ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА НАН УКРАЇНИ

КАЛИНЯК

Богдан Миколайович

УДК 539.3

ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ

неоднорідних термочутливих пружних тіл зведенням одновимірних крайових задач

до ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.02.04 механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача Національної Академії наук України

Науковий керівник – доктор фізико–математичних наук, професор

Вігак Василь Михайлович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів, завідувач відділу

Офіційні опоненти – доктор фізико–математичних наук, професор
Василенко Анатолій Тихонович,

Інститут механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України, м.Київ, головний науковий співробітник

кандидат фізико–математичних наук, старший науковий співробітник Попович Василь Степанович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів, старший науковий співробітник

Провідна установа – Львівський національний університет ім.Івана Франка,
кафедри механіки та інформаційних систем, Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться 24 грудня 2001 року о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою:

79000, м. Львів-МСП, вул. Наукова, 3–Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79053, м.Львів, вул. Наукова, 3–Б.

Автореферат розісланий 23 листопада 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико–математичних наук П. Р. Шевчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний розвиток техніки й но--вих технологій ставлять підвищені вимоги до міцності та на-дійності кон--струкцій у ши-роких діапазонах температур. Як ві-домо, вла-сти-вості ма-теріалів сут-тєво залежать від температури. Тому при дослі-джен-нях міц-ності та надій-ності конструкцій під дією заданих силових і тем-пе-ра-тур-них навантажень важ-ли--вим є врахування впливу температурних за-леж-ностей характе-ристик матеріалу на розподіл температури і на-пружень у них. Не менш важ-ливим є вра-ху-ван--ня неоднорідності ма-те-ріалу. Остан-нє зу-мов-ле-не, зо-кре-ма, дедалі шир-шим практичним застосуванням ком-позитних та функ-ці-о-наль-но-граді-єнт-них матері-а-лів, характеристики яких опису-ються функціями просторових ко-ор-динат на основі характеристики складових.

Проблеми визначення напружено-деформованого стану в неодно-рід-них або термочутливих (з залежними від температури харак-те-ристиками ма-теріалу) пружних чи термопружних ті-лах досліджу-вались у роботах В. В. Бо-лотіна, Я. Й. Бура-ка, А. Т. Васи-лен-ка, О. М. Гачкевича, Я. М. Гри-го--рен--ка, Д. В. Гри-ліць-ко-го, В. С. Колєсо-ва, Г. Б. Кол-чі-на, Ю.М. Коля-на, Р. М. Кушні-ра, М. П. Ле-ню-ка, В. А. Лома-кі-на, Ю. В. Не-ми---ров--сько-го, Ю. Н. Но-віч-ко---ва, Н. Д. Пан-кра-тової, Я.C. Під-стри--гача, В. П. Пле-ва-ка, В. С. По--пови-ча, Ю. С. По-столь--ни-ка,  Г. Т. Сули-ма, І. І. Фе--дика, J. Barber, N.Y. Tanigava та інших.

Існуючі методи побудови розв'язків задач пружності і термо-пруж-ності орієнтованих, в основному, на їх формулювання у переміщеннях не використовують можливість інтегрування рівнянь рів-новаги, які завжди є зі сталими кое-фіцієн-тами. Після ін-тегрування рів-нянь рів-новаги та ви-зна-чення співвідношень між ком-по-нентами тен-зора на-пру-жень можна значно спростити розрахунок на-пруженого стану в неод-но-рід-них і термо-чут-ливих тілах в порівнянні з розв'язуванням таких задач у пе-ремі-щен-нях за рахунок змен-шення кількості або пони-ження порядку ди-ферен-ціальних рів-нянь зі змінними коефіцієнтами, що ви-пливають з рів-нянь су-ціль-ності у на-пру-женнях для неоднорідних та тер-мочутливих тіл. Крім того, у ви-пад-ку залежності коефіцієнта температуропровідності від тем-пе--ра-тури визначення квазістатичного термонапруженого стану у тер-мо-чутливих тілах відомими способами з наперед заданою точністю не мож-на вважати ефективним, зокрема, при різко нестаціонарних теплових режи-мах, наприклад, при тепловому ударі.

Швидкі методи обчислень розподілу температури і напружень у тер-мочутливих і неоднорідних тілах є також необхідними для ство-рення комп'ютерного програмного забезпечення, придатного для практичного ви-ко-ристання.

Тому є актуальним зведення задач пружності та термопружності для не-од-норідних та термочутливих багатошарових тіл до роз-в'я-зування інте-гральних рівнянь на основі методу інтегрування вихідних дифе-рен-ціальних рівнянь механіки в напруженнях.

Зв'язок роботи з науковими планами й темами. Робота вико-нана у рамках бюджетних тем: "Оптимізація ке-рування термо-пруж-но-пла-стич-ним напруженим станом та темпе-ратур-ними режимами в неодно-рідних ті-лах на основі методу оберненої задачі термомеханіки" (1 липня 1992 р. 31 чер-вня 1997 р., № держ-реєстрації 0193U009588), "Розробка методів і ал-го-рит-мів побудови розв'язків прямих і обернених задач термопружності та гід-р-опружності стосовно оптимізації та відтворення напруженого стану в не-одрідних тілах" (1 липня 1997 р. 31 червня 2002 р., № держреєстрації 0197U017671).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є: зведення розв'язування одно-вимір-них за-дач пружності та термопружності для неод-но-рідних і термочут-ливих тіл до розв’язування інтегральних рівнянь Воль-терра другого роду чи сис-теми інтегральних рівнянь такого ж типу; розробка на цій основі методик та програмного забезпечення визначення напруженого стану у багато-шарових неоднорідних і термочутливих тілах; розробка методик та про-грамного забезпечення для визначення нестаціонарних одно-вимірних тем-пе-ратурних полів і квазіста-тичних температурних напру-жень у неод-но--рідних і термочутливих тілах; дослідження впливу не-од-но-рід-ності та тер-мо-чутливості матеріалів на температурні поля, напруження і термо-напру-ження у вказаних тілах.

Об'єкт дослідження. Напружено-деформований стан порожнистих та суцільних циліндрів і куль, кільцевого і суцільного дисків.

Предмет дослідження. Розподіли напружень та термонапружень в неодно-рідних термочут-ливих багато-шарових пружних тілах, спричинені сило-вими та температурними навантаженнями.

Методи досліджень. В роботі використані: метод інте-гру-вання дифе-ренціальних рівнянь задач пружності та квазі-статичної термо-пружності у напру-женнях і зведення цих задач до інтегральних рівнянь, метод про-стих ітерацій для роз-в'язування отриманих інтегральних рівнянь, метод малого параметра, чисельна методика для розв'язування нелінійних за-дач теплопровідності, дослідження впливу різних факторів на розподіл напружень і термонапружень та збіжності ітераційних процедур.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі з використанням методу інтегрування диференціальних рівнянь пружності та термо-пруж-ності у напруженнях відповідні одновимірні задачі для неодно-рід--них і тер-мо-чут-ли-вих тіл зведено до розв’язання системи інте-гральних рівнянь дру-гого роду типу Вольтерра для визначення на-пру-женого і термо-напру-женого станів у порож-нистих і суцільних цилін-драх та кулях, кільце-вих і су-ціль-них дис-ках; розроблено методики визна-чення одновимірних тем-пе-ратурних полів при асимптотичному тепловому режимі у багато-шаро-вих по-рож-нистих цилін-дричних тілах з врахуванням неоднорідності та темпе-ратурної за-леж-ності тепло-фізичних характеристик матеріалу; роз-роб-лено програмне забезпе-чення та досліджено вплив неодно-рід-но-сті та тер-мо-чут-ливості меха-нічних і теплофізичних характеристик матеріалів на розподіл темпе-ратури і напружень у порожнистих циліндрах.

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечено вико-ри-стан-ням математично апробованої моделі термопружності в неод-но-рід-них і термочутливих тілах та строгістю математичної поста-новки за-дач; зве-ден-ням задач пружності й термопружності до розв’я-зування інтеграль-них рів-нянь Вольтерра другого роду, що забезпечує існування їх точних роз-в’яз-ків; швидкою збіжністю ітераційного ви-значення розв’язків інте-гральних рів-нянь, що грунтується на кон-структивній побудові рів-нянь Вольтерра, тоб-то їх ядрами й виді-ленням правої частини; узгодженням отриманих резуль-татів у деяких часткових випадках з відомими.

Теоретичне значення роботи полягає у розвитку методу ін-тегрування диференціальних рівнянь пружності й термопружності у на-пру-женнях стосовно багатошарових неоднорідних та термо-чут-ливих у кожному шарі тіл і на цій основі зведенні поставлених одно-вимірних задач механіки до розв'язування інте-гральних рівнянь Вольтерра другого роду чи системи інтегральних рівнянь цього типу.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати можуть бути використані: при розрахунках і дослідженнях напруженого стану тіл з вра-ху-ван--ням термо-чут-ли-вості та неоднорідності мате-ріалу для проектування та екс-плуатації трубопроводів, виробів мікро-електроніки, метало-кераміч-них виробів; для розв'язування задач оп-ти--мізації за швид-кодією на-грівання тіл у процесі їх екс-плуатації і технологічних процесах. Швидка збіж-ність числових алго-ритмів і малі часи обчислень до-зволяють ефек-тив-но вико-ристовувати запропо-нований підхід у задачах САПР.

Особистий внесок здобувача. Серед 11 наукових праць за темою дисертації [1 11] чотири роботи опубліковано без співавторів. Основні результати за темою дисертації отримані здобувачем самостійно.

У роботі [1] здобувач брав участь у розробці методу зведення задач пруж-ності та термопружності до інтегральних рівнянь другого роду. Йо-му на-лежить методика визначення температурного поля у тер-мо-чутливому ци-ліндрі. У роботі [2] здобувач стосовно задач пружності для неоднорідних і термочутливих тіл розвинув метод зведення їх до інте-гральних рів-нянь другого роду. Запропоновано ефективне форму-вання ядер інте-гральних рівнянь та виділення нульового наближення. У роботі [3] здобу-вачеві нале-жать числові розрахунки напружень для неодно-рід-них цилін-дричних тіл. У роботі [4] здобувачеві належать участь у поста-нов-ці задачі та числова перевірка збіжності послідовних на-бли-жень роз-в’язків інте-гральних рівнянь другого роду, а також ефективне виділення нульових на--бли-жень, які врахову-ють основні залежності модуля зсуву, коефі-цієнта Пуассона та кое-фіцієнта лінійного розширення від радіальної ко-ор-динати чи температури. У роботі [5] здобувач запро-понував мето-ди-ку ви-зна-чення темпе-ра-турного поля у термочутливому циліндрі при асим-п-то-тичному теп-ловому режимі, здійснив числові до-слідження впливу за-леж-но-сті кое-фіцієнта лінійного розширення й модуля пружності від тем-пе-ра-ту-ри на розподіл напружень у по-рож-нистому ци-ліндрі, дослідив збіж-----ність ітера-ційного процесу. У роботі [6] здобувач здійснив зведення зада-ч пруж-ності й термопружності до розв'язування рів-нянь Воль-терра дру--гого роду, дослідив залежність сумарних на-пру-жень на по-вер-хнях по-рож-нистого циліндра від тем-пе-ратури, обу-мовлену врахуванням термо-чутливості модуля зсуву від тем-пе-ратури. У роботі [7] здобувач здійснив дослідження напружено-де-фор-мованого стану цилін-дричних тіл з враху-ванням неоднорідності мате-ріалу та тер-мочутливості модуля зсуву при наявності рівномірного сило-вого наван-таження на вну-трішній поверхні та температурних навантажень.

Апробація роботи. Матеріали дисертації доповідались на кон-ференції "Крайові задачі термомеханіки", присвяченій 60-річчю з дня народження Ю. М. Коляна (Львів, 1996), ІІІ та IV Міжнародних сим-позіумах укра-їн-ських інженерів механіків (Львів, 1997, 1999), Міжна-родній кон-ференції "Ма-тематические модели физических про-цессов и их свойства" (Таган-рог, 1997), Міжнародній науковій конфе-ренції "Сучасні проблеми меха-ні-ки і мате-матики" (Львів, 1998), ІІІ Між-народному конгресі "Thermal Sres'99" (Краків, 1999), Між-народній кон-ференції "33rd Solid Mechanics Con(Закопане, 2000), V Міжна-родній науковій кон-фе-рен-ції “Мате-ма-тич--ні про-блеми механіки неод-но-рідних структур”, (Луцьк, 2000). В ціло-му ди-сер-та-ційна робота доповідалася і об-го-ворювалася на спеціалізова-ному квалі-фі-ка--цій-ному семінарі "Меха-ніка деформівного твердого тіла" ІППММ ім. Я.С. Під--стригача НАН України (Львів, 2001), спільному семінарі відділів ме--ха-ніки дефор-мівного твердого тіла та термомеханіки цього ж Інсти-туту (Львів, 2001) та спільному семінарі кафедр механіки та інфор-ма-цій-них си-с-тем Львів-ського національного університету ім.І.Франка (Львів, 2001).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в 11 роботах, з них 5 у рецензованих наукових журналах з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків А і Б (16 сторінок) та списку ви-користаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 176 сто-рінок. В роботі подано 34 рисунки та 17 таблиць, з них 6 рисунків і 6 та-блиць у додатках. Весь ілюстративний та табличний матеріал включений в текст. Бібліографія складається із 216 джерел і займає 25 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику проф. Вігакові Василеві Михайловичу за цінні поради і тісну співпрацю.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сфор-мульовано мету і задачі досліджень; відзначено наукову но-виз-ну, тео-ре-тич-не та практичне значення результатів, отрима-них у ро-бо-ті; наве-дено дані про апробацію результатів роботи, її зв'я-зок з науко-вими про-гра-мами, що виконуються в установі, де працює здо-бувач; вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача.

У першому розділі подано огляд та аналіз літератури з проблем пруж-ності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл.

У другому розділі викладено основи методу зведення одновимірних задач пружності й квазістатичних задач термопружності для неодно-рід-них і термочутливих тіл канонічної форми (довгий порож-нистий і су-цільний циліндри, кільцевий і суцільний диски, порожниста і суцільна кулі) до інте-граль-них рівнянь Вольтерра другого роду.

Для пояснення ідеї зведення вказаних задач до відповідних інте-граль-них рів-нянь, достатньо роз-гля-ну-ти визначення напруженого стану у дов-гому по-рож--нистому неод-норід-ному й термочутливому циліндрі з вну-трішнім та зовніш-нім радіу---сами. Циліндр знаходиться під дією сталих вну-трішнього і зовніш-ньо-го зу-силь (тисків) й сили на його торцях; крім того, у циліндрі на-явні ста-ціонарне чи нестаціонарне температурне поле () та масові сили . Введення сумар-них напружень дає змогу при цих наван-таженнях виразити з рівняння рів-новаги радіальні напруження че-рез сумарні:

, (1)

звідки при отримуємо інтегральну умову рівноваги

. (2)

З використанням співвідношення Дюгамеля Ноймана для пружних тіл між деформаціями і напруженнями () диферен-ціа-ль-не рів--няння суцільності для неоднорідного циліндра подано у вигляді

,

звідки шляхом його інтегрування з врахуванням рівності (1) отримано ключове інтегральне рівняння Вольтерра другого роду для визначення сумарних напружень :

, . (3)

Тут ,, модуль зсуву, коефіцієнт Пуассона і коефіцієнт лі-нійного розширення неперервні функції від ; стала, яка разом зі ста-лою осьовою деформацією циліндра визначаються з умови (2) та інтегральної умови рівноваги для осьових напружень

. (4)

Інтегральне рівняння (3) розв'язується методом послідовних набли-жень з нульовим наближенням

, (5)

отриманим з рівняння (3) при , тобто, знехтувавши залежністю напружень від похід-ної . Наступні наближення визначено із реку-рентних співвідношень

, (6)

де сталі , , () кожний раз визначаються з умов (2), (4).

З виразів для визначення напружень в -му наближенні (,) ви-пливає, що у нульовому наближенні враховано основні залежнос-ті ве-личин , , від координати чи температури T у випадку термо-чут-ливих матеріалів, а в наступних наближеннях врахову-єть-ся ще й залежність від похідної . Цим і пояс-нюється швидка збіж-ність ітераційного процесу розрахунку згідно з формулами (5), (6). На-приклад, при наявності дії на циліндр лише зусиль (і = 1,2) (P fT ) у нульовому наближенні сумарні напруження виражаються формулою

, (7)

а при наявності лише температурного поля ( P f  ) тем-пера-турні напруження матимуть вигляд

, (8)

які з певним наближенням визначають напруження, викликані тиском й температурою в неоднорідному та термочутливому циліндрі. Для по-рож-нистого циліндра, виготовленого з однорідного матеріалу, на основі (7) легко отримати сумарні напруження від тисків на вну-трішній та зовніш-ній поверхнях циліндра, які співпадають з відомим точ-ним розв'язком за-да-чі Ляме. З формули (8) одержується точний роз-в'язок квазіста-тичної задачі термопружності для однорідного циліндра.

За отриманим з формул (6) значенням сумарних напружень із співвід-но-шення (1) визначається ра-ді-альна компонента . Тоді ко-лові напру-жен-ня легко визначити на основі рівності , а з одного із фі-зич-них співвідношень пружності осьові напру-жен-ня .

Аналогічним спо-со-бом по-будовано роз-в'яз-ки одно-вимір-них задач пружності й термо-пруж-ності для неоднорідних кільцевого й су-ціль-ного дисків та порож-нистої й суцільної куль.

Отри-мані формули для визначення напруженого стану від вище зга-да-них факторів навантажень у вказаних неоднорідних тілах спра-вджуються також і для термочутливих і неоднорідних тіл. У випадку слід всюди добуток вели-чин замінити на і по-хідну від 1/G згідно з рівністю

Отже, сформульовані одновимірні задачі пружності й квазістатичної тер-мопружності для вказаних неоднорідних і термочутливих тіл зведено до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, що за-без-пе-чує існування точних розв'язків вказаних задач. Їх роз-в'язки визначено з на-перед за-да-ною точністю методом швидкозбіжних простих ітерацій.

У третьому розділі задачі пружності та квазістатичні задачі термо-пружності для багатошарових неоднорідних і термочутливих у кожному ша-рі циліндрі, диску, кулі зведено до розв'язування системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Для цього використано метод інте-гру-вання рівнянь пружності й термопружності у напруженнях. Показано, що для випадку кусково-однорідних тіл з побудованих інтегральних рівнянь можна отри-мати знай-дені іншими авторами точні розв'язки.

Щоб проілюструвати отримані інтегральні рівняння для багато-ша-ро-вих неоднорідних і термочутливих у кожному шарі тіл, досить розглянути не-од-норідний у кожному шарі циліндр під дією таких самих навантажень, як і в попередньому розділі. Вихідні рівняння рівноваги і суцільності за-писано для кожного шару окремо і при їх інтегруванні використо-вуються граничні умови з зада-ними сталими нормальними зусиллями на внут-ріш-ній та зовнішній по-вер-хнях, а також умови ідеального механічного кон-так--ту між шарами. Тоді, як і в попередньому розділі, для ви-зна--чення сумарних напру-жень (j = 1, 2 ... N) в неодно-рід-но-му чи термочутливому циліндрі, який складається з N неоднорідних ша-рів, які відрізняються механічними характе-рис-тиками в місцях їх кон-так-тів, отримано систему N інтегральних рівнянь Вольтерра друго-го роду:

, j = ,2, ...,N. (9)

Тут нумерація шарів починається з внутрішнього шару,

, , (10)

одна з величин ,,,,; , невідомі сталі, які ви-зна-ча-ють-ся з системи N1 алгебричних рівнянь, одержаних з N  1 умов іде--аль-ного механічного контакту між шарами (рівності радіальних пе-ре-мі-щень та радіальних компонент тензора напружень) та інтегральних умов (2) і (4); S(x) - одинична функція.

Розв'язок системи інтегральних рівнянь (9) будується методом простих ітерацій з нульовим наближенням

, (11)

що забезпечує швидку збіжність ітераційного процесу за рахунок ефек-тив-ного визначення нульового наближення (11), з якого при сталих зна-чен-нях параметрів ,, в кожному -му шарі випливають роз-в'яз--ки задач пружності та термопружності для кусково-однорідного циліндра.

Аналогічно виведено системи інтегральних рівнянь Воль-тер-ра другого роду для визначення відповідних сумарних напружень, а, по суті, першого інваріанту напружень у кільцевому диску та порожнистій кулі, що складається з N неоднорідних і термочутливих шарів.

Отже, розв'язування одновимірних задач пружності й термопружності для N-шаро-вих неоднорідних і термочутливих тіл зведене до системи N інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду для визначення першого інваріанту напружень. При цьому інші компоненти тензора напружень визначаються аналогічно як і в попередньому розділі.

У четвертому розділі досліджується вплив неоднорідності та тем-пературної залежності теплофізич-них і механічних харак-те-ристик ма-те-ріалів на розподіл напружень в одношарових і три-ша-рових порож-нистих циліндрах, спричинених силовими і температурними наван-та-женнями при відсутності масових сил.

Для визначення температурного поля, необхідного для роз-в'я-зуван-ня відповідних задач, запропоновано методики роз-в'язу-вання задач теп-ло--провідності при асимптотичному тепловому режимі з врахуванням не-однорідності та термочутливості харак-те-ристик матеріалу для одно-шаро-вих та багатошарових тіл. У циліндричній системі координат одно-ви-мірне температурне поле в таких тілах описується рівнянням тепло-провідності

, j ,2, ...N, (12)

граничними умовами

, , (13)

й умовами ідеального теплового контакту між шарами

де тем-пе--ратурне поле в -му шарі, без-розмірна швидкість на-грі--вання, безрозмірний час, коефіцієнт теплообміну N-го шару, температура внутрішньої поверхні циліндра у момент часу ; , ; , безрозмірні ко-е-фіцієнт теп-ло-провідності та теп-ло-ємність j-го шару (j ,2, ..., N), які є непе-рервними функціями або коор-динати , або тем-ператури у вигляді полінома другого степеня від-носно температури, відне-сені до відповідних їх сталих фізичних величин. Точний аналітичний розв'язок задачі (12) (14) в сенсі асимп-то-тич-ного теплового режиму у випадку залежності тепло-фізичних характе-рис-тик матеріалів від координати має вигляд

, (16)

де

,

, , k ,2. (17)

Для визначення розв'язку нелінійної задачі теплопровідності у тер-мо-чутливому порожнистому циліндрі, коли теплофізичні харак-те-рис-ти-ки матеріалу залежать від температури у вигляді полінома другого сте-пеня відносно температури (15), введемо малий параметр в ролі якого вибира-єть-ся один з кое-фі-цієнтів або . То-ді з метою лінеаризації роз-в'я-зок задачі (12) - (14) подамо у вигляді рядів

, j ,2, ..., N. (18)

Таке подання розв'язку після прирівнювання виразів при одна-кових сте-пе-нях малого параметра дає змогу звести цю задачу до розв'язування сукупності лінійних задач те-плопро-відності для визначення складових , де функції ви-зна-чаються через функції , отри-ма-ні з попередніх наближень. Розв'язок згаданих лінійних задач теплопро-від-ності для асимп-то-тич-ного теплового режиму одержано у вигляді залеж-ностей

. (19)

Тут

, (20)

, сталі, що визначаються з граничних умов і умов ідеального тепло-вого контакту між шарами; функції визначаються через відомі функції попереднього наближення.

Далі наведено дослідження впливу неоднорідності та залежності від температури теплофізичних і механічних властивостей матеріалу на роз-по-діл напружень і термонапружень у порожнистих циліндрах. При цьому температурне поле у всіх розрахунках визначено за наведеними вище фор-му-лами при , , в момент часу , який по-трібний для нагрівання внутрішньої поверхні циліндра при швидкості на-грі-вання від кімнатної темпе-ратури до заданої температури внутрішньої поверхні циліндра.

На основі інтегрального рівняння (3) досліджено розподіл напружень, викли-ка-ний дією внутрішнього тиску в не-одно-рід-ному ци-лін-дрі в залеж-ності від пара-мет-ра q степеневої залежності модуля зсу-ву ( ) і безрозмірного внутрішнього радіуса ци-лінд-ра при . Розрахунки по-ка-за-ли, що кіль---кість ітерацій для досяг-нен-ня відпо-від-ної точності визначення на-пру-жень біль--ше за-лежить від пара-метра , ніж від ве-личини q. При змен-шенні , особливо при <0,4, кількість іте-ра-цій зростає по-рів--няно з . На рис. для = ,7 наведено значення без-роз--мір-них напру-жень у нульово-му і першо-му наближеннях для різ--них зна-чень па--ра--метра q. Для і ну-льо-ві наближення напру-жень відріз-ня-ють-ся від перших не більше, ніж на 5-%, а для перше на-бли--ження опи-сує на-пруження з похибкою менше 1% по-рів-няно з точним розв'язком ці-єї зада-чі при . При цьому друге наближення порівняно з точним роз-в'язком дає змогу визначити напру-ження для з точністю 0,3%.

На рис.2 наведено напруження і від внутрішнього тиску з врахуванням за-лежності мо--ду-ля зсуву від температури за ліній-ним зако-ном при різних коефіцієнтах і для двох швидкостей нагрівання =10oC/хв (363) і =20oC/хв (726). При цьому температурне по-ле ви-зна-че-но без врахування за-лежності те-пло-фізичних ха-рак-те-ристик мате-рі-алу циліндра від тем-пе-ра-тури, тоб--то, за їх середнім зна-чен-ням у зада-ному ді-апазоні тем-пе--ра-тур. Роз--ра-хунки проведено для тру-би зов-ніш-нього діаметру 325 мм з тов-щи-ною стін-ки 60 мм (=0,63), ви-го-тов-ле-ної зі ста-лі 15Х1М1Ф. Та-кі тру-би засто-с-о-ву-ють у тепло-енер-ге-тиці як паро-проводи свіжої пари. Як видно на рис. 2, на-пру-ження від тис-ку в трубі сут-тєво зале-жать від швид---кості її на-гріван-ня. Для вказа-ної марки сталі в діа-па-зоні темпе-ратур 20oC 570oC, на який проек-ту-ється паро-провід, ко--е--фіці-єнт  1/oC. У цьому ви-пад-ку значення су--марних напру-жень , викликаних внутрішнім тиском, при швид-ко-стях на-грі-ван-ня <10 oC/хв -відхиля--

ється від їх значень при = не біль-ше ніж на 5% і тер-мочутливістю моду-ля зсуву матеріалу паропро-воду мож-на знех-ту-вати. Однак при швид-костях на-грі-вання >10 oC/хв і на--пру-жен-ня, викликані внутрішнім тиском, сут-тєво зро-стають порів-няно з їх зна-чен-ня-ми при = і їх необхідно врахо-вувати при роз-ра-хунках паропро-водів на міцність.

Проведені дослідження показують, що для реальних термочутливих матеріалів при розрахунках термонапружень у порожнистому циліндрі достатньо нульового наближення у ключовому інтегральному рівнянні. При цьому радіальні напруження від внутрішнього тиску слабо залежать від неоднорідності та термочутливості модуля зсуву.

На рис. 3 наведено залежність сумарних температурних напру-жень від радіальної координати у три-ша-ровому термочутливому по-рожнис-тому циліндрі з зов-ніш-нім діа-мет-ром 5 мм і тов-щи-ною стінки 1,25 мм (=0,5), виготов-леному з ко-рун--дової ке-ра-міки (94% Al2O3), з тон-ким, тов--щини0,01 мм, ша-ром воль-фра-му (=0,748,=0,752) при відсут--

ності си-лових наван-та--жень і масових сил. Такі ци-лін--дри можуть засто-сову-ва-тись як термочутливі еле-менти тер-мо---метрів опору. На-пру-ження у ци-ліндрі викли-кані тем-пе-ратур-ним полем, яке ви-зна-чається форму-лами (18) (20) при швид-кості нагрі-вання  = з вра-ху--ван-ням термо-чутливисті ме-ха-нічних і теп-ло-фі-зич-них ха-рак-те-ристик скла-дових ци-ліндра. Тем--пе-ра-турні на-пру---ження ви-зна-ча-лись за допо-мо-гою системи ін-те-граль-них рів-нянь (9) при тем--пе-ратурі внут-ріш-ньої по-верхні 500оС. Експе-ри-мен-тальні темпе-ратурні за-леж---ності ха-рак-те-рис-тик всіх мате-рі--алів у пев---них діа-пазонах тем-ператур ап-ро-ксимо-вані полі-номами другого степе-ня відносно темпе-ратури. Для випадків, зображе-них лініями 1 6 кое-фіцієнт тепло-провідності ма-те-рі-алу зов-ніш-нього і вну-тріш-ньо-го ша-рів зале-жить від темпе-ра-тури за лінійним за-ко-ном. Лінія 7, яка відпові-дає розпо-ділові напружень з вра-ху-ванням тем---пе-ра-тур--них за-леж-но-стей всіх характеристик мате-ріалів цилін-дра, вказує на необ-хідність їх повного врахування. -

У додатках А, Б виписані явно вирази правих частин рівнянь тепло-про-відності (12) і наве-дені значення коефіцієнтів тепло-про-відноті, тепло-ємностей, модулів пружності, коефіцієнтів Пуассона, кое-фіцієнтів лінійного розширення деяких матеріалів, гра-фіки їх залеж-но-стей від тем-ператури та апрокси-мація цих залежностей полі-номами другого степеня від-нос-но температури з зазна-ченням відповідних кое-фіці-єнтів кореляції.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У роботі при вирішенні основного завдання зведення одновимірних задач пружності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл канонічної форми до інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду і дослідження впливу неоднорідності та термочутливості мате-ріа-лів на розподіли температури, напружень та термонапружень з вико-ристанням одержаних інтегральних рівнянь отримані такі результати:

1. Для тіл простої форми (циліндра, диска, кулі), виготовлених з неод-норідних і термочутливих матеріалів, запропоновано спосіб зведен-ня одновимірних задач пружності й термопружності до інтегральних рів-нянь Вольтерра другого роду відносно першого інваріанта тензора напружень.

На основі розробленого способу розв'язки вказаних задач механіки для багатошарових неоднорідних і термочутливих в кожному шарі тіл зведено до системи інтегральних рівнянь типу Вольтерра другого роду.

2. Для побудови розв'язків отриманих ключових інтегральних рівнянь й системи інтегральних рівнянь використовується метод простих ітерацій, який забезпечує швидку збіжність ітераційного процесу за рахунок вигід-но виділеного нульового наближення та сформованих ядер інтегральних рівнянь. Для окре-мих ма-теріалів з реаль-ними температурними залеж-ностями модуля зсуву й коефіцієнта Пуассона показано, що достатньо нульового чи першо-го наближення для обчислення з відповідною точ-ністю напру-жень у циліндрі від внутрішнього тиску чи темпера-турного поля. Останнє поясню-ється також тим, що у часткових випадках одно-рідного й кусково-од-но-рідного тіла з клю-чо-вих інте-граль-них рівнянь в нульових набли-женнях отри-муються точ-ні розв'язки відпо-відних задач пружності й термопружності.

3. Для багатошарових неоднорідних і термочутливих тіл запропо-нова-но методики визначення асимптотичних одновимірних нестаціонарних тем-пературних режимів. При цьому, у випадку залежностей тепло-фі-зич-них характеристик матеріалів від температури, для розв'язання нелі-нійної задачі теплопровідності використовується лінеаризація на основі мето-ду малого параметра. Останній вибирається в процесі квадратичної апрок-си-мації експериментальних температурних залежностей коефіці-єнтів теп-ло--провідності й теплоємностей матеріалів. Методика визначення теплових ре-жи-мів для термочутливих циліндричних тіл дозволяє дослі-дити окремо і в су--купності вклади температурних залежностей коефі-цієнтів теплопро-від-ності та тепло-єм-ностей матеріалів у розподіл темпе-ратурного поля.

4. При врахуванні термочутливості модуля зсуву напруження в тілі, викликані си-ловими факторами навантажень і температурою, залежать не лише від тем-пе-ратурного поля, але й від його градієнтності, тобто, чим більша градієнтність температурного поля, тим більший вплив термо-чутливості модуля зсуву на напружений стан.

5. Проведені прикладні дослідження напружень від внутрішнього тиску у трубі, яка використовується в теплоенергетиці як паропровід, вказують на необхідність при певних нестаціонарних теплових режимах врахування впливу на на-пружений стан залежності модуля зсуву від температури, який може бути суттєвим.

6. Для достовірного визначення термонапружень у термочутливому тілі слід врахо-вува-ти у комплексі залежності всіх механічних і тепло-фізичних властивостей матеріалу від температури.

7. Запропонований спосіб зведення задач пружності та термо-пруж-ності для неоднорідних і термочутливих тіл до розв'язування інте-граль-них рівнянь Вольтерра другого роду разом з методикою визначення тем-пературного поля у вигляді розкладів у ряди за степенями малого па-ра-метра є ефективним методом розрахунків напруженого стану в тілі зав-дя-ки швидкій збіжності ітераційних процесів визначення темпе-ра-турного поля та напружень.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Вігак В. М., Калиняк Б М.  Термонапружений стан неод-норід-ного тер-мочутливого циліндра у випадку одновимірного температурного поля //Нелинейные краевые задачи математической физики и их примене-ния. - К.: Інститут Математики НАН України, - 1996. - C. 63 - 64.

2. Вігак В. М., Калиняк Б. М., Юзвяк М.  Метод розв’язування задач пруж-ності й термопружності з врахуванням інтегральних умов рівно-ваги та суцільності // Тези доповідей 3-го Міжнародного симпозіуму

українських інженерів механіків.-Львів, 21 - 23 травня 1997.-С. 77 - 78.

3. Вигак В. М., Калыняк Б. Н. Сведение решений одно- и двумерных задач упругости и термоупругости для неоднородных тел к ин-тегральным уравнениям Фредгольма с вырожденными ядрами. //Тезисы докладов Междунар. конф. "Математические модели фи-зи-ческих процессов и их свойства". - Таганрог (Россия). - 1997. - С. 98.

4. Вігак В. М., Калиняк Б. М. Зведення одновимірних задач пружності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл до інте-гральних рівнянь другого роду //Доповіді Національної академії наук України. -1998, №11. -С. 60 - 67.

5. Вігак В.М., Калиняк Б.М. Дослідження напружень у термочутливих циліндричних тілах //Машинознавство. - 1999. - № 9. - С. 10 -14.

6. Vihak V.M., Kalyniak B.M. Reduction of one-dimensional elasticity and thermoelasticity problems in inhomogeneous and thermal sensitive solids to the solution of integral equation of Volterra type //Proceedings of the Third International Congress on Thermal Stresses "Thermal Stresses' ", June 13 -17, Cracow, Poland, 1999. - P. 457 - 460.

7. Vihak V., Kalyniak B., Rychagivsky A. A. Method of Direct Integration of One- and Two-Dimensional Elasticity and Thermoelasticity Equations for Or-and Inhomogeneous Materials //Proceedings of the 33rd Solid MeConference. - 2000, September 5-9, Zakopane, Poland. - P.415- 416.

8. Калиняк Б. М.  Термопружний стан довгого неоднорідного циліндра з врахуванням залежностей фізико-механічних властивостей мате-ріалу від температури // Крайові задачі термомеханіки. - К.: Інститут Математики НАН України, 1996. - С. 148 - 153.

9. Калиняк Б. М.  Розв’язок одновимірних задач пружності та термо-пружності у напруженнях для багатошарового неоднорідного і термочутливого циліндра //Матеріали Міжнародної наукової конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" - Львів (Україна): НАНУ, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача, 25 - 28 травня 1998. - С. 65.

10. Калиняк Б. М. Інтегрування рівнянь одновимірних задач пружності та термопружності для неоднорідних циліндричних тіл // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1998. - т. 41, № 2. С. 124 - 131.

11. Калиняк Б. М. Вплив температурної залежності теплофізичних ха-рак-теристик на термонапружений стан неоднорідних цилін-дричних тіл //Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. Т. 1. Львів.: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України. - 2000. - С. 232 -235.

АНОТАЦІЯ

Калиняк Б. М. Визначення напруженого стану неод-норідних термочутливих пружних тіл зведенням одновимірних крайових задач до інтегральних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2001.

Одно-вимір-ні за-дачі пружності та квазістатичні задачі термопружності для неод-но-рідних і термочут-ливих тіл (порожнисті і суцільні циліндри та кулі, кільцевий і суцільний диски) зведено до розв’язування інте-гральних рівнянь Воль-терра другого роду чи сис-теми інтегральних рів-нянь такого ж типу на основі інтегрування вихідних рівнянь меха-ніки в напру-женнях. Роз-роблено мето-ди-ки та програмне забезпечення для визначення на-пруженого стану в одно-шарових та багато-шарових неод-норідних і тер-мочутливих у кожному шарі циліндричних тілах. Досліджено на-пружений стан у неоднорідному порожнистому циліндрі, викликаний внутрішнім тиском.

Розроблено методи-ки та про-грамне забезпечення для визначення не-стаціонарних одно-вимірних тем-пе-ратурних полів у неод-но--рідних або термо-чутливих циліндричних тілах при асимптотичних теплових ре-жи-мах. До-слі-джено розподіл темпе-ратурних полів, напружень і термо-напру-жень в одношарових і багатошарових порожнистих цилін-дричних тілах з врахуванням залежностей у кожному шарі фізико-механічних характе-ристик мате-ріалів від радіальної коорди-нати та тем-ператури.

Ключові слова: напруження і термонапруження, термочутливі і неодно-рідні пружні тіла, циліндр, диск, куля, нелінійна задача, інтегральні рів-нян-ня, метод ітерацій.

АННОТАЦИЯ

Калыняк Б. Н. Определение напряженного состояния неод-но-родных термочувствительных упругих тел сведением одномерных краевых задач к интегральным уравнениям. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформи-руемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львив, 2001.

Предложен способ решения одномерных задач упругости и квази-статических задач термоупругости для неоднородных и термочувстви-тельных (механические и теплофизические свойства материалов зависят от тем-пературы) однослойных и многослойных полых и сплошных ци-линд-ров и шаров, кольцевого и сплошного дисков, который заключается в све-дении их к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода либо к системе уравнений такого же типа относительно первого инварианта напряжений. Остальные компо-ненты тензора напряжений определяются из полученных соот-ношений. Предполагается, что тело находится под воздействием постоянного нормального усилия на его границе, а внутри него заданы массовые силы и температурное поле. Для решения клю-чевых интегральных уравнений использован метод простых итераций, обеспечивающий быструю схо-димость итерационной проце-дуры вслед-ствие выгодного выделения нулевого приближения и фор-мирования ядер интегральных уравнений. Показано, что для отдель-ных материалов с реальными зави-симостями модуля сдвига и ко-эффициента Пуассона от температуры достаточно нулевого либо первого прибли-жения для опреде-ления с определенной точностью на-пряжений. Послед-нее, в частности, объяс-няется тем, что для однородных тел точные ре-шения соот-ветствующих задач упругости и тер-мо-упругости легко полу-чить из нулевых прибли-жений решений упо-мянутых ин-тегральных урав-нений. В термо-чувстви-тельных телах напря-же-ния от силовых фак-торов нагру-жения и температурные зависят не только от температурного поля, но и от распределения его градиентов вдоль координаты и с увеличением градиентности темпера-турного поля влияние термочув-ствительности модуля сдвига усиливается.

Температурные поля в неоднородных и термочувствительных много-слойных цилиндрических телах найдены при асимптотическом тепловом режиме, зависящим лишь от условий теплообмена на границе, и иде-альном тепловом контакте между слоями. В случае зависимостей ко-эф-фициентов теплопроводности и теплоемкости от температуры одно-мерная нелинейная задача теплопроводности решается с помощью метода малого параметра, который определяется в процессе аппроксимации температурных зависимостей упомянутых теплофизических характе-ри-стик материала полиномами второй степени относительно температуры.

Проведенные прикладные исследования напряжений от внутреннего давления в термочувствительной трубе указывают на необходимость при определенных температурных режимах учета влияния на её напряженное состояние зависимости модуля сдвига от температуры, которое может оказаться существенным. Показано также, что для досто-верного опреде-ления термонапряжений в термочув-стви-тельных те-лах следует учитывать весь комплекс зависимостей механи-ческих и те-пло-физических свойств материала от температуры. Предло-женный метод решения одномерных задач упругости и термо-упругости с помощью интегральных уравнений Вольтерра второго рода вместе с методом малого параметра для опре-деления тем-пера-турного поля является весьма эффективным методом определения термо-напряжений в неоднородных термочувствительных телах вслед-ствие быстрой сходимости итерационных приближений.

Ключевые слова: напряжения и термонапряжения, термо-чув-стви-тель-ные неоднородные упругие тела, многослойные тела, нели-ней-ная задача, интегральные уравнения, метод итераций

ABSTRACT

Kalyniak B. M. The Determination of the Stressed State in Inhomogeneous Thermal Sensitive Elastic Bodies by Reducing the One-Dimensional Boundary Problem to Integral Equations. – Manuscript.

Dissertation presented for Degree оf Candidate of Science in Physics and Mathematics on the speciality 01.02.04 – Mechanics of Deformable Solids. – Institute for Applied Problems in Mechanics and Mathematics named after Ya.Pidstrygach, Ukrainian National Academy of Sciences, L'viv, 2001.

The one-dimensional elasticity and quasi-static thermoelasticity proin inhomogeneous and thermal sensitive bodies (hollow and continuous cyand full-sphere, ring- and continuous thin disk) have been reduced to the sol-ving of the Volterra integral equations of the second kind or the sysof ones by using the integration of the constitutive equations of mechanics in terms of stresses. The methodology and software to determine the stresses in one-layer and multi-layer inhomo-geneous and thermal sensitive in each layer cylinders have been developed. The stressed state in inhomogeneous hollow cylinder caused by internal pressure has been investigated.

To determine the nonsteady one-dimensional temfields at asymptotic thermal regimes in inho-mogeneous and thermal sencylinder bodies the technic methods and software have been developed. The changes of the temperature field, of the stresses and of the thermal stresses in one-layer and multi-layer hollow cylinders, caused by material characteristics depenin each layer on radial coordinate and on tempehave been investigated.

Key words: stresses, thermal stresses, inhomogeneous thermal sensitive elastic bodies, cylinder, disk, full-sphere, nonlinear problem, integral equations, iteration procedure.