ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. В.Н.КАРАЗІНА

КАЛЮЖНИЙ-ВЕРБОВЕЦЬКИЙ Дмитро Семенович

УДК 513.88

БАГАТОПАРАМЕТРИЧНІ ДИСИПАТИВНІ ЛІНІЙНІ СТАЦІОНАРНІ ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ РОЗСІЯННЯ (ДИСКРЕТНИЙ ВИПАДОК)

01.01.01– математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ХАРКІВ – 2001

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Південноукраїнському державному педагогічному університеті ім. К.Д.Ушинського Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук, професор

АРОВ Дамір Зямович,

професор кафедри математичного аналізу

Південноукраїнського державного педагогічного університету

ім. К.Д.Ушинського, м. Одеса

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор

КОВАЛІШИНА Ірина Василівна,

професор кафедри вищої математики

Харківської державної академії залізничного транспорту;

доктор фіз.-мат. наук, доцент

ЗОЛОТАРЬОВ Володимир Олексійович,

декан механіко-математичного факультету

Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна

Провідна установа: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна

НАН України, математичний відділ

Захист відбудеться “23” 02 2001 р. о 13 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради К64.051.11 у Харківському національному університеті ім. В.Н.Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, площа Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна (61077, м. Харків, площа Свободи, 4).

Автореферат розісланий “22” 01 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ігнатович С.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальність теми. Дисертація присвячена розвитку теорії дисипативних лінійних стаціонарних динамічних систем (ЛСДС) розсіяння з багатовимірним дискретним параметром , яка є узагальненням добре розвинутої теорії дисипативних (в іншій термінології – пасивних) ЛСДС розсіяння з дискретним часом , пов’язаної з багатьма задачами електротехніки, теорії керування, математичної фізики і квантової механіки (зокрема, теорії розсіяння), теорії випадкових процесів, теорії операторів і теорії функцій одного комплексного змінного, інших галузей математики та її застосувань. У випадку теорія таких систем розроблялась з середини 70-х років у роботах Д.З.Арова, Дж.Хелтона, а пізніше – й інших авторів, і формувалась під впливом теорії характеристичних оператор-функцій М.С.Лівшиця, теорії стискуючих лінійних операторів у гільбертовому просторі Б.С.-Надя і Ч.Фояша, теорії розсіяння П.Лакса і Р.Філліпса та теорії унітарних операторних вузлів М.С.Бродського. Між усіма цими теоріями було знайдено взаємозв’язки. Так, має місце взаємно однозначна відповідність між дисипативними (відп., консервативними) ЛСДС розсіяння, стискуючими (відп., унітарними) півгрупами Лакса–Філліпса, а також стискуючими (відп., унітарними) операторними вузлами; при цьому передатна функція (ПФ) дисипативної (відп., консервативної) ЛСДС розсіяння, характеристична оператор-функція відповідного стискуючого (унітарного) вузла та матриця розсіяння відповідної стискуючої (унітарної) півгрупи Лакса – Філліпса співпадають.

Із результатів Б.С.-Надя і Ч.Фояша, М.С.Бродського, Д.З.Арова випливає, що клас ПФ дисипативних (як і консервативних) ЛСДС розсіяння з гільбертовими просторами входів, , і виходів, , співпадає з класом Шура всіх голоморфних функцій у крузі , значення яких – стискуючі лінійні оператори, діючі з в .

В теорії С.-Надя–Фояша важливим є поняття ділатації оператору і, у зв’язку з ним, класичний результат Б.С.-Надя про існування унітарної ділатації довільного стиску. Аналогом і узагальненням цього поняття є поняття ділатації ЛСДС, а аналогом теореми Б.С.Надя – теорема Д.З.Арова про існування консервативної ділатації довільної дисипативної ЛСДС розсіяння. З іншого боку, кожна дисипативна ЛСДС розсіяння є ділатацією деякої мінімальної ЛСДС, тобто такої, яка не є ділатацією ніякої іншої, відмінної від неї, системи; ця мінімальна система також дисипативна; при ділатації ПФ зберігається; таким чином, разом з теоремою про консервативну реалізацію (тобто існування консервативної ЛСДС розсіяння із заданою ПФ класу Шура), це дає існування мінімальної дисипативної реалізації для довільної оператор-функції класу Шура. Зазначимо, що в теорії керування мінімальні системи відіграють важливу роль: у випадку скінченновимірних просторів та і раціональної матриці-функції (тобто оператор-функції ) серед усіх ЛСДС із заданою ПФ існує мінімальна система, причому для неї вимірність простору станів мінімальна.

Підбиваючи підсумок сказаному, вилучимо такі аспекти теорії дисипативних ЛСДС розсіяння з дискретним часом:

a)

b)

c)

d)

У останні 15–20 років років підсилився інтерес до лінійніх систем, в яких аналогом часу є багатовимірний параметр, дискретний або неперервний, у зв’язку з дослідженням операторних наборів (М.С.Лівшиць, Л.Л.Ваксман, А.А.Янцевич, В.О.Золотарьов, В.Вінніков та ін.), багатопараметричною теорією розсіяння (В.О.Золотарьов, М.Котляр і К.Садоскі), ліфтінг-теорією і теорією інтерполяції для кількох комплексних змінних (Дж.Аглер, Дж.Маккарті, Дж.Болл, Т.Трент, М.Котляр, К.Садоскі), дослідженням раціональних матриць-функцій кількох змін-них і теорією скінченних лінійних структур (М.Ф.Безсмертний). У цих роботах акцентовано ті чи інші аспекти теорії систем, які узагальнювались на випадок багатопараметричних систем. Однак, виникає питання про побудову такої теорії систем, у якій багато аспектів теорії припускали б змістовні узагальнення.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота охоплює частину досліджень за темою “Дослідження лінійних операторів у гільбертовому просторі, лінійних систем та пов’язаних з ними проблем теорії аналітичних матриць-функцій, математичної фізики та теорії керування” (номер державної реєстрації 0100U000956), яка входить у план наукових робіт кафедри математичного аналізу Південноукраїнського державного педагогічного університету ім. К.Д.Ушинського, а саме, розвиток теорії багатопараметричних лінійних систем і вирішення пов’язаних з нею питань теорії операторів і суміжних дисціплин.

Мета і задачі дослідження: побудова і розвиток такої концепції дисипативних ЛСДС розсіяння з багатовимірним параметром , в якій сформульовані вище аспекти a)–d) однопараметричної теорії припускали б змістовні узагальнення на випадок . Особливо важливим при цьому уявляється встановлення зв’язків з теорією функцій кількох комплексних змінних. В роботі використано методи теорії операторів у гільбертовому просторі і теорії лінійних систем, зокрема, теорії унітарних вузлів і теорії ділатацій. Для вивчення класу -дисипативних ЛСДС розсіяння використані також методи теорії цілком стискуючих та цілком додатних відображень, а для опису класу передатних функцій цих систем (як і консервативних -параметричних ЛСДС розсіяння) – методика Дж.Аглера дослідження голоморфних стискуючих оператор-функцій в полікрузі , які задовольняють деякі додаткові умови.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертациї є новими і слугують узагальненням відповідних результатів теорії систем з дискретним часом на випадок . Впроваджено новий тип багатопараметричних ЛСДС (БЛСДС), зокрема, дисипативних (а у спеціальному випадку – консервативних) БЛСДС розсіяння. Побудовано і досліджено багатопараметричний аналог півгрупи Лакса–Філліпса, асоційованої з системою розсіяння зазначеного типу. Одержано опис класу ПФ консервативних БЛСДС розсіяння, що дає, зокрема, нове зображення оператор-функцій класу Аглера–Шура у , які зникають у нулі. Розвинуто теорію ділатацій БЛСДС, отримано критерій існування консервативних ділатацій дисипативних БЛСДС розсіяння і вилучено натуральний підклас так званих -дисипативних систем, для яких такі ділатації існують; з іншого боку, встановлено існування мінімальної -параметричної системи із заданою ділатацією, що дозволяє зробити висновок про існування мінімальних -дисипативних реалізацій для оператор-функцій класу Аглера–Шура, які зникають у нулі. Слід зауважити, що у дискретному багатопараметричному випадку побудова теорії дисипативних систем, а особливо результати про їх консервативні ділатації, не мають аналогів у роботах інших авторів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні властивостей лінійних операторних жмутків стисків (тут ), – багатовимірного аналогу стискуючих лінійних операторів у гільбертовому просторі, а також властивостей голоморфних у стискуючих оператор-функцій. Можливими є застосування і в інженерно-технічних науках: окремим випадком впроваджених у дисертації БЛСДС є так звана модель Форназіні–Маркезіні, відома у теорії електричних ланцюгів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Одеському міському семінарі з функціонального аналізу (кер. проф. Д.З.Аров), міжнародних конференціях “OT-16” (Тімішоара, Румунія, 1996), Британсько-Російській конференції з функціонального аналізу (С.-Петербург, Росія, 1996), “Теорія операторів і застосування”, присвяченій М.Г.Крейну (Одеса, 1997), “OT-17” (Тімішоара, Румунія, 1998), “MTNS-98” (Падуя, Італія, 1998), “Функціональний аналіз і застосування”, присвяченій Б.С.-Надю (Сегед, Угорщина, 1999), VIII Румунсько-Фінському семінарі “Комплексний аналіз і суміжні питання” (Яси, Румунія, 1999), “IWOTA-2000” (Бордо, Франція, 2000), “MTNS-2000” (Перпіньян, Франція, 2000).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у статтях [1]–[3] у наукових журналах і статті [4] на CD, який містить матеріали міжнародного симпозіуму “MTNS-2000” (Перпіньян, Франція, 2000).

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з переліку скорочень та умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків і списку літератури, який містить 68 найменувань. Обсяг роботи складає 103 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ

У п. 1.1 перелічуються підходи до багатопараметричних систем, у яких виявляються істотними метричні властивості систем, такі як дисипативність, консервативність та їх аналоги, і де узагальнюються ті чи інші з аспектів a)–d) однопараметричної теорії, вилучених вище. Особливу увагу приділяється підходу Аглера–Болла–Трента, найбільш близькому до розглядуваного кола питань. Вилучений Дж.Аглером підклас у класі голоморфних стискуючих оператор-функцій у(його названо у дисертації класом Аглера–Шура, оскільки він є багатовимірним аналогом класу Шура, а у випадку – співпадає з ним) відіграє у дисертації істотну роль.

Нехай – сепарабельні гільбертові простори. Клас Аглера–Шура складається з усіх голоморфних у функцій , що набувають зна-чення у банаховому просторі всіх лінійних обмежених операторів, діючих з в , і для будь-яких сепарабельного гільбертова простору , набору переставних стисків у та додатного дійсного виконується нерівність , де

, (1)–

коефіцієнти Маклорена функції , для , а збіжність ряда в (1) розуміється в смислі норми у просторі .

Клас міститься в одиничній кулі банахова простору усіх голоморфних обмежених -значних функцій у, причому для та він співпадає з для будь-яких та , а для – не співпадає ні для яких та , відмінних від .

Дж.Аглер показав, що тоді і тільки тоді, коли існують гільбертів простір, його підпростори, відповідні ортопроектори на ці підпростори та унітарний оператор

(2)

такі, що і для всіх

, (3)

де і.

Зображення (3) виявилось корисним для розв’язання інтерполяційних задач у класі Аглера–Шура. Дж.Аглер і Дж.Маккарті дослідили матричну проблему Неванлінни–Піка у цьому класі й один з варіантів задачи про “корону” для кількох комплексних змінних. Дж.Болл і Т.Трент продовжили та узагальнили ці дослідження на операторний випадок, а також розвинули теоретико-системний аспект результатів Аглера. Зокрема, вони зазначили, що зображення (3) для функції є не що інше, як реалізація її у вигляді ПФ деякої БЛСДС типу Россера – добре відомого типу багатопараметричних систем, з додатковою умовою консервативності, яка є еквівалентною унітарності оператора в (2).

Підхід Аглера–Болла–Трента виявляється ефективним у низці питань теорії інтерполяції та теорії систем. Однак він уявляється незручним (в силу структури простору) для побудови теорії ділатації, зокрема для дослідження дисипативних БЛСДС розсіяння та їх консервативних ділатацій, вирішення низки питань теорії керування (дослідження властивостей керованості, спостережуваності систем, вивчення мінімальних реалізацій). Багатопараметрична схема розсіяння типу Лакса–Філліпса у цих роботах в явній формі не розглядалася. Отже, виникає потреба у більш повній теорії багатопараметричних систем.

У п. 1.2 наводяться основні факти з теорії однопараметричних ЛСДС (ОЛСДС), причому вони переформулюються у зручній для подальшого формі.

Нагадаємо, що стандартною формою запису ОЛСДС з дискретним часом є

(4)

де (простір станів), (простір входів), (простір виходів) – сепарабельні гільбертові простори; а також

, (5) (тобто задано початкову умову). Така система зветься дисипативною (відп., консервативною) ОЛСДС розсіяння, якщо матриця системи

визначає стискуючий (відп., унітарний) оператор із в. ПФ ЛСДС вигляду (4)

є визначеною та голоморфною у деякому околі точки у.

Якщо для усіх покласти, то (4) перепишеться у вигляді

(6)

а початкова умова (5) зберігається. Будемо звати вектори для усіх – відповідно, станами, вхідними даними та вихідними даними системи (6)–(5). Для ОЛСДС вигляду (6) будемо користуватись позначенням. Умова дисипативності для може бути переписаною у вигляді:

(7)

а умови консервативності для дістаються, якщо замінити знак у (7) на і вимагати також виконання аналогічних рівностей для спряженої ОЛСДС. Ці умови мають фізичний зміст дисипації (відп., повного балансу) енергії у системі. Оператор-функцію

будемо звати ПФ ОЛСДС вигляду (6). Позначимо через підклас усіх оператор-функцій з, рівних нулю у точці. Із співвідношень та випливають наступні переформулювання відомих результатів про ПФ дисипативних ОЛСДС розсіяння.

Теорема 1.4. ПФ довільної дисипативної ОЛСДС розсіяння вигляду (6) належить класу.

Як і ОЛСДС вигляду (4), ОЛСДС вигляду (6) зветься простою (відп., керованою, спостережуваною), якщо (відп., , де

(тут позначає замикання лінійної оболонки лінеалів у просторі).

Теорема 1.5. Довільна оператор-функція має просту консервативну реалізацію вигляду (6), тобто для усіх. Ця реалізація єдина, с точністю до унітарної подібності.

Введемо для підпростір

у (тут перебігає множину усіх одночленів від двох непереставних змінних). ОЛСДС зветься щільно зв’язаною, якщо. Для консервативної ОЛСДС розсіяння простота еквівалентна щільній зв’язаності, а також цілком неунітарності (стискуючого) основного оператора цієї системи, тобто відсутності у нетрівіального підпростору, що зводить до унітарного оператора.

Системі вигляду (6), як і системі вигляду (4), можна зіставити асоційовану півгрупу Лакса–Філліпса, де, Якщо

(8)

(тут елемент підпростору у вилучено рамкою), то

Ця півгрупа у певному змісті відтворює динаміку системи і відбиває основні її властивості. Так, півгрупа складається із стискуючих (відп., унітарних) операторів тоді і тільки тоді, коли – дисипативна (відп., консервативна) ОЛСДС розсіяння. Для спряженої системи асоційована півгрупа – це спряжена півгрупа з “оберненим часом”, тобто для з (8) можна визначити перетворення

яке відображає простір ізометрично на, і тоді

(9)

Нагадаємо означення ділатації ОЛСДС; для систем вигляду (6) воно таке саме, як і для систем вигляду (4). ОЛСДС зветься ділатацією ОЛСДС, якщо і знайдуться підпростори та у такі, що

Лема 1.6. ОЛСДС є ділатацією ОЛСДС тоді і тільки тоді, коли і для усіх є вірними рівності:

Зазначимо, що виконання першої з цих рівностей при усіх значить, що основний оператор системи є ділатацією основного оператора системи. Зазначимо також, що усі згадані вище результати щодо ділатацій систем вигляду (4) та мінімальних систем легко переносяться на системи вигляду (6).

Нехай і – системи вигляду (4). Каскадна сполука та – це система вигляду (4), матриця якої

Із факторізації випливає, що каскадна сполука дисипативних (відп., консервативних) ОЛСДС розсіяння вигляду (4) є також дисипативною (відп., консервативною) ОЛСДС розсіяння вигляду (4). Основна властивість каскадного сполучення – це факторізовність ПФ: у деякому околі точки оператор-функції та визначені, голоморфні та

Впровадження поняття каскадної сполуки ОЛСДС вигляду (6) і вивчення його властивостей відкладається до п. 3.3, де це робиться відразу для загального випадку БЛСДС.

У п. 2.1 впроваджується поняття БЛСДС, узагальнююче поняття ОЛСДС вигляду (6)–(5). Для покладемо, для нехай (тобто одиниця тут на -ому місці, а нуль – на інших місцях). Тоді БЛСДС – це система рівнянь

(10)

де для усіх і для усіх – відповідно, стани, вхідні та вихідні дані системи;– сепарабельні гільбертові простори; для усіх, а також наступний аналог початкової умови (5):

(11)

де– задана функція.

Якщо через позначити набір операторів, то для БЛСДС (10)–(11) можна користовуватись позначенням. Для і покладемо. Оператор-функцію

визначену і голоморфну у деякому околі точки у, будемо звати передатною функцією БЛСДС.

Систему будемо звати спряженою БЛСДС до; тут для набора операторів з покладемо (набір операторів з). Означимо для будь-якої функції із значеннями у функцію із значеннями у.

Пропозиція 2.4. Нехай – довільна БЛСДС,– її ПФ, визначена та голоморфна у деякому околі точки у. Тоді визначена та голоморфна у і для усіх.

У п. 2.2 для БЛСДС впроваджується багатопараметричний аналог асоційованої півгрупи Лакса–Філліпса. Нехай, – гільбертові простори мультипослідовностей, , відповідно, таких, що

Покладемо . Означимо оператори наступним чином: для покладемо, де

Півгрупа є коректно визначеною (тут і для) і зветься асоційованою для. У цьому ж п. 2.2 показано, що у певному змісті півгрупа відтворює динаміку БЛСДС, а також що є спряженою півгрупою з “ оберненим багатовимірним часом”. Точніше, означимо ізоморфізм гільбертових просторів наступним чином: для довільного покладемо, де для (відп., ,), і одержимо такий аналог (9).

Пропозиція 2.7.

Кожна з твірних півгрупи породжує однопараметричну півгрупу, яка виявляється асоційованою півгрупою Лакса–Філліпса деякої ОЛСДС, названої -ою асоційованою ОЛСДС для БЛСДС. Кожна така відтворює, у певному змісті, динаміку БЛСДС.

У п. 2.3 дається означення дисипативної БЛСДС розсіяння як такої системи, що для кожного

(12)

є стискуючим оператором.

Пропозиція 2.8. Нехай – деяка БЛСДС, і при певному асоційована півгрупа і -а асоційована ОЛСДС, відповідно. Тоді наступні твердження є еквівалентними:

1)

2) –

3) –

4)

Теорема 2.11. ПФ дисипативної БЛСДС розсіяння є голоморфною стискуючою оператор-функцією у.

У п. 2.4 дається означення консервативної БЛСДС розсіяння як такої системи, що для кожного оператор з (12) є унітарним. Очевидно, консервативна БЛСДС розсіяння є спеціальним випадком дисипативної. У пропозиції 2.12, подібно пропозиції 2.8, даються еквівалентні переформулювання означення консервативної БЛСДС розсіяння у термінах асоційованої півгрупи, довільної асоційованої ОЛСДС, “енергетичних” співвідношень для даних вихідної системи та її спряженої системи, а також (на відміну від випадку дисипативної БЛСДС розсіяння) – у термінах коефіцієнтов системи, точніше, матриць

У п. 3.1 описано клас ПФ консервативних БЛСДС розсіяння із заданими просторами входів і виходів. Нехай (відп.,) позначає підклас у (відп.,), що складається з оператор-функцій, які зникають у точці. Як відмічалося вище, , тому дістаємо, причому при та має місце знак у цих включеннях, а при мають місце строгі включення для будь-яких, відмінних від. Наступний результат є головним у дисертації.

Теорема 3.1. Голоморфна функція є ПФ деякої консервативної БЛСДС розсіяння (тобто для усіх) тоді і тільки тоді, коли.

П. 3.2 присвячено так званим щільно зв’язаним консервативним БЛСДС розсіяння та їх ПФ. Нехай – деяка БЛСДС вигляду (10). Означимо підпростір

(13)

у, де перебігає множину усіх одночленів від непереставних змінних, а та множину. Назвемо БЛСДС щільно зв’язаною, якщо.

Теорема 3.2. Нехай – БЛСДС вигляду (10). Тоді

1)

2)

3)

4)

Будемо звати лінійний жмуток стискуючих операторів у гільбертовому просторі цілком неунітарним, якщо не існує власного підпростору у, що зводить для кожного (або, еквівалентно, зводить для кожного), і такого, що жмуток унітарний (тобто складений з унітарних операторів).

Теорема 3.4. Консервативна БЛСДС розсіяння є щільно зв’язаною тоді і тільки тоді, коли операторний жмуток є цілком неунітарним.

Наступна теорема уточнює результат теореми 3.1.

Теорема 3.5. Довільна оператор-функція має щільно зв’язану консервативну реалізацію, тобто для усіх.

На відміну від випадку, для така реалізація істотно неєдина. У п. 3.2 наводиться приклад двох щільно зв’язаних консервативних БЛСДС розсіяння з однією і тою же ПФ, однак із різними вимірностями просторів станів.

У п. 3.3 впроваджується поняття каскадної сполуки БЛСДС вигляду (10). Нехай та – системи вигляду (10). Каскадною сполукою та назвемо систему, де для

Із факторізації випливає наступний результат.

Теорема 3.9. Каскадна сполука дисипативних (відп., консервативних) БЛСДС розсіяння вигляду (10) є дисипативною (відп., консервативною) БЛСДС розсіяння вигляду (10).

Теорема 3.10. Нехай БЛСДС вигляду (10). Тоді у деякому околі точки у ПФ та є голоморфними і

У випадку маємо тепер два поняття каскадної сполуки: для систем без загаювання, вигляду (4), і систем із загаюванням, вигляду (6). У теоремі 3.11 установлюється зв’язок між ними. А саме, побудовано відображення, яке кожній системі вигляду (6) зіставляє певну систему вигляду (4). Відображення перетворює каскадну сполуку – у каскадну сполуку, зберігає ПФ і найважливіші властивості систем (дисипативність, консервативність, керованість, спостережуваність).

Нагадаємо, що стискуюча оператор-функція зветься внутрішньою (відп., двобічно внутрішньою), якщо вона є голоморфною у, і її крайові значення для майже усіх є ізометричними (відп., унітарними) операторами. Нехай, внутрішні оператор-функції, причому. Тоді є внутрішньою оператор-функцією у, причому (будемо звати таку оператор-функцію розкладною внутрішньою). У теоремі 3.13 за допомогою поняття каскадної сполуки побудовано консервативну реалізацію розкладної внутрішньої оператор-функції.

Якщо – деяка БЛСДС вигляду (10), то для кожного можна визначити ОЛСДС вигляду (6). Назвемо БЛСДС керованою (відп., спостережуваною), якщо

Установлено (теорема 3.16), що є спостережуваною, а якщо а значить, і двобічно внутрішні оператор-функції, то також і керованою БЛСДС.

У п. 4.1 впроваджується поняття ділатації і мінімальної системи для БЛСДС. Будемо звати БЛСДС ділатацією БЛСДС, якщо для кожного ОЛСДС є ділатацією ОЛСДС, тобто і для кожного знайдуться підпростори та у такі, що

Наводиться також декілька еквівалентних переформулювань цього означення, зокрема установлено багатовимірний аналог леми 1.6, з якого випливає, що

(14)

де та – симетризовані мультистепені операторних наборів та (для наборів переставних операторів вони співпадають із звичайними мультистепенями). У цьому випадку будемо казати, що набір основних операторів БЛСДС є ділатацією набору основних операторів БЛСДС.

Теорема 4.5. ПФ БЛСДС та її ділатації співпадають, тобто у деякому околі точки у.

Будемо звати БЛСДС мінімальною, якщо вона не є ділітацією ніякої іншої, відмінної від неї, системи. У випадку розкладної двобічно внутрішньої оператор-функції у побудована для неї у п. 3.3 консервативна реалізація є мінімальною БЛСДС. Взагалі кажучи, у випадку (на відміну від випадку) керованість та спостережуваність БЛСДС не еквівалентні її мінімальності.

Теорема 4.7. Довільна БЛСДС є ділатацією деякої мінімальної БЛСДС.

У п. 4.2 установлено наступний критерій існування консервативної ділатації дисипативної БЛСДС розсіяння.

Теорема 4.8. Дисипативна БЛСДС розсіяння має консервативну ділатацію тоді і тільки тоді, коли лінійна оператор-функція

належить класу.

Наслідок 4.9. Лінійний жмуток стисків, має унітарну ділатацію, тобто існує лінійний жмуток унітарних операторів, для якого і

тоді і тільки тоді, коли

У п. 4.3 впроваджується і досліджується підклас дисипативних -параметричних ЛСДС розсіяння, що мають консервативні ділатації (вони названі у дисертації -дисипативними ЛСДС розсіяння); назва мотивована теоремою 4.8.

Теорема 4.11. Клас ПФ -дисипативних ЛСДС розсіяння з простором входів і простором виходів співпадає з

Із теорем 3.1, 4.5 та 4.7 дістаємо наступний результат.

Теорема 4.12. Для довільної оператор-функції існує мінімальна -дисипативна реалізація, тобто для усіх.

Щоб з’ясувати, наскільки широким є підклас -дисипативних систем у класі всіх дисипативних -параметричних ЛСДС розсіяння, у п. 4.3 досліджується узагальнена нерівність фон Неймана для многочленів від кількох змінних з матричними коефіцієнтами.

Нехай набір переставних стисків у гільбертовому просторі, а матричнозначний многочлен від незалежних змінних, тобто

де для. Означимо

Відомо, що узагальнена нерівність фон Неймана

(16)

завжди виконується для (Дж. фон Нейман) та (Т.Андо). Для вона, взагалі кажучи, не є вірною. А саме, Н.Варопулос побудував трійку переставних стисків у скінченновимірному гільбертовому просторі та скалярний однорідний многочлен другого степеню, для яких (16) не виконується. Неважко показати, що степінь многочлену у прикладі Варопулоса не можна зменшити, якщо обмежуватись скалярними многочленами. Однак для матричнозначних многочленів це можливо.

Теорема 4.15. Існують трійка переставних стисків у деякому скінченновимірному гільбертовому просторі і трійка квадратних матриць порядку над (лінійних операторів у) такі, що лінійна однорідна матриця-функція задовольняє нерівність

За допомогою теореми 4.15 установлюється наступний результат.

Теорема 4.16. Клас -дисипативних ЛСДС розсіяння для випадків та співпадає з класом усіх дисипативних -параметричних ЛСДС розсіяння, а для випадку є власним підкласом останнього.

ВИСНОВКИ

У дисертації одержано наступні результати:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

ПУБЛІКАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

Калюжний-Вербовецький Д.С. Багатопараметричні дисипативні лінійні стаціонарні динамічні системи розсіяння (дискретний випадок). Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, Харків, Україна, 2000.

Дисертацію присвячено розвитку нового підходу до теорії багатопараметричних лінійних стаціонарних динамічних систем (БЛСДС), зокрема, дисипативних та консервативних БЛСДС розсіяння, для дискретного випадку. Побудовано і досліджено півгрупу операторів у гільбертовому просторі, асоційовану з системою розсіяння зазначеного типу, – багатопараметричний аналог півгрупи Лакса–Філліпса. Описано клас голоморфних стискуючих оператор-функцій в одиничному полікрузі , які є передатними функціями консервативних БЛСДС розсіяння: він складається з оператор-функцій класу Аглера–Шура, зникаючих у нулі. Одержано критерій існування консервативної ділатації дисипативної БЛСДС розсіяння. Вилучено натуральний підклас -дисипативних систем розсіяння, які мають таку ділатацію, і установлено, що для та він співпадає, а для – не співпадає з класом усіх дисипативних -параметричних систем розсіяння. Доведено існування мінімальних -дисипативних реалізацій для оператор-функцій класу Аглера–Шура у , зникаючих у нулі.

Ключові слова: гільбертів простір, багатопараметрична півгрупа операторів, багатопараметрична лінійна стаціонарна динамічна система, дисипативна система розсіяння, консервативна система розсіяння, передатна функція, клас Аглера–Шура, консервативна ділатація, мінімальна реалізація.

Калюжный-Вербовецкий Д.С. Многопараметрические диссипативные линейные стационарные динамические системы рассеяния (дискретный случай). Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Харьковский национальный университет им. В.Н.Каразина, Харьков, Украина, 2000.

Дисертация посвящена развитию нового подхода к теории многопараметрических линейных стационарных динамических систем (МЛСДС), в частности, диссипативных и консервативных МЛСДС рассеяния, для дискретного случая. Построена и исследована полугруппа операторов в гильбертовом пространстве, ассоциированная с системой рассеяния указанного типа, – многопараметрический аналог полугруппы Лакса–Филлипса. Описан класс голоморфных сжимающих оператор-функций в единичном поликруге , которые являются передаточными функциями консервативных МЛСДС рассеяния: он состоит из оператор-функций класса Аглера–Шура, исчезающих в нуле. Получен критерий существования консервативной дилатации диссипативной МЛСДС рассеяния. Выделен естественный подкласс -диссипативных систем рассеяния, которые обладают такой дилатацией, и установлено, что для и он совпадает, а для – не совпадает с классом всех диссипативных -параметрических систем рассеяния. Доказано существование минимальных -диссипативных реализаций для оператор-функций класса Аглера–Шура в , исчезающих в нуле.

Ключевые слова: гильбертово пространство, многопараметрическая полугруппа операторов, многопараметрическая линейная стационарная динамическая система, диссипативная система рассеяния, консервативная система рассеяния, передаточная функция, класс Аглера–Шура, консервативная дилатация, минимальная реализация.

Kalyuzhniy-Verbovetzky D.S. Multiparametric dissipative linear stationary dynamical scattering systems (discrete case). Manuscript.

Thesis for a Philosophy Doctor’s degree in mathematics by the speciality 01.01.01 – mathematical analysis. Kharkiv National University named after V.N.Karazin, Kharkiv, Ukraine, 2000.

The thesis is devoted to development of the new approach to the theory of multiparametric linear stationary dynamical systems (MLSDSs), in particular, dissipative, and conservative scattering MLSDSs, for the discrete case. All the results of the thesis generalize the corresponding results from the theory of one-parametric discrete-time linear systems. The distinguishing feature of the presented approach is that any dissipative (resp., conservative) scattering MLSDS corresponds to certain linear pencil of operators (here is the -tuple of bounded linear operators mapping into where are separable Hilbert spaces), which consists of contractive (resp., unitary) operators for all , that is multidimensional analogue of contractive (resp., unitary) operator colligation. The multiparametric semigroup of operators, that is associated with a scattering system of mentioned type and serves a multidimensional analogue of the Lax–Phillips semigroup, is constructed and investigated. With use of J.Agler’s methods for the investigation of holomorphic operator-valued functions on the open unit polydisk , the description of the transfer functions class for conservative scattering MLSDSs with the input space and the output space , is obtained. Namely, the latter constitutes the subclass of all operator-valued functions on belonging to the Agler–Schur class and vanishing at zero. Moreover, the theorem on the existence of so-called closely connected conservative scattering system realizations for such functions is proved. However, the examples, which show the essential non-uniqueness of such realizations in the case , are constructed. The notion of cascade connection for MLSDSs of mentioned type is introduced, and its main properties are established. In particular, the transfer function of a cascade connection is equal to the product of transfer functions of component systems. As a corollary, the explicit example of conservative scattering system realization for the so-called decomposable inner operator-valued function on the bidisk is constructed and investigated. The notions of dilation and minimal system for MLSDSs are introduced. The theorem on existence of a minimal system, for which a given (arbitrary) MLSDS is a dilation, is proved. The criterion for the existence of a conservative dilation of a dissipative scattering MLSDS is established. This criterion allows to distinguish a natural subclass of systems which have such dilations and are called in this thesis -dissipative scattering MLSDSs. It is shown that these systems inherit the most important properties of one-parametric dissipative scattering systems. For instance, an arbitrary operator-valued function from the class has a minimal -dissipative scattering system realization. It is established that for the cases and the subclass of -dissipative scattering MLSDSs coincides with the whole class of -parametric dissipative scattering systems, and for the case is a proper subclass of the latter. For obtaining this result, it is proved preliminarily the theorem (which has its own interest for operator theory) on the existence of three commuting contractions on some finite-dimensional Hilbert space and a linear homogeneous matrix-valued function of three variables, for which the generalized von Neumann inequality fails.

Key words: Hilbert space, multiparametric semigroup of operators, multiparametric linear stationary dynamical systems, dissipative scattering system, conservative scattering system, transfer function, the Agler–Schur class, conservative dilation, minimal realization, generalized von Neumann inequality.