Київський національний університет імені Тараса Шевченка

КЛЕСОВ Олег Іванович

УДК 519.21

ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ДЛЯ КРАТНИХ СУМ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ-2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу та

теорії ймовірностей в Національному технічному

університеті України (КПІ).

Науковий консультант:

БУЛДИГІН Валерій Володимирович,

доктор фізико-математичних наук, професор,

завідувач кафедрою математичного аналізу та теорії

ймовірностей Національного технічного університету

України (КПІ), м. Київ

Офіційні опоненти:

МАРТІКАЙНЕН Олександр Іванович,

доктор фізико-математичних наук, професор,

професор кафедри теорії ймовірностей Санкт-Петербурзького

університету, м. Санкт-Петербург, Росія

КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,

доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедрою

теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного

університету імені Тараса Шевченка, м. Київ

ІВАНОВ Олександр Володимирович, доктор фізико-математичних наук

, старший науковий співробітник, провідний науковий співробітник

Інституту кібернетики НАН України, м. Київ

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ

Захист відбудеться “ 29 ” жовтня 2001 р. о 14 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.37 у Київському

національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

252127, м. Київ-127, проспект академіка Глушкова, 6,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

(вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “28” вересня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради М. П. Моклячук

Загальна характеристика роботи

Нижче використовується та ж сама нумерація формул та тверджень, що і в основному тексті дисертації. Наприклад, ``теорема~1.2.3'' означає теорему~2.3 глави~1. В посиланнях на літературні джерела також використовується та ж сама нумерація, що і в основному тексті дисертації. Наприклад, ``[153]'' означає роботу, включену під номером 153 в список літератури у дисертації. Список робіт автора, вміщений в авторефераті, починається з того ж номеру, що і в списку літератури у дисертації.

Актуальність теми. Класичні граничні теореми для сум незалежних випадкових величин, якi складають фундамент сучасної теорії ймовірностей, отримані П.~Леві, В.~Феллером, О.~Я.~Хінчіним, А.~М.~Колмогоровим, Б.~В.~Гнеденком. Вони викладені у багатьох монографіях та підручниках (див., наприклад, [13]).

Граничні теореми для збіжності майже напевно у випадку сум незалежних випадкових величин постійно привертають увагу багатьох дослідників (див., наприклад, [27], [38], [41], [72], [74], [155]. Граничні теореми для сум залежних випадкових величин викладені в [143], [101]. Iнтенсивно вивчаються аналоги класичних теорем для сум незалежних випадкових елементів зі значеннями в абстрактних просторах ([4], [22], [106], [123]) та граничнi теореми для випадкових елементiв з операторними нормуваннями ([5], [67]).

В дисертацiйнiй роботі досліджуються кратні суми випадкових величин, які залежать від кількох індексів.

Дослідження кратних сум, які можна віднести до предмету граничних теорем теорії ймовірностей, беруть початок з роботи Норберта Вінера~[161], де розглядаються перетворення якi зберiгають мiру на деякому вимiрному просторi. Там вивчаються d-кратнi суми, d1, з однаковими iндексами

для функцiй й доводиться, що границя

iснує для -майже всіх.

Н.~Данфорд~[78] та А.~Зiгмунд~[165] розглядали аналогiчну задачу для кратних сум з рsзними iндексами

Вони довели, що границя

існує для -майже всіх якщо Зауважимо, що клас функцій, для яких існує границя, є більш вузьким при d>1 у порівнянні з випадком звичайних сум.

З точки зору теорії ймовўрностей ті дослідження стосуються стаціонарних у вузькому розумінні випадкових полів

де - оператори зсуву за відповідними координатами, та їх сум

а твердження, згадані вище,~--- це посилені закони великих чисел для таких полів.

З середини 60-их років зростає інтерес до суто ймовірнісних питань теорії кратних сум. В роботі Г. Черноффа та Г. Тейчера~[70] дослiджувалось питання про граничнi розподiли випадкових величин

де X(i,j) незалежнi та однаково розподiленi випадковi величини.

Стаття Майкла~Вiчури~\Cite [162] i оглядова праця Роналда~Пай\-ка~[141] мали великий вплив на дослiдження в цiй галузi. В роботi Роберта~Смайза~[150] розглядаються незалежнs однаково розподiленi випадковi величини з d-кратними iндексами та наводиться ймовiрнiсне доведення результатўв Н.~Вi\-не\-ра та Н.~Данфорда та А.~Зiгмунда (насправдi, вiн отримав для цього випадку необхiднi та достатнi умови). Цими роботами почався другий етап розвитку граничних теорем теорії ймовірностей для кратних сум випадкових величин.

Дослідження, проведені у цьому напрямку, показали, що результати для кратних сум не завжди можна отримати використовуючи класичні схеми доведення.

Не тільки методи класичної теорії не завжди ``працюють'' у випадку кратних сум, навіть основні ідеї можуть не мати відповідної інтерпретації для багатовимірних індексів. В першу чергу це зв'язано з тим, що у просторi не має повної впорядкованності і тому всі схеми доведення, які спираються на поняття моменту першого виходу, не придатні для використання для d2. Таким чином для доведення аналогів класичних нерівностей типу Колмогорова, Леві, Гаєка--Реньї необхідні нові методи.

Умови виконання граничних теорем для кратних сум часто мають інший вигляд у порівнянні з класичними. Наприклад, критерієм закону повторного логарифму для сум незалежних однаково розподілених величин у класичному випадку d=1 є умова Хартмана--Вінтнера~[103]: а у випадку кратних сум, тобто d>1,~--- умова Вiчури~[163]:

Пiдставляючи в останнї спiввiдношення d=1, бачимо, що умова Вiчури при d>1 не переходить у класичну умову при d=1.

Таким чином класична теорiя пiдказує напрямки досліджень асимптотичної поведінки кратних сум (тобто законів великих чисел, законів повторного логарифму, тощо), але її ідеї, методи, результати, та умови потребують належних змін.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках наукової програми ``Лінійні та нелінійні проблеми теорії випадкових процесів та полів'' кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України (КПI) (номер держреїстрації 0100U000831).

Метою роботи є побудова теорії граничних теорем для кратних сум випадкових величин, аналогічної до теорії граничних теорем для звичайних сум.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі автором отримано такі результати:

знайдені критерії слабкої збіжності кратних сум випадкових величин;

знайдені критерії закону великих чисел для кратних сум;

знайдені критерії збіжності та обмеженості кратних рядів;

досліджено швидкість збіжності кратних рядів;

розроблено методи дослідження та знайдено умови для виконання посиленого закону великих чисел для кратних сум, які у випадку однаково розподілених випадкових величин можна звести до необхідних та достатніх умов;

отриманo закони повторного логарифму для зважених кратних сум незалежних однаково розподілених випадкових величин;

знайдено необхідні та достатні умови існування моментів зважених кратних сум;

розроблено методи дослідження та отримано умови для виконання повної збіжності кратних сум;

знайдена асимптотика процесу та функції відновлення для випадкових блукань з багатовимірним часом;

досліджені умови, при яких стаціонарні випадкові поля з обмеженим спектром можна відновити за їх дискретними відліками.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародних конференціях з теорії ймовірностей, серед яких Радянсько--японськў симпозіуми з теорії ймовірностей та математичної статистики (Тбілісі~(1982), Київ~(1991)), Вільнюські міжнародні конференції з теорії ймовірностей (1985, 1989, 1998), Світові конгреси товариства Бернуллі (Ташкент~(1986), Відень~(1994)), XXIst European Meeting of Statisticians (Aarhus (1995)), Україно--скандинавські конференції з стохастичних динамічних систем (Ужгород~(1995), Um\-e\aa~(1997), Київ~(1999)), Xth IMFORMS Applied Probability Conference (Ulm~(1999)), конференцiя ``Stochastic Analysis and its Applications'' (Львiв~(2001)).

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на провідних семінарах з теорії ймовірностей в Україні та за кордоном, таких як семінари в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка~(1982--2000), Інституті математики НАН України~(2000), Національному технічному університеті України~(1990--2000), Ленінградському університеті~(1984, 1985), Вільнюському університеті~(1985), Сегедському університеті (Угорщина, 1992), Люблінському університеті (Поль\-ща, 1993), Дебреценському університеті (Угорщина, 1994), Лейденському університеті (Голландія, 1995), Амстердамському університеті (Голландўя, 1995), університеті Майнца (ФРН, 1996), університеті Марбурга (ФРН, 1996--2001), Принстонському університетў (США, 1997), університетi New Mexico (США, 1997), університетi Падерборна (ФРН, 1998--2001), університетi Бонна (ФРН, 1998, 2000).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 26 наукових статтях, список яких наведено в кінці автореферату.

Особистий внесок автора. Результати робіт [166]-[182], а також [186]-[189] i [191] належать О.~I.~Клесову.

В роботi [183] , опублiкованiй у спiвавторствi з I.~Фазекашем (Угорщина), I.~Фазекашу належать nеорема~4.1 та iншi результати роздiлу~4. Всi iншi результати роботи належать О.~I.~Клесову.

В роботi [184], опублiкованiй у спiвавторствi з Й.~Штайнебахом (Нi\-ме\-ччина), О.~I.~Клесову належать теорема 1 та наслiдок 2. Наслiдок 1 належить Й.~Штайнебаху.

В роботi~[185], опублiкованiй у спiвавторствi з З.~Рихлiком (Поль\-ща), О.~I.~Клесову належать доведення достатностi умов (5) та (6) для посиленого закону великих чисел. Необхiдна частина теореми в~[185] належить З.~Рихлiку. В дисертацiйнiй роботi наведено iнше доведення необхiдностi цих умов для бiльш загального випадку, яке викладене в роботў~[191].

В роботi~[190], опублiкованiй у спiвавторствi з I.~Фазекашем (Угорщина), I.~Фазекашу належать теореми 4.1, 6.1, 6.2, 8.1. Всi iншi результати роботи належать О.~I.~Клесову.

Теоретична та практична цінність дисертації. Робота має теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані в подальших дослідженнях з теорії граничних теорем теорії ймовірностей та в задачах математичної статистики випадкових полів.

Структура та об'єм дисертації. Робота складається з вступу, основної частини, яка містить 12 глав, та 4 додатків. Загальний обсяг роботи становить 354 сторінки, основний текст дисертації викладено на 299 сторінках, список літератури складається з 255 найменувань. Додаток~1 містить

допоміжні твердження, список позначень та позначення, які використовуються в основному текстў дисертації. Додаток~2 містить результати автора, які не війшли до дисертації, але використовуються в її основному тексті. Додаток~3 містить список літературних джерел, на які є посилання в основному тексті дисертації. Додаток~4 містить список основних позначень, які використовуются в основному тексті дисертації.

Основний текст дисертації умовно можна розбити на 5 частин.

Перша частина (глави~1 та~2) містить результати стосовно загальних умов слабкої збіжності кратних сум та їх застосувань до слабких законів великих чисел.

В другій частині (глави~3, 4 та 5) розглядаються питання збіжності, обмеженості та швидкості збўжності майже напевно кратних сум незалежних доданків.

В третій частині (глави~6, 7 та 8) вивчаються посилені закони великих чисел та закони повторного логарифму для кратних сум незалежних випадкових величин.

Четверту частину (глави~9, 10 та 11) присвячено питанням, які мають відношення до великих відхилень кратних сум, а саме, існуванню моментів супремума зважених кратних сум; дослідженню повної збіжності кратних сум; асимптотиці рядів за малим параметром; теорії відновлення для багатовимірного часу.

Остання, п'ята, частина (глава~12) стосується кратних рядів Котельникова--Шеннона.

Глава 1. Розглядаються серії незалежних випадкових величин, які задовольняють умову нескінченної малості. Це поняття узагальнює поняття класичної серії випадкових величин (означення~1.0.1). Граничні теореми для функцій розподілу сум у випадку $d=1$ (для (1,1)-серiй у наших позначеннях) мiстяться у багатьох монографiях та пiдручниках з теорії ймовірностей: класичною їємонографія Б.~В.~Гнєденка та А.~М.~Колмогорова~[13].

Розв'язуються двi класичнi задачi, але для кратних сум:

якi функції можуть бути границями для слабкої збіжності функцій розподілу S()?

якщо деяка функцiя може бути границею для слабкої збіжності функцій розподілу S(), то які умови на (d,r)-послiдовнiсть серiй забезпечують цю збiжнiсть?

Основнi результати глави~1 отримано d1 та для кожної з двох типів збіжності: limmax (див. означення~2.2, додаток 1) та limmin (див. означення~2.1, додаток 1).

Для (d,r)-серій доведено, що множиною граничних розподілів є, як і у випадку d=1, клас нескінченно подільних функцій розподілу (теореми~1.1.1 та~1.1.2). Для d=1 обидва ці результати збігаються з класичною теоремою О.~Я.~Хінчіна~[115].

Встановлено критерії збіжності розподілів сум як для limmax--, так і для limmin—збіжностей (теореми~1.2.1 та~1.2.2). Для d=1 ці результати належать Б.~В.~Гнєденку~[13].

Важливими випадками (d,r)-серій є зважені суми незалежних доданків:

(1.3.2)

Частковим випадком сум~(1.3.2) є суми незалежних однаково розподілених доданків. При d=1 множиною границь для функцій розподілу таких сум є клас стійких законів (теорема П.~Леві). Ми доводимо цей результат для загального випадку d (в теоремі~1.3.1 для limmax-збіжності і в теоремі~1.3.2 для limmin--збіжності). Зауважимо, що ці результати не є тривіальними наслідками теореми Леві.

Основні результати глави~1 опубліковані в~[183].

Глава 2. В главi~2 розглядаються умови виконання слабких законів великих чисел для різних (d,r)-серsй випадкових величин. У випадку d=1 критерії закону великих чисел знайдено у роботі Б.~В.~Гнєденка~[13]. Ми узагальнюємо його результати для довільного d: в теоремі~2.1.1 для limmax--збіжності, а в теоремі~2.1.2 ~--- для limmin--збіжності.

Окремо розглянуто випадок сум~(1.3.2). При d=1 критерій закону великих чисел для сум знайшли у випадку an=n А.~М.~Колмогоров~[114] та у загальному випадку~--- В.~Феллер~[85]. Цi результати узагальнюються для довiльного d1: в теоремi~2.2.1 для limmax--збiжностi, а в теоремi~2.2.2~--- для limmin--збiжностi.

Вигляд загальних умов слабкого закону великих чисел нагадує вигляд класичних умов як для limmax--, так і для $\limmin$--збіжності. Проте ці умови відрізняються між собой досить суттєво. Різниця стає особливо помітною на прикладі нормування:

яке ми називаємо нормуванням Марцинкевича--Зігмунда. Для $d=1$ це нормування розглядалось Марцинкевичем--Зігмундом для збіжності майже напевно. Випадок $d=1$, $v=1$ вивчив О.~Я.~Хінчін~[112].

Виявляється, що для нормування Марцинкевича—Зігмунда умови слабкого закону великих чисел не відрізняються від класичних у випадку $\limmax$--збіжності. Але для $\limmin$--збіжності спостерігається суттєва різниця.

Щоб навести ці твердження, нагадаємо, що класичними умовами слабкого закону великих чисел Марцинкевича--Зігмунда є умови

(2.4.2)

та

(2.4.3)

Покладемо тепер $v=min{v1,…,vd}, v'=max{v1,…,vd}, та вважатимемо, що $F(\bcdot)$~--- це функція розподілу доданків. Слабким законом великих чисел ми називаємо твердження

(2.4.4)

Теорема 2.4.2

Таким чином, $\limmax$--збiжнiсть для $d>1$ повнiстю узгоджується з класичним випадком $d=1$. Це не так для $\limmin$--збіжності, як видно з наступного результату.

Теорема 2.4.3.

Зауважимо, що випадки (ii) та (iii) мають сенс лише для $d>1$. Саме у цих випадках спостерігаються відмінності між $\limmax$-- та $\limmin$-збіжностями. Саме у цих випадках $\limmin$-збіжність відрізняється для $d=1$ та $d>1$. Наприклад, якщо

то умови~(2.4.5)-(2.4.6) виконуються, тобто виконується й закон великих чисел~(2.4.4) для $\limmin$-збіжності. Умови ж~(2.4.2)-(2.4.3) не виконуються, тобто не виконується й закон великих чисел для $\limmax$-збіжності. Випадок (iii) взагалі не має аналогів для $d=1$ або для $\limmax$-збіжності. Це пояснюється центральною граничною теоремою, згідно з якою граничним розподілом по одних напрямках буде гауссівський, а по інших~--- вироджений.

Основнi результати глави~2 опублiкованi в~[180].

Глава 3. Розглядаються питання збіжності майже напевно кратних сум незалежних доданків:

(3.2.1)

Класична теорема Колмогорова про три ряди не справджується у випадку кратних сум. Проте у теоремі~3.2.1 доведено, що у випадку кратних сум з незалежними доданками має місце теорема Леві, тобто збіжності за ймовірністю, розподілом та майже напевно еквівалентні.

В розділі~3.3 показано, що теорема Колмогорова про три ряди зберігається й для кратних рядів (теорема~3.3.1) за мінімальної додаткової умови

(3.3.2)

Доведення цієї теореми використовує важливу для подальшого розвитку теорії лему~3.3.1.

В розділі~3.4 (теорема~3.4.3) знайдено необхідні та достатні умови збіжності майже напевно ряду~(3.2.1).

Нехай --- незалежні випадкові величини. Для $c>0$ покладемо де ~--- медіана випадкової величини $X$, а ~--- зрізка випадкової величини $X$ на рівні $c$. Збіжність ряду~(3.2.1) залежить від ряду $\sum\cn$.

Теорема 3.4.2.

Tаким чином, критерій збіжності ряду~(3.2.1) можна виразити через збіжність ряду $\sum\cn$ та збіжність класичних трьох рядів для випадкових величин $\widehat X(\n)$.

Теорема 3.4.3.

Формально цей результат при $d=1$ відрізняється від теореми Колмогорова наявністю ряду $\sum\cn$ та ``зсунутими'' випадковими величинами $\widehat X(\n)$ замість $\Xn$. Але нескладно довести, що для $d=1$ теорема~3.4.3 еквівалентна теоремі Колмогорова. Зауважимо також, що іншій підхід до збіжності майже напевно кратних сум розроблено Г.~Габріелом~[87].

У деяких важливих випадках теорему~3.4.3 можна звести до такого ж вигляду, як і для $d=1$. Має місце аналог теореми про два ряди (теорема~3.4.4); аналоги відповідних результатів для симметричних та невід'ємних доданків (наслідок~3.4.1 та наслідок~3.4.2), а також для зважених однаково розподілених випадкових величин (теорема~3.5.1). Розглядаються також кілька часткових випадків (наслідки~3.5.1 та~3.5.2).

В розділі~3.6 наведено кілька застосувань теореми~3.4.4. Теорема~3.6.1 містить критерій суттєвої збіжності кратних рядів (для $d=1$ отриманий Дж.~Дубом~[14]); теорема~3.6.2~--- критерій збіжності підполів (для $d=1$ отриманий А.~В.~Скороходом~[46]); теорема~3.6.3~--- критерій збіжності всіх перестановок кратного поля (для $d=1$ доведений А.~В.~Скороходом~[4]). В теоремі~3..4 доведено аналог одного твердження К.~Л.~Чжуна~[73] про достатні умови збіжності рядів.

Основні результати глави~3 отримані в~[182].

Глава 4. Розглядаються питання обмеженності за ймовірністю та майже напевно кратних рядів. У випадку $d=1$ обмеженість послідовності часткових сум є тривіальним наслідком збіжності нескінченого ряду. У випадку $d\ge2$ існують ряди, для яких це твердження не виконується (приклад~4.2.1). Більше того, тільки в окремих випадках можна довести, що обмеженість випливає зв збвжноств. Так, наприклад, є у випадку симетричних доданквв (теорема~4.3.1).

Виявляється (теорема~4.4.1), що обмеженість за ймовірністю поля $\pole S$ рівносильна його обмеженості майже напевно. Критерій обмеженості за ймовірністю (значить, і майже напевно) наведено в теоремі~4.4.2.

Для загальних доданків у випадку $d\ge2$ ми доводимо, що зі збіжності випливає існування такого невипадкового поля $\pole b$, що $\{S(\n)-b(\n),\n\in\Nd\}$ є обмеженим; саме ж поле $\pole S$ не обов'язково є обмеженим (теорема~4.3.2}).

Для довільного $d\ge1$ ми доводимо також аналог теореми Дуба~[14]:

Теорема 4.3.2.

В теорії кратних рядів розглядаються різні види збіжності, які знижують в тому чи іншому розумінні ефект, описаний в прикладі~4.2.1. Одним з таких видів є обмежена збіжність (див., наприклад,~[54]).

Означення 4.5.1. Кратний ряд $\sumnd\Xn$ називається обмежено збіжним, якщо він збігається майже напевно, а поле $\pole S$ є обмеженим.

Зрозуміло, що у випадку $d=1$ це означення є еквєвалентним означенню звичайної збіжності. При $d>1$ це вже не так, а клас обмежено збіжних рядів є більш вузьким у порівнянні з класом просто збіжних рядів. Умови обмеженості, які вивчались у попередніх параграфах, дозволяють легко сформульовати критерій обмеженої збіжності незалежних випадкових величин.

Теорема 4.5.1.

В розділі~4.6 досліджуються обмеженість та інтегрованість деяких функціоналів від супремума поля $\pole S$ (теорема~4.6.1). Інтегрованість функціоналів від супремума звичайних сум, що приймають значення в абстрактних просторах, вивчалась В.~В.~Булдигіним~[4].

Основні результати глави~4 отримані в~[188].

Глава 5. Вивчається швидкість збіжності майже напевно кратних випадкових рядів. Нехай $\pole X$~--- поле незалежних випадкових величин. Залишком ряду $\sumnd \Xn$ ми називаємо випадкову величину

У випадку $d>1$ існують збіжні ряди, залишки яких розбігаються (приклад~5.1.1). Тому спочатку ми знаходимо критерій збіжності всіх залишків кратного ряду:

Теорема 5.1.1

Розглянемо поле $\pole b$ невипадкових необмежених монотонно зростаючих констант (див\. означення~6.2, додаток 1). Співвідношення

свідчить про те, що ряд $\sumnd\Xn$ збігається швидше ніж $\bn$ прямує до нескінченності. Саме такі результати отримані в розділі~5.4. Зазначені результати нагадують за формою посилений закон великих чисел, тому ми називаємо їх посиленим законом великих чисел для залишків кратного ряду.

Для доведення посиленого закону великих чисел для залишків кратних рядів ми отримуємо аналог нерівності Дуба--Бара--Ессеена.

Нерівність Дуба дає можливість оцінити моменти максимума часткових сум через моменти суми з найбільшим індексом. Нерівність Бара—Ессеена дозволяє оцінити моменти суми через моменти доданків. Ми поєднуємо ці два класичних результата в один й отримуємо оцінку для моментів супремума залишків кратного ряду через моменти доданків.

Теорема 5.2.1

Цей результат не випливає безпосередньо з відповідних оцінок для сум. Навіть у випадку $d=1$ залишки утворюють не мартингал, а обернений мартингал і тому необхідно залучати додаткові міркування. У випадку $d>1$ ситуація погіршується, оскільки необхідно доводити збіжність залишків та повторних рядів.

На основі теореми~5.2.1 ми отримуємо аналог нерівностi Гаєка--Реньї:

Теорема 5.3.1

Метод доведення подібних нерівностей вперше використовувався в роботi~[195], хоча при $d=1$ iдея розбиття послідовності $\Seq nb$ на блоки зустрічається ще в роботах В.~В.~Петрова та О.~І.~Мартікайнена~[31], М.~А.~Володіна та С.~В.~Нагаєва~[6], В.~В.~Булдигіна~[3]. У роботі Я.~Гаєка та А.~Реньї~[102] при $d=1$ отримана схожа нерівність, але не для моментів та залишків, а для ймовірностей і часткових сум.

У розділі~5.4 розглядається новий підхід до доведення посилених законів, що базується на теоремі~5.3.1. Цей підхід поєднує загальність та простоту доведення. Для часткових сум ідея методу вперше використовувалась в~[195]. Випадок неоднаково розподілених випадкових величин розглянуто у теоремі~5.4.1 та наслідку~5.4.1:

Теорема 5.4.1.

В теоремі~5.4.2 містяться критерії посиленого закону великих чисел для залишків кратних рядів зважених однаково розподілених випадкових величин.

В розділі~5.5 ми вивчаємо для $d=1$ закон повторного логарифму для залишків рядiв. Основним результатом цього розділу є теорема~5.5.1:

Теорема 5.5.1.

Посилений закон великих чисел та закон повторного логарифму для залишків звичайних рядів вивчався в роботах Й.~С.~Чоу та Г.~Тейчера~[71], А.~Барбура~[63], Г.~Будіану~[66], А.~Росалскі~[144], Т.~Мікоша~[126], Е.~Нам та А.~Росалскi~[133]. Їхні результати випливають з результатів глави~5.

Основні результати глави~5 опубліковані в~[167], [170].

Глава 6. Розглядається новий метод доведення посиленого закону великих чисел. Для кратних сум він дозволяє отримати посилений закон не тільки для полів $\pole b$ з невід’ємними приростами, але й для монотонних полів. Навіть при $d=1$ цей метод приводить до нових результатів. Слід зауважити, що головний результат доводиться для випадкових величин з довільною залежністю, що дозволяє використовувати його у багатьох випадках й не тільки для незалежних випадкових величин.

Нехай $p>0$, а $\pole b$~--- монотонно зростає. Означимо множини

(6.2.3)

Головним припущенням в розділі~6.2 є існування такого поля додатних чисел $\pole\la$, для якого виконується нерівність

Поле $\pole\la$ існує для будь-якого поля $\pole S$ (див.~зауваження~6.2.1-6.2.3). Більше того, полів з такою властивістю існує нескінченно багато, і проблема полягає у виборі ``оптимального''.

Головним результатом є наступна теорема.

Теорема 6.2.1.

Часткові випадки містяться у наслідках теореми~6.2.1:

наслiдок~6.3.1 (пряме узагальнення теореми Колмогорова),

наслiдок~6.4.1(узагальнення теореми Марцинкевича—Зiгмунда; у випадку $d=1$ див.~[122]),

наслiдок~6.5.1 (узагальнення теореми Чжуна; у випадку $d=1$ див.~[73] та теорему~10, глава~VI в~[41]),

наслiдки~6.6.1-6.6.3 (узагальнення теореми Прохорова--Брунка; у випадку $d=1$ див.~[65] та~[42]),

наслiдок~6.7.1(у випадку $d=1$ див.~[159] та~[15]),

наслiдки~6.6.4-6.6.7 (застосування узагальненої нерівності Марцинкевича--Зігмунда).

В главі~6 наведено також кілька прикладів, які показують, що теорема~6.2.1 дає можливість доводити нові результати навіть у випадку $d=1$. Одним з таких прикладів є послідовності з перемішуванням, які детально розглядаються в розділі~6.8. Використовуючи нерівність К.~Шао~[147], ми доводимо кiлька посилених законiв великих чисел для таких послiдовностей.

Основнi результати глави~6 опублiкованi в~[186], [190].

Глава 7. Посилений закон великих чисел для випадка загальних незалежних випадкових величин використовується, щоб отримати необхідні та достатні умови для однаково розподілених випадкових величин. Схожими методами В.~В.~Петров та О.~І.~Мартікайнен~[32] (див\. також [41]) довели посиленi закони для $d=1$, якi узагальнюють один вiдомий результат В.~Феллера~[85].

Нехай поле додатних чисел $\pole b$ ‘ монотонним та обмеженим. З полем $\pole b$ зв'яжемо двi послiдовностi $\Seq ka$ та $\Seq kA$:

У подальшому ми використовуємо таку умову:

(7.1.2)

Зауважимо, що всі ``регулярно'' змінні послідовності $\Seq kA$ задовольняють цю умову. При $d=1$ вона збігається з класичною умовою Феллера:

(7.1.3)

Нехай $F$~--- спільна функція розподілу випадкових величин $\Xn$, $\ninNd$. Головним результатом глави~7 є наступна теорема.

Теорема 7.1.1.

В теоремі~7.1.2 розглядається інша умова:

(7.1.7)

Для конкретних полів $\pole b$ необхідні та достатні умови вдається спростити: в наслідку~7.3.1

розглядається випадок

де $L(\bcdot)$~--- повiльно змiнна функцiя. З випадку $L(x)\equiv1$ (наслiдок~7.3.2) випливають теореми Смайза~[150] та Гута~[93].

Поле

розглядається у наслідку~7.3.3.

У теоремі~7.4.1 розв'язана задача знаходження необхідних та достатніх умов посиленого закону великих чисел для кратних сум незалежних однаково розподілених випадкових величин, індекси яких належать певній підмножині простору $\Nd$. У випадку $d=1$ ця задача називається посиленим законом для підпослідовностей.

Теорема 7.4.1.

Основнi результати глави~7 опублiкованi в~[173], [179], [185], [191].

Глава 8. Розглядаються результати типу закону повторного логарифму для кратних сум. Для доведення використовується новий метод, який дозволяє отримувати нові результати навіть у випадку $d=1$. У випадку $d=1$ закон повторного логарифму в остаточній формі для незалежних однаково розподілених випадкових величин доведено П.~Хартманом та А.~Вінтнером~[103], а твердження, обернене до закону повторного логарифму,~--- Ф.~Штрассеном~[156]. У випадку $d>1$ закон повторного логарифму доведений М.~Вічурою~[163], а саме: якщо

то

Ми розглядаємо кратні суми незалежних однаково розподілених випадкових величин з вагами.

Нехай $\pole w$~--- невипадкові числа, $W^2(\n)=\sumkn w^2(\k)$. Припустимо, що

(8.0.5)

Припустимо також, що існують монотонно зростаючі послідовності $\Seq k{W^{(1)}},\dots,\Seq k{W^{(d)}}$, такі, що

(8.0.6)

Вважаємо також, що для будь-якого $1\le j\le d$

(8.0.7)

Нехай $\pole \vfi$~--- монотонно зростаюче та необмежене поле, тобто

(8.0.8)

Припустимо, що

(8.0.9)

де а вектори $\m_i$ визначаються за $\n$ таким чином: якщо $d=1$, то $m_1=n_1+1$; якщо ж $d>1$, то $\m_1=(n_1+1,n_2,\dots,n_d)$ й

Покладемо $\chi(x)=\sqrt {x\log^+\log^+x}$.

Основним результатом глави~8 є теорема~8.1.1.

Теорема 8.1.1.

Якщо покласти $\wn=1$, $\ninNd$, та обрати $\vfi(\n)=\chi(|\n|)$, $\chi(x)=\sqrt{x\log^+\log^+x}$, то з теореми~8.1.1 зразу ж випливає закон повторного логарифму Вічури~[163]. Ми наводимо також кілька прикладів, які показують, що теорема~8.1.1 придатна і в більш загальній ситуації.

В розділах~8.2—8.6 розглядаються наслідки теореми~8.1.1.

Основні результати глави~8 опубліковані в~[174], [187].

Глава 9. Вивчається більш сильне твердження, ніж посилений закон великих чисел, а саме:

(9.1.1)

Зрозуміло, що таке твердження можна вивчати тільки при $d>1$. Метод доведення твердження~(9.1.1) спирається на результати про існування моментів супремума кратних сум з вагами. Нехай $t_1,\dots,t_d$~--- додатні числа, а

(9.2.1)

Теорема 9.2.1

Для $d=1$ схожий результат отримав Д.~Сігмунд~[149]. В доведенні теореми~9.2.1 ми використовуємо ідею Д.~Сігмунда та аналог одного твердження Булдигіна (теорема~3.7.1 в~[4]).

В розділі~9.4 ми розглядаємо аналогічну задачу для закона повторного логарифму. Теорему~9.4.1 у випадку $\vfi(x)=x^2$ довів А.~Гут~[94]. В прикладі~9.4.1 ми розглядаємо випадок $d=2$ для гауссівських стандартних доданків. Виявляється, що

Оскільки

то з закону повторного логарифму випливає

Основні результати глави~9 опубліковані в~[168], [189].

Глава 10. Вивчається так звана ``повна'' збіжність. Послідовність випадкових величин $\Seq nU$ називається збіжною повністю до константи $c$, якщо для будь-якого $\eps>0$

Зрозуміло, що повна збіжність є більш сильною, ніж збіжність майже напевно. Наприклад, якщо $U_n=S_n/n$, де $S_n$~--- суми незалежних однаково розподілених випадкових величин, то повна збіжність підпослідовності $U_{2^n}$ до $c$ еквівалентна збіжності майже напевно всієї послідовності $S_n/n$ до $c$. Критерій повної збіжності послідовності $\Seq nU$ отримали П.~Л.~Сюй, Г.~Роббінс~[107] та П.~Ердьош~[79]—[80].

Таким чином, ці автори встановили, що збіжність для будь-якого $\eps>0$ ряду

(10.1.2)

еквівалентна умові $\E\[X_1\]=0$, $\E\[X_1^2\]<\infty$. Ряд~(10.1.2) є частковим випадком наступного ряду

(10.1.3)

де $\alpha>0$, а послідовність вагових коефіцієнтів $\Seq nw$ складається з невід'ємних чисел. Ми розглядаємо задачу про умови збіжності цього ряду.

Дослідження у цьому напрямку, проведені до 1987 року, містяться в монографії С.~Х.~Сіраждінова та М.~У.~Гафурова~[45].

Надалі ми позначаємо через $F$ функцію розподілу випадкових величин $X_n$, $n\ge1$, та $\Xn$, $\ninNd$, та вважаємо, що випадкова величина $X$ має той же розподіл $F$.

Означення повної збiжності можна перенести на випадок кратних індексів. Проте після певної перестановки доданків ми можемо довести, що повна збіжність полів є еквівалентною повній збіжності деякої послідовності. Тому ми спочатку ретельно вивчаємо ряди~(10.1.3). Виявляється, що не для кожної послідовності чисел $\Seq nw$ існують не вироджені випадкові величини, для яких ряд~(10.1.3) збігається для всіх $\eps>0$.

Випадки $\alpha\le1$ та $\alpha>1$ суттєво відрізняються. Наприклад, для $\alpha>1$ завжди існує розподіл, для якого ряд~(10.1.3) збігається для всіх $\eps>0$ (такими, наприклад, є розподіли обмежених випадкових величин). Тому поставлена задача є нетривіальною

тільки для $\alpha\le1$.

Теорема 10.2.1.

Майже у всіх вивчених до цього часу випадках ця умова є також і достатньою.

Теорема 10.2.2.

Випадок регулярно змінної послідовності $\Seq nw$ розглянуто в наслідку~10.2.1.

В розділі~10.3 ми наводимо кілька достатніх умов для збіжності ря\-ду~(10.1.3) (теореми~10.3.1 та~10.3.2; наслідок~10.3.2).

В розділі~10.4 ми вивчаємо повну збіжність для послідовності сум з випадковими індексами. Виявляється, що достатні умови розділу~10.3 можна з успіхом застосувати і в цій ситуації. Результати А.~Гута~[97], Д.~Шиналя~[157], та А.~Кучмажевської, Д.~Шиналя~[116] зовсім просто випливають з теорем розділу~10.4.

В розділі~10.5 ми повертаємось до ряду~(10.1.3) який інтерпретуємо як частковий випадок схеми розділу~10.4. Така точка зору дозволяє отримати нові умови збіжності ряду~(10.1.3). Отримані результати узагальнюють теореми Гута~[99] та Асмуссена--Куртца~[60].

В розділі~10.6 ми застосовуємо результати розділу~10.5 для вивчення кратних рядів типу~(10.1.3).

Нехай $w(x)$~--- регулярно змiнна на нескiнченностi функцiя порядку $\rho\ge-1$, тобто $w(x)=x^\rho L(x)$, де $L(x)$~--- повiльно змiнна функцiя. Для $\alpha>\frac12$ покладемо

Теорема 10.6.1.

Ця теорема узагальнює результати Гута~[93] та Гафурова--Холмурадова~ [10].

У теорії повної збіжності важливу роль грає параметр $\eps$. За означенням повної збіжності найбільш важливими є малі значення цього параметра. В розділі~10.9 ми вивчаємо асимптотику за малим параметром $\eps\to0$ функції

К.~Хейді~[104] знайшов грубу асимптотику цієї функції: якщо

(10.7.1)

то

(10.7.2)

В лемі~10.9.1 ми покращуємо цей результат для гауссівських доданків, а з її допомогою~--- вивчаємо випадок загального розподілу (теорема~10.9.1).

Асимптотика за малим параметром кратних рядів знайдена в розділі~10.8: груба асимптотика~--- в

теоремі~10.8.1, точна асимптотика~--- в теоремах~10.8.2 та~10.8.3.

Основні результати глави~10 опубліковані в [166], [171], [175], [177], [178], [181].

Глава 11. У випадку $d=1$ однією з широко уживаних ймовірнісних моделей є процес відновлення та його найважливіша характеристика~--- функція відновлення. Вивчення процесів відновлення, що побудовані за кратними сумами, може бути корисним у практичних задачах. Проте класичне означення ($N(t)=\max\{n:S_n<t\}$) не є коректним для кратних індексів, оскільки множина $\Nd$ не є повністю впорядкованою. П.~Неєм та С.~Вагнером~[134], М.~Маежімой та Т.~Морі~[121], Я.~Галамбошем та І.~Катаі~[90], [91], Я.~Галамбошем, К.-Х.~Індлекофером та І.~Катаі~[89] вивчалась функція відновлення, побудована за випадковим блуканням з багатопараметричним часом. Але процес відновлення навіть не згадувався в тих роботах.

В розділі~3 ми даємо означення процесу відновлення (означення~11.3.1) та наводимо основні його властивості (теорема~11.3.1).

Означимо процес відновлення таким чином:

(11.3.1)

Функція відновлення означається як математичне сподівання процесу відновлення: $U(t)=\E\[N(t)\]$.

Асимптотика функції відновлення досліджується в розділі~11.4:

Теорема 11.4.1.

Більш точна асимптотика, але за більш жорстких припущень щодо моментів випадкових величин, наведена у теоремі~11.4.2.

Асимптотика самого процесу відновлення досліджується у розділі~11.5. Ми використовуємо число $r_0$, яке означає показник аппроксимації функції Дірихле поліномом $\Cal P$ (див\. розділ~9, додаток 1):

Теорема 11.5.1.

Асимптотика процесу відновлення, аналогічна до~(11.4.1), наведена у наслідку~11.5.1.

Основні результати глави~11 опубліковані [176], [184].

Глава 12. Нехай $\{\xi(\x),\x\in\Rd\}$~--- деяке випадкове поле. Розглянемо гратку $\CG=\zdpole g$, $\CG\subset\Rd$. Тут і надалі $\Zd$~--- простір $d$-вимірних векторів з цілими координатами. Однією з важливих задач теорії інформації є відновлення поля $\xi(\x)$ з неперервним аргументом за його значеннями $\xi(g(\n))$ на гратці $\CG$, які називаються відліками. В таких випадках зменшується об'єм інформації, необхідний для передачі поля $\xi(\x)$ каналами зв'язку. З точки зору теорії ймовірностей подібна задача зводиться до знаходження умов збіжності ряду

(12.1.1)

до значень поля $\xi(\x)$ при заданих невипадкових функціях $S(\n,\x)$. Одним з випадків, коли таке відновлення можна здійснити, розглядається у теорії Котельникова--Шеннона. Необхідно додати, що Котельников~[26] та Шеннон~[146] розглядали тільки випадок $d=1$ та невипадкових функцій $\xi(x)$. В цьому випадку функції $S(\n,\x)$ обираються наступним чином

(12.1.2)

а гратка $\CG=\CG(\Lambda_1,\dots,\Lambda_d)$ складається з елементів

(12.1.3)

Тут $\La_1,\dots,\La_d$~--- деякі фіксовані додатні числа. Добре відомо, що ряд~(12.1.1) збігається не завжди навіть у випадку функцій Котельникова--Шеннона. Необхідно також додати, що навіть у тих випадках, коли ряд~(12.1.1) збігається, то не завжди значенням його суми буде $\xi(\x)$. Особливо важливою ця обставина стає в тих випадках, коли шукають найменш щільну гратку, для якої ряд~(12.1.1) збігається (``щоб зменшити об'єм інформації''). Розглянемо цю обставину більш докладно на прикладі $d=1$. Нехай $\xi(x)$~--- стаціонарний в широкому розумінні випадковий процес, спектральна міра якого зосереджена на деякому інтервалі $\CP=[-\La',\La']$. Якщо $\La$~--- це параметр, який визначає гратку $\CG$, то при $\La<\La'$ відновлення процесу за допомогою ряду Котельникова--Шеннона~(12.1.1) з функціями~(12.1.2) можливе лише у деяких вироджених випадках. Тому розглянемо $\La\ge\La'$. Якщо $\La>\La'$, то відновлення можливе, як в $\LtwoOm$, так і майже напевно (це і є відома теорема Котельникова--Шеннона для стаціонарних процесів; див.~[1]). Найменш щільною є гратка $\CG(\La')$, проте відновлення процесу за відліками на $\CG(\La')$ можливе не завжди (критерій збіжності в просторі $L_2(\Omega)$ і майже напевно наведено в~[7]). Аналогічна ситуація має місце і у випадку $d>1$. (Збіжність в $\LtwoOm$ кратного ряду Котельникова--Шеннона саме до значень поля стверджується у наслідку на стор.~273 в~[11] для однорідних полів з обмеженим спектром).

Ряди Котельникова--Шеннона розглядаються поза множиною

Теорема 12.2.1

Перший результат про збіжність майже напевно ряду Котельникова—Шеннона для стаціонарних випадкових процесів отриманий Ю.~К.~Беляєвим~[1], який припускав, що спектр процеса зосереджений на проміжку $(-\Lambda+\eps,\Lambda-\eps)$ для деякого додатного $\eps$. Критерій збіжності для рядів Котельникова--Шеннона, побудованими за стаціонарними в широкому розумінні процесами, належить В.~Ф.~Гапошкіну~[7].

В розділі~12.3 ми знаходимо критерій збіжності кратних рядів Ко\-тельникова--Шеннона, побудованими за гауссівськими однорідними в широкому розумінні полями:

Теорема 12.3.1.

Збіжність ряду Котельникова--Шеннона у гауссовому випадку випливає з загальних результатів глави~3 про збіжність кратних рядів незалежних доданків.

В розділі~12.4 ми знаходимо умови збіжності кратних рядів Котельникова--Шеннона, побудованими за негауссівськими однорідними в широкому розумінні полями:

Теорема 12.4.1.

Для $d=1$ наслiдок~12.4.1 доведений Беляєвим~[1], iншi наслiдки --- Гапошкiним~[7].

Основні результати глави~12 опубліковані в~[169], [172].

Висновки

В дисертаційній роботі автором отримано результати у напрямку створення теорії граничних теорем для кратних сум випадкових величин. Автором отримані такі результати:

знайдені критерії слабкої збіжності кратних сум випадкових величин;

знайдені критерії закону великих чисел для кратних сум;

знайдені критерії збіжності та обмеженості кратних рядів;

досліджено швидкість збіжності кратних рядів;

розроблено методи дослідження та знайдено умови для виконання посиленого закону великих чисел для кратних сум, які у випадку однаково розподілених випадкових величин можна звести до необхідних та достатніх умов;

отриманo закони повторного логарифму для зважених кратних сум незалежних однаково розподілених випадкових величин;

знайдено необхідні та достатні умови існування моментів зважених кратних сум;

розроблено методи дослідження та отримано умови для виконання повної збіжності кратних сум;

знайдена асимптотика процесу та функції відновлення для випадкових блукань з багатовимірним часом;

досліджені умови, при яких стаціонарні випадкові поля з обмеженим спектром можна відновити за їх дискретними відліками.

Роботи автора за темою дисертації

166. Клесов О. И., Одно замечание к усиленному закону больших чисел // Теор. вероятн. матем. статист. 1982, 26, 69—76.

167. Клесов О. И., О скорости сходимости рядов случайных величин // Украин. матем. журнал 1983, № 3, 35, 309—314.

168. Клесов О. И., Существование моментов супремума взвешенных кратных сумм // Теор. вероятн. матем. статист. 28 (1983), 51—59.

169. Клесов О. И., О сходимости почти наверное кратных рядов Котельникова--Шеннона // Проблемы передачи информации 20 (1984), № 3, 79—93.

170. Клесов О. И., Скорость сходимости некоторых случайных рядов // Теор. вероятн. матем. статист. 30 (1985), 91—101.

171. Клесов О. И., Асимптотика одного ряда случайных величин // Доп. АН УРСР, сер. А 8 (1984), 15—19.

172. Клесов О. И., Восстановление гауссова случайного поля с финитным спектром по отсчетам

сигналов на решетке $\R^d$ // Кибернетика (1985) № 4, 41—46.

173. Клесов О. И., Усиленный закон больших чисел для кратных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин // Математические заметки 38 (1985), 915—930.

174. Клесов О. И., Закон повторного логарифма для взвешенных сумм независимых одинаково распределённых случайных величин // Теор. вероятн. применен. 24 (1986), № 2, 389—393.

175. Клесов О. И., Скорость сходимости сумм случайного числа случайных величин // Теор. вероятн. матем. статист. 39 (1988), 65—71.

176. Клесов О. И., Теорема восстановления для случайного блуждания с многомерным временем // Украин. матем. журнал 43 (1991), № 9, 1161—1167.

177. Клесов О. И., Сходимость рядов из вероятностей больших уклонений // Украин. матем. журнал 45 (1993), № 6, 770—784.

178. Клесов О. І., Швидкість збіжності у теоремі Хейді // Теор. ймовірн. матем. статист. 49 (1993), 65—71.

179. Клесов О. И., Об аналоге теоремы Феллера для кратных сумм // Матем. заметки 55 (1994), № 1, 53—61. \issue 1

180. Клесов О. І., Закон великих чисел для кратних сум незалежних однаково розподілених випадкових величин // Теор. ймовірн. матем. статист. 50 (1994), 76—86.

181. Klesov O. I., Complete convergence for randomly indexed sums of random variables // Journal of Mathematical Sciences 76 (1995), № 2, 2241—2249.

182. Клесов О. И., Сходимость кратных рядов случайных величин // Теор. вероятн. применен. 40 (1995), № 1, 68—83.

183. Fazekas I., Klesov O. I., Limit laws for sums of independent random variables on sets // Theory Stoch. Processes 2 (18) (1996), № 1—2, 137—149.

184. Клесов О. І., Штейнебах Й., Посилені теореми відновлення для випадкових блукань з багатовимірним часом // Теор. ймовірност. матем. статист. 56 (1997), 105—111.

185. Клесов О. И., Рыхлик З., Усиленный закон больших чисел на секторе // Теор. ймовірност. матем. статист. 58 (1998), 31—37.

186. Klesov O. I., A new method for the strong law of large numbers for random fields // Theory Stoch. Processes 4 (20) (1998), № 1—2, 122—128.

187. Клесов О. І., Закон повторного логарифма для кратних сум // Теор. ймовірност. матем. статист. 61 (1999), 39—46.

188. Клесов О. І., Обмеженість кратних рядів // Теор. ймовірност. матем. статист. 62 (2000), 27-36.

189. Клесов О. І., Iнтегровність моментів кратних сум // Теор. ймовірност. матем. статист. 63 (2000), 90-99.

190. Klesov O. I., Fazekas I., A new approach to the strong law of large numbers // Теор. вероятн. применен. 45 (2000), № 3, 568-583.

191. Klesov O. I., The strong law of large numbers for ``subsequences'' on the plane // Theory Stoch. Processes 6 (22) (2000), № 1-2, 47-53.

Анотації

Клесов О. I. Граничні теореми для кратних сум випадкових величин. --- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико--математичних наук за спеціальністю 01.01.05 --- теорія ймовірностей та математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка.

Дисертація присв'ячена дослідженню кратних сум випадкових величин, для яких побудована теорія, аналогічна до класичної теорії звичайних сум випадкових