НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАУКОВО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ КОНЦЕРН“

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ”

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

УДК 533.9; 536.48; 538.11; 539.2

ХОДУСОВ Валерій Дмитрович

КІНЕТИЧНА ТЕОРІЯ ВТОРИННИХ ХВИЛЬ

В ГАЗІ КВАЗІЧАСТИНОК

01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Офіційні опоненти: член кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних

наук, професор СЛЬОЗОВ Віталій Валентинович, Інститут теоретичної фізики Національного наукового центру “Харківський фізико-технічний інститут” (ННЦ “ХФТІ”), начальник відділу;

доктор фізико-математичних наук, професор

КОНТОРОВИЧ Віктор Мойсейович, Радіоастрономічний інститут НАН України, м. Харків, головний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, доцент

СОКОЛОВСЬКИЙ Олександр Йосипович, Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, професор кафедри квантової макрофізики.

Провідна установа: Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН Украї-

ни, відділ теорії та моделювання плазмових процесів, м. Київ.

Захист відбудеться “__20__”___лютого___ 2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01 в Інституті монокристалів НТК “Інститут монокристалів” НАН України за адресою: 61001, м. Харків, пр. Леніна, 60.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, пр. Леніна, 60.

Автореферат розісланий “__11_” ___січня______ 2002__ р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01

кандидат технічних наук ___________________ Атрощенко Л.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Існування хвиль другого звуку в He II вперше було теоретично передбачене Л.Д. Ландау. Експериментально ці хвилі були виявлені В.П. Пешковим. Ним було висловлене припущення про можливість існування хвиль другого звука в твердих тілах. У подальшому, теоретичному дослідженню вторинних хвиль, подібних до хвиль другого звуку в He II, в кристалічних твердих тілах, феро- та антиферомагнетиках, в слабкотурбулентній плазмі була присвячена низка робіт.

Ці хвилі, по суті, є температурними або ентропійними хвилями в газі бозе-квазічастинок, їх об'єднує спільність теорії та основні закономірності. Тому А. І. Ахієзером було запропоновано називати їх вторинними хвилями в газі квазічастинок. Основними питаннями при вивченні вторинних хвиль є питання їхнього існування, властивостей, збудження та експериментального спостереження. Якщо хвилі другого звуку в Не ІІ на цей час достатньо добре вивчені як теоретично, так і експериментально, то вторинні хвилі в інших середовищах (плазмі, кристалічних твердих тілах, феро- та антиферомагнетиках та ін.) вивчені недостатньо. Між тим вивчення вторинних хвиль має велике значення для низки фізичних явищ в конденсованих середовищах та плазмі, таких як теплопровідність, еволюція теплових імпульсів, релаксаційні явища, флуктуації, розсіювання світла, електропровідність та нагрів плазми, гальмування пучків заряджених частинок або частинок, які мають магнітний момент, вплив зовнішніх сторонніх полів на речовину та ін.

Теорії, яка змогла б відповісти на всі ці питання, не було. Тому виникла потреба її побудови.

Дисертаційна робота присвячена побудові кінетичної теорії вторинних хвиль в газі квазічастинок, чим і визначається її актуальність.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалася як частина досліджень, що проводились на кафедрі теоретичної ядерної фізики Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна в рамках координаційного плану Міністерства освіти і науки України за темами: "Дослідження систем багатьох частинок" (номер держреєстрації 0100U003296) та "Теорія багаточастинкових систем" (номер держреєстрації 0197U002489). Крім того, робота виконувалася як частина науково-дослідних робіт за "Програмою робіт з атомної науки та техніки ННЦ ХФТІ" за 1997 – 2000 рр. (Розділ 1. Фундаментальні дослідження) за темами: № 01-53 "Дослідження квантовоелектродинамічних та адронних процесів", № 02/53 "Квантовоелектродинамічні, адронні та ядерні процеси, у тому числі, які відбуваються в конденсованих середовищах".

Мета і задачі дослідження. Вторинні хвилі в газі квазічастинок існують, коли він знаходиться у гідродинамічному, вірніше, газодинамічному режимі, який встановлюється в ньому за рахунок швидких процесів взаємодії квазічастинок між собою зі збереженням імпульсу та енергії. Основною метою цієї роботи є побудова кінетичної теорії вторинних хвиль в газі квазічастинок, яка з єдиного погляду описувала б весь комплекс питань, пов'язаних з їхнім існуванням, описом їхніх властивостей, їхнім збудженням та спостереженням.

Для досягнення цієї мети розв'язувалися такі основні задачі:

1. Здобуття на основі кінетичного рівняння для функції розподілу квазічастинок системи рівнянь газодинаміки бозе-квазічастинок з урахуванням сторонніх полів, які модулюють енергію квазічастинок.

2. Розробка методів розрахунку кінетичних коефіцієнтів, які входять до рівнянь газодинаміки квазічастинок.

3. На основі здобутої системи рівнянь газодинаміки квазічастинок знаходження:

4. Рівнянь, які описують вимушені вторинні хвилі в газі квазічастинок, вивчення вторинних хвиль, з'ясування умов їхнього існування в конкретних газах квазічастинок та бінарній суміші квазічастинок.

5. Рівнянь, які описують зв'язані хвилі в газі квазічастинок за участю вторинних хвиль.

6. Рівнянь, які описують нелінійні вторинні хвилі в газі квазічастинок та дослідження їхніх властивостей.

7. Вивчення гідродинамічних флуктуацій в газі квазічастинок.

8. Розгляд на їхній основі розсіювання Мандельштама-Бріллюєна на вторинних хвилях.

9. На основі рівнянь змушених вторинних хвиль:

10. Розгляд збудження вторинних хвиль змінними просторово-неоднорідними сторонніми полями, від яких залежить енергія квазічастинок, в конкретних газах квазічастинок.

11. Розгляд резонансного методу нагріву магнітоактивної слабкотурбулентної плазми змінними просторово-неоднорідними магнітними полями на частотах вторинних магнітогідродинамічних хвиль.

Наукова новизна одержаних результатів.

·

· На основі узагальненої Н-теореми Больцмана здобуто порядкові оцінки нижніх меж кінетичних коефіцієнтів, які входять до рівнянь газодинаміки квазічастинок.

· На основі рівнянь газодинаміки квазічастинок описано стаціонарний перенос тепла квазічастинками через кристалічну пластину в області низьких температур та знайдено ефективний коефіцієнт теплопровідності, який якісно збігається з експериментальним. Кількісні оцінки дадуть можливість визначити феноменологічні константи в граничних умовах з одного боку, а з іншого – оцінити ступінь чистоти та досконалості кристалів, а також визначити найбільш сприятливу температуру, за якої можливе експериментальне спостереження слабкозгасаючих хвиль другого звуку.

· Уперше здобуті рівняння вимушених вторинних хвиль в газі квазічастинок.

· Запропоновано метод резонансного збудження хвиль другого звуку змін-

ним просторово-періодичним електричним полем в піроелектриках та з'я-

совано умови його реалізації.

·

· Уперше досліджені термоелектромеханічні хвилі, які є зв'язаними хвилями першого та другого звуків в п'єзоелектриках та, завдяки цьому зв'язку, можуть збуджуватися зовнішнім змінним електричним полем.

· Знайдено інтегральне рівняння для визначення зсуву енергії плазмонів за рахунок їхньої нелінійної взаємодії між собою в слабкотурбулентній плазмі.

· На основі цього рівняння доведено, що в слабкотурбулентній магнітоактивній плазмі закони дисперсії альфвенівських та повільних магнітозвукових хвиль істотно змінюються в області малих значень подовжньої (вздовж магнітного поля) складової хвильового вектору. Модифіковані закони дисперсії цих хвиль залежать від рівня турбулентних пульсацій.

· Здобуто нелінійний додаток до частоти альфвенівських хвиль в слабкотурбулентній магнітоактивній плазмі із анізотропним тиском, який порізному залежить від рівня турбулентних пульсацій поблизу та вдалині від області “шлангової” нестійкості, має стабілізуючий характер та змінює її критерій.

· Уперше вивчено вторинні магнітогідродинамічні хвилі в слабкотурбулентній плазмі. Доведено, що вони розповсюджуються здебільше вздовж магнітного поля, фазова швидкість залежить від співвідношення між швидкістю звуку та альфвенівською швидкістю, знайдено коефіцієнт згасання цих хвиль та область їхнього існування, розглянуто метод їхнього резонансного збудження зовнішнім магнітним полем.

· Запропоновано метод резонансного нагріву слабкотурбулентної високотемпературної плазми на частотах вторинних магнітогідродинамічних хвиль. Можливість такого нагріву та умови його реалізації розглянуто на прикладі слабко неоднорідного плазмового циліндру, який знаходиться в сильному магнітному полі, промодульованому гофрованим змінним магнітним полем.

· Здобуто рівняння, які описують нелінійні вторинні хвилі в газі квазічастинок. Ці рівняння без урахування дисипації описують прості вторинні хвилі, а з їхнім урахуванням зводяться до узагальненого рівняння Бюргерса. На прикладі кристалів NaF з'ясовано умови можливості експериментального спостереження нелінійних хвиль другого звуку.

· Вивчено гідродинамічні флуктуації в газі квазічастинок, як із збереженням, так і з незбереженням кількості квазічастинок при взаємодіях. Знайдені спектральні густини кореляторів гідродинамічних флуктуацій, які в області існування вторинних хвиль мають лоренцеву форму.

· Знайдено просторові та тимчасові кореляційні функції гідродинамічних флуктуацій в газі квазічастинок, визначено просторові та часові розміри флуктуацій.

· Розглянуто розсіювання світла Мандельштама-Бріллюєна на вторинних хвилях в газі квазічастинок, яке призводить до утворення дуплету розсіяного світла. Знайдено інтенсивність розсіяного світла в дуплетах. Доведено, що інтенсивність розсіяного світла в дуплетах на зв'язаних хвилях за участю хвиль другого звуку значно більша, ніж без урахування цього зв'язку. Це полегшує можливість їхнього експериментального спостереження.

Практичне значення одержаних результатів. Здобута в дисертації система рівнянь газодинаміки квазічастинок з урахуванням зовнішніх полів може бути використана для опису більш широкого кола фізичних явищ, які відбуваються в газі квазічастинок, ніж розповсюдження вторинних хвиль.

Запропонований в роботі метод збудження вторинних хвиль за допомогою змінних просторово-неоднорідних зовнішніх полів, від яких залежить енергія квазічастинок, та знайдені умови його реалізації, можуть бути використані при плануванні експериментів з їхнього спостереження в різноманітних середовищах (кристалах, феро - та антиферомагнетиках, плазмі та т. ін.).

Запропонований метод резонансного нагріву високотемпературної магнітоактивної слабкотурбулентної плазми змінними просторово-періодичними магнітними полями в умовах резонансу на вторинних магнітогідродинамічних хвилях може бути використаний в термоядерних пристроях достатньо великих розмірів.

Побудовану газокінетичну теорію магнітогідродинамічних плазмонів в слабкотурбулентній плазмі можна застосовувати не тільки для опису процесів, що відбуваються в лабораторній плазмі, але й в космічній плазмі, сонячній короні, сонячному вітрі, магнітосфері Землі.

Розглянутий процес стаціонарного переносу тепла квазічастинками крізь чисту монокристалічну діелектричну пластину в області низьких температур дає можливість визначити феноменологічні константи в граничних умовах, а також оцінити ступінь чистоти та досконалості кристалів.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок здобувача в роботах [1 – 5, 10, 25, 27, 28, 30] – участь в постановці задачі, проведення аналітичних розрахунків, обговорення здобутих результатів, участь в написанні текстів статей. У роботах [6 – 8, 24] – здобувачем запропонована ідея резонансного збудження вторинних хвиль зовнішніми змінними просторово-неоднорідними полями, від яких залежить енергія квазічастинок, та з'ясовані умови реалізації цього методу. У роботах [9, 11 –13, 18 – 21, 32] дисертанту належить постановка задачі, знаходження основних рівнянь, проведення аналітичних розрахунків, написання текстів статей. Здобувачем у роботах [14, 16, 31] розроблена модель зведеного ізотропного кристалу відносно модулів пружності третього порядку для розрахунків матричних елементів взаємодії фононів між собою та доведена ефективність її використання при проведені обчислень кінетичних коефіцієнтів в фононній газодинаміці та коефіцієнту згасання хвиль другого звуку.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на:

·

· XXІ Всесоюзній нараді з фізики низьких температур (Харків, 1980),

· ХV Всесоюзній конференції з магнітних явищ (Пермь, 1981),

· Second International workshop on nonlinear and turbulent processes in physics (Kiev, 1983),

· XXІІІ Всесоюзній нараді з фізики низьких температур (Таллін, 1984),

· ХVІІ Всесоюзній нараді з фізики магнітних явищ (Донецьк, 1985),

· IV Всесоюзній конференції з взаємодії електромагнітних випромінювань з плазмою (Ташкент, 1985),

· International conference on plasma physics (Kiev, 1987),

· Всесоюзній конференції “Сучасні проблеми статистичної фізики”, (Харків, 1991),

· 14 th General Conference Condensed Matter Division (Madrid, Spain, 1994),

· International Workshop of on statistical physics and condensed matter theory (Lviv, Ukraine, 1995),

· 15 th General Conference Condensed Matter Division (Italy, 1996),

· VI International conference of mathematical methods in electromagnetic theory (Lviv, Ukraine, 1996),

· XV International symposium on nonlinear acoustics (GЦttengen, Germany, 1999).

· International conference of quantum electrodynamics and statistical physics (Kharkov, Ukraine, 2001)

Матеріали дисертаційної роботи доповідались та всебічно обговорювались на наукових семінарах в ННЦ ХФТІ (Харків), ІРЕ НАНУ (Харків), Інституті монокристалів НАНУ (Харків), ДонФТІ НАНУ (Донецьк), ІАЕ (Москва), ФІАН (Москва) та в Харківському національному університеті.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 42 наукові праці, у тому числі 22 статті в спеціалізованих наукових журналах, 5 статей в збірках наукових праць, 1 препринт, 5 доповідей на конференціях, що надруковані в матеріалах конференцій, список яких наведено наприкінці автореферату.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, шести розділів основного тексту з 14 рисунками і 6 таблицями, висновків, списку використаних літературних джерел з 215 найменувань та трьох додатків з 6 таблицями. Повний обсяг дисертації становить 326 сторінок; обсяг, що займають рисунки і таблиці, розташовані на всій площі сторінки, становить 7 сторінок, додатки займають 18 сторінок, список використаних джерел міститься на 20 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі викладено стан наукової проблеми, яка розв'язувалася в ході виконання роботи, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі дослідження, визначено зв'язок роботи з науковими програмами і темами, розкрито наукову новизну та практичне значення здобутих результатів, відображено особистий внесок здобувача в опубліковані разом із співавторами наукові праці, подано апробацію дисертації, вказано структуру та обсяг дисертаційної роботи. Викладено стислий зміст роботи за розділами.

Перший розділ присвячено розгляду кінетичної теорії газу бозе-квазічастинок з довільним законом дисперсії та вторинних хвиль в ньому. У підрозділі 1.1 наведено кінетичне рівняння Больцмана для функції розподілу квазічастинок з урахуванням зовнішніх полів, які адіабатично модулюють енергію квазічастинок. Якщо енергія квазічастинок залежить від параметрів середовища A, які можна змінювати сторонніми полями, то адіабатичну модуляцію енергії квазічастинок цими полями можна подати у такому вигляді:

, (1)

де глибина модуляції а(j) пов'язана з варіацією величини A змінними полями співвідношенням .

Доведено, що коли процеси взаємодії квазічастинок зі збереженням імпульсу та енергії проходять скоріше ніж без збереження імпульсів, то існує локальна квазірівноважна функція розподілу, яка перетворює інтеграл зіткнень в нуль. Ця функція розподілу визначається гідродинамічними змінними: гідродинамічною швидкістю дрейфу в газі квазічастинок u, температурою T та хімічним потенціалом mj* для квазічастинок сорту j*, які зберігаються при взаємодіях, і має вигляд:

.(2)

У підрозділі 1.2 побудована термодинаміка квазілокального стану рівноваги, який виникає в газі квазічастинок за рахунок їхньої взаємодії зі збереженням імпульсу та енергії і описується квазірівноважною функцією розподілу. Знайдено термодинамічний потенціал, який визначається цією функцією, та основні термодинамічні величини, як похідні від термодинамічного потенціалу. Скориставшись комбінаторною формулою Больцмана для ентропії, обчислено густину ентропії, знайдено рівняння балансу ентропії, густини потоку ентропії та її джерел.

Ґрунтуючись на кінетичному рівнянні Больцмана для функції розподілу квазічастинок, у підрозділі 1.3 здобуто газодинамічні рівняння з урахуванням зовнішніх полів, які модулюють енергію квазічастинок. Знайдено вирази для зворотних та незворотних потоків енергії, імпульсу, ентропії та кількості квазічастинок через функцію розподілу. Здобуто вираз для виробництва ентропії через незворотні потоки з урахуванням зовнішніх полів, які модулюють енергію квазічастинок. У випадку малих градієнтів температури, хімічного потенціалу та дрейфової швидкості, згідно теорії Онзагера, незворотні потоки є лінійними функціями цих градієнтів та визначаються через кінетичні коефіцієнти, а коли дрейфова швидкість є малою, то сила зовнішнього тертя буде її лінійною функцією: Ri = - r ilul. Лінеаризовані відносно дрейфової швидкості u, газодинамічні рівняння квазічастинок, за відсутності зовнішніх полів в ізотропному середовищі подібні рівнянням Нав'є-Стокса в звичайних рідинах. При виведенні рівнянь переносу квазічастинок накладалися певні обмеження на u, T та їхніх похідних за часом і координатами. У разі газодинамічного опису квазічастинок дрейфова швидкість не повинна перевищувати характерну швидкість подібну швидкості звуку у звичайній дозвуковій газодинаміці. У нашому випадку, такою характерною швидкістю є швидкість вторинних хвиль WII (u < WII). Температура повинна бути меншою за характерну температуру газу квазічастинок Q (T < Q), яка дорівнює температурі Дебая QD для фононів; для магнонів – температурі Кюрі TC у випадку феромагнетиків та температурі Нієля TN для антиферомагнетиків. Умови для градієнтів u, T зручно записати, використовуючи поняття довжини вільного пробігу lk = tkWII, lh = thWII, розглядаючи теплопровідність та в'язкість як явища дифузії енергії та імпульсу газу квазічастинок з характерною швидкістю порядку WII: lk|СT/T|<<1; lk|Сu/WII|<<1. Умови, які накладалися на характерний час зміни газодинамічних змінних, мають вигляд: Dt >>max(tk, th).

Виведені в цьому підрозділі рівняння газодинаміки квазічастинок є базою для подальшого вивчення як лінійних, так і нелінійних вторинних хвиль, розглядання збудження вторинних хвиль зовнішніми полями, дослідження гідродинамічних флуктуацій в газі квазічастинок у наступних розділах.

У підрозділі 1.4 знайдено рівняння переносу бінарної суміші квазічастинок сорту a та b, які переважно взаємодіють між собою у своїх підсистемах та слабко взаємодіють з квазічастинками інших підсистем. У цьому випадку можливі умови, в яких підсистеми мають різні температури та дрейфові швидкості квазічастинок. Урахування взаємодії між квазічастинками із підсистем a та b призводить до появи у рівняннях переносу додаткових доданків, які пов'язані з взаємним тертям, обміном енергії та ентропією між підсистемами.

У підрозділі 1.5 розглянуто загальну теорію вторинних хвиль в газі квазічастинок. Спираючись на лінійні рівняння газодинаміки квазічастинок, здобуто дисперсійне рівняння для вторинних хвиль

(3)

та вирази для швидкості і коефіцієнта згасання вторинних хвиль у різних випадках. Вторинні хвилі мають лінійний закон дисперсії WII = kWII. Умови існування слабкозгасаючих вторинних хвиль GII << WII призводять до накладання умови на частоту WII, відомої як "вікно" існування вторинних хвиль. У ізотропному випадку, коли кількість квазічастинок не зберігається, вирази для WII та GII мають простий вигляд:

; . (4)

У цьому випадку “вікно” існування вторинних хвиль має вигляд:

, (5)

де ; ; ; – дифузійні часи.

Розглянуто розповсюдження вторинних хвиль у бінарній суміші квазічастинок. Без урахування взаємодії між квазічастинками різних підсистем у них розповсюджуються вторинні хвилі з різними фазовими швидкостями W(a)II та W(b)II. Доведено, що при слабкій взаємодії квазічастинок підсистем a та b ці швидкості рівні фазовим швидкостям вторинних хвиль для цих підсистем, ізольованих одна від одної. Коефіцієнти згасання цих хвиль будуть відрізнятися додатковими доданками, які враховують взаємне тертя та теплообмін між підсистемами. У випадку бінарної суміші, коли в одній з підсистем присутні квазічастинки, для яких процеси взаємодії зі збереженням їхньої кількості є найбільш ймовірними, в коефіцієнт згасання додається доданок, який враховує процеси, що приводять до незбереження числа квазічастинок. Наявність додаткових доданків в згасанні вторинних хвиль може призвести до звуження областей їхнього існування.

Досліджено властивості вторинних хвиль, знайдені густини енергії вторинних хвиль, потоку енергії, яку вони переносять.

Користуючись лінеаризованими рівняннями газодинаміки квазічастинок з урахуванням зовнішніх полів, які модулюють енергію квазічастинок та змінюються за гармонійним законом із частотою W0 і амплітудою, що залежить від координати, здобуто рівняння вимушених вторинних хвиль

, (6)

де D– оператор Лапласа, k0 = W0/WII, а амплітуда вимушеної сили дорівнює

. (7)

Це рівняння є головним при дослідженні збуджень вторинних хвиль зовнішніми полями у розділах 2, 3, 4.

Доведено, що коефіцієнт згасання вторинних хвиль в газі квазічастинок можна знайти, з урахуванням усіх дисипативних процесів, згідно формули ГII = Dres./eres.

У підрозділі 1.6 розглянуто адіабатичний нагрів газу квазічастинок зовнішніми полями, які модулюють енергію квазічастинок, та збудження вторинних хвиль цими полями. Адіабатичний нагрів газу квазічастинок є подальшим розвитком ідей, висловлених А.І. Ахієзером, стосовно згасання низькочастотного звуку в кристалах.

Використовуючи узагальнену Н-теорему Больцмана, знайдена така нижня межа потужності, яка поглинається газом квазічастинок при адіабатичному нагріві від зовнішніх джерел сторонніх полів:

D =. (8)

Для її знаходження треба знати величину dp, яка визначається кінематичною частиною кінетичного рівняння Больцмана, та частоту зіткнень n квазічастинок n(n)p. Спираючись на узагальнену Н-теорему Больцмана та на густину джерел ентропії, яка записана через кінетичні коефіцієнти, знайдені нижні межі значень цих коефіцієнтів. У подальшому розгляді в розділах 2, 3 доведено, що вони мають той же порядок величин, що й обчислені за допомогою методу, подібного до методу Чепмена-Енськога.

Стаціонарний перенос тепла квазічастинками через кристалічну пластину розглянуто у підрозділі 1.7. Знайдено розв'язок рівнянь, які описують цей процес, та побудовано графіки розподілу полів дрейфової швидкості та температури в пластині. Обчислено коефіцієнт ефективної теплопровідності для кристалів, який якісно збігається з експериментальним. Кількісне порівняння цього коефіцієнту з експериментальним дає можливість знайти феноменологічні константи, що входять до граничних умов, та оцінити чистоту кристалів і їхню удосконаленість.

Хвилі другого звуку в діелектричних кристалах розглянуто в другому розділі. У підрозділі 2.1 здобуто частоти акустичних фононів та матричні елементи взаємодії фононів між собою у моделі зведеного ізотропного кристалу стосовно модулів пружності, яка за своїми пружними властивостями мало відрізняється від реальних кристалів. Це надає можливість обчислити частоти зіткнення фононів між собою. Зокрема, здобуто частоту зіткнення повздовжніх фононів між собою з урахуванням їхніх дисперсій та скінченого часу життя, яка буде використана далі у підрозділі 2.3. В цій моделі швидкість другого звуку дорівнює:

. (9)

Для обчислення кінетичних коефіцієнтів в рівняннях газу фононів в кристалічних діелектриках у підрозділі 2.2 застосовується метод, подібний до методу Чепмена-Енськога, з використанням побудованої системи некласичних ортогональних поліномів з ваговою функцією (a = 4, 5). Коефіцієнти фононної в'язкості та гідродинамічної теплопровідності мають вигляд: ; . Скориставшись відомими значеннями модулів пружності для деяких реальних кристалів кубічної сингонії та для кварцу, що належить до тригональної сингонії, в моделі зведеного ізотропного кристалу обчислені коефіцієнти ah, ak та наведені в таблиці 2.1. З'ясовано, що вони мають такий порядок величини ah ~ 10-2 а ak ~10-4, тоді як при якісних оцінках із загальних міркувань та міркувань вимірності, вони покладались рівними одиниці. На прикладі кристалів кубічної сингонії доведено ефективність побудованої моделі зведеного ізотропного кристалу. Для цих кристалів обчислено значення частоти зіткнень фононів за рахунок процесів перекиду в моделі зведеного ізотропного кристалу. За допомогою здобутих кінетичних коефіцієнтів для кристалу NaF знайдено температурний інтервал існування другого звуку, який співпадає з інтервалом, де другий звук спостерігався експериментально. Число, подібне до числа Прандтля в теорії звичайних газів, в фононній газодинаміці для розглянутих кристалів становить величину порядку 102, що свідчить про визначальний характер явищ фононної в'язкості в дисипативних процесах.

У підрозділі 2.3 розглянута кінетична теорія поглинання низькочастотного першого звуку в діелектриках з урахуванням взаємодії трьох повздовжніх фононів, їхньої дисперсії та обмеженого часу життя. Показано, що урахування цих процесів вирішує “проблему повздовжніх довгохвильових фононів” Померанчука без залучення процесів взаємодії фононів вищого порядку.

Зв'язані хвилі за участю хвиль другого звуку розглянуті у підрозділі 2.4. Якщо враховувати коефіцієнт теплового розширення, то виникають зв'язані хвилі першого та другого звуків, так звані термопружні хвилі. Знайдені частоти та коефіцієнти згасання цих хвиль. Коли разом з коефіцієнтом теплового розширення враховуються піроелектричні коефіцієнти в п'єзодіелектриках, то в них виникають зв'язані хвилі, за участю хвиль другого звуку, так звані термоелектромеханічні хвилі, які раніше не були досліджені. Знайдено частоти та коефіцієнти згасання термоелектромеханічних хвиль.

У підрозділі 2.5, користуючись рівнянням вимушених вторинних хвиль доведеному у розділі 1, розглянуто збудження хвиль другого звуку в піроелектриках змінним просторово-неоднорідним зовнішнім електричним полем, яке модулює енергію фононів. Збудження хвиль другого звуку розглянуто на конкретному прикладі плоского конденсатору, заповненого діелектриком товщиною 2d, на обкладинках якого задане змінне просторово-періодичне електричне поле. З'ясовано умови реалізації цього методу збудження хвиль другого звуку.

Вторинні хвилі в газі магнонів досліджені в третьому розділі. У підрозділі 3.1 розглянуто магнонний газ в одноосному феромагнетику з магнітною анізотропією типа “легка вісь”. Якщо дипольна взаємодія не суттєва, тобто xm = 4pm0M0/T << 1, то закон дисперсії у магнонів буде квадратичним, неізотропним: ws = wa + aij kikj.

Знайдені всі термодинамічні величини, які характеризують квазірівноважний стан у газі магнонів, котрі визначаються через спеціальні функції, введені В.Ф. Алексіним

, (10)

а у другом граничному випадку, коли xm >>1, та й через функцію

. (11)

У випадку, коли xm <<1, швидкість вторинних хвиль дорівнює:

. (12)

З цієї формули випливає, що коли енергія активації мала, тобто xa = hwa /T<<1, то у газі магнонів, кількість яких при взаємодіях не зберігається або зберігається, швидкості вторинних хвиль однакові. А в області xa>>1 – ці швидкості різняться числовим множником та відповідно дорівнюють: ; .

Якщо xm >>1, то кількість магнонів при взаємодіях не зберігається. Доведено, що компоненти тензору мас в напрямках, перпендикулярних до осі анізотропії, у xm разів менша, ніж вдовж осі анізотропії. Це призводить до сильної анізотропії швидкості вторинних хвиль:

. (13)

У ізотропному феромагнетику з квадратичним законом дисперсії здобуті всі термодинамічні величини в газі магнонів, як функції u, q, m, у загальному вигляді виражені через функції F(z, a). Ці величини будуть необхідні при вивченні нелінійних вторинних хвиль в газі магнонів у розділі 5.

У підрозділі 3.2 проведено розрахунок кінетичних коефіцієнтів в газі магнонів за допомогою методу, подібного до методу Чепмена-Енськога, з використанням системи некласичних ортогональних поліномів, побудованих на основі вагової функції (aі1; xaі0), з моментами Cn(a) = G(a+n+1)F(xa,a+n) . Знайдено коефіцієнти першої та другої магнонних в'яз костей, гідродинамічної теплопровідності. Доведено, що їхня нижня межа, яка здобута із використанням узагальненої Н-теореми Больцмана, має той же порядок величин.

Число, подібне до числа Прандтля для звичайних газів, в газі магнонів слабко залежить від температури та за порядком величини дорівнює 0,2 – 0,3. Це означає, що явища в'язкості та газодинамічної теплопровідності дають порівняний внесок до дисипативних процесів.

Знайдено коефіцієнт згасання вторинних хвиль в газі магнонів в області температур 10QC(4m0M0/QC)3/2 <<T<< Q2D /QC, коли внеском від фононної підсистеми можна знехтувати. На прикладі кристалів YIG в області температур від 1 К до 20 К доведено, що довжина пробігу за рахунок процесів перекиду дуже велика, а умова існування вторинних хвиль визначається нерівністю lh << d, де d– розмір зразка. Коефіцієнт згасання вторинних хвиль визначається виразом:

. (14)

У підрозділі 3.3 розглянуто незворотні процеси в газі магнонів в бінарній суміші з фононами. Для визначення умов, за яких газ фононів та магнонів можна розглядати як єдиний газ або бінарні суміші, необхідно знати час релаксації хімічного потенціалу магнонів, релаксації температур та дрейфових швидкостей магнонів та фононів. Здобуто оцінки кінетичних коефіцієнтів, зв'язаних з процесами взаємодії магнонів та фононів, коефіцієнти взаємного тертя , обміну енергією між магнонами та фононами , які дають можливість одержувати часи вирівнювання різниці дрейфових швидкостей та температур бінарної суміші магнонів та фононів. Знаючи всі величини релаксації, можна встановити для заданого характерного макроскопічного часу Dt область температур, всередині якої можна застосувати гідродинамічний опис та критерії застосовності рівнянь для бінарних або однокомпонентних систем квазічастинок. Звести ці критерії у загальному випадку дуже важко, оскільки вони залежать від більшого числа параметрів, характерних для заданого феромагнетика. Для достатньо добре вивченого кристалу YIG на рис. 1 наведені графіки зворотних часів релаксації в інтервалі від 103 до 107 с-1 внаслідок різних процесів взаємодії магнонів та фононів в області температур від 0,4 К до 17 К в логарифмічному масштабі. За заданих значень характерного часу Dt та температури приведені криві дозволяють зробити висновок стосовно застосовності різних моделей при гідродинамічному описі газу фононів та магнонів, а значить і про вторинні хвилі в них.

У підрозділі 3.4 розглянуто газ магнонів та вторинні хвилі у ньому в антиферомагнетиках типу “легка площина”, в яких існують низькочастотні (a) та високочастотні (b) магнони з частотами: , . Знайдені значення термодинамічних функцій, які можуть бути виражені через введені В.Ф. Алексіним спеціальні функції.

Скориставшись властивостями цих функцій, які наведені у Додатку В, доведено, що внеском високочастотних магнонів в термодинамічні функції можна знехтувати, за виключенням випадку Db<< T. Знайдено відхилення густини магнітного моменту, яке в області низьких температур та малих магнітних полів має іншу залежність від магнітного поля та температури, ніж знайдені раніше. В цій же області відхилення магнітної сприятливості має вигляд:

, (15)

із якого витікає, що при виконанні нерівності T<3m20H2D/4pDa, Dcxx змінює знак. Цю зміну знаку можна спостерігати експериментально. В силу знайденої рівності , швидкість вторинних хвиль в газі магнонів має вигляд: , де густини магнонних ентропії та теплоємкості дорівнюють:

,

. (16)

Доведено, що коефіцієнт магнонної гідродинамічної теплопровідності дорівнює нулю, якщо користуватися наведеним вище законом дисперсії магнонів в антиферомагнетиках.

Використовуючи метод, подібний до методу Чепмена-Енськога, та систему некласичних ортогональних поліномів, побудованих на основі вагової функції , знайдені коефіцієнти магнонних в'яз костей та коефіцієнт згасання вторинних хвиль.

У підрозділі 3.5 розглянуто метод резонансного збудження вторинних хвиль в газі магнонів в феро- та антиферомагнетиках змінними просторово-неоднорідними магнітними полями, знайдені умови його реалізації.

Газ магнітогідродинамічних плазмонів в слабкотурбулентній плазмі та вторинні хвилі в ньому розглянуто у четвертому розділі. У підрозділі 4.1 введено гамільтонівський формалізм опису магнітогідродинамічних плазмонів в слабкотурбулентній плазмі як для плазми з ізотропним тиском, так і для плазми з анізотропним тиском у моделі Чу-Гольдбергера-Лоу. Знайдено матричні елементи взаємодії цих плазмонів.

У підрозділі 4.2 знайдено інтегральне рівняння для визначення зсуву енергії плазмонів за рахунок їхньої нелінійної взаємодії між собою в слабкотурбулентній плазмі. На основі цього рівняння доведено, що в слабкотурбулентній магнітоактивній плазмі закони дисперсії альфвенівських та повільних магнітозвукових хвиль істотно змінюються в області малих значень подовжньої (вздовж магнітного поля) складової хвильового вектору. Модифіковані закони дисперсії цих хвиль залежать від рівня турбулентних пульсацій та дорівнюють:

; . (17)

Здобуто нелінійний додаток до частоти альфвенівських хвиль в слабкотурбулентній магнітоактивній плазмі із анізотропним тиском, який по-різному залежить від щільності енергії турбулентних пульсацій поблизу та вдалині від області “шлангової” нестійкості, має стабілізуючий характер та змінює її критерій

, (18)

У підрозділі 4.3 розглянуто кінетику магнітогідродинамічних плазмонів в слабкотурбулентній плазмі та доведено, що усунення розбіжності, яка виникає без урахування модифікації законів дисперсії, призводить до того, що частоти зіткнень для деяких процесів взаємодії чотирьох плазмонів будуть одного порядку з частотами зіткнень для процесів взаємодії трьох плазмонів.

У підрозділі 4.4 розглянуто адіабатичний нагрів газу магнітогідродинамічних плазмонів в слабкотурбулентній плазмі за допомогою зовнішнього змінного магнітного поля. Знайдено коефіцієнт згасання зовнішніх магнітогідродинамічних хвиль в слабкотурбулентній плазмі.

У підрозділі 4.5 розглянуто вторинні магнітогідродинамічні хвилі в слабкотурбулентній плазмі. Обчислено швидкість та коефіцієнт згасання цих хвиль. Доведено, що вони розповсюджуються здебільше вздовж магнітного поля, фазова швидкість залежить від співвідношення між швидкістю звуку VS та альфвенівською швидкістю VA, знайдено коефіцієнт згасання цих хвиль та область їхнього існування. За умови V2S << V2A, швидкість вторинних магнітогідродинамічних хвиль дорівнює:

. (19)

Рівняння вимушених вторинних магнітогідродинамічних хвиль здобуто у підрозділі 4.6. За його допомогою розглянуто метод їхнього резонансного збудження зовнішнім магнітним полем.

Запропоновано метод резонансного нагріву слабкотурбулентної високотемпературної плазми на частотах вторинних магнітогідродинамічних хвиль. Можливість такого нагріву та умови його реалізації розглянуто на прикладі слабко неоднорідного плазмового циліндру, який знаходиться в сильному магнітному полі, промодульованому гофрованим змінним магнітним полем.

У п'ятому розділі розглянуті нелінійні вторинні хвилі в газі квазічастинок, які відносяться до гіперболічних хвиль.

З системи нелінійних рівнянь газодинаміки квазічастинок без урахування дисипацій в одномірному випадку у підрозділі 5.1 здобуто рівняння, яке описує прості вторинні хвилі, подібні до хвиль Рімана, і має вигляд:

, (20)

де q – відносна температура, , – параметр нелінійності. Характерною властивістю простих хвиль, які описуються цим рівнянням, є укручення їхнього профілю, перекидання та утворення ударних хвиль. У підрозділі 5.2 враховуються дисипації у рівняннях газодинаміки квазічастинок і в одномірному випадку з них виводяться узагальнене рівняння Бюргерса, яке буде описувати квазіпрості вторинні хвил:.

, (21)

де , – враховують дисипації. В області існування вторинних хвиль воно зводиться до звичайного рівняння Бюргерса: , яке можна точно проінтегрувати за допомогою підстановки Хопфа-Коула.

Знайдено параметр нелінійності для нелінійних вторинних хвиль в фононній газодинаміці та магнонних газодинамік в феро- та антиферомагнетиках, який має наступний порядок .

У підрозділі 5.3 з'ясовано можливість експериментального спостереження характерної зміни профілю нелінійних хвиль другого звуку на прикладі чистих монокристалів NaF, в яких хвилі другого звуку спостерігались експериментально.

Гідродинамічні флуктуації в газі квазічастинок та розсіювання Мандельштама-Бріллюєна на вторинних хвилях в ньому розглянуто в шостому розділі. У підрозділі 6.1 досліджено гідродинамічні флуктуації в газах квазічастинок. При цьому використано метод, який застосовували при вивчені флуктуацій у рідинах. Цей метод полягає на введені сторонніх джерел у дисипативні потоки та у використанні флуктуаційно-дисипативної теореми. Здобуто спектральні густини кореляційних функцій гідродинамічних флуктуацій як у газодинаміці із незбереженням (підпідрозділ 6.1.1), так і зі збереженням (підпідрозділ 6.1.2) кількості квазічастинок при взаємодіях. Доведено, що вони в області існування вторинних хвиль мають лоренцеву форму. Для деяких чистих монокристалів кубічної сингонії на рис.2 наведено графіки температурної залежності резонансної спектральної густини флуктуації енергії фононного газу, яка обчислена в моделі зведеного ізотропного кристалу (підпідрозділ 6.1.3). Ці графіки дають можливість визначити температурний інтервал існування хвиль другого звуку Для кристалів NaF цей інтервал збігається з областю температур, у якій експериментально спостерігався другий звук. Аналіз цих кривих свідчить, що максимальне значення резонансної спектральної густини флуктуацій енергії фононів є в кристалах LiF, а мінімальне – в Ge. Крім того доведено, що в кристалах Ge, InSb відсутні хвилі другого звуку.

У підрозділі 6.2, за допомогою зворотного перетворення Фур'є із здобутих виразів спектральних густин, обчислені просторово-часові кореляційні функції для відповідних флуктуючих величин та знайдені часові та просторові розміри кореляцій.

Розсіювання Мандельштама-Бріллюєна на вторинних хвилях в газі квазічастинок розглянуто у підрозділі 6.3. При цьому розсіюванні утворюється дуплет розсіяного світла на вторинних хвилях, інтенсивність якого визначається термооптичними коефіцієнтами та спектральною густиною корелятора флуктуації температури, які обчислені в підрозділі 6.1. Експериментальне спостереження цього дуплету буде свідчити про існування вторинних хвиль в газі квазічастинок.

Розсіювання Мандельштама-Бріллюєна на зв'язаних хвилях за участю хвиль другого звуку розглянуто в підрозділі 6.4. Доведено також, що інтенсивність розсіяного світла в дуплеті, що утворюється при розсіюванні на зв'язаних термопружних хвилях, буде значно більшою за рахунок пружньо-оптичних коефіцієнтів, ніж інтенсивність розсіяного світла на хвилях другого звуку. Це полегшує можливість експериментального спостереження хвиль другого звуку.

У додатку А розглянута та проаналізована модель зведеного ізотропного кристалу відносно модулів пружності. Наведено таблицю значень модулів пружності Ландау третього порядку A, B, C для кристалів різних сингоній у моделі зведеного ізотропного кристалу через значення модулів пружності третього порядку цих кристалів.

У додатку Б викладена методика побудови систем ортогональних поліномів з заданою ваговою функцією на заданому проміжку. Наведено формули Гауса найвищої алгебраїчної точності та таблиці значень вузлових точок і вагових множників, які входять до них, для деяких поліномів, що застосовуються при обчисленні кінетичних коефіцієнтів у фононній та магнонних газодинаміках.

У додатку В визначаються спеціальні функції F(z, a), Fi(z, a) та S(n, m; x), що використовуються в магнонній газодинаміці, вивчено їхні властивості, здобуто асимптотичні розклади, записано рекурентні співвідношення і наведені таблиці значень цих функцій для деяких конкретних випадків значень їхніх аргументів.

У висновках наведено основні результаті, здобуті в дисертаційній роботі.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі побудована кінетична теорія вторинних хвиль, типу хвиль другого звуку в Не ІІ, в газі бозе-квазічастинок (фононів, магнонів, плазмонів та ін.), яка надає можливість з єдиного погляду описувати весь комплекс питань, пов'язаних з їхнім існуванням, описом їхніх властивостей, їхнім збудженням та спостереженням. Основою проведених досліджень є здобута в дисертації в кінетичному підході система рівнянь газодинаміки квазічастинок з урахуванням зовнішніх полів, які модулюють енергію квазічастинок. У лінійному наближенні без урахування зовнішніх полів ця система описує, за певних умов, слабкозгасаючі вторинні хвилі, а з урахуванням цих полів – вимушені вторинні хвилі. У нелінійному квадратичному наближенні вона описує, за певних умов, нелінійні квазіпрості вторинні хвилі. Якщо ввести в дисипативні потоки, що входять до цих рівнянь, сторонні випадкові джерела та скористатися флуктуаційно-дисипативною теоремою, то можна дослідити гідродинамічні флуктуації