Коган Олександр Маркович

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ДИФЕРЕНЦІЙОВАНИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01 математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Дніпропетровському національному університеті

Науковий керівник член-кореспондент НАН України

доктор фізико-математичних наук

професор Моторний Віталій Павлович

Дніпропетровський національний університет

завідувач кафедри

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

професор Тригуб Роальд Михайлович

Донецький національний університет

завідувач кафедри

кандидат фізико-математичних наук

доцент Носенко Юрій Лаврентійович

Донецький державний технічний університет

професор

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ

відділ теорії наближень

Захист відбудеться “20” червня 2001 р. о 1600 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “19” травня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої Чані О.С.

ради

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія наближень функцій є однією із найбільш розвинених галузей сучасного математичного аналізу. Основи теорії наближень були закладені в кінці ХІХ – початку ХХ століття. Це пов’язано з іменами таких вчених як К. Вейєрштрасс, П.Л. Чебишев, Валле_Пуссен та ін.

Основи сучасної теорії наближення функцій були закладені на початку ХХ століття (приблизно до 30_х років). Цей період характеризується тим, що головною метою досліджень було наближення більш-менш конкретних функцій або параметрично заданих класів функцій. Тут необхідно згадати про таких вчених, як П.Л. Чебишев, С.Н. Бернштейн. Новий етап в теорії наближень відкривається роботами А.М. Колмогорова, а також Ж. Фавара, Н.І. Ахієзера і М.Г. Крейна. Це такі результати, як теорема порівняння А.М. Колмогорова, а також результати про найкраще наближення класів і , тобто класів 2_періодичних функцій таких, що їх r  1_ша похідна абсолютно неперервна, а норма r-_тої похідної не перевищує 1 (норма береться відповідно у просторах і ). Отже на цьому етапі вже починає вивчатись найкраще наближення класів диференційованих функцій з обмеженнями на r-_ту похідну в конкретних просторах, а пізніше – і поперечники цих класів.

Звичайно, що сучасну теорію наближення не можна уявити без теореми двоїстості С.М. Нікольського, яка дозволяє звести задачу про найкраще наближення функцій та класів функцій у деякому просторі к дослідженню функціоналів із спряженого простору. Розвитку теорії наближень сприяв також розвиток теорії спадаючих переставлень. У 1970 році М.П. Корнєйчук за допомогою побудованої ним теорії ?_переставлень знайшов точне значення найкращого наближення класів (класів 2_періодичних функцій таких, що модуль неперервності їх r_тої похідної не перевищує заданого опуклого модуля неперервності щ) тригонометричними многочленами в просторах C і . Це мало велике практичне і теоретичне значення, бо по-перше, була розв'язана конкретна задача, а, по-друге, була розроблена методика для розв'язку інших задач. Виявилось, що методи, яки були застосовані при розв'язку задач теорії наближень у періодичному випадку, можуть бути застосовані і тоді, коли справа йде про наближення класів неперіодичних функцій алгебраїчними многочленами. Але, звичайно, тут є свої особливості. Виявляється, що задачі про найкраще наближення класів функцій у неперіодичному випадку є набагато складнішими, ніж у періодичному. Тому у більшості випадків удається отримати не точні значення найкращих наближень, а асимптотичні. І якщо у періодичному випадку як правило удається отримати точну оцінку для найкращого наближення класів функцій, то в неперіодичному випадку існує дуже небагато методів, що дозволяють отримати точні значення найкращого наближення класів функцій алгебраїчними многочленами. Один з таких методів – метод, який був використаний В.О. Кофановим для розв'язання задачі про найкраще наближення класів (класів функцій, що визначені на інтервалі [1; ] таких, що їх r  1_ша похідна абсолютно неперервна, а _норма r-_тої похідної не перевищує 1) в просторі . Щодо інших результатів, то тут можна згадати багатьох провідних учених, які отримали багато цікавих результатів.

Головні результати, що викладені в дисертації отримані шляхом розвитку методів, що були використані в роботах В.П. Моторного й О.В. Моторної, а також В.О. Кофанова і відносяться до наближення неперіодичних класів функцій алгебраїчними многочленами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації були здійснені в рамках досліджень по науковим держбюджетним темам, що виконувались на кафедрі теорії функцій Дніпропетровського національного університету (номер держреєстрації 0199V001310).

Мета й задачі досліджень. Метою даної роботи є знаходження найкращого наближення окремих неперіодичних класів функцій алгебраїчними многочленами у просторі . В роботі досліджено найкраще наближення класів (для опуклих диференційованих модулів неперервності) і класів .

Методи дослідження. В роботі використовуються різноманітні методи розв'язку задач про найкраще наближення класів неперіодичних функцій алгебраїчними многочленами в просторі .

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані в роботі результати є новими і належать автору. У роботі:

·

·

·

·

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати надають подальшого розвитку теорії наближення функцій і можуть бути використані для подальших досліджень у цій галузі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на науковому семінарі ІІ школи “Ряди Фур'є: теорія й застосування” (Кам'янець_Подільський, 1997), міжнародній конференції “Теория приближений и гармонический анализ” (Росія, Тула, 1998), міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, що присвячена пам’яті В.К. Дзядика (Київ, 1999), міждержавній науково-методичній конференції “Комп'ютерне моделювання” (Дніпродзержинськ, 1999), на науковому семінарі з теорії наближень Дніпропетровського національного університету, а також на семінарі професора Р.М. Тригуба (Донецький державний університет).

Публікації. Основні результати дисертації були опубліковані у статтях [1  ] у виданнях, затверджених ВАК України як такі, в яких слід публікувати матеріали дисертації.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, двох розділів і списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 115 сторінок. Список використаних джерел включає 25 найменувань і займає 3 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі обґрунтовано вибір теми дисертації на основі аналізу стану проблеми, зазначена актуальність розглянутих задач. Крім того, там згадуються деякі результати з теорії наближення функцій, що мають безпосереднє відношення до змісту дисертації, а також описані головні результати дисертації.

Нагадаємо деякі позначення. Нехай задано нормований простір X; нехай, також, в цьому просторі задана деяка підмножина M і елемент u. Тоді величина

називається найкращим наближенням елементу u множиною M. Якщо існує такий елемент , що реалізує цю точну нижню грань, то такий елемент називається елементом найкращого наближення елементу u множиною M.

Нехай тепер у нормованому просторі X задані підмножини F та M. Найкращим наближенням множини F множиною M називається величина

.

Якщо M множина алгебраїчних або тригонометричних многочленів, степені не вище n, а X є , де , то в цьому разі будемо вважати

.

В першому розділі досліджено найкраще наближення класів функцій алгебраїчними многочленами в просторі .

Через позначимо таку множину:

,

де заданий модуль неперервності. У випадку, коли r ми будемо писати замість . Нехай -періодична непарна функція, що визначена на інтервалі таким чином:

Нехай далі r-й періодичний інтеграл функції такий, що його середнє значення на періоді, дорівнює 0, тобто

Відзначимо, що ця функція вперше була розглянута М.П. Корнєйчуком (1970). У випадку коли , , то відповідний клас функцій будемо позначати , а функцію   .

В.П. Моторний і О.В. Моторна (1995) отримали таку асимптотичну рівність

. (1)

Шляхом розвитку методики, що була використана для отримання цього результату, удається знайти найкраще наближення класів для усіх диференційованих опуклих модулів неперервності.

В першому розділі показано, что для кожного опуклого диференційованого модуля неперервності має місце така рівність:

,

де так званий ідеальний ейлерів сплайн, тобто

,

а далі r-й періодичний інтеграл функції (з періодом ) такий, що його середнє значення на періоді, дорівнює 0, тобто

.

Для того, щоб довести основну рівність, величина оцінюється зверху і знизу, тобто доводяться такі теореми

Теорема 1. Нехай опуклий модуль неперервності. Тоді r , ,

,

де .

Теорема 2. Нехай опуклий модуль неперервності. Тоді r , ,

,

де .

Із цих двох теорем, очевидно, випливає шукана рівність. Але також очевидно і те, що ця формула дуже громіздка і незручна. Виявляється, що цю формулу можна значно спростити, якщо накласти на модуль неперервності додаткову умову. Отже, якщо

(2)

має границю при u  , то

.

Відзначимо, що модулі неперервності ,  ; ] задовольняють умову (2). Справді, для таких модулів неперервності (u) . Отже з останньої рівності випливає рівність (1).

Але, слід зауважити, що умова, яка накладена на функцію (u) є істотною, бо існують такі опуклі модулі неперервності, які не задовольняють цю умову і для яких більш проста формула про найкраще наближення виявляється невірною. Приклад такого модуля неперервності також наводиться у першому розділі. Дійсно, розглянемо таку функцію:

.

В першому розділі доведено, що ця функція є опуклий модуль неперервності, але для цього модуля неперервності не виконується умова, яка накладена на функцію (u) і показано, що для нього остання формула про найкраще наближення виявляється невірною.

Другий розділ складається із трьох пунктів. В пункті 2.1 досліджено найкраще наближення класів функцій алгебраїчними многочленами в просторі . В пункті 2.2 розглядається найкраще наближення функцій із класів алгебраїчними многочленами в просторі . В пункті 2.3 уточнено результат В.О. Кофанова про найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами у просторі

Класи складаються із функцій f, визначених на інтервалі [1; ], що задовольняють такі дві умови:

1.

2.

В.П. Моторний і О.В. Моторна (1995) довели, що

, (3)

де ідеальний ейлерів сплайн, , .

В пункті 2.1 другого розділу доведено, що

,

де r = , ,

сплайн визначається таким чином:

,

де

,

.

Тобто удається отримати точне значення найкращого наближення класів . Цей результат отримано шляхом розвитку методів, що були використані В.О. Кофановим для обчислення точного значення найкращого наближення класів алгебраїчними многочленами в просторі .

В тому разі, коли r величину найкращого наближення класу алгебраїчними многочленами в просторі удається підрахувати в явному вигляді:

.

Це, а також рівність (3) дають підставу для гіпотези, що для кожного натурального r найкраще наближення класів дорівнює з точністю до , де константи Фавара, тобто

.

Але це виявляється невірним, тобто насправді

,

де

.

Це також доведено в пункті 2.1. Відзначимо, що цей факт не тільки викриває те, що гіпотеза, що була висловлена, не справедлива. Із цього також можна виявити, де слід шукати точки, в яких вираз

досягає свого максимального значення, тобто доведено таке

Твердження. Якщо – точка, в якій вираз,

досягає свого максимуму, то

.

В пункті 2.2 розглянуто найкраще наближення функцій із класів алгебраїчними многочленами в просторі . Отже, нехай . В пункті 2.2 розглядаються властивості функції f (sin). Показано, що ця функція може бути представлена у вигляді суми функцій із класів тобто класів 2р_періодичних функцій, r  ша похідна яких абсолютно неперервна, а r-та – задовольняє умову . Отже, за допомогою нерівності Джексона, доведена така

Теорема . Нехай r ? . Тоді ,

.

В.О. Кофанов довів, таку рівність для найкращого наближення класів алгебраїчними многочленами в просторі :

.

У випадку, коли r , величина найкращого наближення класу може бути обчислена явно):

В пункті 2.3 розглядаються властивості сплайну . Знайдено розвинення функції в ряд Фур’є по синусам. Завдяки цьому було уточнено вищезгаданий результат В.О. Кофанова, тобто доведено, що у випадку, коли r непарне і n парне, n = r  ,

,

де біноміальні коефіцієнти.

ВИСНОВКИ.

Дисертація присвячена дослідженню найкращого наближення класів диференційованих функцій алгебраїчними многочленами в просторі . Головні результати отримані в розділах 1 і 2.

В розділі 1 досліджено найкраще наближення класів функцій алгебраїчними многочленами в просторі де щ опуклий диференційований модуль неперервності. Доведено, що

,

де ідеальний ейлерів сплайн.

Якщо при цьому функція

має границю при u  0, то

,

де _періодична непарна функція, визначена на відрізку в такий спосіб:

,

а r-й періодичний інтеграл функції із середнім значенням на періоді, рівним 0, тобто

.

Відзначимо, що ця функція вперше була розглянута в працях М.П. Корнєйчука.

В розділі 2 розглянуто наближення класів функцій алгебраїчними многочленами в просторі . Доведено, що для r = , ,

,

де

,

,

.

Слід відзначити, що цей сплайн вперше згадується в працях В.О. Кофанова.

Якщо r = , то

.

Крім того, доведено, що для довільної функції і r  

.

В працях В.О. Кофанова доведено, що якщо n  r  , то

.

В розділі 2 також уточнено цей результат. Доведено, що у випадку, коли r  непарне і n парне, n  r  ,

.

Для розв’язку цих задач широко використані методи розв’язку задач теорії наближень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Коган О.М. Наближення алгебраїчними многочленами деяких класів диференційованих функцій. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2001.

У дисертації досліджується найкраще наближення класів і алгебраїчними многочленами в просторі . Теорія наближень функцій є однією із найбільш розвинених галузей сучасного математичного аналізу, і задачі про найкраще наближення класів неперіодичних функцій алгебраїчними многочленами є одними з традиційних задач теорії наближень.

В першому розділі розглянуто найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами в просторі для опуклих диференційованих модулів неперервності; r , ,Знайдено асимптотичне значення цієї величини. Розглянуто також умови, для яких ця асимптотична рівність приймає простіший вигляд. Доведено також, що ці умови є суттєвими.

В другому розділі розглянуто найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами в просторі для r , ,Отримано точне значення цієї величини в такому вигляді:

,

де сплайн, розглянутий в працях В.О. Кофанова. Показані також деякі оцінки величини, що знаходиться в правій частині цієї рівності. На основі цього доведені деякі властивості точок, в яких ця величина досягає максимуму. Знайдено оцінку для найкращого наближення функцій з класів , а також уточнено результат В.О. Кофанова про найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами.

Ключові слова: найкраще наближення функцій і класів функцій, модуль неперервності, класи , і .

Коган А.М. Приближение алгебраическими многочленами некоторых классов дифференцируемых функций. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2001.

В диссертации рассматривается наилучшее приближение классов и алгебраическими многочленами в пространстве . Теория приближений функций является одной из наиболее развитых областей современного математического анализа, и задачи про наилучшее приближение классов непериодических функций алгебраическими многочленами являются одними из традиционных задач теории приближений.

В первом разделе рассмотрено наилучшее приближение классов алгебраическими многочленами в пространстве для выпуклых дифференцируемых модулей непрерывностиі; r , , . Найдено асимптотическое значение этой величины:

,

где идеальный эйлеров сплайн.

Рассмотрены также условия, при которых это асимптотическое равенство принимает более простой вид. Так, если

имеет предел при u  , то

,

где _периодическая нечетная функция, определенная на отрезке следующим образом:

,

а r-й периодический интеграл функции со средним значением на периоде, равным 0, т.е.

.

Показано также, что условие, наложенное на функцию , является существенным.

Во втором разделе рассмотрено наилучшее приближение классов алгебраическими многочленами в пространстве для r , , . Получено точное значение этой величины в следующем виде:

,

где сплайн, рассмотренный в работах В.А. Кофанова. Рассмотрены также некоторые оценки величины, стоящей в правой части этого равенства. На основании этого доказаны некоторые свойства точек t, в которых эта величина достигает максимума. Кроме того, во втором разделе рассмотрено наилучшее приближение функций из классов алгебраическими многочленами в пространстве . Показано, что для произвольной функции и r  

.

В работах В.А. Кофанова показано, что если n  r  1, то

.

Во втором разделе также рассмотрено выражение, стоящее в правой части этого равенства и показано, что, если r  нечетное, n четное и n  r  1, то

.

Ключевые слова: наилучшее приближение функций и классов функций, модуль непрерывности, классы , и .

Alexander M. Kogan. Approximation of some classes of differentiable functions by algebraic polynomials. Manuscript.

Thesis for a Philosophy Doctor degree by specialty 01.01.01 mathematical analysis.  Institute of the applied mathematics and mechanics of NAS of Ukraine, Donetsk, 2001.

This dissertation is devoted to investigation of the best approximation of the classes and by algebraic polynomials in . Theory of approximation is one of the most developed branches of modern analysis and the problem of the best approximation of various classes of functions by algebraic polynomials is one of the typical problems of approximation theory.

The problem of the best approximation of the classes by algebraic polynomials in for convex differentiable module of continuity and r = , , ... is solved in chapter 1 of the dissertation. The asymptotic equality for the best approximation of the classes is obtained. It’s also proved that under definite conditions the simpler equality is true. But if these conditions don’t hold, this more simple condition is no longer true (the corresponding example is considered in chapter 1).

Approximation of the classes by algebraic polynomials in for r = , ,is considered in chapter . The following exact equality is obtained:

,

where is the spline which was considered in the papers by V.A. Some estimations of the expression in the right-hand side of this equality are considered. Taking into account these estimations we can prove some properties of the points, in which this expression reaches its maximum. The estimation of the best approximation of the functions is obtained in chapter 2 too. In chapter 2 the result by V.A.about the best approximation of the classes is also improved.

Key words: best approximation of functions and classes of functions, modulus of continuity, classes , and .