]; z – початковий капітал страхової компанії, z(0)=z. Функція х(z, описує інтенсивність страхових внесків, неперервна і обмежена функція по z та x, неспадна по z, невід’ємна, z є R+, x є X така, що х(0,x є X. Функція a(x) описує величину одноразової виплати страхової компанії, невід’ємна, вимірна, обмежена функція на X . Залежність функцій х(z, та a(x) від x вказує на присутність випадкових зовнішніх ефектів, які описуються напівмарковським процесом x(t), тому процес z(t) в (1) називається напівмарковським процесом ризику.

Означення 2. Напівмарковським процесом ризику в схемі серій називається розв’язок нас-туп-ного рівняння:

де ?>0 – малий параметр серій; x(s еi ), i=1, 2, описує серії по ? зовнішніх ефектів; х(z,, a(x) визначені в (1).

Розглядаються апроксимації напівмарковських процесів ризику zе(t) в (4) в схемах усере-днення, дифузійної апроксимації при виконанні умови балансу і в схемі нормальних відхи-лень через усереднену і дифузійну апроксимації без виконання умови балансу.

Введемо наступні умови:

У1) ланцюг Маркова (xn,>0) рівномірно ергодичний із стаціонарним розподілом

?

У2) функції mi(x) = ?tiGx(dt), i=1,2,3, "x є X рівномірно інтегровні;

Ч Ч Ч

У4) функція dх(z,x) / dz обмежена і неперервна по z і x.

За умов У1), У2) при i=2 процес zе(t) в (4) при i=1 збігається слабо в DR[0;+Ґ) ?ри е®0 до усередненого процесу ризику:

t

0

За умов У1) – У4) при i=3 процес zе(t) в (4) при i=2 слабо збігається в DR[0;+Ґ) ?ри е®0 до дифузійного процесу ризику?z(t):

d?z(t) =a(?z(t) )dt+в(?z(t) )dw(t), ?z(0)= z, (6)

де w(t) – стандартний вінерівський процес,

Вводиться поняття відхиленого процесу ризику як нормованої різниці між напівмарко-вським процесом ризику zе(t) в (4) і усередненим процесом ризику (t) в (8):

=(zе(t)–(t)) /. (10)

При умовах У1), У2), i=2 і У4) процес ризику в (10) слабо збігається в DR[0;+Ґ) ?ри е®0 до нормально відхиленого процесу ризику :

w(t) – стандартний вінерівський процес; у2(z)>0, " z є R+, у2>0; (z) і в визначені в У3).

Зазначимо, що нормально відхилений процес є стохастичним інтегралом Іто.

Таким чином, напівмарковський процес ризику zе(t) в (4) може бути апроксимований при малому е>0 усередненим процесом ризику (t) в (5) і нормально відхиленим процесом ризику в (11) в такій формі:

Оцінюються ймовірності банкрутства апроксимованих процесів ризику.

У другому розділі досліджується стійкість, асимптотична, експоненційна стійкість з ймо-вірністю 1 нульового положення стохастичної моделі напівмарковського процесу ризику z(t), описаної в першому розділі, на проміжку часу [Ф, t]:

z(T)=z.

Нехай г(t)=t–фн(t) , t>0 – минулий час перебування.

Відомо, що процес (x(t), г(t)) є марковським в (X x R+) з породжуючим інфінітезимальним оператором:

X

Звідси випливає, що процес (z(t), г(t)) є також марковським в (R xX x R+) з інфінітезима-льним оператором

де оператор визначений в (17).

Введемо наступні умови:

А1) функція V(z,x,t) є невід’ємною та неперервною на відкритій множині

Am={(z,x,t): V(z,x,t)<m} для деякого m>0;

(z(tфm),фm), г(tфm)), де ?m=inf{t: (z(t), г(t))ПAm};

A3) V(z,x,t) є(Lm) та dV/dz є неперервною та обмеженою функцією.

Лема. Нехай виконуються умови А1)–А3) та

де Lm визначений в умові А2), множина Am – в А1).

Тоді процес V(z(tЩфm),x(tЩфm),г(tЩфm)) є невід’ємним супермартингалом зупиненого процесу Pz,x,T{ де (z,x,T)єAm , X(T)=x.

Означення 3. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику z(t) в (16) є стійким з ймо-вірністю 1, якщо "x(T)=x, "с>0 та е>0 $д(с,е,x)>0 таке, що якщо |z(T)|=|z|<д, то

Pz,x,T{ sup |z(t)|>е}< с.

T<t<+?

Основним результатом теорії стохастичної стійкості напівмарковських процесів ризику є наступна теорема – стохастичний аналог теореми Ляпунова про стійкість.

Теорема 1. Нехай для деякого m>0 виконуються умови А1)–А3) і (20) та V(0,x,t)=0, "xОX, tОR+, V(z,x,t)>е2>0, коли z>е1>0, (z,x,t)ОAm.

Тоді нульове положення напівмарковського процесу ризику z(t) в (16) є стійким з ймовірні-стю 1.

Означення 4. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику z(t) в (16) є експоненційно стійким з ймовірністю 1, якщо він є стійким з ймовірністю 1 і для всіх Т1<+Ґ

Має місце теорема.

Теорема 2. Нехай виконуються умови А1)–А3) і

LmV(z,x,t)<– бV(z,x,t) на Am для деякого ?>0.

Тоді нульове положення напівмарковського процесу ризику z(t) в (16) є експоненційно стійким з ймовірністю 1.

Означення 5. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику z(t) в (16) є асимптотично стійким з ймовірністю 1, якщо він є стійким з ймовірністю 1 і

Pz,x,T{ lim |z(t)|=0}=1, "zОR+, xОX.

t?+?

Наступний результат є стохастичним аналогом теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість для напівмарковських процесів ризику.

З теореми 2 випливає:

Наслідок. Нехай виконуються умови А1)–А3) та

LmV(z,x,t) = – k(z,x,t)<0 на Am,

де функція V невід’ємна, неперервна, а функція k(z,x,t) є рівномірно неперервною на множині Pm=AmЗ{(z,x,t):} і нерівність k(z,x,t)>0 вірна для деяких (z,x,t)ОAm .

Тоді нульове положення напівмарковського процесу ризику z(t) в (16) є асимптотично стійким з ймовірністю 1.

Розглянуто приклади дослідження стохастичної стійкості напівмарковських процесів ризи-ку?z(t) в (16) з використанням стохастичних функцій Ляпунова у вигляді V(z,x)=b(x)2 у випад-ку, коли x(t)=x – марковський процес.

В підрозділах 2.2 та 2.3 ми цікавимось умовами, за яких для достатньо малих значень пара-метра серії е стійкість усередненого процесу ризику (t) в (5) та стійкість дифузійного процесу ризику?z(t) в (6) забезпечують стійкість напівмарковського процесу ризику zе(t) в (4) при i=1 та i=2 відповідно.

Означення 6. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику zе(t) в (4) є асимптотично рівномірно по ? стійким з ймовірністю 1, якщо "е>0 $ е0 >0 – фіксоване таке, що якщо 0<?<е0 Введемо наступні умови:

1) ланцюг Маркова (xn,>0) є рівномірно ергодичним із стаціонарним розподілом с(A); AОX;

2) функція Gx(t) в (3) є диференційовною по t і gx(t)=dGx(t) / dt є неперервною та обмеженою функцією по х та t ;

3) х(z,x) є гладкою функцією по z та неперервною по х:

|х(z,x)|<K, х(0,x)=0, "xОX;

4) існує гладка додатно-визначена функція V(z) на R така, що V(z)®+Ґ, ?оли z®+Ґ, V(z) – поліноміальна, V(z)=0 Ы z=0;

5) [(z)–в ](z)<–в для деякого в>0 "zОR+; функції (z) та в визначені в У3), (z)№в .

6) для функції х(z,x) в умові 3) виконуються нерівності:

|х(z,x)|<K(|1+|z|), |(z,x)|<K, K>0,

похідні від х(z,x) по z ростуть не швидше, ніж степені |z|, коли |z|®+Ґ ?івномірно по xОX;

7) для функції V(z) в умові 4) виконується наступна нерівність:

б(z)(z)+в2(z)(z)/2< – г V(z) для деякого г>0, zОR,

де б(z) та в(z) визначені в (7), (8) відповідно.

Теорема 3. Нехай виконуються умови 1)–5). Тоді напівмарковський процес ризику zе(t) в (4) при i=1 є асимптотично рівномірно по стійким з ймовірністю 1.

Теорема 4. Якщо виконуються умови 1)– 4), 6), 7) та умова балансу (z)=в "zОR, то напівмарковський процес ризику zе(t) в (4) при i=2 є асимптотично рівномірно по ? стійким з ймовірністю 1.

В підрозділі 2.4 встановлюються достатні умови асимптотичної стійкості в середньоквад-ратичному нормально відхиленого процесу ризику в (11) та аналогічної стійкості напів-марковського процесу ризику zе(t) в (4).

Означення 7. Процес ?(t) називаєтьтся асимптотично стійким в середньоквадратичному, якщо E|ж(t)| 2 ? 0 при t ? +?.

Теорема 5. Нормально відхилений процес ризику в (4) є асимптотично стійким в середньо-квадратичному, якщо

i) sup b(z)=b<+Ґ;

0

де b(z), у(z), у ?изначені в (12) – (14) відповідно.

Теорема 6. Якщо нульовий стан усередненого процесу ризику (t) в (5) є асимптотично сті-йким в квадратичному та виконуються умови теореми 5, то нульовий стан напівмарковсько-го процесу ризику zе(t) в (4) при i=1 є асимптотично стійким в середньоквадратичному при достатньо малих ?.

В третьому розділі досліджуємо оптимальне стохастичне керування на-півмарковськими процесами ризику.

Нехай U – компактна множина керувань u(t)ОU.

Розглянемо керований напівмарковський процес ризику, що задається розв’язком наступного рівняння:

де u(t) є допустиме керування, u(t)ОU.

Керування u(t) є допустимим, якщо функція х(z,x,u) неперервна, обмежена по (z,x,u), неспадна по z, невід’ємна, zОR, xОX, uОU, х(0,x,u)=0, "xОX "uОU.

Зазначимо, що процес (z(t), x(t), г(t)) в RОXОR+ є марковським з породжуючим оператором

Нехай G буде цільовою множиною і ?=inf{t : z(t)О ?G}.

Задача оптимального керування полягає в тому, щоб вибрати таке uОU, щоб перевести, наприклад, z(t) в множину?G, z(t)®?G, з ймовірністю 1, коли t®ф, і при цьому мінімізувати по відношенню до інших керувань із раніше вибраного класу допустимих керувань функціонал якості (ціну):

Визначимо

де інфімум береться по всіх допустимих керуваннях.

Функція C0(z,x,t) в (24) називається оптимальним функціоналом якості або оптимальним функціоналом ціни.

Теорема 7. Нехай z(t) є напівмарковським процесом ризику в (21), C(z,x,t,u) – функціонал якості (ціни) в (23), G – цільова множина, G=G0 И?G.

Допустиме керування?u є оптимальним,?u ОU, якому відповідає оптимальна якість (ціна) C0(z,x,t)ОC2(G0)ОC(X)ОC1(R+) тоді і тільки тоді, коли C0 задовольняє рівняння Беллмана

inf [LaC0(z,x,t)+k(z,x,t,a)]=0, "zОG0, C0(z,x,t)=b(z,x,t), "zО?G, (25)

aОU

де оператор La визначений в (22).

В підрозділі 3.3 будуються оптимальні стохастичні керування напівмарковськими проце-сами ризику за допомогою стохастичних функцій Ляпунова, даються умови на функцію V(z,x,t) та керування , коли V(z,x,t)=C(z,x,t,u).

В підрозділі 3.4 досліджується оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику в схемі усереднення.

Розглянемо керований напівмарковський процес ризику в схемі серій:

де керування uе такі, що

u(z,x)– деякі керування, u(z,x)ОU,

р(dx)– стаціонарна міра напівмарковського процесу x(t),

р(dx)=с(dx)m1(x)/m.

Відомо, що за деяких регулярних умов на х(z,x,u), a(x) та x(t), процес zе(t) в (26) при i=1 слабо збігається при е®0 до процесу (t), що є розв’язком усередненого рівняння:

Інфінітезимальним для процесу ризику (t) в (28) є наступний оператор:

де функції (z,u) та в визначені в (29).

Нехай Kе(z,u,x) буде сукупністю невід’ємних функцій таких, що

де (z,u) – неперервна та обмежена по (z,u) функція, причому

Визначимо функціонал критерію якості для напівмарковського процесу zе(t) в (26) при i=1:|

?

0

та функуціонал критерію якості для усередненого процесу (t) в (28):

0

де функція (z,u) визначена в (31) та задовольняє (32).

Теорема 8. Нехай існує додатно визначена функція 0 (z)ОC2(R) та керування 0 (z)ОU такі, що задовольняють при всіх zОR+, uОU та деяких додатних константах p, n, K1, K2 наступні умови:

Тоді функція u0 (z) розв’язує задачу про оптимальну стабілізацію напівмарковського процесу ризику zе(t) в (26) в схемі критерію якості Gеz,x(uе) в (33) для достатньо малого та фіксованого ?>0, причому

lim Gеz,x(uе)=(ы0)=(z), (38)

де (ы0) визначений в (34).

В підрозділі 3.5 аналогічно досліджується оптимальне стохастичне керування напівмарко-вськими процесами ризику в схемі дифузійної апроксимації при умові балансу.

Висновки

Досліджено стійкість, асимптотичну, експоненційну стійкість з ймовірністю 1 нульо-вого положення напівмарковського процесу ризику.

Встановлено достатні умови асимптотичної рівномірної по е (для достатньо малих е>0) стійкості напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації.

Отримано достатні умови асимптотичної стійкості в середньоквадратичному нормаль-но відхилених процесів ризику та напівмарковських процесів ризику в схемі нормаль-них відхилень.

Досліджена задача оптимального стохастичного керування напівмарковськими про-цесами ризику за допомогою функціоналів якості.

Досліджено задачі оптимального стохастичного керування напівмарковськими проце-сами ризику в схемах усереднення, дифузійної апроксимації.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

Гончарова С.Я. Оптимальне керування процесами ризику в схемі усереднення // Доп. НАН України – 1999. – № 10. – С. 20-24.

Свіщук А.В., Гончарова С.Я. Оптимальне стохастичне керування процесами ризику // Нелінійні коливання. – 1998. – 2. – С. 122-131.

Свіщук А.В., Гончарова С.Я. Стійкість напівмарковських процесів ризику // Доп. НАН України – 1999. – № 7. – С. 30-34.

Свіщук А.В., Гончарова С.Я. Стійкість напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 7. – С. 972-979.

Свіщук А.В., Гончарова С.Я. Стійкість напівмарковських процесів ри-зику в схемі нормальних відхилень // Теорія ймовірностей та мат. статистика – 1998. – № 59. – 5 с.

Swishchuk A.V., Goncharova S.Y. Stochastic stability and optimal control of semi-Markov risk processes // 7th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. – Vilnius, 1998. – P. 409.

Swishchuk A.V. Goncharova S.Y Stochastic stability and optimal control of semi-Markov risk processes // The 3-d Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics – Kyiv, 1999. – P. 148.

Гончарова С.Я. Стохастична стійкість та оптимальне керування напівмарковськими процесами ризику. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика. – Інститут математики НАН України, Київ, 2001.

Досліджуються умови стійкості, асимптотичної та експоненційної стійкості з ймовірністю 1 напівмарковського процесу ризику, асимптотична рівномірна по е стійкість із ймовірністю 1 напівмарковських процесів ризи-ку в схемах усереднення, дифузійної апроксимації, асимп-тотична стійкість в середньоквадратичному нормально відхиленого процесу ризику та напів-марковського процесу ризику в схемі нормальних відхилень. Досліджуються оптимальні сто-хастичні керування напівмарковськими процесами ризику за допомогою функціоналів яко-сті.

Ключові слова: напівмарковський процес ризику, усереднення, дифузійна апроксимація, нормальне відхилення, стохастична стійкість, оптимальне стохастичне керування, функціо-нал якості.

Гончарова С.Я. Стохастическая устойчивость и оптимальное управление полумарковски-ми процессами риска. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05– теория вероятностей и математическая статистика.– Институт мате-матики НАН Украины, Киев, 2001.

Исследуются условия устойчивости, асимптотической и експоненциальной устойчивости с вероятностью 1 полумарковского процесса риска, асимптотическая равномерная по е усто-йчивость с вероятностью 1 полумарковских процессов риска в схемах усреднения, диффузи-онной аппроксимации, асимптотическая устойчивость в среднеквадратическом нормально от-клоненного процесса риска и полумарковского процесса риска в схеме нормальных откло-нений. Исследуются оптимальные стохастические управления полумарковскими процессами риска с помощью функционалов качества.

Ключевые слова: полумарковский процесс риска, усреднение, диффузионная аппрокси-мация, нормальное отклонение, стохастическая устойчивость, оптимальное стохастическое управление, функционал качества.

Goncharova S.Y. Stochastic stability and optimal control of semi-Markov risk processes. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by spe-ciality 01.01.05 – theory of probabilities and mathematical statistics. – The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2001.

The object under investigation is the semi-Markov risk processes which de-scribe a dynamic of summary capital of an insurance company. The semi-Markov risk process is a generalization of classic risk model. The abstract model of semi-Markov risk process can be represented by a semi-Markov random evolution.The main attention is paid to the problems of stochastic stability and opticontrol of semi-Markov risk processes.

The thesis consists of introduction, three chapters and references.

In the introduction the importance of the topic is justified, the current stage of the investigations in the field is analyzed and the main results are briefly described.

In the first chapter we study the approximations of the summary capitals of some insurance company, which are described over semi-Markov risk process, by averaged, diffusion, normal deviated risk processes, and give the rates of these approximations. We also estimate the ruin probabilities for the approximated risk processes.

In the second chapter the theorems on stability, asymptotic and exponential stability of zero state of semi-Markov risk processes with probability one are proved. We also investigate asymptotic stability uniformly by е with probability one of semi-Markov risk process in scheme of averaging. Sufficient conditions of asymptotic stability uniformly by е with probability one of semi-Markov risk process in scheme of diffusion approximation under balance condition are stated. The theorem on asymptotic stability in mean square of the normal deviated risk process is proved. Sufficient conditions of asymptotic stability in mean square of the semi-Markov risk process in scheme of double approximation without balance condition are stated.

In the third chapter the optimal stochastic control for the controlled semi-Markov risk processes is studied. The Bellman equation for semi-Markov risk processes is derived. The optimal stochastic control is constructed by cost func-tional. Optimal stochastic controls over the controlled semi-Markov risk procesin schemes of averaging and diffusion approximation under balance conditiare investigated.

The theory of semi-Markov random evolutions, martingale methods and properties of the respected stochastic Liapunov functions are used.

The main results of the thesis have been published in 7 scientific publications.

Key words: risk process, semi-Markov process, averaging, diffusion approximation, normal deviation, asymptotic, exponential stochastic stability, optimal stochastic control, cost functional, double approximation, balance condition.

Підп. до друку 19.04.2001. Формат 60 Х 90/16. Папір офс. Офс. друк.

Ум. друк. арк. 1,39. Ум. фарбо-відб. 1,39. Обл.-вид арк. 0,9. Тираж 100 пр.

Зам. 71. Безкоштовно.

___________________________________________________

Віддруковано в інституті математики НАН України

01601 Київ 4, МСП, Вул. Терещенківська, 3.