Національна Академія наук України

Науковий центр “Інститут ядерних досліджень”

Іванюк Федір Олексійович

УДК: 539.142

ТЕОРІЯ ДИСИПАТИВНОГО

КОЛЕКТИВНОГО РУХУ

В АТОМНИХ ЯДРАХ

Спеціальність 01.04.16 – фізика ядра, елементарних частинок і

високих енергій

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в науковому центрі “Інститут ядерних досліджень” НАН України.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Пашкевич Віталій Володимирович, Лабораторія теоретичної фізики Об”єднаного інституту ядерних досліджень, м. Дубна, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Ігнатюк Анатолій Володимирович, Фізико-енергетичний інститут, м. Обнінськ, завідувач теоретичного відділу;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Стешенко Андрій Йосипович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Теренецький Костянтин Олегович, Науковий центр “ІЯД” НАН України, м. Київ, завідувач відділу теорії ядерних реакцій.

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра квантової теорії поля, м. Київ

Захист відбудеться 31 січня 2002 р. о 1415 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.167.01 в Науковому центрі “ІЯД” НАН України за адресою: 03680, м. Київ, пр. Науки, 47.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Наукового центру “ІЯД” НАН України за адресою: 03680, м. Київ, пр. Науки, 47.

Автореферат розісланий 25 грудня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Осташко В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Колективний рух в атомних ядрах проявляється в різноманітних формах – від коливних і обертових збуджень в парно-парних ядрах та гігантських резонансів до процесів з великою зміною форми ядра, які відбуваються при зіткненні важких іонів з ядрами і при поділі ядер. Особливу увагу викликають дисипативні властивості цих процесів – перетворення частини енергії колективного руху у внутрішнє збудження (перехід в тепло).

Явище дисипації енергії було введене в ядерну фізику Крамерсом ще в 1940 році в роботі, присвяченій дослідженню швидкості протікання хімічних реакцій. Поділ ядра розглядався в цій роботі по аналогії з рухом броунівської частинки. Було показано, що врахування взаємодії броунівської частинки із в”язким середовищем призводить до зменшення швидкості розпаду в порівнянні з виразом Бора-Уілера, який був запропонований на рік раніше, і в якому в”язкість колективного руху не враховувалась. Однак, теорія Бора-Уілера була настільки успішною, що робота Крамерса протягом кількох десятиріч залишалась без уваги. Тільки в 70-х роках з розвитком техніки прискорення важких іонів та дослідженням глибоко непружних реакцій, в яких відбувається передача значного числа нуклонів, кутового імпульсу та енергії збудження, проблема дисипації енергії знову привернула увагу фізиків.

Поряд з реакціями глибоко непружних передач інформацію про ядерне тертя отримували з експериментів з поділу ядер, в яких за допомогою вимірів повної кінетичної енергії фрагментів поділу було показано, що під час руху від сідлової деформації до місця розриву відбувається незворотна передача частини колективної кінетичної енергії у внутрішні ступені свободи фрагментів поділу.

Ще одним підтвердженням наявності значних сил ядерного тертя, які суттєво сповільнюють процес поділу, стало відкрите у 80-ті роки перевищення числа легких частинок і гамма-квантів, що вилітають з ядра в процесі поділу, над оцінками на базі статистичної моделі.

Варто відмітити, що інформацію про колективні моди ізоскалярного типу отримують з експериментальних даних, в основному з поділу ядер, досить непрямим способом. Наприклад, шляхом порівняння числа легких частинок чи гамма-квантів, що випромінюються в процесі поділу, з розрахунками в рамках певних теоретичних моделей. Останні повинні мати як мінімум дві складові: опис самої динаміки за допомогою рівнянь типу Фоккера-Планка чи Ланжевена, що дає змогу розрахувати траєкторію руху, та врахування механізму емісії легких частинок чи гамма-квантів. Кожна з цих частин досить складна сама по собі.

Незважаючи на складність проблеми, вдається отримати з експериментальних даних інформацію про колективні коефіцієнти колективного руху. Найбільш цікавою є інформація про дисипативні властивості, представлена або самим коефіцієнтом тертя , або його комбінацією з іншими кінетичними коефіцієнтами: зведеним коефіцієнтом тертя - відношенням до масового параметра , або фактором згасання , де є жорсткістю потенційної енергії. Існує кілька робіт, в яких було проведено такий аналіз. В (Hilscher D., Gontchar I.I., Rossner H., 1994) наведено підбірку результатів про величину зведеного коефіцієнта тертя , отриманих з аналізу багатьох експериментів з поділу ядер. В роботі (Hofman D.J., Back B.B., Paul P., 1995) виконано аналіз залежності фактора згасання від енергії збудження або температури на основі даних про множинність гамма-променів, зареєстрованих при поділі ядра 224 Th.

Як видно з порівняння, проведеного в роботі (Hilscher D., Gontchar I.I., Rossner H., 1994), різні теоретичні підходи дають результати для коефіцієнта тертя, які відрізняються в межах одного-двох порядків величини, що свідчать не тільки про складність проблеми ядерної дисипації, а і про необхідність більш уважного аналізу та розвитку надійних моделей і методів розрахунку коефіцієнта тертя та інших кінетичних коефіцієнтів.

Розуміння механізму ядерної дисипації буде сприяти встановленню правильних уявлень про природу колективного руху в атомних ядрах. Розвиток мікроскопічного підходу, який дасть змогу пояснити різноманітні експериментальні дані про величину ядерної дисипації і, особливо, її залежність від величини енергії збудження, і був завданням роботи, викладеної в даній дисертації.

Актуальність теми. Увага до досліджень колективного руху у важких атомних ядрах та ядерних системах, що утворюються в процесі злиття важких іонів з ядрами, суттєво зросла протягом останнього часу у зв”язку із експериментами по синтезу надважких елементів (Hofmann S., Muenzenberg G., 2000), зокрема, у зв”язку з нещодавнім успішним синтезом елементів з числом протонів Z = 114 та Z= 116 в ОІЯД, м. Дубна (Оганесян Ю.Ц., 1999).

Успіх експериментів у Дубні привернув увагу до реакцій злиття-поділу при невисоких енергіях збудження. Найбільш успішні теоретичні моделі для опису таких реакцій базуються на розв”язку рівнянь Ланжевена для колективних змінних (параметрів деформації) , які задають форму поверхні об”єднаної ядерної системи. Уся інформація про структуру ядра міститься в коефіцієнтах цього рівняння, потенційній енергії та кінетичних коефіцієнтах: тензорах тертя , маси і дифузії . В існуючих розрахунках тільки потенційна енергія визначається досить точно на основі методу оболонкових поправок (Струтинский В.М., 1966). Для тензорів тертя і маси М як правило використовують величини, отримані в макроскопічних моделях (“стіночна формула” Святецького для тертя і метод Вернера-Уілера для масового параметра), а тензор дифузії виражається через коефіцієнт тертя за допомогою співвідношення Ейнштейна: . Ці методи приводять до досить простих виразів для тертя та маси. Однак, як самі величини, так і їх залежність від колективних змінних та енергії збудження не є надійними, оскільки в макроскопічних моделях повністю ігноруються оболонкові ефекти та сили спарювання, які набувають особливого значення при невисоких енергіях збудження. Зокрема, помічене Гофманом, Баком і Паулем різке збільшення тертя при МеВ неможливо пояснити ні за допомогою тертя “стіночної формули”, яке практично не залежить від температури, ні в рамках гідродинамічного тертя, яке зменшується з ростом температури як . Таким чином, не викликає сумніву необхідність створення мікроскопічного підходу для визначення і розрахунків кінетичних коефіцієнтів колективного руху.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації розвинута теоретична модель, яка дозволяє на мікроскопічному рівні проводити розрахунки кінетичних коефіцієнтів, що визначають динаміку процесів з великою перебудовою стану ядра – коефіцієнтів тертя, масових параметрів, жорсткості потенційної енергії. Модель природним чином враховує оболонкові ефекти, сили спарювання, залежність ширини одночастинкових рівнів, яка виникає внаслідок зіткнень нуклонів, від енергії збудження.

Вперше вдалось врахувати вплив на кінетичні коефіцієнти таких тонких структурних ефектів як залежність ширини одночастинкових рівнів від спарювальної взаємодії, обертання об”єднаної системи, відновлення симетрій, порушених спарювальною та коріолісовою взаємодією, узгодження деформації середнього поля та розподілу густини нуклонів у ядрах.

Вперше виконані багаточислені розрахунки кінетичних коефіцієнтів з реалістичними потенціалами скінченої глибини (потенціал Вудса-Саксона) для складних конфігурацій, які ядерна система набуває в процесі поділу чи злиття. Показано, що:

а) при не дуже високих енергіях збудження коефіцієнт тертя збільшується з ростом енергії збудження;

б) спарювальна взаємодія зменшує коефіцієнт тертя практично до нуля;

в) кінетичні коефіцієнти досить стабільні по відношенню до кутового обертання в широкому діапазоні кутових моментів за умови, що усунуто нефізичні компоненти, які виникають внаслідок порушення обертової симетрії гамільтоніана ядра коріолісовою взаємодією;

г) величина кінетичних коефіцієнтів при невеликих температурах та їх залежність від температури суттєво відрізняються від відповідних результатів, отриманих в макроскопічних моделях (“стіночна формула” для тертя і метод Вернера-Уілера для масового параметра), що робить невиправданим використання макроскопічних кінетичних коефіцієнтів для опису колективного руху при невисоких енергіях збудження;

д) розраховане значення коефіцієнта тертя та його залежність від температури добре узгоджуються із значеннями, отриманими шляхом аналізу наявних експериментальних даних.

Практичне значення одержаних результатів. Використання кінетичних коефіцієнтів, отриманих в дисертації, дає змогу проводити реалістичні розрахунки еволюції ядерних систем, розподілів фрагментів поділу по масах та енергії, числа легких частинок, випромінених в процесі поділу, перерізів злиття та поділу ядер, ймовірності утворення залишку випаровування та ін.

Кінетичні коефіцієнти, отримані в рамках викладеного в дисертації підходу, використовуються в даний час в розрахунках динаміки реакцій злиття-поділу шляхом розв”язку рівнянь Ланжевена для змінних форми ядерної системи.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковано в наведених нижче роботах. В роботах, виконаних у співавторстві, здобувач брав безпосередню участь на усіх етапах роботи: у формулюванні проблеми, розв”язку поставленої задачі, розробці методів наближених розв”язків та створенні програм для ЕОМ, проведенні чисельних розрахунків, аналізі отриманих результатів, підготовці робіт до публікації. Деякі публікації з співавторами є подальшим розвитком самостійних робіт здобувача.

Усі найбільш важливі результати дисертації, перераховані у висновках, отримані особисто здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації обговорювались та доповідались на 36-38, 40, 43, 44, 47-51 Всесоюзних (Міжнародних з 1992 р.) нарадах з ядерної спектроскопії та структури атомного ядра (1986-1988, 1990, 1993, 1994, 1997-2001); на 13 і 25 Міжнародних мазурських школах з ядерної фізики (Польща, м.Миколайки, 1985, м.Пяски, 1997); на нараді Київ – Краків – Росендорф – Ржеж (Польща, м.Краків, 1986); на Міжнародній конференції “50-та річниця поділу ядер” (Ленінград, 1989); на міжнародних конференціях “Колективні стани в атомних ядрах” (м. Дубна, 1992, 1999); на російсько-німецькій нараді “Колективні моди в поділі ядер” (м. Дубна, 1996); на 3, 4-й Київських міжнародних школах з ядерної фізики (м. Київ, 1992, 1994); на 4-й Міжнародній конференції “Динамічні аспекти поділу ядер” (Словаччина, м. Братіслава, 1998); на Міжнародній нараді “Транспорт в скінчених багаточастинкових системах” (Італія, м. Тренто, 2000); а також були представлені на Міжнародній конференції з ядерної фізики “Колективний рух в атомних ядрах” (Італія, м. Месіна, 1996); на 3, 4-му Симпозіумах з ядерної фізики (Франція, м. Тур, 1997, 2000).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 22-х статтях у наукових журналах, в 2-х рецензованих збірниках наукових праць, в 5-х роботах у матеріалах і тезах міжнародних конференцій та в 1-му препринті. Список робіт наведений в кінці автореферату.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, шести додатків і списку використаних джерел. Вона написана на 326 сторінках, включаючи 79 рисунків та одну таблицю. Список використаних джерел містить 218 пунктів. На початку кожного розділу робиться короткий вступ, а в кінці приводяться основні результати, отримані в даному розділі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі до дисертації обгрунтована актуальність теми дисертації, сформульована мета і постановка задачі, відмічена новизна роботи, її наукове і практичне значення. Коротко викладені основні експериментальні та теоретичні результати по темі дисертації. Пояснюється структура дисертації, наведені основні результати, отримані в дисертації, і їх апробація.

Розділ 1 присвячений в основному дослідженню статичних і динамічних властивостей атомних ядер в рамках краплинної моделі. При цьому маються на увазі процеси, які супроводжуються великою перебудовою атомних ядер, такі, наприклад, як поділ чи злиття ядер (так звані процеси з великою амплітудою деформації). Спроби описати такі процеси за допомогою хвильових функцій, що залежать від координат окремих нуклонів, виявляються безуспішними через велике число нуклонів, які беруть участь в процесі, що призводить до великих труднощів із розрахунками на обчислювальних машинах. Більш успішний підхід до опису колективної динаміки може бути оснований на введенні в ролі незалежних динамічних змінних параметрів деформації, які задають форму поверхні ядерної системи, і розв”язку динамічних рівнянь типу Фоккера-Планка або Ланжевена для цих змінних. Так як розв”язок динамічних рівнянь все ще вимагає значних затрат машинного часу, бажано обмежитись мінімальним числом динамічних змінних, які давали б досить повну і гнучку параметризацію форми ядра. Ясно, що зменшення числа динамічних змінних є великим спрощенням задачі. Успіх моделі в значній мірі залежить від того, наскільки реалістичним є клас фігур, що задається вибраною параметризацією.

Зручний критерій для вибору параметризації форми ядра можна знайти в ранніх роботах Струтинського (Струтинський В.М., 1962; Strutinsky V.M., Lashchenko N.Ya., Popov N.A., 1963 енергії при заданій деформації. Маючи профільну функцію, неважко розрахувати краплинну енергію ядра чи енергію деформації.

Енергія деформації (в одиницях поверхневої енергії сферичного ядра) показана на рис. 1 залежно від . Для порівняння там же показана енергія деформації, розрахована для послідовності

Рис. 1. Краплинна енергія деформації, розрахована з формами умовної рівноваги (суцільна крива), і з формами, заданими овалами Кассіні (пунктир), залежно від відстані між центрами мас лівої та правої частин ядра. Параметр подільності =0.75.

форм ядра, заданих за допомогою одномірної множини овалів Кассіні. Видно, що до бар”єра поділу овали Кассіні добре описують форму ядра і дають енергію деформації, дуже близьку до мінімуму краплинної енергії. Остання обставина дозволяє використовувати овали Кассіні в одновимірних динамічних розрахунках як досить надійну параметризацію форми ядра.

В пунктах 1.1.2-3 метод визначення форми ядра із мінімуму краплинної енергії узагальнено на випадок мас-асиметричних ядер і ядер, що обертаються. Для цього в варіаційному рівнянні краплинна енергія змінюється на енергію краплі, що обертається (при постійному кутовому моменті кількості руху) і додається ще одне обмеження, яке задає різницю мас лівої та правої частини ядра

В результаті виходить рівняння для профільної функції , аналогічне (2), яке розв”язується тим же методом, що і (2). Розв”язуючи варіаційну задачу (3), можна отримати енергію деформації і рівноважні форми ядер при довільному моменті кількості руху. Деякі приклади енергії деформації наведені на рис. 2, де відношення обертової енергії сферичного ядра (твердотільне обертання) до його поверхневої енергії

Рис. 2. Зліва: Краплинна енергія ядра, що обертається, залежно від відстані між центрами мас лівої та правої частин ядра. Різні криві відповідають різним значенням параметра обертання . Справа: Твердотільний момент інерції, розрахований для тих же значень , що і в лівій частині рисунка.

позначене як . Як і варто було чекати, бар”єр поділу зменшується з ростом моменту кількості руху і повністю зникає при , що відповідає для . В правій частині рисунка наведена залежність від деформації твердотільного моменту інерції ядра для деяких значень y. Видно, що момент інерції (а відповідно і форма ядра) практично не змінюється при варіації y від нуля до . Ця обставина може бути обгрунтуванням використання однієї і тієї ж параметризації форми для ядер, які обертаються, і ядер, які не обертаються.

В пункті 1.1.4 проведено напівкласичний аналіз кутових розподілів і енергетичних спектрів альфа-частинок, які вилітають з об”єднаної системи . Спін об”єднаної системи І і відстань між центрами мас її половинок розглядались як підгоночні параметри. Обчислюючи кутові та енергетичні розподіли частинок для різних профільних функцій і порівнюючи їх з експериментально отриманими розподілами, можна зробити висновок про придатність однієї, чи іншої параметризації форми ядра і про величину параметрів деформації.

Підрозділ 1.2 присвячений дослідженню колективної динаміки в рамках гідродинамічної моделі. Виходячи з рівняння Нав”є–Стокса отримані макроскопічні рівняння для змінних, які задають форму поверхні ядра. Особлива увага приділяється вивченню коефіцієнта тертя і масового параметра, які визначають динамічні властивості системи. Звичайно, в гідродинамічній моделі масові параметри знаходять за допомогою методу Вернера-Уілера (Davies K.T.R., Sierk A.J., Nix J.R., 1976), в якому робиться припущення про рух рідини у вигляді циліндричних шарів. В даному підрозділі застосовано досить загальний метод розв”язку рівняння Неймана для потенціалу поля швидкостей, оснований на використанні теорії потенціалу (Соболєв С.Л., 1966). Результати обох підходів порівнюються між собою. Показано, що для моди видовження метод Вернера-Уілера дає досить точне значення масового параметра. Для більш складних деформацій, наприклад, для деформації, що задає товщину шийки ядра, масові параметри, отримані методом Вернера-Уілера та за допомогою теорії потенціалу, значно відрізняються один від одного.

При визначенні коефіцієнта тертя також порівнюються два методи – стандартний гідродинамічний і метод, який явно враховує скінченні розміри ядерної краплі за допомогою спеціальних граничних умов на поверхні ядра. Показано, що врахування обмежених розмірів краплі суттєво змінює величину коефіцієнта тертя. Остання обставина призводить до помітних відмінностей часу спуску з бар”єра та втрати кінетичноЇ енергії протягом руху від бар”єра до розриву, отриманих у двох підходах і, таким чином, впливає на визначення коефіцієнта тертя шляхом аналізу експериментальних даних на основі однієї, чи іншої моделі.

В підрозд. 1.3 викладені основні принципи методу оболонкових поправок, а також виконано розвиток цього методу і наведено нові результати, зокрема розрахунки енергії деформації для деяких об”єднаних систем, що утворюються в реакціях злиття – поділу, які можуть призводити до синтезу надважких ядер.

У вступі до підрозд. 1.3 визначено основні поняття і величини методу оболонкових поправок.

В пункті 1.3.1 описано оболонкову модель, в якій використовується параметризація форми ядра за допомогою овалів Кассіні, а радіальну залежність середнього поля вибрано у вигляді потенціалу Вудса-Саксона (Пашкевич В.В., 1971). Ця модель використовується нижче для дослідження як статичних, так і динамічних властивостей складних атомних ядер.

В пункті 1.3.2 наведено результати чисельних розрахунків для ядер, що утворюються в реакціях злиття Ці результати становлять частину вхідних даних для розв”язку рівнянь Ланжевена, які описують динаміку ядерної системи.

В пункті 1.3.3 представлено узагальнення методу оболонкових поправок, яке дозволяє досягти високої точності розрахунків оболонкових поправок для систем з великою масовою асиметрією, що утворюються при кластерній радіоактивності важких ядер.

В пункті 1.3.4 проаналізовано роль оболонкової структури у виникненні сильно деформованих станів ядер, що швидко обертаються.

В розділі 2 сформульовано мікроскопічний підхід для опису дисипативних явищ, який використовує так зване наближення часу релаксації для одночастинкової матриці густини. Виведено формули для коефіцієнта тертя та масового параметра, виконано чисельні розрахунки і проаналізовано залежність коефіцієнта тертя і масового параметра від температури і деформації.

Важливість дисипативних явищ відома в теорії поділу ядер протягом багатьох років. Вклади в коефіцієнт тертя дають як зіткнення між нуклонами, так і зіткнення нуклонів з рухомою поверхнею ядра. Підходи, основані на цих двох механізмах, приводять або до так званої двотільної дисипації, або до “стіночної формули”. Залежність коефіцієнта тертя від температури у цих двох підходах повністю різна: “стіночне тертя” практично не залежить від температури, а двотільна в”язкість зменшується при зростанні температури як .

Розвинутий у розділі 2 мікроскопічний підхід дає змогу одночасно врахувати обидва механізми дисипації.

Підрозділи 2.1-2 мають оглядовий характер. В підрозд. 2.1 описано узагальнення методу залежного від часу Хартрі-Фока шляхом врахування зіткнень між нуклонами. Тут виводиться рівняння для залежних від часу чисел заповнення, в якому враховується інтеграл зіткнень.

В підрозд. 2.2 виконано лінеаризацію інтеграла зіткнень та виведено рівняння для одночастинкової матриці густини у так званому наближенні часу релаксації

В підрозд 2.3 введено колективні параметри, які задають форму поверхні ядра і отримано класичне рівняння руху цих параметрів. Вважається, що одночастинковий гамільтоніан залежить від часу не безпосередньо, а через параметри деформації , так що

динамічна змінна) рівняння руху для можна отримати з умови збереження енергії. Воно має вигляд класичного рівняння руху із змінною масою і тертям

Кінетичні коефіцієнти цього рівняння (коефіцієнт тертя і масовий параметр ), виражаються через такі мікроскопічні величини як одночастинкові енергії, числа заповнення, матричні елементи від похідних середнього поля ядра по параметрах деформації. Колективна сила є похідною по деформації від колективної потенційної енергії. Отримані тут коефіцієнт тертя і масовий параметр складаються з двох компонент, які роблять внески у недіагональні (по одночастинкових станах) і діагональні матричні елементи оператора . Дві компоненти коефіцієнта тертя, наприклад, мають вигляд:

Декілька прикладів залежності коефіцієнта тертя від температури наведені на рис. 3. Як видно з рисунка, дві компоненти тертя і проявляють залежність від температури, характерну для одно- і двотільного механізмів дисипації. Недіагональна компонента дуже мала при температурах, менших від 2 МеВ, росте з температурою і досягає плато при . Значення в області плато близьке до значення “стіночного тертя” для потенціалу з різким краєм (нескінченно глибока прямокутна яма) і в декілька разів менше для сильно дифузного осциляторного потенціалу. Залежність від деформації при більшій енергії збудження приблизно така ж, як і залежність “стіночного тертя”.

Рис. 3. Повний коефіцієнт тертя для ізоскалярних квадрупольних коливань відносно сферичної форми (пунктир) та його недіагональна компонента (суцільна крива), визначені рівнянням (11), залежно від температури. Значення “стіночного тертя “ відмічене лінією з жирними крапками. Число нуклонів і вид одночастинкового потенціалу вказані на рисунку.

Діагональна компонента прямо пропорційна часу релаксації , тому має таку ж залежність від температури, як і коефіцієнт тертя в гідродинамічній моделі.

Встановлено, що в діагональній компоненті присутні нефізичні духові вклади, які виникають внаслідок порушення умови збереження числа частинок. Усунення духових вкладів приводить до зменшення діагонального компонента приблизно на порядок.

В розділі 3 розроблено мікроскопічний підхід для визначення кінетичних коефіцієнтів для процесів типу поділу ядер або реакцій злиття-поділу, який використовує теорію лінійного відгуку та локальне осциляторне наближення (Hofmann H. et al, 1976-1977). Виведено явні вирази для функції відгуку та розроблено методи її чисельних розрахунків. Сформульовано метод визначення кінетичних коефіцієнтів шляхом апроксимації колективної функції відгуку функцією відгуку згасаючого осцилятора. Проведено чисельні розрахунки потенційної енергії, жорсткості потенційної енергії, коефіцієнтів тертя та масових параметрів для багатьох ядер залежно від форми ядра та енергії збудження. Показано, що розрахована величина зведеного коефіцієнта тертя, а також його залежність від температури і енергії збудження добре узгоджується з наявними експериментальними даними.

В підрозд. 3.1 зроблено огляд основ теорії лінійного відгуку та локального осциляторного наближення. Одним із основних припущень теорії є представлення гамільтоніана ядра у

тобто вважається, що гамільтоніан в наближенні середнього поля залежить від часу не безпосередньо, а через залежні від часу параметри деформації , а залишкова взаємодія не залежить від форми ядра. Внаслідок останньої обставини генератор колективного руху (похідна від гамільтоніана по параметрах деформації є одночастинковим оператором

Рівняння (15)-(18) повністю визначають функцію відгуку і дають змогу розрахувати її для довільної форми середнього поля і температури. Кінетичні коефіцієнти повільного колективного руху (жорсткість потенційної енергії , коефіцієнт тертя і масовий параметр ) визначаються шляхом апроксимації колективної функції відгуку функцією відгуку згасаючого осцилятора

де колективна функція відгуку виражається через нуклонну функцію відгуку і сталу зв”язку , яка визначається квазістатичними властивостями системи,

В підрозд. 3.2 встановлено зв”язок між макроскопічними підходами і макроскопічною межею теорії лінійного відгуку.

В пункті 3.2.1 макроскопічну межу теорії лінійного відгуку визначено: 1) переходом до нескінченно великої системи; 2) за допомогою усереднення за методом Струтинського.

В першому випадку використовується наближення Томаса-Фермі для густини одночастинкових станів з фіксованим значенням моменту кількості руху. Для квадрупольних коливань системи частинок в нескінченно глибокій прямокутній потенційній ямі отримано аналітичний вираз для коефіцієнта тертя, який співпадає з відповідним виразом “стіночного тертя”.

У другому випадку за допомогою чисельних розрахунків показано, що при достатньо великому інтервалі усереднення коефіцієнт тертя досягає області стабільності (виходить на плато). Значення коефіцієнта тертя в області плато близьке до значення “стіночного тертя”, а величина інтервалу усереднення , при якому досягається плато для коефіцієнта тертя, у 2-3 рази більша за значення , при якому досягається плато оболонкової поправки до краплинної енергії системи.

В пункті 3.2.2 досліджено збудження зовнішнім періодичним полем системи нуклонів в потенціалі Вудса-Саксона. Дослідження проведено в рамках теорії лінійного відгуку і порівнюється з висновками, які випливають із застосування “стіночної формули”. Показано, що “стіночна формула” добре описує лише середню передачу енергії зовнішнього поля нуклонам. Причому інтервал усереднення одночастинкових станів повинен бути дуже великим – порядку енергії Фермі.

В пункті 3.2.3 усереднення за методом Струтинського застосовано до колективної функції відгуку для ізоскалярних коливань та знайдено перехід від резонансної структури функції відгуку до однієї сильно згасаючої моди. Показано, що власна частота цієї моди зсувається в бік малих частот при збільшенні інтервалу усереднення, що пояснюється зменшенням жорсткості колективної потенційної енергії через ослаблення оболонкової структури внаслідок усереднення.

В підрозд. 3.3 розвинуто теорію лінійного відгуку для опису колективного руху, яка використовує реалістичні ядерні потенціали типу деформованого потенціалу Вудса-Саксона і параметризацію форми ядра за допомогою овалів Кассіні, застосування яких дає змогу добре описувати квазістатичні властивості атомних ядер. Виконано чисельні розрахунки кінетичних коефіцієнтів для деформацій, що відповідають дну долини краплинної енергії ядра залежно від енергії збудження. Встановлено, що коефіцієнт тертя зростає при збільшенні температури в інтервалі . Показано, що розрахована величина зведеного коефіцієнта тертя добре узгоджується з наявними експериментальними даними.

Вияснено роль узгодження деформації середнього поля і розподілу густини нуклонів для адекватного порівняння кінетичних коефіцієнтів, отриманих в мікроскопічних та макроскопічних підходах.

Показано, що при температурі Т = 4 – 5 МеВ масовий параметр набуває значення, близького до масового параметра безвихрової нестисливої рідини. Для цих же температур коефіцієнт тертя набуває значення, близького до тертя “стіночної формули”.

При менших температурах як коефіцієнт тертя, так і масовий параметр демонструють резонансну структуру залежно від форми ядра. Положення піків визначається квазіперетинами одночастинкових рівнів поблизу поверхні Фермі. Ці флуктуації помітно зменшуються у зведеному коефіцієнті тертя, який є порівняно плавною функцією від деформації і зростає з ростом температури, див. рис.4.

Рис. 4. Приведений коефіцієнт тертя для ядра залежно від деформації і температури. Пунктиром, штрихом, штрихпунктиром, довгим штрихом і суцільною кривою нанесено дані відповідно для 1,2,3,4 і 5 МеВ. Жирна крива – відношення “стіночного тертя” до масового параметра безвихрової нестисливої рідини.

У підрозділі 3.4 вивчено вплив обертання на потенційну енергію і кінетичні коефіцієнти колективного руху. З цією метою в ядерний гамільтоніан включено член, який враховує коріолісову взаємодію

і знайдено власні значення та хвильові функції раусіана (21) для середнього поля, заданого двоцентровою оболонковою моделлю (Marhun J., Greiner W., 1972). Одержані власні значення і хвильові функції використані для визначення коефіцієнта тертя і масового параметра в рамках теорії лінійного відгуку та локального осциляторного наближення. Досить несподівано виявилось, що як , так і дуже чутливі до таких тонких ефектів як порушення інваріантності гамільтоніана відносно поворотів у просторі коріолісовим членом . Для рівноважних деформацій, близьких до сферичної форми, нефізичні вклади до і такі ж за величиною, як і вклади, що мають фізичне значення.

В пункті 3.4.3. розроблено спосіб видалення духових вкладів методами теорії лінійного відгуку. Для цього введено залежну від часу частоту обертання, часова залежність якої визначається умовою сталості середнього значення кутового моменту. Показано, що після видалення духових вкладів секулярне рівняння для частот коливання ядер, що обертаються, збігається із одержаним раніше в рамках наближення випадкових фаз для ядер, що обертаються (Михайлов І.Н.,Ігнатюк А.В., 1979).

В пункті 3.4.4 викладено результати розрахунків колективної потенційної енергії і транспортних коефіцієнтів уздовж краплинної долини поділу . Встановлено, що при температурах, вищих за МеВ, оболонкова поправка до краплинної енергії ядра практично не залежить від обертання. Коефіцієнт тертя і масовий параметр при температурах вище МеВ досить стабільні по відношенню до обертання, див. рис 5, при умові, що виключено духові вклади, які виникають внаслідок порушення обертальної симетрії. При менших температурах як коефіцієнт тертя, так і масовий параметр збільшуються з ростом частоти обертання .

Рис. 5. Оболонкова поправка до вільної енергії (зліва) для залежно від параметра деформації і зведений коефіцієнт тертя залежно від температури . Суцільні, штрихові, штрихпунктирні і пунктирні криві відповідають значенням кутового моменту .

В розділі 4 досліджено вплив спарювання і оболонкових ефектів на колективну потенційну енергію і кінетичні коефіцієнти, що особливо важливо при невеликих енергіях збудження, зокрема на фінальній стадії реакцій злиття, які використовуються в експериментах по синтезу надважких елементів. Для дослідження впливу спарювання теорію модифіковано в основному у двох аспектах: модель незалежних частинок замінено на модель незалежних квазічастинок

а ширину одночастинкових рівнів замінено відповідною величиною для квазічастинок. Причому параметр щілини спарювання розглядається як незалежна динамічна змінна, така ж, як і параметри деформації ядра.

В підрозд. 4.1 викладено традиційну модель невзаємодіючих квазічастинок для врахування спарювальної взаємодії. Одержано вирази для вільної енергії при довільному значенні параметра щілини спарювання .

В підрозд. 4.2. виведено рівняння для колективних і та відповідних констант зв”зку.

В підрозд. 4.3 перетворення Струтинського для вільної енергії узагальнено на випадок, коли може відрізнятись від рівноважного значення, яке відповідає мінімуму потенційної енергії. Виведено досить простий вираз для оболонкової поправки до вільної енергії

Виконано чисельні розрахунки оболонкової поправки до вільної енергії і показано, що зменшується як при підвищені температури, так і при збільшенні щілини спарювання , див. рис. 6.

Рис. 6. Оболонкова поправка до вільної енергії (23) для системи нейтронів в сферичному потенціалі Вудса-Саксона залежно від температури для (зліва) та залежно від для (справа). Числа нейтронів вказані на рисунку.

В підрозд. 4.4 одержано рівняння для функції відгуку системи взаємодіючих квазічастинок і розраховано ширину квазічастинкових станів , яка виникає внаслідок зіткнень квазічастинок

Показано, що ширина зменшується з ростом щілини спарювання , див. рис. 7, що надалі призводить до зменшення коефіцієнта тертя при включенні спарювання.

Рис. 7. Ширина (24) квазічастинкових станів, взята при енергії Фермі залежно від температури . Різні криві відповідають різним значенням , вказаним на рисунку.

В підрозд. 4.5 особлива увага приділяється закону збереження числа частинок, який порушується при врахуванні спарювальної взаємодії у використаному тут наближенні Бардіна-Купера-Шрифера. Показано, що дотримання закону збереження середнього числа частинок в динамічному процесі можна досягти деякою модифікацією функції відгуку,

Досліджено наслідки заміни (25). Показано, що нехтуючи шириною квазічастинкових станів, з (25) витікає таке ж секулярне рівняння для частот коливань,

як і виведене раніше (Bes D.R., Szymanski Z., 1962; Соловьев В.Г., 1965) в наближенні випадкових фаз. Для частот парних вібрацій перетворення, аналогічне (25), приводить (при нехтуванні шириною квазічастинкових станів) до рівняння

яке було отримане раніше в квазібозонному наближенні (Cusson R.Y., Hara K., 1968).

Чисельні розрахунки коефіцієнта тертя і масового параметра показують, що духові вклади в ці величини мають помітну величину лише для слабодеформованих ядер. Для великих деформацій духові вклади в коефіцієнт тертя і масовий параметр дуже малі.

В підрозд. 4.6 наведено результати чисельних розрахунків тензорів функції відгуку і кінетичних коефіцієнтів для деяких характерних значень параметра щілини і деформацій, які відповідають долині краплинної енергії ядра . Показано, що коефіцієнт тертя практично рівний нулеві при , зростає при збільшенні температури і зменшується з ростом спарювальної щілини , див. рис. 8. Розрахований параметр згасання парних вібрацій набагато менший за одиницю для температур і , що свідчить про те, що при колективному русі величина спарювальної щілини може сильно відхилятись від рівноважного значення.

В підрозд. 4.7 наведено результати чисельних розрахунків коефіцієнта тертя і масового параметра для об”єднаних систем, що утворюються в реакціях Форма об”єднаної системи задавалась трьома параметрами деформації, які фіксують загальне видовження ядра, масову асиметрію і товщину “шийки”. Часті флуктуації коефіцієнта тертя і масового параметра, що обумовлюються квазіперетинами одночастинкових рівнів, відокремлені від оболонкових флуктуацій за допомогою усереднення по деформації. Показано, що чисельні значення коефіцієнта тертя і масового параметра суттєво відрізняються від відповідних величин, отриманих в рамках макроскопічних моделей.

Рис. 8. Коефіцієнт тертя

В додатку А введено систему просторових координат, пов”язану з поверхнею ядра.

В додатку Б наведено деталі обчислення інтегралів, які визначають нуклонну функцію відгуку.

В додатку В отримано явні вирази для матричних елементів від похідної гамільтоніана по параметру деформації для середнього поля, заданого нескінченно глибокою прямокутною потенціальною ямою.

В додатку Д виведено вираз “стіночної формули” для коефіцієнта тертя для малих квадрупольних збурень сферичного потенціалу прямокутної ями.

В додатку Ж наведено явні вирази для найбільш важливих компонент тензора нуклонної функції відгуку при наявності сил спарювання.

В додатку З виведено формули для матричних елементів від x-компоненти оператора кутового моменту на базисних хвильових функціях двоцентрової оболонкової моделі.

Рис. 9. Зліва: Діагональні компоненти

В висновках перераховано найбільш важливі результати, отримані в дисертації.

Сформульовано модель для опису колективного руху великої амплітуди у важких атомних ядрах. В моделі використовуються теорія лінійного відгуку і реалістичні потенціали середнього поля типу деформованого потенціалу Вудса-Саксона, які добре описують квазістатичні властивості ядер. В моделі природним чином враховуються оболонкові ефекти, сили спарювання, залежність ширини одночастинкових рівнів від залишкової взаємодії та енергії збудження.

Модель дає змогу розрахувати на мікроскопічному рівні кінетичні коефіцієнти, які визначають динаміку процесів з великою перебудовою стану ядра (коефіцієнти тертя, масові параметри, жорсткість потенційної енергії). В моделі враховано вплив таких структурних ефектів як обертання об”єднаної ядерної системи, залежність ширини одноквазічастинкових рівнів від величини сили спарювання. Показано необхідність відновлення властивостей симетрії гамільтоніана, що порушуються обертанням або спарювальною взаємодією.

Виконано розрахунки потенційної енергії, жорсткості потенційної енергії, коефіцієнтів тертя та масових параметрів для багатьох важких ядер залежно від енергії збудження і форми, яку ядро набуває в процесі поділу чи злиття.

Показано, що розрахована величина зведеного коефіцієнта тертя (відношення коефіцієнта тертя до масового параметра), а також його залежність від температури і деформації добре узгоджуються з результатами аналізу експериментальних даних.

Показано, що спарювальна взаємодія приводить до значного зменшення ширини одноквазічастинкових рівнів і, відповідно, до зменшення коефіцієнта тертя.

Установлено, що коефіцієнт тертя збільшується з ростом температури в інтервалі . При масовий параметр набуває значення, близького до масового параметра безвихрової нестисливої рідини. Для таких температур коефіцієнт тертя має величину, близьку до тертя “стіночної формули”. При невеликих збудженнях кінетичні коефіцієнти відрізняються в декілька разів від відповідних величин, розрахованих в рамках мікроскопічних моделей (“стіночна формула” для коефіцієнта тертя і модель безвихрової нестисливої рідини для масового параметра).

Досліджено залежність кінетичних коефіцієнтів від колективного обертання ядер. Встановлено, що при температурах, більших за , як коефіцієнт тертя, так і масовий параметр нечутливі до обертання. Для температур знайдено незначний ріст тертя і маси при збільшенні частоти обертання.

Розроблено метод усунення нефізичних вкладів в кінетичні коефіцієнти, що виникають через порушення законів збереження числа частинок і моменту кількості руху при не досить строгому врахуванні сил спарювання і обертання.

В наближенні часу релаксації виведено рівняння руху для змінних, які задають форму поверхні ядра та отримано вирази для коефіцієнтів цього рівняння (для коефіцієнта тертя і масового параметра). Показано, що недіагональна (по одночастинкових станах) і діагональна компоненти коефіцієнта тертя проявляють залежність від енергії збудження, характерну для одно- і двотільного механізмів дисипації.

Досліджено вплив обертання на форму деформованих ядер в краплинній моделі ядра. Показано, що зміна форми ядра (при фіксованому видовженні), пов”язана з обертанням, дуже мала.

Отримано відносно прості вирази для оболонкової поправки до краплинної енергії збуджених ядер при наявності сил спарювання. Проведені розрахунки показують, що оболонкова поправка зменшується як з ростом температури, так і з збільшенням