Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Перегуда Олег Володимирович

УДК 519.21

ЯКІСНИЙ АНАЛІЗ СТОХАСТИЧНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі загальної математики

механіко-математичного факультету Київського національного

університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор КУЛІНІЧ ГРИГОРІЙ ЛОГВИНОВИЧ,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

механіко-математичний факультет,

завідувач кафедри загальної математики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

член-кореспондент НАН України

МЕЛЬНИК ВАЛЕРІЙ СЕРГІЙОВИЧ,

Інститут прикладного системного аналізу,

завідувач відділу нелінійного аналізу

кандидат фізико-математичних наук

СТАНЖИЦЬКИЙ ОЛЕКСАНДР МИКОЛАЙОВИЧ,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

механіко-математичний факультет,

доцент кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Провідна установа: Одеський національний університет

імені І.І. Мечнікова

Захист відбудеться “ 22 “ жовтня 2001 р. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої ради Д 26.001.37 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03022, м. Київ-22, пр-т. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці

Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

( м. Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий “ 14 “ вересня 2001 р.

Вчений секректар

спеціалізованої ради МОКЛЯЧУК М. П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Останнім часом підвищився інтерес до теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Це визвано тими обставинами, що стохастичні диференціальні рівняння є досить зручною моделлю для опису різноманітних динамічних систем збурених випадковими процесами. Необхідність розгляду стохастичних рівнянь для змінної з часом випадкової частини (т.б. випадкового процесу) виникла при вивченні механічних систем, що знаходяться під впливом зовнішніх сил. У роботах М.М. Крилова і М.М. Боголюбова була розглянута гранична поведінка такої системи при умові, що взаємодіючи сили на границі перетворюються в процес з незалежними значеннями ( “білий шум “). Було доведено, що граничний процес є марківським дифузійним процесом. Для більш глибокого обгрунтування граничного переходу І.І. Гіхман в своїх роботах побудував теорію стохастичних диференціальних рівнянь.

Незалежно від робіт І.І. Гіхмана приблизно в той же час, задачу побудови марківських процесів за допомогою стохастичних диференціальних рівнянь розпочав розв’язувати японський математик К.Іто. Він використав стохастичний інтеграл по вінеровському процесу, який розповсюдив на функції, що залежать від випадку ( для невипадкових функцій цей інтеграл визначив Н. Вінер ). Такий інтеграл отримав назву інтеграла Іто. Як операцію, що є оберненою до інтегрування, Іто визначив диференціал і розглянув стохастичне рівняння

Таким чином, в якості матеріалу для побудови марківського (дифузійного) процесу використовується досить нескладний об’єкт – вінерівський процес, апаратом для побудови є стохастичні диференціальні рівняння.

В подальшому своєму розвитку теорія стохастичних диференціальних рівнянь, широко використовуючи мартингальні методи і в той же час стимулюючи їх розвиток, стає досить потужним інструментом для конструктивного опису різних випадкових процесів, що описуються стохастичними диференціальними рівнянями, суттєво збільшило можливості опису складних механічних систем, що знаходяться під впливом випадкових збурень.

В багатьох сучасних задачах фізики, механіки, теорії управління постає необхідність дослідження динамічних систем з урахуванням випадкових збурень. В цих задачах важливе місце посідають процеси, які не можуть бути описаними за допомогою детермінованих функцій. Неперервне підвищення вимог до точності і адекватності математичних моделей, що описують реальні процеси, привели до розвитку математичного апарату теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Роботи І.І. Гіхмана, К.Іто, Ю.О. Митропольского, О.В. Скорохода,

Р.З. Хасьмінського, Є.Б. Динкіна та інших сприяли появі не тільки теоретичних праць, але і праць прикладного характеру в області теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

Теорія стохастичних диференціальних рівнянь тісно пов’язана з теорією звичайних диференціальних рівнянь. Питанням якісного аналізу звичайних диференціальних рівнянь присвячена ціла низка робіт В.І. Арнольда, А.С. Понтрягіна, А.А. Андронова. Інваріантні множини звичайних диференціальних рівнянь найбільш повно розглядалися в роботах А.М. Самойленка, О.А. Бойчука, М.О. Перестюка, І.О. Парасюка. В роботах В.С. Мельника, В.О. Плотнікова висвітлюються питання керування динамічними системами.

Великий внесок в розвиток теорії стохастичних диференціальних рівнянь зробив О.В. Скороход. В його роботах вивчалася гранична поведінка розв’язку системи стохастичних диференціальних рівнянь, поведінка розв’язку поблизу границі та інші питання якісної теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

Найбільш повно сучасна теорія стохастичних диференціальних рівнянь викладена в роботах І.І. Гіхмана і О.В. Скорохода.

Питанням теорії та застосування різноманітних методів до вивчення розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь присвячені роботи С. Ватанабе, Н. Ікеда, Р.З. Хасьмінського, І.І. Гіхмана, М.І. Портенка, Г.Л. Кулініча та С.Я.Махна.

Одним з методів вивчення розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь є метод інваріантних множин. Побудові інваріантних множин систем звичайних диференціальних рівнянь присвячені роботи

Н.П. Єругіна, В.В. Степанова і В.В. Немицького, а для стохастичних диференціальних рівнянь присвячені роботи Г.Л. Кулініча та його учнів.

Суттєве місце в теорії стохастичних диференціальних рівнянь займає теорія стійкості. Дослідженню стійкості стохастичних диференціальних рівнянь присвячені роботи Р.З. Хасьмінського, Г.Л. Кулініча,
О.М. Станжицького та інших математиків. В роботах Р.З. Хасьмінського, І.Я. Каца і М.М. Красовського, О.М. Станжицького були застосовані методи для дослідження питань стійкості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь, що використовують теорію функцій Ляпунова.

Однак, незважаючи на перераховані роботи, теорія інваріантних множин для стохастичних систем ще досить мало вивчена. В даних роботах будувалися, в основному, стохастичні рівняння для яких задані множини є інваріантними.

Так, в роботі В.Г. Бабчука, Г.Л. Кулініча для лінійних стохастичних диференціальних рівнянь Іто другого порядку

вперше було показано, що криві вигляду , де - двічі неперервно диференційована функція, можуть бути інваріантними кривими даного рівняння, тобто з ймовірністю одиниця при всіх . При цьому встановлено, що інваріантними кривими даного рівняння можуть бути лише фазові траєкторії детермінованого рівнянняі знайдені достатні умови на коефіцієнти матриці А, при яких фазові траєкторії детермінованого рівняння будуть інваріантними кривими стохастичного рівняння.

Явний вигляд інваріантних кривих лінійних стохастичних диференціальних рівнянь -го описано в роботі В.Г Бабчука і

Г.Л. Кулініча, при цьому встановлені необхідні і достатні умови на коефіцієнти матриці А інваріантності фазових траєкторій детермінованого рівняння.

Подальший розвиток теорія інваріантних множин стохастичних диференціальних рівнянь одержала в роботах пов’язаних з розглядом нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь.

Достатні умови інваріантності окремої фазової траєкторії відповідного детермінованого рівняння для нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь були отримані в роботі В.Г. Бабчука і Г.Л.Кулініча.

Певні класи нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь другого порядку, для яких фазові траєкторії відповідного детермінованого рівняння будуть інваріантними кривими для стохастичного – описані в роботі Г.Л. Кулініча. В роботах Г.Л. Кулініча і І.Ю. Денісової для нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь з одним вінерівським процесом розглядається питання стійкості та недосяжності інваріантних кривих лінеарізованої частини цих рівнянь.

Дослідженню коливних систем при випадковому збуренні лише другої компоненти належить ціла низка робіт Р.Н. Стратановича,
Р.З. Хасьмінського, Ю.О. Митропольского та інших авторів. В роботах Г.Л. Кулініча та його учнів проведено дослідження коливних систем при випадковому збуренні вздовж вектора фазової швидкості детермінованої системи та при випадковому збуренні під певним кутом до вектора фазової швидкості детермінованої системи.

Отже і на даний час, значний інтерес представляє дослідження інваріантних множин для заданих систем стохастичних диференціальних рівнянь; дослідження поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь на інваріантній множині, умов існування та знаходження явного вигляду інваріантних множин і перших інтегралів для систем стохастичних диференціальних рівнянь; дослідження і розробка методів керування стохастичними системами.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились згідно плану досліджень кафедри загальної математики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка у відповідності із:

Науково-дослідницькою темою №97045 “ Побудова математичних моделей нерегулярних еволюційних детермінованих та стохастичних систем та дослідження їх розв’язків ”.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є встановлення умов існування інваріантних множин для нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь Іто, та дослідження поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь Іто на інваріантних множинах.

Методика дослідження. Використовується теорія звичайних диференціальних рівнянь, теорія динамічних систем, теорія випадкових процесів.

Наукова новизна . В праці одержані нові результати, що представлені до захисту:

Встановлено необхідні і низку достатніх умов існування інваріантних множин для однорідних та неоднорідних стохастичних диференціальних рівнянь Іто;

Отримано умови існування і функціональної незалежності локальних перших інтегралів для стохастичних диференціальних рівнянь Іто;

Проведено якісний аналіз фазового ”портрету” на площині стохастичних диференціальних рівнянь;

Розроблено методи побудови класів стохастичних диференціальних рівнянь для яких задана поверхня є інваріантною;

Досліджено поведінку розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь на певних інваріантних поверхнях;

Розроблено метод детермінованого керування стохастичними системами.

Досліджено поведінку повної енергії двох спряжених гармонічних осциляторів при випадковому збуренні вздовж вектора фазової швидкості.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить в основному теоретичний характер. Розроблені методи дозволяють розвивати наукові дослідження стохастичних диференціальних рівнянь. Отримані в роботі результати можуть бути застосовані для розв’язування прикладних задач механіки, фізики, теорії управління і автоматичного регулювання. Зокрема, в даній роботі теоретичні розробки застосовуються при досліджені поведінки повної енергії двох спряжених гармонічних осциляторів при випадковому збуренні вздовж вектора фазової швидкості.

Апрoбація роботи. Результати дисертації доповідалися і обговорювалися на семінарі відділу диференціальних рівнянь і нелінійних коливань і відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України, на Всеукраїнській конференції “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”, травень 1996 рік, м. Чернівці; на V та VІІІ Міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука, травень 1996 року, травень 2000 року, м. Київ; на VІІ Всеросійській школі-колоквіумі по стохастичним методам, жовтень 2000 року, м. Сочі.

Особистий внесок здобувача. Доведення всіх результатів дисертації проведено особисто автором. Результати робіт, написаних у співавторстві, були отримані автором самостійно, співавторам належить вибір напрямку дослідження, постановка задач та обговорення теоретичних результатів.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в роботах

[ 1-7 ] , з них: 4 роботи написано без співавторів, 3 роботи в провідних наукових фахових виданнях.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається
з вступу, трьох розділів, висновку та списку використаних джерел.
Список використаних джерел містить 72 назви. Основна частина складає 106 сторінок.

Зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність та важливість теми досліджень і дано постановки задач, які досліджуються. Проведено огляд робіт, пов’язаних з темою дисертації. Стисло викладено структуру роботи, її зміст.

Розділ 1 присвячений аналізу однорідних стохастичних диференціальних рівнянь Іто

Припускається, що рівняння (1) має єдиний сильний розв’язок при .

В підрозділі 1 розглядаються інваріанті множини системи (1) вигляду

де - двічі неперервно диференційована функція в D і.

Означення. будемо називати локально інваріантною множиною рівняння (1). якщо для всіх

де при, при, - момент першого виходу розв’язку рівняння (1) з області .

Наведено необхідні і достатні умови локальної інваріантності для множин .

Теорема 1.1.1. Для локальної інваріантності множини рівняння (1) необхідно, щоб для всіх виконувалися рівності

Теорема 1.1.2. Для того, щоб множини при були локально інваріантними множинами при всіх, необхідно та достатньо, щоб рівності (2), (3) мали місце при всіх.

Наведено достатню умову локальної інваріантності окремої множини при певному .

Теорема 1.1.3. Для того, щоб множина була локально інваріантною множиною рівняння (1) при певних, досить, щоб існували функції, визначені і неперервні разом із своїми похідними в області, де і такі, що при всіх мали місце рівності:

В термінах функції Ляпунова наведена ще одна достатня умова локальної інваріантості множини .

Теорема 1.1.4. Для того, щоб множина , де, а D – обмежена і замкнена, була локально інваріантною множиною рівняння (1), досить, щоб при всіх виконувались наступні умови:

(

.

Розглядається зв’язок між локальною інваріантністю множини рівняння (1) та властивостями матриці,.

Теорема 1.1.5. Якщо є локально інваріантною множиною рівняння (1) і ранг матриці дорівнює для , тоді рівняння (1) локально на може бути зведено до рівняння з незалежними вінерівськими процесами.

В підрозділі 2 розділу 1 вводиться поняття локального першого інтеграла рівняння (1).

Означення. Функцію визначену і таку, що має неперервні похідні

в області D, будемо називати локальним першим інтегралом рівняння (1), якщо для всіх і всіх,

де при, при.

Основним результатом даного розділу є теорема, яка дає можливість визначити кількість функціонально незалежних перших інтегралів рівняння (1).

Теорема 1.2.2. Нехай ранг матриці B(x) рівняння (1) дорівнює при всіх . Тоді рівняння (1) може мати лише функціонально незалежних перших локальних інтегралів.

В підрозділі 3 розділу 1 проведено якісний аналіз рівняння (1) у двовимірному випадку. За результатами підрозділу І, дане рівняння (1) при зведено до стохастичного диференціального рівняння з одним вінерівським процесом

Встановлено зв’язок між локально інваріантною множиною рівняння (4) та локально фазовою траєкторією відповідного детермінованого рівняння

Теорема 1.3.1. Локально фазова траєкторія рівняння (5) в якому для всіх може бути локально інваріантною множиною рівняння (4), при випадковому збуренні рівняння (5) процесами типу “білого шуму” у формі Іто лише вздовж вектора фазової швидкості рівняння (5).

Теорема 1.3.3. Нехай криві є множиною локально фазових траєкторій рівняння (5) для всіх С. Якщо кривизна кривої не дорівнює нулеві в точці для всіх, то розв’язок рівняння (4) сходить з в напрямку опуклості кривої в точці .

Як наслідок до даної теореми, сформульовано результат про необхідність введення додаткового вектора керування , щоб розв’язок рівняння (5) залишався на фазовій траєкторії при випадковому збуренні процесами типу “білого шуму” у формі Іто вздовж вектора фазової швидкості.

В підрозділі 4 розділу 1 наведено приклади, що відображають теоретичний матеріал, який розглянуто в попередніх підрозділах даного розділу.

Розділ 2 присвячений аналізу неоднорідних стохастичних диференціальних рівнянь Іто

В підрозділі 1 розділу 2 розглядаються інваріантні множини рівняння (6) Означення. Множину будемо називати локально інваріантною множиною рівняння (6), якщо для всіх і всіх,

де при, при, - момент першого виходу розв’язку рівняння (6) з області .

Теорема 2.1.1. Для локальної інваріантності множини рівняння (6) необхідно, щоб для всіх виконувалися рівності

Теорема 2.1.2. Для того, щоб множини при були локально інваріантними множинами при всіх, необхідно та достатньо, щоб рівності (7), (8) мали місце при всіх.

В термінах функції Ляпунова наведена ще одна достатня умова локальної інваріантості множини .

Теорема 2.1.4. Для того, щоб множина , де, а D – обмежена і замкнена, була локально інваріантною множиною рівняння (6), досить, щоб при всіх виконувались наступні умови:

1)

2) .

В підрозділі 2 розділу 2 вводиться поняття локального першого інтеграла рівняння (6).

Означення. Функцію визначену і таку, що має неперервні похідні в області Q, будемо називати локальним першим інтегралом рівняння (6), якщо для всіх і всіх.

Основна теорема даного підрозділу є теорема, яка дає можливість визначити кількість функціонально незалежних перших інтегралів рівняння (6).

Теорема 2.2.2. Нехай ранг матриці B(t,x) рівняння (6) дорівнює при всіх . Тоді рівняння (6) може мати лише функціонально незалежних перших локальних інтегралів.

Підрозділ 3 даного розділу 2 складається з прикладів, що ілюструють результати, що отримані в попередніх підрозділах розділу 2.

Розділ 3 присвячений питанням застосування теоретичних результатів, отриманих в перших двох розділах.

В підрозділі 1 розділу 3 розглядаються методи побудови однорідних стохастичних диференціальних рівнянь, для яких задана множина є інваріантною.

Спочатку розглянуто випадок . Для цього випадку будується клас стохастичних диференціальних рівнянь у вигляді (1), для яких крива при є локально інваріантною. Знайдено явний вигляд коефіцієнтів рівняння (1) для даного випадку.

Далі розроблено метод побудови стохастичних диференціальних рівнянь, для яких задана поверхня є інваріантною множиною в . Виписано явний вигляд коефіцієнтів рівняння (1) у випадку (один вінерівський процес) та для випадку (два вінерівські процеси).

Просторова крива в розглядається як перетин двох поверхонь для та для. Досліджується метод побудови класу стохастичних диференціальних рівнянь, для якого задана крива є локально інваріантною множиною. Знайдено умови на коефіцієнти рівняння (1), для якого дана крива є локально інваріантною множиною.

В підрозділі 2 розділу 3 розглядається система стохастичних диференціальних рівнянь в для двох вінерівських процесів Для класів рівнянь

(система (9) з одним вінеровським процесом);

(система (9) з двома вінеровськими процесами)

досліджується поведінка розв’язку рівняння виду (9) на інваріантній циліндричній поверхні

Згідно результатів підрозділу І розділу ІІІ, дані класи рівнянь набувають вигляду:

для класу

для класу

де – довільні неперервно-диференційовані функції в .

При дослідженні характеру поведінки розв’язку систем стохастичних диференціальних рівнянь для класів та застосовується перехід до циліндричних координат. Для цього введено новий процес

Так як розв’язок систем стохастичних диференціальних рівнянь для та виражається через розв’язок та , то проводиться аналіз поведінки розв’язків та тих моделей, в яких двовимірна система рівнянь для зводиться до двох одновимірних рівнянь. Також проведено дослідження відмінності розв’язків та для класів рівнянь та , наведено приклади, що їх ілюструють.

В першій частині підрозділу 3 розділу 3 розглядається система двох гармонічних осциляторів вигляду

де - початкові положення та - початкові швидкості осциляторів - параметри осциляторів, - положення та - швидкості осциляторів в момент часу

Фазові траєкторії даної системи знаходяться на двовимірному торі . Даний тор є прямим добутком двох кіл: що належить площині та що належить площині

Проведено дослідження поведінки розв’язків збуреної даної системи на інваріантній поверхні, якою є тор.

Для цього розглядаються наступні класи стохастичних диференціальних рівнянь:

( збурена система (10) вздовж вектора фазової швидкості “ білим шумом “ з добавленим коефіцієнтом керування );

( збурена система (10) незалежними “білими шумами” вздовж векторів фазової швидкості та з добавленим коефіцієнтом керування ).

Згідно результатів підрозділу 1 розділу 3, дані класи стохастичних диференціальних рівнянь набувають вигляду:

для класу

для класу

де – довільні неперервно-диференційовані функції в .

Для дослідження поведінки розв’язків класів та на інваріантній поверхні , здійснено перехід до полярної системи координат. Введено новий процес .

Проведено аналіз поведінки розв’язків для даних класів стохастичних диференціальних рівнянь. Отримані для класу результати аналогічні детермінованому випадку, тобто, якщо параметри осциляторів раціонально залежні, то з ймовірністю 1 розв’язок “дифунфує” по замкненій лінії на двовимірному торі, а якщо параметри осциляторів раціонально незалежні, то розв’язок “дифундує” по лінії, яка скрізь щільна на торі. Для класу показано, що з ймовірністю 1 розв’язок відвідує довільний окіл кожної точки на торі.

В другій частині підрозділу 3 розділу 3 розглядається система двох спряжених гармонічних осциляторів, що пов’язані між собою:

Проведено дослідження поведінки першого інтеграла

даної системи при випадковому збуренні вектора фазової швидкості “білим шумом” у формі Іто з додатковим вектором керування.

При умові досліджується поведінка енергії

збуреної системи в залежності від вектора керування.

Висновки

В дисертаційній роботі проведено якісний аналіз стохастичних диференціальних рівнянь. В даній роботі розглядаються нелінійні стохастичні диференціальні рівняння Іто з виродженою матрицею дифузії. Для дослідження такого класу рівнянь застосовано метод інваріантних множин. Введено поняття локально інваріантної множини та локального першого інтеграла для рівнянь даного типу. Сформульовано і доведено необхідну і низку достатніх умов локальної інваріантності множин для однорідних та неоднорідних стохастичних диференціальних рівнянь. Отримано умови існування і функціональної незалежності локальних перших інтегралів стохастичних диференціальних рівнянь. Для однорідних стохастичних диференціальних рівнянь проведено якісний аналіз фазового “портрету ” на площині. Розроблено методи побудови класів стохастичних диференціальних рівнянь Іто, для яких задана поверхня є інваріантною. Побудовані класи стохастичних диференціальних рівнянь з одним вінерівським процесом і двома вінерівськими процесами, для яких циліндрична поверхня і тор є інваріантними. Проведено дослідження поведінки розв’язків цих класів рівнянь на інваріантних поверхнях. Для збуреної коливної системи, якою є два спряжених гармонічних осцилятора, проведено дослідження поведінки повної енергії даної збуреної системи. Показано, що з допомогою детермінованої функції є можливість керувати поведінкою повної енергії системи. Розроблено методи керування стохастичними системами. Наведено низку прикладів, що ілюструють теоретично отримані результати.

Основні опубліковані результати дисертації

1. Kulinich G. L., Pereguda O. V. Phase picture of diffusion processes with degenerate diffusion matrices // Random Oper. and Stochast. Equat. – 1997. – V.5, № 3. – P. 203-216.

Перегуда О. В. Про поведінку розв’язку системи стохастичних диференціальних рівнянь на інваріантній циліндричній поверхні // Вісн. Київ. ун-ту , Математика. Механіка. – 1998. – Вип. 2. – С. 32-37.

Кулініч Г. Л., Перегуда О.В. Якісний аналіз стохастичних диференціальних рівнянь Іто // Укр. мат. журнал. – 2000. – Т. 52, №9. – С. 1251-1256.

Перегуда О. В. Інваріантні поверхні одного класу стохастичних диференціальних рівнянь Іто // П’ята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. – Київ. – 1996. – С. 327.

Перегуда О. В. Інваріантні тори одного класу стохастичних диференціальних рівнянь Іто // Всеукраїнська конференція “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” – Чернівці. -- 1996 .—С. 144.

Кулинич Г. Л., Перегуда О.В. О первых интегралах стохастических дифференциальных уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. – М.: ТВП. – 2000. – Т. 7. – В. 2. – С. 504-505.

Перегуда О. В. Про стабілізацію енергії системи автоколивань з двома ступенями свободи при випадкових збуреннях процесами типу “білого шуму” // Восьма Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. – Київ. – 2000. – С. 162.

Перегуда О. В. Якісний аналіз стохастичних диференціальних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

В даній дисертаційній роботі розглядаються нелінійні стохастичні диференціальні рівняння Іто з виродженою матрицею дифузії. Введено поняття локально інваріантної множини і локального першого інтеграла стохастичного диференціального рівняння. Доведено низку теорем, які дають можливості для знаходження локально інваріантних множин стохастичних диференціальних рівнянь. Отримано умови існування і функціональної незалежності локальних перших інтегралів стохастичних диференціальних рівнянь. Для однорідних стохастичних диференціальних рівнянь проведено якісний аналіз фазового “портрету ” на площині. Розроблено методи побудови класів стохастичних диференціальних рівнянь Іто для яких задана поверхня є інваріантною.

Проведено дослідження поведінки розв’язків класів стохастичних диференціальних рівнянь Іто на інваріантних поверхнях, якими є циліндр, тор. Для збуреної коливної системи, якою є два спряжених гармонічних осцилятора, проведено дослідження поведінки повної енергії даної збуреної системи. Розроблено методи керування стохастичними системами. Наведено приклади, що ілюструють теоретично отримані результати.

Ключові слова: стохастичне диференціальне рівняння, вінерівський процес, формула Іто, локально інваріантна множина, локальний перший інтеграл, локально фазова траєкторія, повна енергія.

Перегуда О. В. Качественный анализ стохастических дифференциальных уравнений. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

В диссертационной роботе проводиться качественный анализ стохастических дифференциальных уравнений. В данной работе рассматриваются нелинейные стохастические дифференциальные уравнения Ито с вырожденной матрицей диффузии. Для исследования данного класса уравнений используется метод инвариантных множеств.

Первая глава посвящена анализу однородных стохастических уравнений. Введены понятия локально инвариантного множества и локального первого интеграла стохастического дифференциального уравнения. Сформулированы и доказаны необходимое и ряд достаточных условий локальной инвариантности множеств для однородных стохастических дифференциальных уравнений. Получены условия существования и функциональной независимости локальных первых интегралов стохастических дифференциальных уравнений. Проведен качественный анализ фазового “портрета ” на плоскости стохастических дифференциальных уравнений. Данный анализ основан на связи между локально инвариантным множеством стохастического дифференциального уравнения и локально фазовой траекторией соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения (детерминированного).

Во второй главе рассматриваются неоднородные стохастические дифференциальные уравнения Ито. Для данного типа уравнений введены понятия локально инвариантного множества и локального первого интеграла. Доказан ряд теорем, которые дают возможности для нахождения локально инвариантных множеств неоднородных стохастических дифференциальных уравнений. Получены условия существования и функциональной независимости локальных первых интегралов неоднородных стохастических дифференциальных уравнений.

Третья глава посвящена применению стохастических дифференциальных уравнений. В первом параграфе исследуются методы построения однородных стохастических дифференциальных уравнений , для которых заданное множество есть инвариантным. На основе данного материала, во втором и третьем параграфах , построены классы стохастических дифференциальных уравнений с одним винеровским процессом и с двумя независимыми винеровскими процессами, для которых цилиндрическая поверхность и тор есть инвариантными поверхностями. Проведены исследования поведения решений классов стохастических дифференциальных уравнений Ито на данных поверхностях. Для возмущенной колебательной системы, какой есть два сопряженных гармонических осциллятора, проведены исследования поведения полной энергии данной возмущенной системы. Показано, что с помощью детерминированной функции можно управлять поведением полной энергии возмущенной системы. Разработаны методы управления стохастическими системами. Приведены примеры, которые иллюстрируют теоретически полученные результаты.

Ключевые слова: стохастическое дифференциальное уравнение, винеровский процесс, формула Ито, локально инвариантное множество, локальный первый интеграл, локально фазовая траектория, полная энергия.

Pereguda O. V. Qualitative analysis of the stochastic differential equations. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Science degree on the speciality 01.01.02. – differential equations. – Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2001.

In the present paper the nonlinear stochastic differential Ito’s equations with degenerate diffusion matrices are considered. The notion of a locally invariant set and a locally first integral of this equations are introduced. Theorems are proved which give us a possibility to find the locally invariant sets of stochastic differential equations. The conditions of existence and functional indepent a locally first integrals of stochastic differential equations are established. The detailed analysis for the homogeneous stochastic differential equations of the phase picture in the two – dimensional case is realized. The methods of construction of a classes of stochastic differential Ito’s equations for which a given surface is a locally invariant set is produced. The behavior of the solutions of a classes stochastic differential Ito’s equations for invariant cilindrical surface and for invariant torus are investigated. The behavior of total energy of the perturbed oscillating system is realized. The methods of the control of stochastic systems are produced. Examples for the illustration of theoretic rezults are reduced.

Key words: stochastic differential equation, Wiener process, Ito’s formula, locally invariant set, locally first integral, locally phase trajectories, total energy.