КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЖУРАВЛЬОВ Віктор Миколайович

УДК 512.552

ГОРЕНШТЕЙНОВІ НАПІВМАКСИМАЛЬНІ КІЛЬЦЯ

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка на кафедрі геометрії

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,професор

КИРИЧЕНКО Володимир Васильович,

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, м. Київ, завідувач кафедри геометрії

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,професор

ДРОЗД Юрій Анатолійович,

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, м. Київ, професор кафедри алгебри і

математичної логіки

доктор фізико-математичних наук,

БОНДАРЕНКО Віталій Михайлович,

Інститут математики НАН України, старший

науковий співробітник

Провідна установа:

Львівський національний університет імені Івана

Франка, кафедра алгебри і топології, Міністерство

освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться “29” жовтня 2001 року о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного

університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6,

механіко-математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

(вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий “27”вересня 2001 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблематика виділення і вивчення класів кілець, які задовольняють деяким модульним умовам є одним з важливих напрямків теорії кілець.

Напівмаксимальні кільця введені О.Г. Завадським і В.В. Кириченком в 1974 році як напівдосконалі нетерові справа напівпервинні кільця, у яких кільце ендоморфізмів кожного нерозкладного правого проєктивного модуля є дискретно нормованим кільцем. Цей клас кілець природньо виникає в теорії цілочисельних зображень. Такі кільця є перетином максимальних надкілець.

Гомологічна розмірність аналогічних кілець під назвою tiled orders (“черепичних порядків”) розглядалася В.А. Ятегаонкаром та Р.Б. Тарсі в середині 70-х років -го століття.

Важливі результати – з теорії сітьових підгруп, які тісно пов’язані з черепичними порядками, отримав З.І. Боревич та його учні.

За допомогою напівмаксимальних кілець Ю.А. Дроздом, О.Г. Завадським та В.В. Кириченком одержано інтерпретацію зображень частково впорядкованих множин, введених Л.О. Назаровою та А.В. Ройтером.

Теорії напівмаксимальних кілець та будові модулей Коена-Маколея над ними присвячено роботи Ю.А. Дрозда, О.Г. Завадського, В.В. Кириченка, К.В. Рогенкампа, Д. Сімсона та багатьох інших.

Відзначимо в зв’язку з цими дослідженнями монографію: D.Linear Representations of Partially Ordered Sets and Vector Space Categories. Gordon and Breach, London (1992).

Комутативні кільця названі пізніше горенштейновими, вперше розглядав Горенштейн (D. Gorenstein) у 1952 році в зв’язку з теорією алгебраїчних кривих. Важливість горенштейнових кілець була усвідомлена в працях відомого американського математика Х. Басса.

В 1978 році В.В. Кириченко отримав зручний критерій, горенштейновості напівмаксимального кільця.

В дисертаційній роботі вивчаються горенштейнові напівмаксимальні кільця та їх зв’язок з квазіфробеніусовими кільцями, досліджуються властивості цих кілець та їх сагайдаків, в термінах сагайдаків характеризується підкласи цих кілець, описуються двобічні ідеали, фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету (номер державної реєстрації 0197U003065).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:

опис горенштейнових напівмаксимальних порядків;сагайдаки яких містять не більше, ніж 7 вершин;

дослідження властивостей сагайдаків горенштейнових напівмаксимальних порядків;

характеризація горенштейнових напівмаксимальних порядків, які ізоморфні трикутним;

знаходження необхідних і достатніх умов, за яких таблиця Келі скінченної групи є матрицею показників горенштейнового напівмаксимального порядку.

Задачі дослідження:

опис ідеалів горенштейнових напівмаксимальних (0,1)-порядків, що лежать у квадраті радикала Джекобсона і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими;

опис ідеалів горенштейнового напівмаксимального порядку з матрицею показників, що є таблицею Келі четверної групи Клейна, які лежать у квадраті радикала Джекобсона цього порядку і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше отримано нові теоретичні результати:

досліджено, як змінюється підстановка Кириченка та матриця суміжності сагайдака зведеного горенштейнового напівмаксимального порядку при ізоморфізмі;

описано з точністю до ізоморфізму всі первинні зведені горенштейнові напівмаксимальні порядки, сагайдаки яких містять не більше, ніж 7 вершин;

доведено, що таблиця Келі скінченної групи G є матрицею показників зведеного горенштейнового напівмаксимального порядку тоді і тільки тоді, коли G=(2)Ч···Ч(2);

доведено, що матриця суміжності сагайдака зведеного циклічного горенштейнового напівмаксимального порядку має вигляд P, де P –– двічі стохастична матриця, а –– натуральне число;

описані ідеали зведених горенштейнових напіваксимальних (0,1)-порядків, які лежать у квадраті радикалу Джекобсона і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими;

описані ідеали, що лежать у квадраті радикалу Джекобсона зведеного горенштейнового напівмаксимального порядку, матриця показників якого є таблицею Келі групи G=(2)Ч(2), ? фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими;

доведено, що зведений напівмаксимальний порядок ізоморфний трикутному горенштейновому порядку тоді і тільки тоді, коли сагайдак Q() є простим циклом Cs або сагайдаком LCs;

доведено, що якщо в кільцевій нерівності горенштейнового напівмаксимального порядку має місце знак рівності, то дія підстановки Кириченка на всі індекси в цьому співвідношенні зберігає знак рівності;

доведено, що значення елементів матриці суміжності сагайдака зведеного первинного горенштейнового напівмаксимального порядку не змінюється при дії підстановки Кириченка на індекси;

доведено, що сагайдак зведеного циклічного горенштейнового напівмаксимального порядку, довжина циклу підстановки Кириченка є простим числом, містить простий цикл, який проходить через всі вершини.

Всі ці результати мають строге доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Одержані результати можуть знайти застосування в дослідженнях горенштейнових порядків та квазіфробеніусових кілець. Деякі з них можуть бути використані при читанні спецкурсів з алгебри.

Особистий внесок здобувача. Результати підрозділів 3.1 та 3.2, а саме — твердження 3.1.1 та теореми 3.1.2 і 3.2.5 — отримані дисертантом у співавторстві з науковим керівником.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися на Київському алгебраїчному семінарі, на Міжнародному алгебраїчному семінарі, присв’яченому 70-річчю науково-дослідницького семінару МДУ з алгебри, заснованого О.Ю. Шмідтом в 1930 році (м. Москва, 13-16 листопада 2000 р.), на Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем”, присв’яченій 65-річчю від дня народження члена-кореспондента НАН України Бублика Б.М. (м. Київ, 25-28 січня 2001 р.), на III Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Суми, 2-8 липня 2001 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1]-[6], які наводяться в кінці автореферату. Всі ці роботи опубліковані у фахових виданнях, що відповідають вимогам ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів (які містять 11 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел складається із 40 найменувань. Загальний обсяг дисертації — 122 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтована актуальність дослідження, показаний зв’язок теми, що досліджується в роботі, із планами наукових досліджень, формулюється мета і задачі дослідження, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення отриманих результатів, особистий внесок дисертанта, апробацію результатів дисертації, вказані структура й обсяг дисертації. В структурі дисертації виділяється чотири розділи I – IV.

У розділі I “Попередні відомості та приклади” приводяться необхідні для нас з теорії кілець та модулів та наводяться приклади горенштейнових напівмаксимальних кілець. Він складається з двох підрозділів.

У підрозділі 1.1 “Попередні відомості” приводяться основні факти про напівмаксимальні кільця, модулі без скруту, горенштейнові напівмаксимальні кільця, квазіфробеніусові кільця та сагайдаки горенштейнових напівмаксимальних кілець.

Нагадаємо означення горенштейнового напівмаксимального порядку. Напівдосконале нетерове справа напівпервинне кільце називається напівмаксимальним, якщо кільце ендоморфізмів кожного нерозкладного правого проєктивного -модуля є дискретно нормованим кільцем. Кожне таке кільце є скінченним прямим добутком первинних напівмаксимаьних кілець вигляду

,

де s1 і є дискретно нормоване кільце з простим елементом , ij є цілими, причому ij+jkik для всіх i, j, k та ii для всіх i. Матриця ()=(ij) називається матрицею показників кільця .

Напівмаксимальний порядок будемо називати горенштейновим напівмаксимальним порядком, якщо є бієктивною –граткою, тобто * є проєктивною лівою –граткою.

Теорема 1.1.4. Наступні умови для зведеного напівмаксимального порядку еквівалентні:

a) кільце — горенштейнове;

b) існує така підстановка : i(i) що ij+ji=ii для i=1, ..., s; j=1,

Надалі підстановка називається підстановкою Кириченка.

Матриця суміжності первинного напівмаксимального кільця виражається через матриці показників радикалу Джекобсона R та його квадрату: [Q()]=(R2)-(R) і є (0,1)-матрицею. Сагайдак зведеного первинного горенштейнового напівмаксимального кільця є сильно зв’язним.

Наступна теорема дає можливість з горенштейнового напівмаксимального кільця отримувати квазіфробеніусові кільця.

Теорема 1.1.8. Нехай — первинний зведений горенштейновий напівмаксимальний порядок з радикалом Джекобсона R і J — двосторонній ідеал такий, що R2JRn (n2). Фактор-кільце /J квазіфробеніусове тоді та тільки тоді, коли існує pR2 таке, що J=p=p.

Зауважимо, що сагайдаки горенштейнового порядку та квазіфробеніусового фактор-кільця співпадають.

У підрозділі 1.2 “Приклади” наводяться приклади горенштейнових напівмаксимальних кілець та обчислюються матриці суміжності сагайдаків цих кілець. Частина наведених прикладів використовується в інших розділах.

У розділі II “Горенштейнові напівмаксимальні кільця, сагайдаки яких містять не більше, ніж 7 вершин” дається повний опис горенштейнових напівмаксимальних порядків, сагайдаки яких містять не більше, ніж 7 вершин та обчислюються сагайдаки цих порядків.

У підрозділі 2.1 “Ізоморфізм горенштейнових порядків” встановлюється, як змінюється підстановка Кириченка горенштейнового порядку та матриця суміжності сагайдака цього порядку при ізоморфних перетвореннях матриці показників горенштейнового напівмаксимального порядку.

Нагадаємо, що два зведених напівмаксимальних порядки в Ms(D) ізоморфні тоді та тільки тоді, коли їх матриці показників отримуються одна з одної перетвореннями наступних двох типів:

віднімання від i–го рядка цілого раціонального числа з одночасним додаванням до i–го стовпчика цього ж числа;

(2) одночасна перестановка двох рядків та відповідних їм стовпчиків.

При перетвореннях першого типу підстановка Кириченка і сагайдак кільця не змінюється. При перетвореннях другого типу, які задаються підстановкою , підстановка Кириченка і матриця суміжності [Q] сагайдака змінюються за формулами:

ґ=--1, [Qґ]=P-1 [Q]P .

Звідси випливає, що неізоморфних горенштейнових напівмаксимальних порядків є стільки, скільки існує різних типів підстановок Кириченка.

У підрозділах 2.2 “Горенштейнові напівмаксимальні кільця, сагайдаки яких містять не більше, ніж 5 вершин” та 2.3 “Горенштейнові напівмаксимальні кільця, сагайдаки яких містять 6 або 7 вершин” описані з точністю до ізоморфізму всі первинні зведені горенштейнові напівмаксимальні порядки, сагайдаки яких містять не більше, ніж 7 вершин та обчислені матриці суміжності сагайдаків цих порядків.

У розділі III “Властивості горенштейнових порядків” характеризуються горенштейнові напівмаксимальні порядки, які ізоморфні трикутним, встановлюються необхідні та достатні умови, за яких таблиця Келі скінченної групи є матрицею показників горенштейнового напівмаксимального порядку, описуються ідеали, що лежать у квадраті радикалу Джекобсона зведеного горенштейнового напівмаксимального порядку, матриця показників якого є таблицею Келі групи G=(2)Ч(2), ? фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими.

У підрозділі 3.1 “Сагайдаки горенштейнових напівмаксимальних порядків” в термінах сагайдаків дається характеризація горенштейнових напівмаксимальних порядків, які ізоморфні трикутним порядкам, та вивчаються властивості сагайдаків горенштейнових напівмаксимальних порядків.

Напівмаксимальний порядок ={, ()} називається трикутним, якщо матриця показників ()=(ij) є трикутною, тобто ij=0 для ij. Горенштейнові напівмаксимальні кільця, які ізоморфні трикутним охарактеризовано в твердженні 3.1.1 та теоремі 3.1.2.

Твердження 3.1.1. Нехай — зведений трикутний напівмаксимальний порядок такий, що Q() є простим циклом Cs або сагайдаком LCs. Тоді — горенштейновий напівмаксимальний порядок.

Теорема 3.1.2. Зведений напівмаксимальний порядок ізоморфний горенштейновому трикутному напівмаксимальному порядку тоді та тільки тоді, коли Q() є простим циклом Cs або сагайдаком LCs. В цьому випадку є ізоморфним порядку Tk,s .

Нехай — первинний зведений горенштейновий напівмаксимальний порядок з підстановкою Кириченка . Елементи матриці показників повинні задовільняти крім кільцевих нерівностей та рівностей з умови теореми 1.1.4 ще й умовам наступних двох лем.

Лема 3.1.3. Якщо ij+jk=ik для деяких i, j, k, то ij+jk=ik .

Лема 3.1.4. Для i, j=1, …, s має місце наступна рівність ij+ji=ij+ji .

Відмітимо такі наслідки, які випливають з цих лем.

Наслідок 3.1.5. Якщо ij+jk=ik для деяких i, j, k, то += для довільного натурального m.

Для i, j=1, …, s має місце наступна рівність ij+ji=+ для довільного натурального m.

Наслідок 3.1.6. Якщо для довільного ji, jk ij+jk>ik для деяких i,k (ik), то +>.

У лемі 3.1.7, твердженні 3.1.8, лемі 3.1.9 та теоремі 3.1.10 наведено властивості сагайдаків горенштейнових напівмаксимальних кілець.

Лема 3.1.7. Для довільних i, j=1, …, s і для кожного натурального числа m має місце рівність =.

Сагайдак Q() зведеного циклічного горенштейнового напівмаксимального порядку з підстановкою Кириченка такою, що =n не завжди містить простий цикл довжини n.

Твердження 3.1.8. Сагайдак Q() зведеного циклічного горенштейнового напівмаксимального порядку з підстановкою Кириченка такою, що =p – просте число, містить простий цикл довжини p.

Нехай підстановка Кириченка розкладається в добуток двох підстановок 1 і 2, що не перетинаються: 1 діє на множині 1, …, n, а 2— на множині n+1, …, n+m; 1=e1+···+en+m — розклад 1 в суму взаємно ортогональних локальних ідемпотентів. Позначимо через Q, Q1, Q2 відповідно сагайдаки кілець , ee, ff, де e=e1+···+en, f=1-e.

Лема 3.1.9. Нехай 1 та 2 — цикли, що не перетинаються, і довжини яких 1=n та 2=m взаємнопрості. Тоді

[Q]=,

де Umn=(uij) — mn-матриця, всі елементи якої рівні 1.

Теорема 3.1.10. Нехай — зведений циклічний горенштейновий напівмаксимальний порядок. Тоді [Q()]=P, де — натуральне число і матриця P двічі стохастична.

З прикладу 7 підрозділу 1.2 видно, що вимога, щоб горенштейновий напівмаксимальний порядок був циклічним є необхідною.

У підрозділі 3.2 “Латинські квадрати та горенштейнові порядки” встановлюються необхідні і достатні умови, за яких таблиця Келі скінченної групи є матрицею показників зведеного первинного горенштейнового напівмаксимального порядку.

Розглядається порядок k, матриця показників якого задана рекурентно:

k=.

Матрицю показників цього порядку можна розглядати як таблицю Келі скінченної групи.

Твердження 3.2.3. k — таблиця Келі групи Gk порядку 2k.

Відмітимо таке твердження.

Твердження 3.2.4. Напівмаксимальний порядок k — горенштейновий з підстановкою Кириченка

=.

Теорема 3.2.5. Таблиця Келі скінченної групи G є матрицею показників зведеного горенштейнового напівмаксимального порядку тоді і тільки тоді, коли G=(2)···(2).

Для порядку k обчислено матрицю суміжності сагайдака

[Q(k)]=

та характеристичний многочлен цієї матриці k(x)=.

Твердження 3.2.6. m(x)=.

У підрозділі 3.3 “Ідеали порядку 2, фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими” описуються всі двобічні ідеали порядку 2, які лежать у квадраті радикалу Джекобсона кільця 2 і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими.

Теорема 3.3.1. Нехай I — двосторонній ідеал кільця 2 такий, що (rad2)nI(rad2)2. Тоді фактор-кільце 2/I квазіфробеніусове лише у таких випадках:

(I)=, I=2, 2;

(I)=, 2;

(I)=, 3;

(I)=, 3.

У розділі IV “Ідеали горенштейнових (0,1)-порядків, фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими” описані ідеали зведених горенштейнових напівмаксимальних (0,1)-порядків, які лежать у квадраті радикалу Джекобсона і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими. Всі горенштейнові напівмаксимальні (0,1)-порядки з точністю до Моріта-еквівалентності вичерпуються двома типами кілець: H та B=, де R — радикал Джекобсона кільця H. У підрозділі 4.1 “Горенштейнові напівмаксимальні (0,1)-порядки” ми приводимо своє доведення цього факту.

У підрозділі 4.2 “Ідеали кільця В” вивчаються двобічні ідеали кільця B.

Лема 4.2.1. Нехай I=— ідеал порядку B. Для елементів k–их стовпчиків матриць (L) і (T) виконується одна з умов:

існують u та v такі, що luk=tvk< lu+1k=tv+1k , u-v1;

l1k=···=lsk=t1k=···=ts-1k<tsk;

lsk=···=l1k=tsk=···=t2k>t1k;

t1k=···=tsk=l1k=···=ls-1k<lsk;

tsk=···=t1k=lsk=···=l2k>l1k;

l1k=···=lsk=t1k=···=tsk.

Аналогічне твердження справедливе і для стовпчиків матриць (M), (K) та рядків матриць (L), (M) і (T), (K).

Лема 4.2.2. Якщо у матриці показників ідеалу кільця B поміняти місцями рядки (стовпчики) з номерами k та s+k, то отримана таким чином матриця буде також матрицею показників ідеалу B.

У підрозділі 4.3 “Ідеали кільця В, фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими” описуються двосторонні ідеали кільця B, які лежать у квадраті радикалу Джекобсона кільця B і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими. Для кільця H ця задача розвязана раніше: фактор-

кільце H/J є квазіфробеніусовим при RmJR2 (R=radH) тоді і тільки тоді, коли J=Rn.

Теорема 4.3.1. Нехай B=— горенштейновий напівмаксимальний (0,1)-порядок, radB — його радикал Джекобсона, J—двосторонній ідеал кільця B такий, що (radB)nJ(radB)2 і фактор-кільце B/J квазіфробеніусове. Тоді J=e1J0···esJ0e1···es, де J0=, ei дорівнюють ei і es+i , а ei=ei , якщо ei=es+i та ei=es+i якщо ei=ei Навпаки, всі фактор-кільця B/J за такими ідеалами є квазіфробеніусовими.

Для доведення теореми використовуються такі відображення:

p(m)=, q(m)= .

Відмітимо таку лему.

Лема 4.3.2. Нехай ekJPu , ek+1JPv (ks).

(a) Якщо p(v)>p(u), то p(v)p(u)+2;

(b) Якщо q(v)>q(u), то q(v) q(u)+2;

(c) Якщо p(v)<p(u), то p(u)=s-1, p(v)=1;

(d) Якщо q(v)<q(u), то q(u)=2s-1, q(v)=s+1.

Матрицю показників будь-якого ідеалу J з умови теореми 4.3.1 можна отримати з матриці показників ідеалу J0 перестановкою рядків з номерами k та s+k для деяких k.

Лема 4.3.3. Перестановка рядків матриці (J0) з номерами k та s+k рівносильна перестановці стовпчиків цієї матриці з номерами w та s+w, де w=, — остача від ділення d на s.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику Кириченку Володимиру Васильовичу за ідейне наповнення, постійну увагу та цінні поради при виконанні даної роботи.

ВИСНОВКИ

В дисертації одержано низку результатів про горенштейнові напівмаксимальні кільця.

Досліджено, як змінюється підстановка Кириченка та матриця суміжності сагайдака горенштейнового порядку. З точністю до ізоморфізму описано всі зведені первинні горенштейнові напівмаксимальні порядки, сагайдаки яких містять не більше, ніж 7 вершин.

Охарактеризовано горенштейнові напівмаксимальні порядки, які ізоморфні трикутним порядкам. Серед зведених напівмаксимальних порядків тільки горенштейнові порядки мають сагайдак, який є циклом Cs або сагайдаком LCs. Ці порядки ізоморфні трикутним.

Доведено, що якщо в кільцевій нерівності горенштейнового напівмаксимального порядку має місце знак рівності, то дія підстановки Кириченка на всі індеки в цьому співвідношенні зберігає знак рівності.

Доведено, що значення елементів матриці суміжності сагайдака зведеного первинного горенштейнового напівмаксимального порядку не змінюється при дії підстановки Кириченка на індекси.

Сагайдак зведеного циклічного горенштейнового напівмаксимального порядку не обов’язково містить простий цикл, який проходить через всі вершини. Якщо ж довжина циклу підстановки є простим числом, то такий простий цикл існує.

Доведено, що матриця суміжності сагайдака зведеного циклічного первинного горенштейового напівмаксимального порядку кратна двічі стохастичній матриці.

Встановлено необхідні і достатні умови, за яких таблиця Келі скінченної групи G є матрицею показників горенштейнового напівмаксимального порядку. З точністю до ізоморфізму така група G єдина.

Описано ідеали горенштейнових напівмаксимальних (0,1)-порядків, що лежать у квадраті радикалу Джекобсона і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими.

Описано ідеали горенштейнового напівмаксимального порядку з матрицею показників, що є таблицею Келі четверної групи Клейна, які лежать у квадраті радикалу Джекобсона цього порядку і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

K.W. Roggenkamp, V.V. Kirichenko, M.A. Khibina, V.N. Zhuravlev. On Gorenstein tiled orders. //Матеріали III-ї Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні. – Суми: СумДПУ, 2001, – с. 100-102.

M.A. Khibina, V.V. Kirichenko, V.N. Zhuravlev. Tiled orders. //Материалы Международного алгебраического семинара. – М.: МГУ, 2000, – с. 77-79.

Журавлёв В.Н. Идеалы горенштейнова полумаксимального порядка, фактор-кольца по которым квазифробениусовы. //Матеріли Міжнародної конференції “Моделювання та оптимізація складних систем”. – Київ: КУ, 2001, т. 1. – с. 26-27.

Журавльов В.М. Про квазіфробеніусові фактор-кільця горенштейнова напівмаксимального кільця. Вісник Київського університету. Серія: математика, механіка. – Київ: КУ, 2000, № 5. – с. 20-25.

Журавльов В.М. Горенштейнові напівмаксимальні кільця, сагайдаки яких містять не більше,ніж 7 вершин. Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2000, № 3. – с. 32-41.

Журавлёв В.Н. Идеалы горенштейнова полумаксимального (0,1)-порядка, фактор-кольца по которым квазифробениусовы. Вопросы алгебры, Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та, 2001, т.3(6) с. 166-178.

АНОТАЦІЇ

Журавльов В.М. Горенштейнові напівмаксимальні кільця. –Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел.–Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

В дисертації отримано ряд результатів про горенштейнові напівмаксимальні порядки.

З точністю до ізоморфізму описано всі зведені первинні горенштейнові напівмаксимальні порядки, сагайдаки яких містять не більше, ніж 7 вершин. Охарактеризовано горенштейнові напівмаксимальні порядки, які ізоморфні трикутним порядкам. Встановлено необхідні і достатні умови, за яких таблиця Келі скінченної групи є матрицею показників горенштейнового напівмаксимального порядку.

Досліджено властивості сагайдаків горенштейнових напівмаксимальних порядків. Доведено, що матриця суміжності сагайдака зведеного циклічного горенштейнового напівмаксимального порядку кратна двічі стохастичній матриці.

Описано ідеали горенштейнових напівмаксимальних (0,1)-порядків, що лежать у квадраті радикалу Джекобсона і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими. Описано ідеали горенштейнового напівмаксимального порядку з матрицею показників, що є таблицею Келі четверної групи Клейна, які лежать у квадраті радикалу Джекобсона і фактор-кільця за якими є квазіфробеніусовими.

Ключові слова: горенштейновий напівмаксимальний порядок, підстановка Кириченка, квазіфробеніусове кільце, сагайдак зведеного горенштейнового напівмаксимального порядку, матриця суміжності сагайдака, матриця показників.

Журавлёв В.Н. Горенштейновы полумаксимальные кольца. –Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел.–Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

В диссертации получено ряд результатов о горенштейновых полумаксимальных кольцах.

Исследовано, как изменяется подстановка Кириченко и матрица смежности сагайдака приведенного первичного горенштейнова полумаксимального порядка при изоморфизме порядка.

С точностью до изоморфизма описаны все приведенные первичные горенштейновы полумаксимальные кольца, сагайдаки которых содержат не более семи вершин. Вычислены матрицы смежности сагайдаков этих колец.

Доказано, что приведенный первичный полумаксимальный порядок изоморфен горенштейновому треугольному полумаксимальному порядку тогда и только тогда, когда сагайдак этого порядка является простым циклом Cs или сагайдаком LCs.

Доказано, что если в кольцевом неравенстве горенштейнова полумаксимального порядка имеет место знак равенства, то действие подстановки Кириченко на все индексы в этом соотношении сохраняет знак равенства.

Доказано, что значения элементов матрицы смежности сагайдака первичного приведенного горенштейнова полумаксимального порядка не меняются при действии подстановки Кириченко на индексы.

Доказано, что сагайдак приведенного циклического горенштейнова полумаксимального порядка, длина цикла подстановки Кириченко которого является простым числом, содержит простой цикл, проходящий через все вершины сагайдака.

Доказано, что матрица смежности сагайдака первичного приведенного циклического горенштейнова полумаксимального порядка кратна дважды стохастической матрице.

Доказано, что таблица Кели конечной группы G является матрицей показателей приведенного горенштейнова полумаксимального порядка тогда и только тогда, когда G=(2)···(2).

Описаны двусторонние идеалы горенштейнова полумаксимального порядка с матрицей показателей, являющейся таблицей Кели группы (2)(2), которые лежат в квадрате радикала Джекобсона этого порядка и фактор-кольца по которым квазифробениусовы.

Описаны двусторонние идеалы приведенного горенштейнова полумаксимального (0,1)-порядка, которые лежат в квадрате радикала Джекобсона этого порядка и фактор-кольца по которым квазифробениусовы.

Ключевые слова: горенштейнов полумаксимальный порядок, подстановка Кириченко, квазифробениусово кольцо, сагайдак приведенного горенштейнова полумаксимального порядка, матрица смежности сагайдака, матрица показателей.

Zhuravlev V.N. Gorenstein tiled orders. Manuscript.

Thesis of the disertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2001.

Some results about Gorenstein semi-maximal orders are obtained.

All reduced prime Gorenstein semi-maximal orders are described (up to isomorphism) whose quivers have at most 7 vertices. Gorenstein semi-maximal orders are characterized which are isomorphic to the triangular ones. Necessary and sufficient conditions are established for the Cayley table of a finite group to be an exponents matrix of a Gorenstein semi-maximal order.

Some properties of quivers of such orders are considered. It is proved that the adjancency matrix of the quiver of a reduced cyclic Gorenstein semi-maximal order is multiple of a twice stochastic matrix.

All ideals of Gorenstein semi-maximal (0, 1)-orders are described which are contained in square of Jacobson radical with quasi-Frobenius quotient rings

Analogous ideals of a Gorenstein semi-maximal order are characterized whose exponent matrix is the Cayley table of the Klein Viergruppe which lie in the square of Jacobson radical with quasi-Frobenius quotient rings.

Key words: Gorenstein semi-maximal order, Kirichenko permutation, quasi-Frobenius ring, quiver of reduced cyclic Gorenstein semi-maximal order, adjacency matrix of the quiver, exponent matrix.