ОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НЕСКОРОДЄВ РОМАН МИКОЛАЙОВИЧ

УДК 539.3:534.113

КРУЧЕННЯ ТА ЗГИН ПОРОЖНІХ АНІЗОТРОПНИХ СТЕРЖНІВ

ДОВІЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕРІЗУ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник - академік НАН України, доктор технічних наук,

професор Космодаміанський Олександр Сергійович,

Донецький національний університет, завідувач кафедри

теорії пружності та обчислювальної математики

Офіційні опоненти - доктор фізико - математичних наук, професор

Чехов Валерій Миколайович, Таврійський

національний університет ім. В.І. Вернадського,

завідувач кафедри прикладної математики

доктор фізико - математичних наук, професор

Шалдирван Валерій Анатолійович, Донецький

національний університет, завідувач кафедри

математичної фізики

Провідна установа - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

відділ реології, м. Київ

Захист відбудеться “21” червня 2001 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Автореферат розісланий “18” травня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

АГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Технічні конструкції, як правило, являють собою сукупність просторових елементів, виготовлених з матеріалів з різними механічними властивостями і працюючих в статичному і динамічному режимах. Проблема підвищення якості таких елементів зв’язана з забезпеченням високого рівня їх міцності і надійності. Одним з елементів конструкцій, що часто зустрічаються є призматичні і тонкостінні стержні, що скручуються або згинаються.

У сучасних конструкціях поряд з матеріалами, що при розрахунках приймаються за однорідні та ізотропні, широко використовуються матеріали, що виявляють анізотропію, тобто залежність механічних властивостей від орієнтування зусилль стосовно структурних напрямків. До таких матеріалів відносяться, наприклад, оброблені тиском метали і сплави, армовані волокнами пластмаси (склопластики), деревношаруваті матеріали і ряд інших. Основною перевагою анізотропних матеріалів перед ізотропними є можливість використання при конструюванні несучих елементів спрямованості міцносних властивостей матеріалу.

У зв’язку з підвищеними вимогами, що пред’являє сучасна техніка до інженерних конструкцій, елементи яких виконані з анізотропних матеріалів і являють собою призматичні стержні, виникає необхідність визначення напруженого і деформованого стану при згині і крученні з урахуванням відміни пружних властивостей матеріалу для різних напрямків. При розв’язанні цієї задачі необхідно виходити з рівнянь теорії пружності анізотропного тіла.

Питанням дослідження напружено-деформованого стану лінійно пружних анізотропних тіл присвячена велика кількість робіт, з яких необхідно відзначити роботи С.О.Амбарцумяна, І.Н.Вєкуа, О.М.Гузя, С.О.Калоєрова, О.С.Космодаміанського, Л.С.Лейбензона, С.Г.Лехніцького, Ю.М.Неміша, Б.Л.Пелеха, Ю.М.Подільчука, В.Л.Рвачова, Г.М.Савіна, Б. Сен-Венана, І.Ю.Хоми, В.П.Шевченко, Д.І.Шермана та інших авторів.

Розробка методик і алгоритмів, легко реалізуємих на ЕОМ, для визначення напруженого стану призматичних брусів різноманітних складних обрисів їх поперечних перерізов зберігає в даний час свою колишню актуальність. При цьому особливу важливість мають задачі кручення і згину брусів багатозв’язного поперечного перерізу складної форми, широко застосовуваних у машинобудуванні та у ряді інших областей промисловості.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження і результати дисертаційної роботи тісно пов’язані з науковими дослідженнями, що проводяться на кафедрі теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету по науково-дослідних роботах “Створення методів визначення міцності пружних середовищ і конструкцій з урахуванням ускладнених некласичних фізико-механічних і геометричних моделей” (шифр ДонНУ 96-1вв/30, № держ. реєстрації 0196U013131) і “Створення нових засобів по визначенню міцності складних деталей конструкцій, виготовлених з композитів при їх динамічному навантаженні з урахуванням зміни температури та електромагнітних полів” (шифр ДонНУ 99-1вв/30, № держ. реєстрації 0199U001503) проведеними в рамках комплексної програми Міністерства освіти та науки України № 45 “Дослідження процесів деформування, пошкодження та руйнування в суцільних середовищах при розсіюванні енергії та взаємодії з тепловими та електромагнітними полями”. Описані в дисертації алгоритми реалізовані у вигляді пакетів прикладних програм, що були використані в рамках перерахованих науково-технічних робіт.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка чисельно-аналітичних алгоритмів розв’язання двовимірних крайових задач теорії пружності до яких зводяться задачі кручення та згину прямолінійно-анізотропних порожніх стержнів з довільним поперечним перерізом, а також створення програмного забезпечення для реалізації цих алгоритмів на ЕОМ. На основі отриманих наближених розв’язків встановити характер впливу анізотропії матеріалу і геометрії поперечного перерізу стержня при його крученні та згині поперечною силою на кінці.

Методи дослідження. Загальний підхід, що розвивається в роботі, ґрунтується на використанні фундаментальних рішень та ідейно близький до методів граничних елементів, що одержали останнім часом широке застосування при розв’язанні складних практичних задач. Однак у методі граничних елементів особливості фундаментальних рішень розташовуються, як правило, на основній границі області, що приводить до сингулярних інтегральних рівнянь, що, у свою чергу, створює додаткові труднощі обчислювального характеру, в тому числі й у справі аналізу рішення поблизу границі. Як показали результати обчислювальних експериментів, проведених грузинськими математиками В.Д. Купрадзе і М.А. Алексідзе, вдале наближення вдається отримати, якщо сингулярності фундаментальних рішень розташовувати на поверхнях, або кривих, розташованих поза розглянутою областю. Вибираючи на цих додаткових областях всюди щільну множину зосереджених впливів, рішення граничної задачі шукається як сумарний вплив всіх сингулярностей. Таке рішення точно задовольняє однорідному диференціальному рівнянню в розглянутій області, а коефіцієнти розкладу знаходяться з граничних умов. При такій побудові рішення не використовуються конформні відображення кола на розглянуті області, що дозволяє розглядати стержні з довільним поперечним перерізом і порожнинами довільного обрису.

Наукова новизна. В роботі отримані нові результати, що виносяться на захист:

- Вперше розроблен єдиний некласичний підхід до вирішення крайових задач теорії пружності для довільних областей, що ґрунтується на виборі шуканих функцій у вигляді лінійної комбінації фундаментальних рішень, і дано його застосування до задач кручення та згину порожніх анізотропних стержнів з перерізами довільної конфігурації;

- За допомогою цього подходу вдалось з достатньою повнотою вивчити зазначені задачі і тим самим розширити діапазон його застосовністі;

- Для доказу збіжності запропонованого методу показані лінійна незалежність і повнота відповідних систем фундаментальних рішень;

- Проведен ряд чисельних досліджень по визначенню напруженого стану скручених та згинених стержнів зі складними однозв’язними та багатозв’язними поперечними перерізами в залежності від форми та розташування порожнин для різних випадків анізотропії матеріалу. У більшості випадків для більш наочного уявлення про характер напруженого стану в стержні представлені графікі розподілу значень пружного потенціалу в області поперечного перерізу;

- Запропоновано методику дослідження напруженого стану поблизу отворів, розташованих на бічних поверхнях тонкостінного коробчатого стержня при його закручуванні.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблений в дисертації алгоритм дослідження напружено-деформованого стану пружних тіл може бути використаний при оцінці впливу анізотропії матеріалу і геометричних факторів на міцність стержнів, що мають порожнини. Основні результати представлені у вигляді таблиць і графіків, що можуть бути використані для контролю міцності елементів різних конструкцій, виготовлених з матеріалів, що володіють анізотропією і підданих крученню та згину поперечною силою на торці.

Розроблені в дисертації алгоритми можуть бути використані в теорії пружності та в інших областях науки для розв’язання граничних задач, диференціальні рівняння яких допускають явне аналітичне представлення фундаментального рішення.

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи отримані особисто здобувачем. У роботах [1, 3, 5, 7, 9-11] співавтору, О.С. Космодаміанському, належить постановка задач, а побудова рішень і аналіз отриманих результатів здійснено дисертантом. В роботі [5] співавтором, М.М.Нескородєвим, запропонована методика інтегрування рівнянь теорії пружності ортотропного тіла для задач чистого зсуву і згину тонкої пластини дотичними зусиллями, дисертантом здійснено рішення даної задачі та проведен аналіз отриманих результатів. В роботі [4] співавтором, М.М.Нескородєвим, здійснена постановка задачі та взята участь в обговоренні чисельних результатів, дисертантом отримані характеристичні рівняння і здійснен аналіз чисельних результатів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на науковій конференції професорсько-викладацького складу Донецького державного університету (Донецьк, 1995), III регіональній науково-технічной конференції (Маріуполь, 1995), III міжнародному симпозіумі “Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій та фізико-хімічної механіки композиційних матеріалів” (Івано-Франківськ, 1995), V міждержавній науковій конференції “Актуальні проблеми інформатики: математичне, програмне та інформаційне забезпечення” (Мінськ, 1996), VII міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Феодосія, 1997), науковій конференції “Сучасні проблеми механіки” (Львів, 1999).

У цілому робота неодноразово обговорювалась на об’єднаному науковому семінарі кафедри теорії пружності та обчислювальної математики, кафедри теоретичної та прикладної механіки Донецького національного університету і відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України під керівництвом академіка НАН України, професора О.С. Космодаміанського (1994 - 2000).

Публікації. Основні положення дисертації опубліковані в 11 роботах, серед яких: 3 – у наукових журналах, 2 – у науково-технічних збірниках, 1 – у збірнику праць, 4 – у матеріалах і тезах конференцій і одна робота задепонована.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку літератури. Загальний обсяг дисертації складає 156 сторінок, з них ілюстрації і таблиці займають 12 сторінок (58 ілюстрацій і 22 таблиці). Бібліографія складається з 219 найменувань і займає 21 сторінку.

СНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтована актуальність теми, сформульовані мета і задачі дослідження, охарактеризовані наукова новизна і практичне значення роботи, вказується особистий внесок здобувача, апробація роботи і публікації автора, у яких викладен основний зміст. Вказано на зв’язок проведених досліджень з науково-технічними темами. Коротко викладений зміст роботи по розділах.

У першому розділі дається короткий огляд і аналіз праць, у яких містяться основні результати і методи досліджень, близькі до теми дисертаційної роботи. Обгрунтовується вибір методики дослідження і дано її фізичне трактування.

Відзначено, що сучасний рівень досліджень у розглянутих проблемах зв’язан з іменами вітчизняних і закордонних вчених Б.Л.Абрамяна, М.А.Алексідзе, Ю.А.Амензаде, Н.Х.Арутюняна, С.М.Білоцерківського, Я.Й.Бурака, І.І.Воровіча, В.Т.Грінченка, О.М.Гузя, С.О.Калоєрова, Г.С.Кіта, О.С.Космодаміанського, С.Крауча, В.Д.Купрадзе, Л.С.Лейбензона, М.Я.Леонова, С.Г.Лехніцького, А.І.Лур’є, Т.Л.Мартиновича, Н.І.Мусхелішвілі, Х.М.Муштарі, Ю.М.Неміша, Ю.М.Подільчука, Г.Я.Попова, В.Л.Рвачова, Г.М.Савіна, В.С.Саркісяна, А.Старфілда, С.П.Тимошенка, А.Г.Угодчикова, І.Ю.Хоми, В.М.Чехова, В.А.Шалдирвана, В.П.Шевченка, Д.І.Шермана, J.Boussinesg, P.S.Deshwai, S.Dubigeon, J.A.Greenwood, J.S.Nandal, M.Puttre, B.Saint-Venant, C.Y.Wang, M.L.Williams, Yin Changyan та інших.

В другому розділі викладен наближений метод розв’язку крайових задач, основи якого закладені в роботах В.Д.Купрадзе і М.А.Алексідзе, і дано його застосування до задач кручення порожніх анізотропних стержнів з перерізами довільної конфігурації.

Задача про напружений стан стержня, що скручується, зводиться до визначення функції (x,y), що задовольняє диференціальному рівнянню

, x, y S. (1)

При цьому на всіх контурах повинні виконуватися граничні умови вигляду

(k=0,1,2,…,N). (2)

Тут aij - коефіцієнти деформації матеріалу стержня;

– граничний оператор.

Загальне рішення рівняння (1) представляється у вигляді

, (3)

де *(x,y) – часткове рішення рівняння (1), а 0(x,y) – загальне рішення однорідного рівняння, що відповідає рівнянню (1).

Використовуючи функцію комплексної змінної, введену С.Г. Лехніцьким у випадку кручення анізотропних стержнів, можна проінтегрувати рівняння (1) у загальному вигляді. Для цього функцію 0(x,y) виразимо через довільну аналітичну функцію 3(z3):

. (4)

Тут z3 – узагальнена комплексна змінна, що має вигляд z3=x+3y, де 3=3+i3 – корінь характеристичного рівняння a552–2a45+a44=0.

На контурах поперечного перерізу стержня функція 3(z3) повинна задовольняти умові:

, sL. (5)

Таким чином, задачу про визначення напруженого стану скручуваного анізотропного стержня з поздовжніми порожнинами можна розглядати як задачу про знаходження функції 3(z3) з граничної умови (5).

Якщо обрати за шукану величину функцію кручення (x,y)=2Re[F3(z3)] (w=(x,y)) задача зводиться до рішення задачі Неймана.

Основною особливістю методів дослідження напружено-деформованого стану багатозв’язних середовищ є попередня побудова функцій, конформно відображаючих зовнішність або внутрішність одиничного кола на розглянуті області. Побудова таких функцій являє собою досить складну задачу. При розгляді анізотропних середовищ виникають труднощі, обумовлені необхідністю розгляду додаткової області S3. У цій області замість заданих контурів виходять інші. Це приводить до необхідності будувати відображаючі функції, що відповідають контурам в області S3, що істотно ускладнює процедуру чисельних досліджень.

В роботі пропонується шукати розв’язок задачі про напружено-деформований стан порожніх анізотропних стержнів при їх закручуванні у вигляді розкладу по системі фундаментальних рішень однорідного диференціального рівняння, що відповідає рівнянню (1). При такій побудові розв’язку не використовуються конформні відображення кола на розглянуті області, що дає можливість розглядати стержні з довільним поперечним перерізом.

Ідея отримання наближеного рішення полягає в наступному. Нехай - система функцій, що задовольняє умовам:

1. Кожна функція k(x,y) задовольняє в області S однорідному рівнянню (1).

2. Для кожної функції k(x,y) на границі L визначена нова функція lk(x,y), де l - оператор, що фігурує в граничній умові (2).

3. Система функцій є лінійно незалежною і повною в просторі функцій L2(L), що інтегруються в квадраті на L.

Знайдемо коефіціенти ak найкращого (в розумінні метрики L2(L)) розкладу функції (x,y)=–l*(s), що знаходиться в правій частині граничної умови (2), по першим n функціям системи :

, x, yL.

Тоді

при n наближається до точного рішення граничної задачі (1), (2).

Перерахованим вище умовам задовольняє певним чином побудована система фундаменталь-них рішень однорідного рівняння (1). Для побудови такої системи розглянемо в області замкнуту лінію L1, що цілком охоплює L і не має з нею спільних точок. Причому, якщо S – багатозв’язна, тобто L складається з окремих замкнутих ліній, то і L1 складається з такого ж числа замкнутих ліній. Нехай всюди щільна множина точок, тобто як завгодно мала частка лінії L1 містить принаймні одну точку безлічі . В області S3 визначення функції 3(z3) цим точкам будуть відповідати точки z3k=xk+3yk.

Фундаментальні рішення однорідного рівняння (1) мають вигляд

, (6)

де .

Для будь-якої точки Q(x,y), що лежить поза контуром L1, функції (6) безперервні, задовольняють однорідному рівнянню (1) і мають логарифмічну особливість при наближенні точки Q(x,y) до точки zk. Представимо функцію (x,y), що є рішенням однорідного рівняння (1), у вигляді лінійної комбінації функцій (6). Переходячи до узагальненої комплексної змінної z3 з урахуванням того, що комплексні функції напруження 3(z3) і кручення F3(z3) пов’язані залежністю , отримаємо представлення для функції 3(z3):

. (7)

Для забезпечення однозначності функції переміщень w(x,y) коефіцієнти ak потрібно брати дійсними величинами.

Граничну умову (5) запишемо у вигляді нев’язання

, (8)

де b=(3n1-n2)i, n1=cos(n,x), n2=cos(n,y),

t3 - афікс точки на граничному контурі області S3.

Для рішення поставленої задачі необхідно визначити коефіцієнти ak з граничної умови (8). Зведення цієї задачі до системи лінійних алгебраїчних рівнянь здійснимо дискретним методом найменших квадратів. Для цього складемо функціонал

, (9)

де t3m - система точок, що задана на границі області S3.

Задовольняючи умовам J/ak=0 (k=1,2,…), що відображають мінімум функціонала (9), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів ak:

. (10)

Тут k=1,2,…; Amn=2Re[bm/(t3m– z3n)]; .

Після знаходження коефіцієнтів ak з системи (10) стає відомою функція 3(z3). Напруження xz і yz, що виникають у стержні, знаходяться по формулам:

,

.

Для доказу збіжності наближеного методу показані лінійна незалежність і повнота системи функцій (6), по якій розкладається рішення.

Наприкінці розділу наведені результати чисельних досліджень напруженого стану для стержнів з різними однозв’язними і багатозв’язними поперечними перерізами. У кожному випадку дан кількісний та якісний аналіз отриманих результатів, що представлені у вигляді таблиць і графіків. У підтвердження вірогідності результатів у багатьох випадках приведені вже відомі. Порівняння показало добру погодженість отриманих у дисертації результатів з результатами, отриманими раніше іншими методами.

Мабуть вперше досліджувалось кручення еліптичного стержня з порожниною у формі рівнобокого кутка. Вперше приводяться також деякі результати для ортотропных стержнів з перерізами у вигляді рівнобокого кутка, тавра, квадрата з квадратним отвором.

Проведені дослідження підтверджують відомі висновки про те, що наявність порожнин і анізотропії матеріалу впливає на зміну напружень поблизу порожнини, але істотних змін на характер їхнього розподілу в порівнянні з аналогічним суцільним стержнем не вносить. Однак, близьке розташування контурів порожнини і зовнішньої границі в деяких випадках істотно збільшує концентрацію напружень на цих контурах.

У третьому розділі розглядається задача згину анізотропних стержнів з порожнинами поперечною силою на кінці. Тут, аналогічно задачі кручення, основна система рівнянь зводиться до крайової задачі для рівняння другого порядку, рішення якого представляється у вигляді ряду по системі фундаментальних рішень. Коефіцієнти розкладу знаходяться з граничних умов за допомогою методу найменших квадратів. Отримані результати в деяких випадках порівнювалися з вже відомими результатами, а також з результатами, отриманими по відомій у теорії опору матеріалів формулі Журавського для поперечного згину. Ця формула, як правило, дає деякі середні значення напружень, що виходять у рамках теорії пружності, але в деяких випадках відміна виявляється значною, досягаючи іноді 40%. В роботі вперше приводяться результати по згину ортотропних стержнів з перерізами у формі трапеції, тавра, квадрата з круговим отвором коли навантаження спрямоване по діагоналі, квадрата з квадратним отвором. Чисельні дослідження показали, що наявність порожнин і анізотропії матеріалу приводять до істотної зміни характеру розподілу напружень у порівнянні з розподілом в аналогічному суцільному стержні.

В четвертому розділі дане застосування методу суперпозиції сингулярних рішень у плоскій задачі та у задачі згину тонких плит, до яких приводиться задача про кручення ортотропного тонкостінного призматичного стержня з отворами на бічній поверхні. Припускається, що отвори малі і знаходяться вдалині від країв грані. Товщина стінки 2h є також малою в порівнянні з розмірами отворів. Стержень скручується моментами, прикладеними до торців, а його бічна поверхня і поверхні порожнин вільні від навантажень. Рішення задачі, що відповідає основному напруженому стану, що виникає в тонкостінному стержні без отворів, відшукується за методикою, викладеною в другому розділі. Результати чисельних досліджень дозволили зробити висновки, що дотичні напруження, що виникають у стінках короба (за винятком невеликих зон, що прилягають до місць різкої зміни форми стержня) спрямовані паралельно його середньої лінії і залежать від товщинної координати по лінійному закону і практично не залежать від інших координат. Для верхньої стінки виходить, що

, , (11)

де t0 і t1 – постійні величини, що залежать від геометричних і пружних параметрів стержня.

к видно, рішення, отримане методами теорії пружності, містить поправку (що залежить від товщинної координати) до рішення, отриманому методами теорії тонкостінних конструкцій, де дотичні напруження вважаються постійними по товщині стінки.

Для визначення другого поля напружень стінку короба поблизу отворів вважаємо тонкою пластинкою. Переміщення ui розкладемо в ряди по функціях, що залежать від товщинної координати:

, (12)

де

f0=1, . (13)

Процес інтегрування рівнянь теорії пружності ортотропного тіла у випадку напруженого стану (11) розділяється на дві задачі: чистий зсув пластини дотичними зусиллями та згин тонкої пластини зусиллями .

У випадку чистого зсуву розклади (12) приймають вигляд:

, (14)

Задовольняючи рівнянням рівноваги, виразимо функції u12, u32, u23, … через u10, u30 і u21:

,

, (15)

, .

Оператори Lmn мають вигляд:

, , ,

, , .

Задовольняючи граничним умовам на торцях yz=xy=y=0 при y=h, знаходимо

, ,

(16)

,

де

. (17)

При виведенні рівнянь (16) постійні , що входять у співвідношення (13), вибиралися таким чином, щоб для . В нульовому наближенні рішення системи (16) виражається через довільні функції узагальнених комплексних змінних , а вираження для переміщень і напружень збігаються із співвідношеннями плоскої теорії пружності. Для побудови чисельного рішення функції представимо наступними рядами:

, (18)

де – полюса, розподілені всюди щільно на замкнутих лініях, розташованих поза додатковими областями і не мають з ними сумісних точок. Комплексні постійні визначаються з граничних умов на контурах отворів.

У випадку згину розклади (12) приймають вигляд:

, . (19)

Після задоволення рівнянням рівноваги, функції , , ,…виразяться через , , :

,

, (20)

, .

Задовольняючи граничним умовам при , знайдемо

, . (21)

Тут враховано, що постійні у співвідношеннях (13) вибиралися так, щоб для . Умова при має вигляд

. (22)

Виражаючи далі функції , , , … через функцію і обмежуючись в (22) доданками при , одержимо рівняння для функції :

, (23)

рішення якого має вигляд , де – довільні функції узагальнених комплексних змінних . Вираження для переміщень і напружень збігаються зі співвідношеннями теорії згину тонких анізотропних плит. Вони, як відомо, не дозволяють враховувати вплив деформацій поперечних зсувів, оскільки не вдається задовольнити всім трьом граничним умовам на поверхнях отворів. Для їх задоволення і, отже, одержання більш точного рішення необхідно розглядати рівняння шостого порядку, яке можна одержати із співвідношення (22) якщо обмежитися доданками з . Але, оскільки нас цікавить спільне рішення задач чистого зсуву і згину пластини, а останнє при крученні тонкостінних стержнів є дуже малою величиною (згинна частина склала близько 5% стосовно плоского рішення), то вибір рішень, що відповідають нульовому наближенню розкладів (19) цілком виправданий.

При побудові чисельного рішення використовувалися функції з полюсами , розподіленими всюди щільно на замкнутих лініях, розташованих поза додатковими областями і не мають з ними спільних точок:

. (24)

Наприкінці розділу приведені результати чисельних досліджень напруженого стану поблизу отворів для ізотропного стержня та ортотропного склопластика. Розглядалися випадки одного і двох еліптичних отворів і випадок квадратного отвору. В окремих випадках наші результати збіглися з результатами, отриманими іншими авторами. Дослідження показали, що згинна складова для отворів, вільних від загружения, склала від 3% до 9% від складової плоскої задачі.

ИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи можна сформулювати у вигляді наступних висновків:

1. Запропонований єдиний підхід до розв’язання задач кручення і згину анізотропних стержнів, заснований на розкладі розв’язків граничних задач у ряди по системі фундаментальних рішень відповідних диференціальних рівнянь, ефективно використан при оцінці впливу анізотропії матеріалу і геометричного фактора на міцність стержнів, послаблених поздовжніми порожнинами. При такій побудові рішення не використовуються конформні відображення кола або кільця на розглянуті області, що дозволяє розглядати стержні з поперечним перерізом досить довільної конфігурації.

2. Розвинутий у дисертації загальний підхід ідейно близький до методу граничних елементів, але на відміну від нього, сингулярності фундаментальних рішень розташовуються не на границі основної області, а на кривих, розташованих поза розглянутої області. Для доказу збіжності наближеного рішення показані лінійна незалежність і повнота відповідних систем фундаментальних рішень, причому, обґрунтування здійснюється таким чином, що питання про вибір допоміжного контуру залишається відкритим, тобто наближений метод збігається для будь-якого досить гладкого допоміжного контуру.

3. Проведені чисельні дослідження напруженого стану скручених та згинених стержнів з різними однозв’язними і багатозв’язними поперечними перерізами. У кожному випадку дан кількісний та якісний аналіз отриманих результатів, що представлені у вигляді таблиць і графіків. Для ілюстрації вірогідності отриманих результатів у багатьох випадках приведені уже відомі результати. Порівняння показало добру погодженість отриманих у дисертації результатів з результатами, отриманими раніше іншими авторами.

4. Задача про визначення напруженого стану поблизу отворів на бічній поверхні коробчатого стержня звелась до двох відомих задач: чистого зсуву і згину тонкої пластинки дотичними зусиллями. Наближене рішення кожної з цих задач отримано за допомогою розкладів по системах фундаментальних рішень. Отримані результати збіглися з результатами, отриманими іншими методами.

5. Розроблені в дисертації алгоритми можуть бути використані в теорії пружності та в інших областях науки для розв’язання граничних задач, диференціальні рівняння яких допускають явне аналітичне представлення свого фундаментального рішення.

ПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

НОТАЦІЇ

Нескородєв Р.М. Кручення та згин порожніх анізотропних стержнів довільного поперечного перерізу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Донецький національний університет, Донецьк, 2001.

Дисертація присвячена розробці єдиного підходу до вирішення крайових задач теорії пружності для довільних областей, який грунтується на виборі шуканих функцій у вигляді лінійної комбінації фундаментальних рішень, і дано його застосування до задач кручення та згину порожніх анізоторпних стержнів з перерізами довільної конфігурації. В межах цієї методики проведен ряд чисельних досліджень по визначенню напруженого стану скручених та згинених стержнів зі складними однозв’язними та багатозв’язними поперечними перерізами в залежності від форми та розташування порожнин для різних випадків анізотропії матеріалу. Запропановано методику дослідження напруженого стану поблизу отворів, розташованих на бічних поверхнях тонкостінного стержня при його закручуванні.

Ключові слова: анізотропні стержні, багатозв’язність, згин, крайова задача, кручення, напружений стан, фундаментальне рішення.

Нескородев Р.Н. Кручение и изгиб полых анизотропных стержней произвольного поперечного сечения. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Донецкий национальный университет, Донецк, 2001.

Диссертация посвящена разработке единого подхода к решению краевых задач теории упругости для произвольных областей, основывающийся на выборе искомых функций в виде линейной комбинации фундаментальных решений, и дано его применение к задачам кручения и изгиба полых анизотропных стержней с сечениями произвольной конфигурации. Структурно работа состоит из введения, четырех разделов основной части, выводов и списка используемой литературы.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель исследований и их связь с научными планами.

Первый раздел посвящен обзору литературы о обоснованию выбора методики исследования.

Во втором разделе рассматривается задача кручения полых анизотропных стержней с произвольным поперечным сечением. Изложена идея получения приближенного решения при помощи фундаментальных решений, показана сходимость метода. При помощи дискретного метода наименьших квадратов граничная задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений. Приведены результаты численных исследований напряженного состояния скручиваемых стержней с различными односвязными и многосвязными поперечными сечениями, такими как трапеция, уголок, тавр, прямоугольник с двумя круговыми отверстиями, квадрат с квадратным отверстием, эллипс с отверстием в виде уголка. Дан количественный и качественный анализ полученных результатов и проведено сравнение с уже известными. Проведенные исследования подтверждают известные выводы о том, что наличие полостей и анизотропии материала влияет на изменение напряжений вблизи полости, но существенных изменений на характер их распределения в сравнении с аналогичным сплошным стержнем не вносит. Однако, близкое расположение контуров полости и внешней границы в некоторых случаях существенным образом увеличивает концентрацию напряжений на этих контурах.

В третьем разделе рассмотрена задача изгиба анизотропных стержней с продольными полостями поперечной силой на конце. Здесь, аналогично задаче кручения, основная система уравнений сведена к краевой задаче для уравнения второго порядка, решение которого представляется в виде ряда по системе фундаментальных решений. Коэффициенты разложения находятся из граничного условия при помощи метода наименьших квадратов. Приведены результаты численных исследований напряженного состояния сплошных и полых стержней, находящихся под действием изгибающей нагрузки. Исследования показали, что в отличие от задачи кручения, наличие полостей и анизотропии материала приводит к существенному изменению характера распределения напряжений по сравнению с распределением в аналогичном сплошном стержне.

Четвертый раздел посвящен решению задачи о кручении ортотропного тонкостенного призматического стержня с отверстиями на боковой поверхности. Процесс интегрирования уравнений теории упругости разделен на две задачи: растяжения-сжатия и изгиба касательными усилиями. При помощи метода суперпозиции сингулярных решений и метода наименьших квадратов полученные граничные задачи сведены к системе линейных алгебраических уравнений. Исследования показали, что изгибная составляющая для отверстий, свободных от загружения, составила от 3% до 9% от составляющей плоской задачи.

Разработанные в диссертации алгоритмы могут быть использованы в теории упругости и в других областях науки для решения граничных задач, дифференциальные уравнения которых допускают явное аналитическое представление своего фундаментального решения.

Ключевые слова: анизотропные стержни, изгиб, краевая задача, кручение, многосвязность, напряженное состояние, фундаментальное решение.

Neskorodev R.N. A torsion and bending of holes anisotropic rods of an arbitrary cross cut. - Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.02.04 - mechanics of the deformable solid body. - Donetsk National University, Donetsk, 2001.

The thesis is devoted to development of the uniform approach to a solution of boundary problems of the theory of elasticity for arbitrary areas, which is based on a choice of required functions as a linear combination of fundamental solutions, and his application to tasks of a torsion and curving of holes anisotropic rods with cuts of an arbitrary configuration is given. Within the framework of this technique the series of numerical researches by determination of a stress state torsion and bent rods with various simple connected and multiply-connected cross cuts in an assotiation from the form and disposition of cavities is carried out at a various degree of an anisotropy of a material. The technique of research of a tension near to holes located on lateral areas of a thin-walled rod at his twisting is offered.

Key words: anisotropic rod, bending, boundary problem, fundamental solution, multiply-connected, tension, torsion.