Київський національний національний університет імені Тараса Шевченка

МЕЛЬНИК Тарас Анатолійович

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАНЬ СПЕКТРАЛЬНИХ

ТА КРАЙОВИХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ З СИНГУЛЯРНО

ЗБУРЕНИМИ ГРАНИЦЯМИ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ-2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичної фізики

Київського національного університету

імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Член-кореспондент НАН України

Хруслов Євген Якович

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б.І. Веркіна НАН

України, м. Харків, заступник директора

доктор фізико-математичних наук

Шамаєв Олексій Станіславович

Інститтут проблем механіки Російської АН,

м. Москва, провідний науковий

співробітник

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Ковалевський Олександр Альбертович

Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

м. Донецьк,

провідний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут математики НАН України,

відділ нелінійного аналізу, м. Київ

Захист відбудеться “25” березня 2002 р. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д26.001.37 у Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м.Київ, проспект Академіка Глу-шкова, 6, корпус 7,

механіко-математичний факультет .

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці

імені М. Максимовича Київ-ського національного університету

імені Тараса Шевченка ( вул. Володимир-ська, 64)

Автореферат розіслано “01” лютого 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При інтенсивному розвитку науки і техніки математичні моделі досліджуваних явищ ускладнюються, і тому природно для їх аналізу використовувати асимптотичні методи, які дають обґрунтовану можливість замінити складні моделі більш простішими.

З розвитком наукового-технічного прогресу постала нагальна потреба в необхідності використання сильно неоднорідних, композиційних та перфорованих матеріалів. Вивчення математичних моделей фізичних процесів, які відбуваються в тілах складної конфігурації, виготовлених з таких матеріалів, дозволяють більш глибоко зрозуміти ці процеси, виявити фактори, які їх обумовлюють, а в разі необхідності спрогнозувати перебіг цих процесів і передбачити властивості таких матеріалів ще до їх конструювання.

Відповідні математичні моделі описуються крайовими задачами для диференціальних операторів, коефіцієнти яких, а також області, де розглядаються ці задачі, складним чином залежать від деякого малого параметра.

При розв'язанні таких задач в 1970 – 1980-тих роках виникла нова область в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними - теорія усереднення, об'єктом дослідження якої є вивчення асимптотичної поведінки розв'язків крайових задач з швидко змінними коефіцієнтами в перфорованих областях. Вагомий внесок в розвиток цієї теорії зробили як українські, так і зарубіжні математики: В.О. Марченко, Є.Я. Хруслов, І.В. Скрипник, О.А. Панков; Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, О.А. Олійник, В.В. Жиков, О.С. Шамаєв; Е. Sanchez-Palencia, Е.De Giorgi, S. Spacnolo, A. Bensoussan, J.L. Lions, G. Papanicolau, L. Tartar.

Зазначимо, що теорія усереднення для звичайних диференціальних рівнянь, пов'язаних головним чином з задачами нелінійної механіки, була розроблена М.М. Криловим, М.М. Боголюбовим, Ю.О. Митропольським та їхніми учнями.

Вперше задача про усереднення крайових задач в областях складної структури була досліджена в роботах В.О. Марченка і Є.Я. Хруслова. В подальших роботах Є.Я. Хруслова (1977-78, 81, 88-99) розроблялись варіаційні методи дослідження

розв'язків крайових задач Діріхле та Неймана для лінійних диференціальних рівнянь в перфорованих областях We не обов'язково періодичної структури. Суттєві результати в дослідженні задач Діріхле для нелінійних рівнянь в областях складної неперіодичної структури були отримані в працях І.В. Скрипника (1982,85,86,90,93,96,2000).

Для крайових задач Неймана Є.Я. Хрусловим було введене поняття сильно зв'язних областей We , залежних від малого параметра e, під яким розуміється існування рівномірно обмеженого відносно e оператора продовження з H1(We) в H1(Rn). Пізніше в роботах D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin та О.А. Олійник, Г.А. Іосіф'яна, О.С. Шамаєва доведено існування таких операторів продовження та запропоновано схему їх побудови для перфорованих областей e -періодичної структури. Рівномірно обмежені оператори продовження відіграють дуже важливу роль при дослідженні крайових задач в областях, складним чином залежних від малого параметра.

З теорією усереднення диференціальних рівнянь з частинними похідними тісно пов'язана теорія G-збіжності операторів, початок якої був закладений в роботах S. Spacnolo, Е. De Giorgi, L. Tartar, F. Murat (1968,73,76-78), де була розроблена теорія G-збіжності для дивергентних лінійних еліптичних та параболічних операторів. В працях В.В. Жикова, С.М. Козлова і О.А. Олійник (1979-82) побудована теорія G-збіжності для дивергентних лінійних еліптичних та параболічних операторів високого порядку. G-збіжність послідовностей нелінійних еліптичних операторів вивчалась в роботах L. Tartar, У.Е. Райтума, О.А. Панкова, N. Fusco, G. Moscariello, М.М. Сиражудінова; О.А. Панковим досліджено також G-збіжність нелінійних параболічних операторів. Спектральні задачі теорії G-збіжності вперше були розглянуті О.С. Шамаєвим.

Одержані результати сприяли подальшому розвитку теорії усереднення: це і усереднення крайових задач в каркасних конструкціях (Г.П. Панасенко, В.В. Жиков, D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin, M. Briane), це і теорія усереднення на Ріманових багатовидах складної структури (Є.Я. Хруслов), це і метод двомасштабної збіжності (G. Nguetseng, G. Allaire, В.В. Жиков), це і теорія G-збіжності функціоналів (Е.De Giorgi, C. Sbordone, P. Marchellini, F. Murat, В.В. Жиков), це і теорія G-збіжності операторів та G-збіжності функціоналів на каркасних конструкціях і в перфорованих областях для нелінійних еліптичних операторів, яка розвинута в працях О.А. Ковалевського, це і теорія усереднення крайових задач в частково перфорованих областях (О.А. Олійник, О.С. Шамаєв, Т.А. Шапошнікова, W. Jager, A. Mikelic), та інші напрямки, які в даний час інтенсивно розвиваються.

Паралельно з теорією усереднення розвивались асимптотичні методи для дослідження крайових задач в тонких областях (А.Л. Гольденвейзер, В.Ф. Бутузов, А.Б. Васильева , С.О. Назаров, D. Caillerie) і в з'єднаннях тонких областей різних граничних розмірностей (P.G.Ciarlet, С.О. Назаров, Б.А. Пламенєвский, В. Г. Мазья, E.Sanchez-Palencia). Зазначимо, що кількість елементів в таких з'єднаннях не залежить від малого параметра задачі.

Крайові задачі в з'єднаннях, кількість елементів яких залежить малого параметра і необмежено зростає при прямуванні малого параметра до нуля (густі сингулярно вироджувальні з'єднання), мають свої специфічні труднощі і до цього часу не було розроблено загальних і строгих асимптотичних методів (мова йде про асимптотичні оцінки) для досліджень таких задач. Однією із основних причин цього є той факт, що густі з'єднання не попадають в клас сильно зв'язних (а також і слабо зв'язних) областей.

Під густим сингулярно вироджувальним з'єднанням (густим з'єднанням) We типу m:k:d будемо розуміти область в Rn, яка є об'єднанням області W0 (тіло з'єднання) та великої кількості e-періодично розміщених вздовж деякого багатовиду (зона приєднання) на поверхні області W0 тонких областей. Тип з'єднання m:k:d вказує: m (m Ј n) - на граничну розмірність тіла з'єднання, k – на граничну розмірність зони приєднання, а d, (d >0) - на граничну розмірність приєднувальних тонких областей; e - малий параметр, який характеризує відстань між тонкими областями та їх товщину. Такі з'єднання є прототипами багатьох сучасних інженерних конструкцій, а також фізичних та біологічних систем, характерні розміри яких сильно відрізняються. Зазначимо, що до густих з'єднань можна було б зарахувати і тонкі перфоровані області з швидко змінною товщиною, які б тоді згідно даної класифікації мали б тип m:m:0, (m Ј n-1).

Предметом дослідження крайових задач в густих з'єднаннях є вивчення асимптотичної поведінки їх розв'язків при e®0, тобто коли кількість тонких приєднувальних областей необмежено зростає, а їх товщина прямує до нуля. Відмітимо, що першими роботами в цьому напрямку були роботи Є.Я. Хруслова та його співавторів (1968,70,76), в яких досліджувалась асимптотична поведінка функції Гріна для рівняння Гельмгольца в (по даній класифікації) необмеженому густому з'єднанні типу 3:2:1. В цих роботах при певних припущеннях були доведені теореми збіжності в тілі з'єднання.

При розрахунках стійкісних та динамічних характеристик конструкцій, які моделюються густими з'єднаннями, а також в сучасних методах діагностики біологічних систем, дуже важливою є інформація про спектр частот власних коливань цих систем. В свою чергу, задачі про власні коливання зводяться до відповідних спектральних крайових задач в густих з'єднаннях різних типів. Не дивлячись на суттєві досягнення в теорії усереднення, в науковій літературі відсутні роботи з повними і строгими асимптотичними дослідженнями спектральних крайових задач в густих сингулярно вироджувальних з'єднаннях.

Таким чином, асимптотичний аналіз спектральних крайових задач та крайових задач в густих з'єднаннях різних типів є дуже важливою та актуальною проблемою, яка пов'язана з розвитком сучасних напрямків теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, і її вирішення має велике, як чисто теоретичне, так і практичне значення для ряду галузей науки та техніки.

Зв'язок роботи з науковими програмами та планами. Тема дисертації була затверджена на засіданні Ученої ради механіко - математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка 11 листопада 1996 року. Дослідження проводились на кафедрі математичної фізики згідно НДР 97-05 (номер державної реєстрації 0198U002031) "Побудова та теоретичне обгрунтування ефективних методів розв'язування лінійних та нелінійних крайових задач для рівнянь в частинних похідних", яка виконувалась в рамках комплексної наукової програми "Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем" затвердженої наказом ректора (наказ № 25 від 20.01.1997), а також згідно розділу "Розробка аналітичних методів дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними" комплексного тематичного плану НДР (01БФ038-04) "Розвиток підходів та методів некласичної механіки та теорії керування стосовно проблем біології та медицини", що фінансується за рахунок коштів державного бюджету 2001-2005р. і затвердженого наказом ректора університету від 29.12.2000 за номером 553-32.

Мета і задачі дослідження. Мета досліджень полягає в розробці асимптотичних методів розв'язань крайових задач в областях з сингулярно збуреними границями.

Об'єкт досліджень - крайові спектральні задачі і основні крайові задачі математичної фізики в густих сингулярно вироджувальних з'єднаннях різних типів (цьому присвячена більша частина дисертації) та спектральні і еліптичні крайові задачі другого порядку з швидко осцилюючими коефіцієнтами в тонких перфорованих областях з швидко змінною товщиною.

Предмет досліджень - асимптотична поведінка власних значень і власних функцій крайових спектральних задач та асимптотична поведінка розв'язків крайових задач в густих з'єднаннях різних типів та в тонких перфорованих областях з швидко змінною товщиною; вплив крайових умов та інших характеристик задачі (густини та жорсткості матеріалів частин з'єднання, геометричної конфігурації густих з'єднань) на асимптотичну поведінку розв'язків цих задач.

Методи дослідження. Дослідження, проведені в дисертації, опираються на ідеї та методи теорії усереднення, зокрема, при виведенні усереднених рівнянь використовується метод двомасштабних розвинень, який поєднується з асимптотичними методами для дослідження крайових задач в тонких областях. При побудові перших членів асимптотичних розвинень застосовується метод узгодження асимптотичних розвинень (М. Вандайк, А.М. Ільїн, С.О. Назаров). Дослідження властивостей розв'язків примежового шару базується на загальній теорії еліптичних крайових задач в областях з кусково-гладкою границею (В.А. Кондратьєв, О.А. Олійник, В.А. Мазья, С.О. Назаров, Б.А. Пламенєвский).

Наукова новизна. В дисертації вперше одержано такі результати:

Розроблено асимптотичні методи дослідження крайових задач в густих з'єднаннях різних типів, за допомогою яких досліджено асимптотичну поведінку (при e®0) розв'язків основних крайових задач математичної фізики, побудовано перші члени асимптотики цих розв'язків та доведено асимптотичні оцінки.

Доведено теореми про існування і концентрацію спектра певного класу самоспряжених оператор-функцій та аналоги варіаційних принципів Фішера-Куранта-Вейля і Пуанкаре-Рітца для власних значень.

Запропоновано схему дослідження асимптотичної поведінки власних значень та власних функцій сім'ї самоспряжених компактних операторів залежних від малого параметра, які діють в різних просторах і гублять компактність в граничному переході.

Розроблено схему побудови спеціальних операторів продовження із збереженням класу простору для власних функцій та розв'язків крайових задач в густих з'єднаннях різних типів.

Вивчено вплив крайових умов (Неймана, Фур'є, Стєклова, Діріхле), які задаються на границях тонких приєднувальних областей, та геометричної конфігурації густого з'єднання (тип з'єднання; густе з'єднання, яке складається з двох тіл; різна довжина тонких приєднувальних областей) на асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій відповідних спектральних крайових задач в густих з'єднаннях.

Доведено теореми збіжності, побудовано перші члени асимптотики і отримано асимптотичні оцінки для розв'язків крайової задачі для рівняння Пуассона та для початково-крайової задачі параболічного типу в густому з'єднанні типу 3:2:1.

Проведено усереднення контактної задачі для системи густо розміщених штампів; введено поняття узагальненої ємності зони контакту.

Досліджено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій задачі Діріхле в густому з'єднанні типу 2:1:1 з концентрованими масами на тонких стержнях, при цьому знайдено новий тип коливань (псевдо-коливання) та вивчено асимптотику спектра відповідної крайової задачі, коефіцієнти якої вироджуються на границях тонких стержнів.

Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій жорсткої спектральної задачі Неймана в густому сингулярно вироджувальному з'єднанні типу 3:1:1 з концентрованими масами на тонких циліндрах. Доведено теореми збіжності, побудовано перші члени асимптотики та отримано асимптотичні оцінки для власних значень і власних функцій, виявлено нові ефекти в розщепленні асимптотики для власних значень.

Для симетричного рівномірно еліптичного оператора другого порядку з швидко осцилюючими коефіцієнтами вивчено асимптотичну поведінку розв'язків мішаної крайової та спектральної задач в тонкій перфорованій області з швидко змінною товщиною, побудовано перші члени асимптотики та доведено асимптотичні оцінки.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати та розвинуті в ній методи можуть бути використані в наступних дослідженнях крайових задач в областях з сингулярно збуреними границями, в спектральній теорії збурення та в спектральній теорії оператор-функцій.

При вирішенні прикладних проблем (розрахунок реальних коливальних систем в механіці та радіотехніці, діагностика біологічних систем), які можуть бути змодельовані крайовими задачами в густих з'єднаннях різних типів або в тонких перфорованих областях, рекомендується на підставі отриманих в дисертації результатів використовувати відповідні усереднені задачі, які є набагато простішими, уникаючи тим самим громіздких чисельних обчислень.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Другому міжнародному європейському математичному конгресі (Будапешт, 1993), на Міжнародному математичному конгресі (Цюріх, 1994), на Третьому міжнародному конгресі з індустріальної та прикладної математики (Гамбург, 1995), на Українському математичному конгресі (2001); на міжнародних конференціях: конференції присвяченій пам'яті академіка М.П. Кравчука (Київ, 1992), "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1992), "Nonlinear differential equations" (Київ, 1995), "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань" (Київ, 1997), "Differential equations, Equadiff-99" (Берлін, 1999), "Differential equations and dynamical system" (Суздаль, 2000), "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 2001), на сумісних засіданнях семінару ім. І.Г. Петровського та Московського математичного товариства (1991,93,94,95,96,2001); на Міжнародному симпозіумі ім. Сант-Венана (Париж, 1997); на Першій українсько-американській школі "Differential equations and their applications" (Судак, 1993), на Міжнародній школі з теорії збурення (Рим, 1998), на міжнародній школі "Asymptotic and Numerical Analysis of Structures and of Heterogeneous Media" (Санкт-Петербург, 2000).

Результати дисертації доповідались на наукових семінарах кафедр математичної фізики і інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник член-кор. НАН України професор М.О. Перестюк, 1994, 2001); на семінарах Інституту математики НАН України (керівник академік НАН України, професор І.В. Скрипник, 1999,2000); на семінарі кафедри теорії функцій і функціонального аналізу Московського університету ім. М.В. Ломоносова (керівники професор А.Г. Костюченко та професор А.А. Шкаліков, 1993); на семінарах Математичного інституту "А" в Штутгартському університеті, Німеччина (керівник професор W.L.Wendland, 1996, 1998, 1999); на семінарі в Інституті технології (Нарвік, Норвегія, 2000).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 21-ній праці [1]-[21], серед яких 20 у наукових періодичних фахових журналах і одна у збірнику наукових праць Інституту математики НАН України. Крім того, деякі результати опубліковані в журналі "Успехи математических наук" у вигляді матеріалів сумісних засідань семінару імені І.Г. Петровського та Московського математичного товариства [22]-[26]; в книгах [27]-[29], які містять матеріали міжнародної конференції, симпозіуму та міжнародної школи відповідно; в працях міжнародної школи "Asymptotic and Numerical Analysis of Structures and of Heterogeneous Media" [30]; в тезах доповідей конференцій та шкіл [31]-[40].

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано автором самостійно. Серед робіт [1]-[21] сумісних статей є 7. В [2] Назарову С.О. належить постановка задачі і виведення результуючої задачі; особисто дисертанту належить обгрунтування асимптотики і доведення теореми в пункті 6. В [4] Назарову С.О. належить постановка задачі і виведення граничної задачі; особисто дисертанту належить дослідження спектру граничної задачі, пункти 3 та 4. В [5] Назарову С.О. належить постановка задачі і виведення граничної задачі; дисертанту належать пункти 3, 4 та 5. В [7] Назарову С.О. належить постановка задач, побудова формальних асимптотик і виведення граничних задач; особисто дисертанту належать параграфи 2, 3, 4, 5 та пункти 3 та 4 з параграфа 6. В [6] особисто дисертанту належить означення сингулярного функціоналу Релея, всі інші результати отримані з Гринівим Р.О. в сумісних дискусіях і обговореннях на основі ідей та попередніх результатів дисертанта, представлених в роботах [3, 24] і в § 2 роботи [7]. В [11] Назарову С.О. належать основні результати параграфа 3; особисто дисертанту належить результати параграфів 2,4,5 та окремі результати параграфа 3: Наслідок 3.1, твердження про симетрію розв'язку в Наслідку 3.2 і твердження 3 в Лемі 3.2. В [14] Аргатову І.І. належить фізична інтерпретація отриманих величин (пункт 2.4 та пункт 4) і твердження 3.1; особисто дисертанту належать пункти 2.3, 3.1 та виведення формул (29) і (30).

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, семи розділів, висновків та списку використаних літературних джерел, що містить 165 найменувань. Повний обсяг роботи складає 323 сторінки, з них список використаних джерел займає 19 сторінок. В роботі вміщено два рисунки, які разом займають половину сторінки.

Подяки. Я висловлюю свою щиру подяку професору Санкт-Петербурзького державного університету Сергію Олександровичу Назарову, який привернув мою увагу до цієї тематики, і співпраця з яким була великим стимулом і фундаментом для написання дисертаційної роботи. Я дуже вдячний німецькому Фонду імені Олександра фон Гумбольдта і професору W.L. Wendland за можливість провести частину досліджень в Штутгартському університеті, зокрема, там були написані такі статті з основного списку: [8,9,10,14] і частково стаття [19]. Я завжди буду з вдячністю згадувати академіка Російської АН професора Ольгу Арсенівну Олійник за знання, отримані під її керівництвом в аспірантурі Московського університету імені М.В. Ломоносова, без яких було б неможливе написання даної роботи, а також за увагу і підтримку при проведенні досліджень.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність, розкрито сутність, мету і наукову новизну проведених досліджень.

В розділі 1 подано огляд літератури по темі дисертації, наведено загальну методику проведення дисертаційних досліджень та коротко викладено зміст дисертації за розділами.

В розділі вказано на принципові труднощі, які виникають при дослідженні крайових задач в густих з'єднаннях різних типів, і принципові відмінності від інших задач усереднення в перфорованих областях, в частково перфорованих областях та в каркасних (решіточних) конструкціях. Причиною цього є специфічна зв'язність густих з'єднань: в таких областях існують точки, відстань між якими є величиною порядку We, а довжина всіх кривих, які з'єднують ці точки і належать цим областям, є величиною порядку O(1). Тому, по-перше, диференціальні оператори крайових задач в густих з'єднаннях втрачають коерцитивність в граничному переході при e®0, тобто гранична задача змінює свій тип; і по-друге, для густих з'єднань різних типів не існує рівномірно обмежених відносно e операторів продовження у відповідних просторах Соболєва. Ще однією характерною особливістю крайових задач в густих з'єднаннях є поведінка розв'язків крайових задач, які описують явище примежового шару в зоні приєднання. Це задачі в необмежених областях з різними виходами на нескінченність (нескінченні півциліндри, півсмуги, півшари), які визначаються типом густого з'єднання. Замість експоненціального спадання на нескінченності, розв'язки примежового шару мають степеневий ріст і тим самим безпосередньо впливають на перші члени асимптотики зовнішніх асимптотичних розвинень. Вивчення властивостей розв'язків примежового шару базується на загальній теорії еліптичних крайових задач в областях з кусково-гладкою границею (В.А. Кондратьєв, О.А. Олійник, В.Г. Мазья, С.О. Назаров, Б.А. Пламєнєвский, [96]-[100] і суттєво спрощується при використанні поліноміальної властивості відповідних напівлінійних форм (С.О. Назаров, [101]).

В розділі проведено детальний аналіз робіт Є.Я. Хруслова ([77], 1968), його сумісних робіт з В.П. Котляровим ([78], 1970), з Г.В. Сузіковим ([79], 1976) та з В.О. Марченком (§ 5 з книги [80], 1974), в яких доведені теореми збіжності в тілі з'єднання для функції Гріна рівняння Гельмгольца в необмежених густих з'єднаннях типу 3:2:1. При цьому, при доведені теорем збіжності або робилось припущення про збіжність певних компонент крайової задачі ([78]), або використовувалось явне представлення деяких величин ([77,79,80]), яке є можливим при певних конфігураціях тіла густого з'єднання (півпростір).

З допомогою методів теорії усереднення в працях французьких математиків F. Fleury i E. Sanchez-Palencia ([81],1986), J. Sanchez-Hubert i E. Sanchez-Palencia ([82],1989) та A. Benkaddour i J. Sanchez-Hubert ([83],1992) були знайдені усереднені рівняння, які описують акустичні коливання в густих з'єднаннях типу 3:2:1 та 3:2:2. В [81] обговорювались спектральні властивості таких задач з крайовими умовами Неймана і була відзначена одна із характерних особливостей спектральних задач в густих з'єднаннях: при граничному переході втрачається компактність і, як наслідок, " ... вичерпного дослідження спектральних властивостей не зроблено" [81, стор. 163]. Крім того, там було показано, що при певній геометричній конфігурації густого з'єднання можуть існувати точки дискретного спектра усередненої задачі, і вказано умови, при яких точка спектра належить істотному спектру. Такий же підхід був застосований в [83] для задачі Неймана в густому з'єднанні типу 3:2:2.

Незалежно від згаданих робіт дисертантом сумісно з С.О. Назаровим на початку 90-тих років було проведено асимптотичний аналіз спектральних задач Неймана в густих з'єднаннях типів 2:1:1 в R2 та 2:1:1 і 3:1:1 в R3 [31, 32, 2, 23, 4, 5, 7].

Дослідження здійснювалися за схемою: 1. формальне виведення усередненої задачі; 2. дослідження спектру усередненої задачі; 3. побудова асимптотичних наближень для власних функцій у всьому з'єднанні за розв'язком усередненої задачі; 4. знаходження нев'язок, які залишають ці наближення в початковій задачі та їх оцінка в нормах відповідних просторів;

5. побудова спеціальних операторів продовження; 6..доведення теорем збіжності та асимптотичних оцінок для власних значень та власних функцій.

Зразу ж зауважимо, що дослідження проведені в роботах французьких математиків [81]-[83] завершувались першим і частково другим пунктом цієї схеми.

Опишемо цю схему більш детально. При виведенні усереднених спектральних задач використовуються методи теорії усереднення, зокрема, метод двомасштабних розвинень, який поєднується з асимптотичними методами для дослідження крайових задач в тонких областях (А.Л. Гольденвейзер, М.Г. Джавадов, С.О. Назаров, А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, P. Ciarlet, D. Caillerie та інші [41]-[47]) і методом узгодження внутрішніх та зовнішніх асимптотичних розвинень (С.О. Назаров [58], М. Ван-Дайк [91], А.М. Ільїн [92]).

Для подальших досліджень дуже важливо знати структуру спектра усередненої задачі. Вище відзначалося, що втрата компактності усередненою задачею була принциповою перешкодою для проведення досліджень. Дисертантом було запропоновано метод зведення усередненої задачі до спектральної задачі для відповідної оператор-функції, а також вказано, що у випадку m-k=1 (граничні розмірності тіла і зони приєднання відрізняються на одиницю) такі оператор-функції утворюють певний клас самоспряжених оператор-функцій з розривними коефіцієнтами. В Підрозділі 2.1 доведено теореми про існування та концентрацію спектра таких оператор-функцій і отримано аналоги варіаційних принципів Фішера-Куранта-Вейля та Пуанкаре-Рітца для власних значень.

При побудові перших членів асимптотичних розвинень застосовується метод узгодження асимптотичних розвинень [91, 92] та його модифікація [58]. Перші члени зовнішніх асимптотичних розвинень будуються як в тілі з'єднання, так і на тонких областях. Перші члени внутрішнього асимптотичного розвинення є розв'язками крайових задач, які описують явище примежового шару в необмежених областях з різними виходами на нескінченність. В дисертації уточнюються асимптотичні співвідношення для розв'язків примежового шару на нескінченності та доводяться інші їх властивості (успадкування симетрії від правих частин, знакосталість та інші), які використовуються при подальших дослідженнях.

Четвертий пункт запропонованої схеми - це трудомісткий етап, в якому, використовуючи різні нерівності і доводячи допоміжні твердження, оцінюються нев'язки побудованих наближень. Кінцевим результатом цього пункту є операторна нерівність, яка показує, що у відповідній нормі нев'язка від побудованого наближення є малою.

Для доведення теорем збіжності в теорії усереднення крайових задач в перфорованих областях дуже важливим моментом є існування операторів, які дають можливість перейти на область не залежну від малого параметра і які повинні бути рівномірно обмеженими відносно малого параметра у відповідних просторах Соболєва. Існування таких операторів є або необхідною умовою в постановці деяких задач (області є сильно (слабо) зв'язними), або вже доведеним фактом, що має місце для e-періодично перфорованих областей (D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin [102], О.А. Олійник, Г.А. Іосіф'яна, О.С. Шамаєва [87]), або додаткових припущень про збіжність деяких компонент задачі (В.П. Котляров, Є.Я. Хруслов [78]). Відзначимо також, що використовуючи теорію G-збіжності функціоналів, В.В. Жиковим ([103, 104]) доведено теореми збіжності в Lp для розв'язків деяких варіаційних задач та задач дифузії в перфорованих областях без використання умов про продовження, при цьому розглядалися e-періодично перфоровані (по всімкоординатним напрямкам) області і як наслідок цього відповідні граничні задачі зберігали коерцитивність. Вже зазначалося, що для густих з'єднань операторів продовження з потрібними властивостями не існує. В дисертаційній роботі розроблено схему побудови спеціальних операторів продовження із збереженням класу простору для власних функцій спектральних крайових задач в густих з'єднаннях різних типів та для розв'язків крайової задачі для рівняння Пуассона і початково-крайової задачі параболічного типу в густому з'єднанні типу 3:2:1. Не дивлячись на те, що норма такого оператора є нескінченно великою при e®0, норма його звуження на довільну скінчену комбінацію власних функцій досліджуваної спектральної крайової задачі обмежена у відповідному просторі Соболєва сталою, яка не залежить від eО(0,e0]; вона (норма) також буде обмеженою на розв'язках згаданих крайових задач при виконанні спеціальної умови для правої частини.

Врешті, в останньому пункті цієї схеми, використовуючи побудовані оператори продовження, доводяться теореми збіжності, і на підставі отриманих оцінок нев'язок від побудованих наближень доводяться асимптотичні оцінки для власних значень та власних функцій. Цей завершальний етап асимптотичного дослідження є дуже важливим як з чисто математичної точки зору (він строго обгрунтовує правильність побудованих наближень), так і з практичного боку, оскільки при вирішенні прикладних проблем в густих періодичних з'єднаннях дає нам право використовувати усереднені задачі.

Другий розділ складається з двох підрозділів. В Підрозділі 2.1 доведено теореми про існування та концентрацію спектра певного класу самоспряжених оператор-функцій, що включає в себе оператор-функції, до яких зводяться усереднені спектральні задачі для спектральних задач в густих з'єднаннях, та аналоги варіаційних принципів для власних значень. Тут досліджуються властивості спектра такої оператор-функції (ОФ) L(l) = A(l) - I, l О (a,b) М R, де A(l) - неперервна самоспряжена компактна ОФ в гільбертовому просторі H з скалярним добутком (*,*); I - одиничний оператор в H. Крім того, виконується умова: для ненульового вектора u О H функція fu(l) : = ( L(l)u, u), l О (a,b) зростає в деякому околі кожного свого нуля, якщо такі існують. Зрозуміло, що при таких умовах функція fu не може мати більше одного нуля (можливо кратного).

Спектральні властивості самоспряжених ОФ вивчались з допомогою функціонала Релея в працях Ю.Ш. Абрамова ([93]), А.С. Маркуса ([94]), Ф.Г.Максудова і М.Г. Гасанова ([95]). Зазначимо, що функціонал Релея визначався в цих роботах при таких припущеннях: по-перше, для кожного ненульового u О H функція fu має нуль p(u) О (a,b); по-друге, або ОФ L(l) - неперервно диференційована і нуль p(u) функції fu є простим ([93]), або функціонал p - обмежений, тобто supp p М (a,b), ([94, 95]).

Зрозуміло, що ні одне з наведених припущень робіт [93]-[95] для оператор-функції L(l) не виконується. Дисертантом введено поняття сингулярного функціонала Релея p : H{0} ® [a,b], який визначається таким чином: p(u) = a, якщо fu(l) > 0 " l О (a,b); p(u) = a , якщо, fu(a) = 0; p(u) = b, якщо, fu(l) < 0 " l О (a,b).

За допомогою сингулярного функціонала Релея доводяться такі твердження: спектр ОФ L(l) на інтервалі (a,b) - дискретний; єдиною можливою точкою нагромадження власних значень ОФ L(l) може бути лише точка l = b і це може бути тільки в тому випадку, коли p (l) ® Ґ при l ® b-0, де p(m) - кількість додатних власних значень оператора L( m ) з врахуванням кратності; для власних значень l1, l2, …, ln, … оператор-функції L доводяться аналоги варіаційних принципів Фішера-Куранта-Вейля та Пуанкаре-Рітца:

.

де En (відповідно En) - множина всіх підпросторів простору H розмірності n ( відповідно корозмірності n ), m=p(l1). Ці результати опубліковані в роботі [6], яка узагальнює результати робіт [3, 24]. Відмінні ідеї та способи доведень аналогічних теорем робіт [3, 24] викладені в Пункті 3.1.3. В [3] розглядалися оператор-функції L( m ) := A(m) + tg(m), B(m) - I, а в [24] -- такі оператор-функції L(m) := A(m) + h(m) B(m) - I , m О (a,b) Н (c,d). Тут A(m), B(m), m О [0,+Ґ), ( m О (c,d) ) - самоспряжені, компактні, неперервно - диференційовані ОФ в деякому сепарабельному гільбертовому просторі H, I - одиничний оператор в H; B(m) і 0 і власні вектори ОФ L не належать ядру ОФ B, яке непорожнє, не залежить від m і dim( ker B(m) )^ =Ґ ; крім того, в [3] A(0) Ј I, а в [24] функція hО C1((a,b)), h'>0, h( m ) ®+Ґ ( -Ґ ) при m ® b-0 (a+0).

В Підрозділі 2.2 розроблено схему дослідження асимптотичної поведінки при e ® 0 власних значень та власних функцій деякої сім'ї самоспряжених компактних операторів Ae , які діють в різних просторах і які можна розглядати як сингулярно збуреними по відношенню до самоспряженого і некомпактного оператора A0 (незбурений оператор). Дана схема узагальнює та суттєво спрощує процедуру обгрунтування асимптотики власних значень та власних функцій спектральних крайових задач в густих з'єднаннях; для конкретних задач обгрунтування асимптотики полягає в перевірці умов схеми.

Випадки, коли істотний спектр перетворюється внаслідок збурення в чисто дискретний спектр, виникали в багатьох задачах теорії збурення (В.П. Маслов [106, § III.4], Т. Като [107, Гл. VII, Прикл. 1.19], М. Рід та Б. Саймон [108, Гл. XIII], Г.В. Роземблюм, М.З. Солом'як та М.А. Шубін [109], та інші [109]-[115]). Більша частина цих задач з'явилася спочатку в квантовій механіці, де різним чином збурюються потенціали. Переважно ці дослідження проводилися при таких припущеннях: збіжність резольвент в деякій точці (або еквівалентні умови); області визначення як для збуреного, так і незбуреного операторів є однаковими і не залежать від параметра збурення. В [109], [110, Sec. V.11 - V.13] (J. Sanchez-Hubert, E. Sanchez-Palencia) в процесі вивчення спектральних сімей автори використовували збіжність розв'язків відповідних еволюційних задач та властивості їх перетворень Фур'є та Лапласа. В [113] (G. Allaire, C. Conca, M. Vanninathan) спектральна задача в перфорованій області зводилась до вивчення послідовностей деяких операторів Te,K, K О N з фіксованою областю визначення, при цьому кожна з цих послідовностей сильно збігалася до оператора TK при e®0.

В запропонованій дисертантом схемі не використовуються вищезгадані припущення і методи. За своєю ідеологією дана схема близька до схеми О.А. Олійник, Г.А. Іосіф'яна, О.С. Шамаєва [87, III.1.2], проте між ними існують принципові відмінності (Зауваження 2.2.3), зокрема: граничний оператор A0 в [87] є компактним і сім'я операторів Ae - рівномірно обмежена, що, фактично, для спектральних задач в областях залежних від малого параметра e означає існування рівномірно обмеженого відносно e оператора продовження.

Запропонована в дисертації схема пов'язана із збуреними задачами про власні коливання, які зводяться до такої спектральної задачі: знайти таке число l ( e ) (власне значення) і ненульовий елемент ue О He (власний вектор), які задовольняють таку тотожність

l(e)(Jeue, Jev)e= (ue, v)e, " vОHe, (1)

де e - параметр збурення; He - гільбертів сепарабельний простір; Je: He® Ve - лінійний, рівномірно обмежений відносно e, компактний оператор, область значень якого всюди щільна в гільбертовому просторі Ve. В конкретних крайових задачах оператор Je - це або оператор звуження, або оператор сліду, або тотожній оператор вкладення.

В авторефераті розглядаємо випадок ker Je={0}. Тоді оператор Ae визначимо рівністю Ae:=Je*Je , тобто, (Aeu, v)e =(Jeu, Jev)e " u,v О He. Очевидно, що Ae: He ® He – самоспряжений, додатній та компактний, а задачу ( 1 ) можна переписати у вигляді l ( e ) Ae(ue) =ue в He. Всі характеристичні числа оператора Ae запишемо у неспадну послідовність 0 < c0 Ј l1(e )Ј ...Ј ln(e) Ј … ® + Ґ, n ® Ґ , з врахуванням їх кратності, а відповідні власні вектори проортонормуємо таким чином (Jeu,Je u)e=dn,m, n, m О N, де dn,m - символ Кронекера.

Гранична спектральна задача (e =0) зводиться до знаходження такого числа m та вектора uОH0{0}, що

m(J0u, J0v) =(u,v) " vОH0, (2)

де H0 та V0 - гільбертові сепарабельні простори, а оператор J0: H0 ® V0 є лінійним та (тільки!) обмеженим і його область значень є всюди щільною в V0. Знову для визначеності розглянемо випадок ker J0 = {0}. Визначивши оператор A0 рівністю (A0u,v) =(J0u, J0v), " u, vОH0 зведемо задачу (2) до такої спектральної задачі m A0(u) = u в H0. Зрозуміло, що оператор A0:H0 ® H0 -- самоспряжений, додатній і неперервний.

Аналіз спектра усереднених спектральних задач, які виводяться для спектральних крайових задач в густих з'єднаннях різних типів, показує, що можливі два випадки структури спектра усередненої задачі. Тому відповідно до цих випадків припускаємо, що спектр s(A0) оператора A0 складається з дискретної частини sd(A0) куди входять скінченнократні ізольовані власні значення {1/m }, та істотного спектра sess(A0)=s(A0) \ sd(A0), причому можливі такі випадки їх взаємного розміщення: 1. істотній спектр складається з ізольованих точок, які розбивають власні значення на зліченну кількість незростаючих послідовностей збіжних до відповідних точок істотного спектра (наприклад [7, 10]); 2. існує скінчена кількість попарно неперетинаючих інтервалів на додатній півосі, на кожному з яких розміщена незростаюча послідовність власних значень, яка збігається до лівого кінця інтервалу, а доповнення до об'єднання цих інтервалів в [0,+Ґ) є істотнім спектром (див. наприклад [13, 16]). Далі розглянемо другий випадок, причому, не зменшуючи загальності, вважаємо, що інтервалів, де розміщений дискретний спектр, є два. Тоді власні числа оператора A0 формують дві послідовності

., n ® +µ, (3)

а істотнім спектром є об'єднання відрізків [0, b3-1] И [b2-1, b1-1] =: sess(A0).

Припустимо, що власні вектори задачі (2) належать деякому гільбертовому простору Z0, який щільно та неперервно вкладений в H0, а звуження оператора J0 на Z0 є компактним оператором. Проортонормуємо власні вектори так:

(J0v, J0 v) = dn.,m, (J0v, J0 v) = 0, " n, m О N, k=1, 2. (4)

Між просторами He , Ve i Z0 , H0 , V0 та операторами Ae i A0 виконуються деякі умови зв'язку (D1-D6). Перед їх формулюванням введемо додаткові позначення: N(1/m, A0) - власний підпростір, який відповідає власному значенню 1/m оператора A0; {( ue, l( e ) , L ): e >0 } - послідовність, компоненти якої це власні вектори ue, |ue|Ve=1, та відповідні характеристичні числа оператора Ae , а число L=lim e®0 l ( e ), (очевидно L № 0).

Умова D1. Існує лінійний оператор Se: Z0 ® He, такий, що || Seu ||He Ј c1||u||, " uО Z0, де постійна c1 не залежить ні від e ні від