Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Остапенко Олена Валентинівна

УДК 518.9

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ІГРИ, ДИНАМІКА

ЯКИХ ЗАЗНАЄ ІМПУЛЬСНОГО ВПЛИВУ

01.01.02. - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук,

професор Перестюк Микола Олексійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

декан механіко-математичного факультету

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Плотніков Віктор Олександрович, Одеський державний

університет, завідувач кафедрою оптимального керування

та економічної кібернетики.

кандидат фізико-математичних наук Білоусов Олександр

Андрійович, Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України,

старший науковий співробітник.

Провідна установа Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться "22" жовтня 2001р. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському

національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою

03127, м. Київ, пр. акад. Глушкова 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

(вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий "20" вересня 2001р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Диференціальні ігри як достатньо послідовна теорія сформувалася за останні сорок років. У роботах Р. Айзекса вперше розглядалося коло задач, які відносяться до диференціальних ігор, та були запропоновані різні підходи до розв'язування конкретних задач. У наш час теорія диференціальних ігор становить самостійну наукову дисципліну, яка має свої власні проблеми та методи їх розв'язування. Розвитку загальної теорії диференціальних ігор, опису структури диференціальної гри та розробці основних підходів до розв'язання ігор присвячені роботи М.М.Красовського, Л.С.Понтрягіна, Е.Ф.Міщенко, Б.М. Пшенічного та їх учнів. Позиційні диференціальні ігри розвивались у роботах М.М.Красовського, А.І.Субботіна, Ю.С.Осипова, А.Г.Ченцова. Л.С.Понтрягін розробив ефективні методи розв'язування лінійних диференціальних ігор (перший метод Понтрягіна). У подальшому ці методи набули великий розвиток у роботах А.О.Чикрія, М.С.Нікольского, П.Б.Гусятнікова.

У дисертації використовуються -стратегії, та операторні конструкції, які було введено Б.М.Пшенічним і далі досліджувались у роботах П.Б.Гусятнікова, Е.С.Половинкіна, В.В.Остапенко. У даній роботі розглядаються ігри, динаміка яких описується диференціальними рівняннями з імпульсною дією. Загальна теорія таких рівнянь достатньо повно викладена у роботах А.М. Самойленко та М.О. Перестюка. Ігри з описаною динамікою близькі до теорії ігор зі змінною структурою, яка вивчалася у роботах М.С.Нікольского, А.О.Чікрія та їх учнів. У дисертації розроблено нові методи розв'язування лінійних диференціальних ігор на основі поняття - опуклості та матричної опуклості. Такий підхід розвивався у роботах В.В. Остапенко та його учнів. Диференціальні рівняння з імпульсною дією описують різноманітні технічні, технологічні та економічні процеси. Моделювання цих процесів за допомогою диференціальних ігор дозволяє розглядати задачі керування в умовах невизначеності. Таким чином тема дисертаційної роботи є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота присвячена вивченню диференціальних рівнянь з імпульсною дією, та виконувалась у рамках теми № 97-043 "Дослідження коливних режимів та інтегральних множин у детермінованих і стохастичних динамічних системах" (номер державної реєстрації 0197U003101).

Мета та задачі дослідження. Об'єктом дослідження є процес керування динамічною системою, яка описується за допомогою диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Предметом дослідження є диференціальні ігри з імпульсною дією. Мета дисертації полягає в тому щоб описати структуру диференціальних ігор з відповідною динамікою, та для лінійного випадку побудувати ефективні методи розв'язування диференціальних ігор.

У дисертації використовуються методи диференціальних рівнянь з імпульсною дією, методи теорії ігор, операторні конструкції у диференціальних іграх, опуклий аналіз, зокрема, H-опуклість та матрична опуклість.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Дана нова постановка диференціальної гри, яка пов'язана з імпульсним впливом на підмножині розширеного фазового простору.

2. За допомогою операторних конструкцій описана структура нелінійної гри, динаміка якої зазнає імпульсного впливу в фіксовані моменти часу.

3. Для лінійного випадку такої гри розроблені методи розв'язання за допомогою поняття H-опуклості множин.

4. Описана структура нелінійної диференціальної гри, в якої в фіксовані моменти часу гравці керують імпульсною дією.

5. Введено та досліджено нове поняття матричної опуклості операторів. Встановлено зв'язок між даним визначенням та матричною H-опуклістю для множин.

6. Розв'язано новий клас лінійних ігор з керованим імпульсним впливом, з використанням матричної опуклості операторів.

7. Всі одержані вище результати переносяться на ігри з термінальною функцією плати.

8. Були введені нові операторні конструкції для розв'язування диференціальної гри з імпульсним впливом на підмножині фазового простору.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить переважно теоретичній характер і вносить певний вклад у розвиток сучасної теорії диференціальних ігор. Однак теоретичні результати дисертації можуть знайти використання в задачах керування ракетами, літаками, космічною технікою. Як приклад, можна навести задачу керування польотом багатоступеневої ракети в умовах зовнішніх збурень, при цьому ці збурення вважаються керуваннями гравця супротивника (втікача). В той же час моменти відриву ступенів від ракети можна вважати моментами імпульсної дії на систему, що описує динаміку ракети.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації матеріали повністю опубліковані у фахових наукових виданнях. Всі основні результати отримано автором особисто. Визначимо конкретний персональний вклад здобувача до всіх наукових праць, опублікованих із співавторами.

1. Український математичний журнал.

Автором доведені теореми об альтернативі для ігор з керованою імпульсною дією. В лінійному випадку за допомогою -опуклості і матричної опуклості побудовані контрстратегії для переслідувача та кусково-постійні стратегії для утікача.

2. Доповіді Національної академії наук України.

Автором була описана структура ігор з керованою імпульсною дією. У лінійному випадку достатньо конструктивно будуються множини початкових позицій, сприятливих для того чи іншого гравця.

3. Міжнародна конференція "Моделювання та оптимізація складних систем".

Автором отримана формула, яка описує ціну гри з термінальною функцією плати, динаміка якої описується диференціальним рівнянням з імпульсною дією у певні моменти часу.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на:

П'ятій українській конференції з автоматичного управління "АВТОМАТИКА-98", Київ, 1998.

Міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень - XXVIII", Київ, 1999.

VIII міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука, Київ, 2000.

Міжнародній конференції "Моделювання та оптимізація складних систем (МОСС-2001)", Київ, 2001.

семінарах кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

семінарах Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 10 працях, з яких 5 статей в наукових журналах [76-80], 2 статті в збірниках наукових праць [81-82] та 3 матеріали в тезах наукових конференцій [83-85].

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на одинадцять підрозділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертаційної роботи — 117 сторінок машинописного тексту, список літератури містить 85 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ є вступним.

В підрозділі 1.1 надається короткий опис основних напрямків розвитку теорії диференціальних ігор та теорії диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

В підрозділі 1.2 наводяться необхідні теоретичні відомості з теорії диференціальних ігор. Розглянемо динамічну систему з динамікою

(1)

Параметрами u і v розпоряджаються відповідно гравці P (переслідувач) та E (втікач). Під допустимими керуваннями гравців P та E будемо розуміти вимірні функції u(t) і v(t) зі значеннями в U та V , відповідно. Множини всіх допустимих керувань гравців P та E, визначених на відрізку [a,b] (інтервалі [a,b)), будемо відповідно позначати через U[a,b] та V[a,b] (U[a,b) та V[a,b)). Крім рівняння (1) диференціальні ігри cближення-?никання описуються термінальною множиною . та множиною фазових обмежень .. Множини M та N припускаються замкнутими, причому .. Зафіксуємо момент . Мета гравця P — добитися включень , для довільного , тобто вивести траєкторію на M в момент часу , утримавши її в множині N. Мета гравця E — протилежна.

Означення 1.1. , , позначимо оператор, який ставить у відповідність кожній замкнутій множині множину всіх точок , таких, що для довільного допустимого керування гравця E існує допустиме керування u(t) гравця P, таке, що відповідна траєкторія z(t) з початком в влучить на M в момент часу , тобто : ..

Означення 1.2.

Означення 1.3.

Означення 1.4.

У дисертації використовується поняття -стратегії, характерною рисою якої є те, що гравець P користується інформацією про майбутнє керування гравця E на певному інтервалі часу, довжина якого визначається гравцем E. У дисертації -стратегії описуються у вигляді ходу гри. В початковий момент часу гравець E обирає розбиття і на кожному інтервалі будує своє керування, користуючись знанням значення . Гравець P вибирає своє керування на , користуючись знанням та керування v(t), .

В лінійних іграх важливу роль відіграють поняття H-опуклості та матричної опуклості.

Означення 1.7. Нехай .. H-опуклим півпростором називається півпростір вигляду ., де ., c — число. Множина M називається H-опуклою, якщо її можна подати у вигляді перетину H-опуклих півпросторів, тобто M є H-опуклою множиною, якщо її можна подати у вигляді ., де . — певні числа, які можуть приймати значення .

Означення 1.8. Нехай . — обмежене вимірне сімейство лінійних операторів для яких .. Множина . називається -опуклою, якщо ., де , причому об'єднання береться по усіх вимірних обмежених відображеннях x(t) таких, що для всіх .

В підрозділі 1.3 формулюється постановка задачі. Розглянемо динамічну систему, яка описується диференціальним рівнянням

(2)

де , — n- вимірний евклідів простір, u належить U, v належить V, U та V — компакти в евклідових просторах, — множина розширеного фазового простору, — неперервний оператор, який має обернений та діє з простору в .

Параметрами u і v розпоряджаються відповідно гравці P (переслідувач) та E (втікач). Під допустимими керуваннями гравців P та E будемо розуміти вимірні функції u(t) і v(t) зі значеннями в U та V , відповідно. Крім рівняння (2), диференціальна гра описується замкнутими термінальною множиною M і множиною фазових обмежень N. Зупинимося на грі з фіксованим часом закінчення та зафіксуємо момент часу , . У дисертації розглядаються два типи задач. У першому мета гравця P — домогтися включень , z(t) належить N ?ля довільного , тобто вивести траєкторію на M в момент часу , утримавши її в множині N. Мета гравця E — протилежна. У другому гра описується за допомогою термінального функціоналу , а мета гравця P — знайти мінімум функціоналу , який залежить від кінця траєкторії. Мета гравця E — максимізувати функціонал.

Другий розділ присвячено дослідженню диференціальних ігор, динаміка яких зазнає імпульсного впливу в фіксовані моменти часу.

В підрозділі 2.1 розглядається гра з фіксованим часом закінчення. Розглянемо диференціальну гру, динаміка якої зазнає вплив імпульсної дії в фіксовані моменти часу:

(3)

Всі теореми другого розділу доведені для m=1, які природно узагальнюється на випадок довільного m.

Теорема 2.1.

Лема 2.1. Нехай K— H-опукла множина, G — неперервний лінійний оператор, який для довільного задовольняє умову . Тоді — H-опукла множина.

Лема 2.2. Нехай C — невироджений оператор, для якого виконується умова , де - число, для будь-якого . Тоді, для H-опуклої множини M, CK— H-опукла множина.

За допомогою поняття H-опуклості описано широкий клас лінійних ігор, для яких у явному вигляді визначаються множини початкових позицій, сприятливих для того чи іншого гравця. Для переслідувача будуються оптимальні стратегії у вигляді контрстратегій. Для утікача оптимальні стратегії є кусково-сталими функціями.

Розглянемо гру з лінійною динамікою, яка в певний момент часу зазнає впливу імпульсної дії

(4)

де , — n-вимірний евклідів простір, — лінійний оператор, u iалежить U, v належить U, U та V — компакти в евклідових просторах, — неперервна по сукупності змінних функція, — неперервний оператор вигляду , де G — лінійний оператор, l — вектор.

Нехай H це множина одиничних власних векторів матриці , множини M, N, g(U,v), v iалежить V, є H- опуклими, оператор має обернений, матриця G задовольняє умову для довільного . Покладемо

Теорема 2.2. 1.

а) . — допустиме керування гравця P,

б) для траєкторії z(t) з початком в , що відповідає керуванням та v(t), виконуються включення і для всіх .

2. Нехай .. Тоді або , або існують такі та , що для траєкторії z(t) з початком в , що відповідає довільному та керуванню ., виконується .

Підрозділ 2.3 присвячено диференціальній грі з термінальною функцією плати. Нехай динаміка системи описується рівнянням (3). Зафіксуємо момент часу , . Нехай деяке відображення. Мета гравця P — мінімізувати функціонал , який залежить від кінця траєкторії. Мета гравця E — протилежна.

Визначимо оператор , який ставить у відповідність будь-якої неперервної функції функцію . Нехай , розбиття відрізку . Покладемо , , розуміючи під розбиття відрізку .

Визначимо оператор , який ставить у відповідність будь-якої функції функцію , . Вважаємо, що відображення , задовольняють локальну умову Ліпшиця.

Теорема 2.3. 1. Існує -стратегія гравця P така, що для відповідної траєкторії z(t) з початком в виконується .

2. Для будь-якого існує -стратегія гравця E така, що для відповідної траєкторії z(t) з початком в виконується .

В підрозділі 2.4 для лінійного випадку гри з термінальною функцією плати, за деяких умов H-опуклості, накладених на множини Лебега відповідного функціонала, будуються ефективні стратегії гравців у вигляді контрстратегій, та кусково-сталих функцій.

Розглянемо гру з динамікою (4). Вважаємо, що мета гравця P полягає в мінімізації функціоналу , який залежить від кінця траєкторії. Під множиною H як і в підрозділі 2.3 розуміємо множину усіх одиничних власних векторів матриці . Будемо вважати, що множина B(U,v) для кожного v яке V є H-опуклою, а оператор має обернений.

Вважаємо, що для будь-якого множина або пуста, або H-опукла. У лінійному випадку оператор ставить у відповідність функції функцію . Вважаємо що, як й вище оператор G задовольняє умову: для довільного .

Теорема 2.4.

а) — допустиме керування гравця P;

б) для траєкторії z(t) з початком в , що відповідає керуванням та v(t) виконується нерівність .

2. Для будь-якого існують такі та , що для траєкторії z(t) з початком в , що відповідає довільному та керуванню , виконується нерівність .

В підрозділі 2.5 розглядається диференціальна гра з фіксованим часом закінчення та імпульсним впливом в фіксовані моменти часу, який керується обома гравцями. B евклідовому n-вимірному просторі розглянемо динамічну систему, що описується диференціальним рівнянням з керованим імпульсним впливом

(5)

де , u iалежить U, v належить V, , , U, V, , - компакти в евклідових просторах, - неперервний оператор, що діє з простору в .

Припустимо, що при фіксованому функція трьох змінних неперервна по сукупності змінних і z. Опишемо множини всіх початкових позицій, сприятливих для того або іншого гравця, припускаючи, що для будь-яких і маємо .

Означення 2.1.

Теорема 2.5.

В підрозділі 2.6 введено поняття матричної опуклості для множини лінійних операторів, що діють у векторному просторі. Встановлено зв'язок з H-опуклістю. За допомогою матричної опуклості описано широкий клас лінійних ігор з керованою імпульсною дією, для яких у явному вигляді визначаються множини початкових позицій, сприятливих для того чи іншого гравця та побудовані ефективні стратегії гравців у вигляді контрстратегій, та кусково-сталих функцій.

Нехай - сімейство лінійних операторів, які діють у просторі (). Вважаємо, що обмежене та вимірне по t. Накладемо таке обмеження: , де E - тотожній оператор, який діє у просторі .

Означення 2.2. Множину лінійних операторів , які діють у просторі , будемо називати -опуклою, якщо . Під лівою частиною рівності розуміємо множину , де об’єднання береться по всім вимірним обмеженим відображенням G(t) відрізка [0,1] у простір лінійних операторів таких, що майже всюди на [0,1].

Розглянемо сімейство лінійних операторів, що задовольняє таким умовам: 1) всі оператори G з мають обернені; 2) — -опукло; 3) для довільного G з виконується ; 4) для довільного G з виконується .

Лема 2.6. Для H-опуклої множини K і сімейства операторів , що задовольняє умовам 1) - 4), сімейство множин - -опукло.

Розглянемо гру з лінійною динамікою, яка зазнає керованого імпульсного впливу в деякий момент часу

(6)

де - лінійний оператор, - неперервна по сукупності змінних функція, — лінійний оператор, який має обернений для кожних , .

Означення 2.3. Покладемо .

Нехай множини M, N, g(U,v) є H-опуклими, для кожного сімейство операторів задовольняє наступним умовам: 1) — 4) і оператори , мають обернені. Тоді має місце результат.

Теорема 2.6.

а) — допустиме керування гравця P,

б) для траєкторії z(t) з початком у , що відповідає керуванням і v(t), виконуються включення і якщо , то для всіх ;

2. Нехай . Тоді або , або існують такі , і , що для траєкторії z(t) з початком у , що відповідає довільному керуванню і керуванню , виконується .

В підрозділі 2.7 розглядаються ігри з термінальною функцією плати та керованою імпульсною дією. У лінійному випадку побудовані ефективні стратегії гравців.

Нехай динаміка системи описується рівнянням (5). Мета гравця P - мінімізувати функціонал , який залежить від кінця траєкторії. Мета гравця E - протилежна. Вважаємо, що відображення трьох змінних , і неперервна по сукупності цих змінних. Визначимо оператор , який ставить у відповідність будь-якої функції функцію , . Нехай виконані всі умови теореми 2.3. Тоді її можна узагальнити наступним чином.

Теорема 2.7.

Розглянемо гру з динамікою

(6).

Нехай виконані всі умови теореми 2.4. Тоді її можна узагальнити наступним чином.

Теорема 2.8. 1. Для будь-якого існують відображення та такі, що для довільного :

а) — допустиме керування гравця P;

б) для траєкторії z(t) з початком в , що відповідає керуванням та v(t) виконується нерівність .

2. Для будь-якого існують такі та , що для траєкторії z(t) з початком в , що відповідає довільному та керуванню , виконується нерівність .

Третій розділ присвячено диференціальним іграм, динаміка яких зазнає впливу імпульсної дії при влучання на певну множину фазового простору.

В підрозділі 3.1 при певних умовах введені нові операторні конструкції, що враховують існування множини на якої відбувається розрив траєкторії та отримана теорема об альтернативі для гри у -стратегіях.

Розглянемо гру з динамікою

де , — n-вимірний евклідів простір; u iалежить U, v належить V, U ? V - компакти в евклідових просторах; Г і — замкнуті множини у фазовому просторі, A — неперервний оператор, що відображає множину Г в множину .

Рух фазової точки z(t) в такій системі відбувається по траєкторії системи диференціальних рівнянь у проміжку між двома послідовними влученнями фазової точки на множину Г, у момент влучення точка z(t) “миттєво” перекидається оператором A у точку множини .

Нехай момент часу такий, що для довільного виконується:

де оператор діє тільки на множині .

Означення 3.2. Через позначимо оператор, який ставить у відповідність кожній замкнутій множині множину всіх початкових позицій , таких, що для довільного допустимого керування v(t), гравця E існує допустиме керування u(t) гравця P, таке, що відповідна траєкторія . з початком в влучить на M в момент , тобто .

Покладемо .

Нехай . - скінчене розбиття інтервалу . Покладемо ..

Означення 3.3. Визначимо оператор ., розуміючи під розбиття відрізка .

Теорема 3.1.

Теорема 3.2.

В підрозділі 3.2 розглянута диференціальна гра з динамікою "простий рух" та з виділеною гиперплощиною, на який змінюються обмеження по швидкості гравців. Метою переслідувача є мінімізація часу, за який він може наздогнати втікача. Мета втікача протилежна. У випадку позиційних стратегій в грі "простий рух" отримана оцінка ціни гри; у випадку коли переслідувач використовує контрстратегії отримано точне значення ціни гри.

Розглянемо диференціальну гру з динамікою “простий рух” в просторі , з виділеною гиперплощиною . Припустимо, що кожний гравець може змінювати своє положення змінюючи, в кожен момент часу, швидкість руху, яка обмежена по величині, причому обмеження швидкості втікача змінюються при перетині гиперплощини.

Нехай - фазові координати переслідувача P, - втікача E й , . Припускається, що гравець P має перевагу в швидкості, і тому може наздогнати гравця E, тобто домогтися виконання співвідношення x(t)=y(t). Метою гравця P є мінімізація часу піймання, а гравця E відповідно - максимізація. Визначимо ціну гри : гравець P може гарантувати успіх не пізніше моменту часу , а гравець E може не дати піймати себе до цього моменту.

Гиперплощина ділить простір на два півпростора. Позначимо їх та . Нехай в траєкторії об’єктів змінюються згідно диференціальним рівнянням

В згідно диференціальним рівнянням

Припустимо, що кожен з гравців вибирає своє керування, знаючи фазові координати x(t) та y(t). Покладемо z=y-x, тоді z=v-u; .

Теорема 3.3.

Припустимо, що гравець E визначає свою стратегію v(t), знаючи початкові координати та , а переслідувач P в кожен момент часу визначає своє керування u(v(t)), користуючись знанням , , v(t).

Нехай таке, що при умові, що гравець E рухається не обов’язково оптимально. Тоді, якщо початкові координати та такі, що переслідувач P не зможе добитися успіху раніше моменту часу , то оптимальна стратегія гравця P полягає в русі по прямій при , при має місце звичайна диференціальна гра. При цьому справедлива наступна рівність.

Теорема 3.4.

ВИСНОВКИ

Дана загальна постановка диференціальних ігор, динаміка яких зазнає імпульсного впливу.

Описана структура диференціальних ігор, динаміка яких зазнає імпульсної дії у фіксовані моменти часу. Досліджені випадки диференціальних ігор з термінальною множиною та термінальним функціоналом. Доведені теореми об альтернативі для ігор у -стратегіях.

За допомогою поняття H-опуклості визначені класи лінійних диференціальних ігор, для яких у явному вигляді описано множини початкових позицій, сприятливих для того чи іншого гравця. Для ігор з термінальним функціоналом отримано формули, що оцінюють ціну гри. Для вказаних класів ігор побудовано сприятливі стратегії гравців.

Описана структура диференціальних ігор з імпульсними діями, які у фіксовані моменти часу керуються обома гравцями. Досліджено випадки ігор з термінальною множиною та термінальним функціоналом.

Розглянута матрична опуклість для множини векторів та введено поняття матричної опуклості для множини лінійних операторів. Описано властивості таких множин та встановлено зв'язок з H-опуклістю.

За допомогою матричної опуклості та H-опуклості описано широкі класи лінійних ігор, для яких побудовані ефективні стратегії гравців.

Досліджено диференціальну гру, динаміка якої зазнає імпульсної дії при влучені на деяку множину. Введено нові операторні конструкції, що описують структуру цієї гри. Доведено теорему об альтернативі для ігор, що ведуться у -стратегіях.

Побудовані достатньо конструктивні стратегії гравців для гри "простий рух " з виділеною гіперплощиною, на який змінюються обмеження на швидкості гравців. У випадку позиційних стратегій отримана оцінка ціни гри; у випадку використовування переслідувачем контрстратегій отримано точне значення ціни гри.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Остапенко Е.В. Игровые задачи для систем с разрывной динамикой // Кибернетика и системный анализ. - 2000. - №4. - С. 183-187.

Остапенко О.В. Лінійні диференціальні ігри з імпульсною дією та фіксованим часом закінчення // Вісник київського національного університету імені Тараса Шевченка. - 2000. - №4. - С. 29-32.

Перестюк Н.А., Остапенко Е.В. Управляемое импульсное воздействие в играх с фиксированным временем окончания // Укр. мат. журн. - 2000. - т. 52, №8. - С. 1112-1118.

Перестюк Н.А., Остапенко Е.В. Игры с управляемым импульсным воздействием в фиксированные моменты времени // Доповіді НАН України. - 2001. - №3. - С. 23-26.

Остапенко Е.В. Ігри з функцією плати та імпульсним впливом// Укр. мат. журн. - 2001. - т.53, №7. - С. 993-995.

Остапенко Е.В. Операторные конструкции в играх для разрывных динамических систем // Теория оптимальных решений. Сб. науч. тр. НАН Украины. Ин-т. кибернетики им. В.М.Глушкова. - Киев, 1999. - С. 14-18.

Остапенко О.В. Ігри з фіксованим часом закінчення, динаміка яких описується диференціальними рівняннями з імпульсною дією // Теорія обчислень Сб. науч. тр. НАН Украины. Ин-т. кибернетики им. В.М.Глушкова. - Киев, 1999. - С. 271-275.

Остапенко Е.В. Импульсные воздействия в дифференциальных играх с фиксированным временем окончания // Праці П'ятої Укр. конф. з автомат. управління "Автоматика-98": Київ, 13-16 травня 1998р. - ч.1. - К: вид. НТУУ "КПІ", 1998. - С.72-80.

Остапенко О.В. Задача переслідування в іграх з фіксованим часом закінчення та керованою імпульсною дією // Матеріали VIII-ої Міжнар. наук. конф. ім. академіка М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ). - К.: НТУУ (КПІ). - 2000. - С. 157.

Остапенко О.В., Остапенко О.С. Диференціальні ігри з імпульсним впливом та термінальною функцією плати // Праці Міжнар. конф. "Моделювання та оптимізація складних систем (МОСС-2001)" (25-28 січня 2001 р.,Київ). - т.1. - К.:ВПЦ "Київський університет". - 2001. - С. 97-98.

Остапенко О. В. Диференціальні ігри, динаміка яких зазнає імпульсного впливу. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

Дисертація присвячена дослідженню диференціальних ігор, динаміка яких зазнає імпульсного впливу в фіксовані моменти часу та при влучення на певну підмножину фазового простору. Розглядаються ігри з фіксованим часом закінчення та термінальною множиною, з термінальною функцією плати і з динамікою "простий рух". Для нелінійних випадків описані структури ігор та доведені теореми об альтернативі. Введено та досліджено поняття матричної опуклості для множин операторів. Для лінійних випадків за допомогою понять H-опуклості та матричної опуклості описані класи ігор для яких вдається побудувати ефективні стратегії гравців.

Ключові слова: диференціальні рівняння з імпульсною дією, диференціальні ігри, -опуклі множини, матрична опуклість, простий рух, ціна гри.

Остапенко Е.В. Дифференциальные игры с динамикой, подверженной импульсному воздействию. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения — Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко.

Диссертация посвящена исследованию дифференциальных игр, динамика которых подвергается импульсному воздействию в фиксированные моменты времени и при попадании на некоторое подмножество фазового пространства. Рассматриваются игры с фиксированным временем окончания и терминальным множеством, с терминальной функцией платы и с динамикой "простое движение".

Описана структура дифференциальных игр, динамика которых подвергается импульсному воздействию в фиксированные моменты времени. Исследованы случаи дифференциальных игр с терминальным множеством и с терминальным функционалом. Доказаны теоремы об альтернативе для игр в-стратегиях. С помощью понятия H-выпуклости множества определены классы линейных дифференциальных игр, для которых удается в явном виде описать множества начальных позиций, благоприятных для того или иного игрока, а для игр с терминальным функционалом получены формулы, оценивающие цену игры. Для таких классов игр построены эффективные стратегии игроков.

Описана структура дифференциальных игр с импульсным воздействиями, которые управляются обоими игроками. Исследованы случаи дифференциальных игр с терминальным множеством и с терминальным функционалом.

Рассмотрена матричная выпуклость для множеств векторов и введено понятие матричной выпуклости для множеств линейных операторов. Описаны свойства таких множеств и установлена связь с H-выпуклостью. С помощью этих понятий построены эффективные стратегии игроков для игр с управляемым импульсным воздействием.

Рассмотрены дифференциальные игры, динамика которых подвергается импульсному воздействию при попадании на некоторое подмножество фазового пространства. Введены новые операторные конструкции, описывающие структуру таких игр, и доказаны теоремы об альтернативе. Построены конструктивные стратегии игроков для "простого движения" с выделенной гиперплоскостью, на которой меняются ограничения на скорости игроков. В случаи позиционных стратегий получена оценка цены игры, в случаи использования догоняющим контрстратегий получено точное значение цены игры.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с импульсным воздействием, дифференциальные игры, -выпуклые множества, матричная выпуклость, простое движение, цена игры.

Ostapenko E.V. Differential games with dynamics, which is exposed by impulse influence. — Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of physics and mathematics by speciality 01.01.02 — differential equations. — Kyiv Taras Shevchenco University, Kyiv, 2001.

Thesis is devoted to research of differential games, which dynamics is exposed by impulse influence in fixed instants and under hit on some subset of a phase space. The games with fixed time of a termination and terminal set, with terminal function of the payment and with dynamics " simple moving " are considered. For nonlinear cases the structures of games are described and the theorems of alternative are proved. The concept of matrix convexity for sets of operators was coined and investigated. The classes of games which for is possible to construct the effective strategies of the players are circumscribed for linear cases with the help of concepts H- the convexities and matrix convexity.

Key word: impulsive differential equations, differential games, H- convex sets, matrix convexity, simple moving, game's value.