МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ПАПКОВ Станіслав Олегович

УДК 539.3

АСИМПТОТИЧНІ ОЦІНКИ РОЗВ'ЯЗКІВ

НЕСКІНЧЕННИХ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА

ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ У КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

01.02.04 механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Чехов Валерій Миколайович,

Таврійський національний університет, завідувач кафедри прикладної математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Приварников Аркадій Костянтинович,

завідувач кафедри алгебри і геометрії Запорізького державного університету

доктор фізико-математичних наук, професор

Шалдирван Валерій Анатольович,

завідувач кафедри математичної фізики Донецького національного університету

Провідна установа Дніпропетровський національний університет, кафедра теоретичної механіки, Міністерство освіти і науки України.

Захист відбудеться "21" червня 2001 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 у Донецькому національному університеті за адресою: 83 055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету за адресою: 83 055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83 055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради К.11.051.05.

Автореферат розісланий "17" травня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Використання наближених розв'язків задач теорії пружності є найважливішим елементом інженерної практики. При оцінці ефективності наближених розв'язків центральне місце займає їх порівняння з точними розв'язками відповідних крайових задач, які, у багатьох випадках, будуються за допомогою нескінченних систем лінійних рівнянь. Загальні питання теорії нескінченних систем рівнянь розроблені й освітлені в наукових публікаціях. У той же час у ній є ряд пробілів, практичні методи розв'язку нескінченних систем недостатньо розвинені.

Для підвищення точністі чисельних розв'язків нескінченних систем і для застосування їхніх розв'язків у відповідних крайових задачах теорії пружності дуже важливим є закон поводження невідомих при необмеженому зростанні номерів. У першому наближенні такий закон був отриманий для деяких спеціальних класів нескінченних систем Б.М. Кояловичем і В.Т. Грінченко. Продовження і розвиток цих досліджень виявляється актуальним сьогодні стосовно до більш широких класів нескінченних систем.

Особливо гостро питання про асимптотичну поведінку розв'язку нескінченної системи виникає при дослідженні напруженого стану пружного тіла поблизу кутових точок, де, як правило, без знання асимптотики розв'язку нескінченної системи неможливо отримати задовільної точністі розв'язку крайової задачі. У динамічних крайових задачах, при наближенні частоти коливань до власної частоти пружного тіла, відбувається різке збільшення похибки при розв'язку нескінченної системи методом редукції, тут також виявляється актуальним питання про асимптотичну поведінку невідомих у нескінченній системі і побудову стійкого чисельного алгоритму оцінки її розв'язку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження виконані за державними темами "Розробка чисельних методів і програмного забезпечення для задач динаміки деформованого середовища" (№ Держ. реєстрації 0197U001971) і "Дослідження літосферных деформацій засобами большебазової лазерної інтерферометрії" (№ Держ. реєстрації 0197U000429).

Метою даної праці є дослідження напруженого деформівного стану пружніх тіл на основі розв'язків відповідних регулярних нескінченних систем, включаючи

-

-

-

-

Об'єктом дослідження є нескінченні системи лінійних рівнянь, що виникають у задачах кручення стрижнів і задачах про плоску деформацію прямокутної призми.

Предметом дослідження є розробка методів визначення асимптотичних властивостей розв'язків нескінченних систем і побудова ефективного чисельного алгоритму їх розв'язання, а також застосування отриманих розв'язків нескінченних систем і їх асимптотик щодо визначення напружено-деформованого стану пружних тіл.

Методи дослідження. В роботі формулюється і доводиться ряд нових теорем з теорії нескінченних систем, які, по-перше, дозволяють довести єдиність розв'язку нескінченної системи, що означає існування розв'язку задачі теорії пружності у запропонованій формі, і, по-друге, отримати асимптотику розв'язку нескінченної системи, що, в свою чергу, дозволяє поліпшити збіжність рядів та інтегралів в зображенні компонент тензора напружень і побудувати ефективний чисельний алгоритм для розрахунків. При цьому особливості біля кутових точок виділялись аналітично у замкненому вигляді. Розроблено алгоритм визначення резонансних частот прямокутної призми шляхом аналізу відповідної квазірегулярної системи. При чисельних оцінках розв'язків нескінченних систем у всіх задачах застосовувався метод лімітант, який дозволяє отримати двосторонні оцінки для розв'язків нескінченних систем і, таким чином, оцінити похибку обчислень. Чисельні розрахунки проводились за допомогою ЕОМ.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі виконано узагальнення достатньої ознаки існування ненульової границі для розв'язку нескінченної системи рівнянь за умовами, що накладаються на нескінченну систему. Доведено нову достатню ознаку існування головного розв'язку для нескінченної системи з виродженою регулярністю, розглянуте питання про його єдиність. Отримані результати подані у вигляді 9 теорем. За їхньою допомогою будуються головні члени асимптотики для розв'язків регулярних некінченних систем, обгрунтовується застосування методу лімітант до чисельних оцінок розв'язків цих систем.

На основі теоретичних результатів дисертації уточнюються механічні характеристики напруженого стану при крученні стрижнів із поперечним перерізом у вигляді рівнобокого кутика, полого квадрату, валу з виточками. Отримано стійкий (при підході до власної частоти) алгоритм розв'язку квазірегулярної нескінченної системи, що виникає у задачі про сталі змушені коливання призми, будується характеристичне рівняння для визначення власних частот призми. Проведено порівняльний аналіз розв'язків задач про статичний кососиметричний плоский деформівний стан призми і про її сталі змушені коливання.

Обгрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується:

-

-

-

-

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати дозволяють досліджувати асимптотичні властивості розв'язків досить широкого класу нескінченних систем і побудувати ефективний чисельний алгоритм розв'язку відповідних їм крайових задач теорії пружності. На основі отриманих аналітичних розв'язків можлива оцінка наближених розв'язків даних крайових задач.

Частина результатів використана для виконання робіт із вищевказаних держбюджетних тем, а також у навчальному процесі в Таврійському національному університеті на кафедрі прикладної математики у спецкурсах.

Особистий внесок здобувача:_

узагальнення достатньої ознаки існування ненульової границі для розв'язків нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язків систем змішаного типу;

_формулювання і доказ достатньої ознаки існування головного розв'язку для нескінченної системи з виродженою регулярністю, методика визначення його єдиності;

_визначення асимптотик розв'язків цілком регулярних нескінченних систем у задачах кручення стрижнів із профілями у вигляді рівнобокого кутика, полого квадрату, валу з виточками; _

уточнення ряду характеристик напруженого стану при крученні стрижнів із профілем у вигляді рівнобокого кутика, полого квадрату, валу з виточками;_

побудова стійкого алгоритму розв'язку квазірегулярної нескінченної системи, що виникає в задачі про сталі змушені коливання прямокутної призми; порівняльний аналіз плоского кососиметричного деформівного стану призми у випадках статичного навантаження і сталих змушених коливань; _

побудова характеристичного рівняння для визначення резонансних частот призми.

Робота виконувалася під керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора В.М. Чехова. З ним були опубліковані роботи [1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15].

Апробація результатів дисертації.

Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на

_Другій Кримській Міжнародній Математичній школі "Метод функцій Ляпунова та його застосування", Крим, Алушта, 1 - 7 жовтня 1995 р.;_

Третій Кримській Міжнародній Математичній школі "Метод функцій Ляпунова та його застосування", Крим, Алушта, 16 - 23 вересня 1996 р.;_

International Сonference "Modelling and investigation of systems stability", Kiev, May 19 - 23, 1997;_

Четвертій Кримській Міжнародній Математичній школі "Метод функцій Ляпунова та його застосування", Крим, Алушта, 5 - 12 вересня 1998 р.;_

Міжнародної науково-технічної конференції "Прикладні проблеми механіки рідини і газу", Севастополь, 20 24 вересня 1999 р.;_

П'ятій Кримській Міжнародній Математичній школі "Метод функцій Ляпунова та його застосування", Крим, Алушта, 5 - 13 вересня 2000 р.

Дисертаційна робота в цілому обговорювалася на наукових конференціях викладачів Таврійського національного університету, Запорізького державного університету, Донецького національного університету.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 15 робіт. З них: 8 статті в наукових виданнях (3 у фахових наукових виданнях), 7 тези доповідей.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаної літератури. Вона містить 132 сторінки машинописного тексту, 16 ілюстрацій і 16 таблиць. Бібліографія складається з 118 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертаційної роботи; зазначено її зв'язок із науковими програмами, планами, темами; сформульовані ціль і задачі дослідження; дана характеристика наукової новизни, теоретичного і практичного значення отриманих результатів; відзначено особистий внесок здобувача; стисло викладено зміст дисертації.

У першому розділі дисертації робиться огляд досліджень, присвячених питанням теорії нескінченних систем рівнянь та їх застосування в задачах теорії пружності.

Розвитку теорії регулярних нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь присвячені роботи Ф. Рисса, Е. Хеллингера й О. Теплица, Л.В. Канторовича, Б.М. Кояловича, Р.О. Кузьміна, П.С. Бондаренко, В.Т. Грінченко. Тут обговорюються питання існування розв'язку, його єдиності, збіжності методів редукції й ітерацій. Виняток складають дослідження Б.М. Кояловича і В.Т.Грінченко, де наголос робиться на вивчення асимптотических властивостей розв'язків нескінченних систем. У монографії В.Т. Грінченко "Рівновага і сталі коливання пружних тіл обмежених розмірів" дається узагальнення закону асимптотических виражень Б. М. Кояловича на нескінченні системи змішаного типу.

На даний час існує ряд методів, що зводять крайові задачі теорії пружності до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь (до систем змішаного типу). У роботах А.С. Космодаміанського, і його учнів С.А. Калоєрова, В.І. Сторожева, В.А.Шалдирвана до регулярних і квазірегулярних нескінченних систем зводяться задачі для багатозв'язних товстих пластин, досліджується напружений стан анізотропних середовищ з отворами і порожнинами, розв'язуються динамічні задачі теорії пружності для анізотропних середовищ. А.Н. Гузь застосував квазірегулярні нескінченні системи до дослідження задач з теорії оболонок.

У дисертації розглядаються два споріднених методи: метод функції напружень для задач кручення стрижнів і метод суперпозиції або метод Ламі побудови аналітичного розв'язку крайових задач теорії пружності. Обидва цих методи грунтуються на ідеях, висловлених Ламі у своїх лекціях по теорії пружності у 1852р. Їхньому розвитку присвячені роботи Е. Матье, Ф. Пурше, Б. М. Кояловича, Б.Л.Абрамяна, А.А. Баблояна, Е.Н. Байди, Г.М. Валова, В.Т. Грінченко, Chandrashekhara K. A, Iyengar K. T., Sundara Raja, Kaliski S. та ін.

Тут варто виділити роботу Б.Л. Абрамяна (задача про осесиметричну деформацію круглого циліндра), в якій вперше для методу суперпозиції доводиться регулярність отриманої нескінченної системи, доводиться існування розв'язку у запропанованій формі і придатність методу редукції. Відзначимо, що в більшості робіт іноземних авторів не доводиться можливість розв'язання задачі. На загальний дефект усіх зазначених розв'язків, обумовлений застосуванням методу редукції, вперше звернув увагу М.І. Гусейн-Заде на прикладі задачі про неосесиметричну деформацію пружньої товстої плити. На межі пружного тіла, ряди, що представляють напруження, мають дуже повільну збіжність, і усікання повного вектора невідомих повинно вести до появи похибки у виконанні крайових умов, навіть при досить точному визначенні перших невідомих.

Поліпшенню збіжності рядів і інтегралів на межі пружного тіла присвячені роботи А.К. Приварникова, В.А. Шалдирвана.

Усуненню зазначеного вище недоліка методу суперпозиції за допомогою асимптотичного аналізу розв'язків нескінченних систем для ряду задач присвячені дослідження В.Т. Грінченко, В.В. Мелешко, А.Ф. Улітко.

На основі аналізу літературних джерел зроблено висновок, що узагальнення наявних теоретичних результатів по асимптотичному поводженню розв'язків нескінченних систем і поширення їх на більш широкі класи нескінченних систем являє собою як практичний інтерес для конкретних задач, так і теоретичний для розвитку методу суперпозиції і методу функції напружень.

У першому розділі також приводяться короткі відомості з теорії регулярних нескінченних систем, описані основні методи їх чисельного розв'язку. При чисельних оцінках розв'язків нескінченних систем перевага віддається методу лімітант, як методу, що дозволяє контролювати похибку обчислень.

В другому розділі для різних типів нескінченних систем із невід'ємними коефіцієнтами формулюються і доводяться нові достатні ознаки існування ненульової границі для їхніх розв'язків. Найбільш загальною тут є теорема 2.5.

Теорема 2.5. Якщо коефіцієнти парної нескінченної системи

, (k =1,2,3,…)

задовольняють умові

а)

де додатні послідовності {qk}, {k}, {rn}, {n} такі, що

( );

, ,

то існує обмежений головний розв'язок {xk, yk} парної нескінченної системи.

Якщо цей розв'язок є єдиним обмеженим розв'язком, і додатково до умови (а) виконується умова:

б) ,

то існує додатна границя розв’язку xk = yk = a0.

Для регулярної нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь із додатними коефіцієнтами в достатній ознаці існування ненульової границі для її розв’язку залишається лише модифікована перша вимога на коефіцієнти системи з умов теореми 2.5.

Крім наведеної теореми, у другому розділі формулюється і доводиться ще дві достатні ознаки існування ненульової границі для розв’язку регулярних парних нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із додатними коефіцієнтами (теореми 2.3-2.4), аналізується їх взаємозв'язок із теоремою 2.5.

Теорія, розвинута для парних регулярних нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, переноситься на парні нескінчені системи змішаного типу, у теоремі 2.6 формулюється достатня ознака існування ненульової границі для їхніх розв’язків.

Питання про існування головного розв’язку для нескінченної системи лінійних рівнянь змішаного типу, що задовольняє умовам виродженої регулярності, у даному розділі вирішується шляхом доказу наступної теореми:

Теорема 2.9. Якщо сталі члени парної змішаної системи

, (k = 1,2,3,…;t0),

яка зодовольняє умовам виродженої регулярності

, (k = 1,2,3,…;t0),

можно оцінити за допомогою наступних нерівностей:

,

то існує головний розв’язок системи змішаного типу, який задовольняє оцінці

.

У третьому розділі дисертації розглянуті задачі про кручення стрижнів із профілями у вигляді рівнобокого кутика, полого квадрату, валу з виточками. Розв’язок даних задач будується за допомогою функції напружень U(x,y), яка повинна задовольняти рівнянню Пуассона в області поперечного перерізу стрижня:

,

і дорівнювати сталой на контурі перерізу (у випадку однозв’язної області можна покласти це значення рівним нулю).

Функція напружень U(x,y) дозволяє визначити дотичні напруження, що виникають у стрижні за наступними формулами:

.

Тут, G модуль зсуву матеріалу, кут закручування, постійний для усіх волокон стрижня рівнобіжних осі.

Розділяючи змінні в рівнянні Пуассона, для стрижня з профілем у вигляді рівнобокого кутика (рис. 1) одержуємо функцію напружень у вигляді ряду Фур'є з

Рис.1. Поперечний переріз стрижня з профілем у вигляді рівнобокого кутика.

невизначеними коефіцієнтами, які визначаються з крайових умов за допомогою розв’язку наступної нескінченної системи рівнянь відносно :

, k = 1,2,3…

де, = b/d; ; .

За допомогою заміни zk = yk k2/3 дана нескінченна система зводиться до вигляду, що задовольняє сформульованої в другому розділі теоремі 2.1. Тобто вдається показати, що існує .

Отриманий асимптотический закон дозволяє визначити асимптотику у вихідній нескінченній системі щодо { zk } і застосувати до чисельної оцінки метод лімітант.

Розв’язок нескінченної системи дозволяє цілком описати напружений стан стрижня; кількісно описати особливість у поводженні дотичних напруг у внутрішній кутовій точці. Відомо, що при крученні стрижня даного профілю дотичні напруження у внутрішній кутовій точці (d,d) прагнуть до нескінченності як с0 r1/3 , при r 0 (r=). Використовуючи асимптотичний закон поводження невідомих у нескінченній системі можна знайти значення

с0 = 0,79204а0Gd 4/3.

Наступна розглянута задача _задача про кручення полого стрижня коробчастого перерізу, багато в чому схожа на попередню. Область перерізу стрижня тут двузв’язна. За допомогою методу функції напружень дана задача зводиться до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь, аналіз якої здійснюється за допомогою теореми 2.1.

Максимальна відмінність між найбільшими значеннями дотичних напружень, розрахованих у дисертації й узятих із роботи Н.Х. Арутюняна, Б.Л. Абрамяна "Кручення пружних тіл", спостерігається тут при відносній товщині стінки стрижня =2 як рівне 3%, для інших випадків ця відмінність складає менш 1%. Це пояснюється тим, що ряди у вираженнях дотичних напружень тут збігаються експоненціально, і в даному випадку поводження розв’язку нескінченної системи з ростом номера виявляється не істотним. Отримані значення максимальних дотичних напружень підтверджують велику похибку формули Бредта для .

Третя розглянута у цьому розділі задача _задача про кручення валу з виточками (рис.2), розв’язувалась за допомогою методу функції напружень у полярній системі координат.

Рис.2. Переріз валу з виточками.

Функцію напружень у даному випадку можна побудувати в наступному вигляді:

де , , , і розрахувати напруження, що виникають у стрижні за формулами:

, .

Відповідна даній задачі нескінченна система, має вигляд:

(k = 1, 2, 3, ... ; z > 0)

Тут, , , ; .

За допомогою заміни ( k = 1, 2, 3, ...; z > 0) дана змішана нескінченна система доводиться до вигляду, що задовольняє теоремі 2.6. Відзначимо, що після заміни зазначена система змішаного типу вже не задовольняє відомій теоремі існування розв’язку, і тут, для доказу існування розв’язку і його єдиності, використовується запропонована в дисертації теорема 2.9.

Існування спільної границі , дозволяє застосувати до розв’язку даної змішаної системи алгоритм лімітант; у мажорантних системах методу лимитант виключалася функція x(z) і вирішувалася скінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь щодо перших . На рис.3 і таб.1 наведен розв’язок зазначеної змішаної системи для .

Таблиця 1

y1 | 0,756 | y10 | 1,212

у2 | 1,248 | у20 | 1,107

у3 | 1,384 | у30 | 1,075

у4 | 1,397 | у50 | 1,050

у5 | 1,370 | y100 | 1,032

Рис. 3. Графік функції x(z) розв’язку системи рівнянь змішаного типу при .

Перші невідомі визначаються більш точно, ніж останні. Граничне значення виявляється рівним .

У роботі Н.Х. Арутюняна, Б.Л. Абрамяна "Кручення пружних тіл" дається значення жорсткості стрижня, отримане румунським математиком Маня методом допоміжних функцій для даних значень геометричних параметрів як рівне . Жорсткість стрижня, розрахована за допомогою асимптотичної теорії нескінченних систем, для даного випадку дорівнює . Відмінність складає . На рис.4. подано епюри дотичних напружень, які отримані в дисертаційній роботі і Маня.

a) б)

Рис. 4. Епюри дотичних напружень круглого стрижня з подовжнім пазом (половина перерізу): а) отримані в дисертації, б) отримані Маня.

У четвертому розділі дисертації будується аналітичний розв’язок задач про плоску деформацію прямокутної призми у випадках статичного кососиметричного навантаження і сталих змушених коливань із тим же типом навантаження (рис. 5).

Вирішувалася наступна крайова задача для рівнянь Ламі:

,

.

Тут коефіцієнт Пуассона, густина матеріалу, G модуль зсуву, частота гармонійного навантаження.

Рис. 5. Переріз прямокутної призми.

За методом суперпозиції загальний розв’язок рівнянь Ламі вибирається у вигляді суми загальних розв’язків для пружних шарів і .

,

,.

Тут , , (l = 1,2), , швидкість повздовжньої хвилі, швидкість зсувної хвилі.

У задачі про сталі кососиметричні коливання призми одержуємо з крайових умов квазірегулярну нескінченну систему для визначення невідомих коефіцієнтів у загальному розв’язку рівнянь Ламі:

(n = 1,2,3, …)...

Тут ;

; .

Дана нескінченна система за допомогою заміни невідомих

,

, (n = 3, 4,…)

зводилася до сукупності регулярних нескінченних систем з однаковою матрицею, що задовольняють достатній ознаці існування ненульової границі для їхнього розв’язку (теорема 2.5) і до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

.

де M квадратна матриця розмірності 5, що має вигляд:

M = .

Рівність нулю визначника цієї системи дає характеристичне рівняння для визначення резонансних частот (рис. 6).

Рис. 6. Графік функції у = ( _особливі точки, _точки резонансу) для =1, =0,33.

На основі чисельних розрахунків дається порівняльний аналіз напружень, що виникають при плоскій деформації в призмі у випадках статики і сталих змушених коливань. Досліджується поводження компонент тензора напружень при наближенні частоти змушених коливань до власної частоти (рис. 7).

Розподіл напружень у призмі, при значеннях частоти близьких до нижньої межі розглянутого діапазону частот, незначно відрізняється від випадку статичної деформації.

При зростанні частоти вимушених коливань максимальні напруження виникають на серединах ненавантажених граней. При наближенні частоти до власної частоти призми відбувається різке збільшення по модулі компонент тензора напружень, коли значення переходить власну частоту всі компоненти тензора напружень змінюють знак.

А) Б)

Рис. 7. Поверхні нормальних напружень при сталих змушених коливаннях призми з частотами = 1,35 (А), = 1,375 (Б) ( = 0,33; = 1).

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1.

2.

3.

-

-

-

-

4.

-

-

-

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

АНОТАЦІЯ

Папков С.О. Асимптотичні оцінки розв'язків нескінченних систем лінійних рівнянь та застосування їх у крайових задачах теорії пружності. _Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.02.04 _механіка деформівного твердого тіла. _Донецький національний університет, Донецьк, 2001.

Дисертація присвячена розробці асимптотичної теорії нескінченних систем і застосуванню отриманих асимптотичних оцінок у задачах кручення ізотропних стрижнів (метод функції напружень) і плоского деформівного стану прямокутної призми (метод суперпозиції). У дисертації пропонується узагальнення достатньої ознаки існування ненульової границі розв’язку нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, запропонованого Б.М. Кояловичем, на більш широкий клас нескінченних систем. За допомогою даної достатньої ознаки будується розв’язок задач кручення ізотропних стрижнів із перерізом у вигляді рівнобокого кутика, полого квадрату, валу з виточками. Чисельна оцінка розв’язків нескінечних систем здійснювалася за допомогою методу лімітант. Задача про сталі кососиметричні коливання призми зводилася до квазірегулярної нескінечної системи. Дана нескінечна система, в свою чергу, за допомогою заміни невідомих зводилася до сукупності регулярних нескінечних систем з однаковою матрицею, що задовольняють достатній ознаці існування ненульової границі для їхнього розв’язку і до скінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Рівність нулю визначника скінченної системи дає характеристичне рівняння для визначення резонансних частот. Аналізується напружений стан призми.

Ключові слова: нескінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь, регулярність, метод лімітант, границя, особливості напруженого стану, напруження, власні частоти.

АННОТАЦИЯ

Папков С.О. Асимптотические оценки решений бесконечных систем линейных уравнений и применение их в краевых задачах теории упругости. _Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.02.04. _механика твердого деформируемого тела. _Донецкий национальный университет, Донецк, 2001.

Диссертация посвящена разработке асимптотической теории бесконечных систем и приложению полученных асимптотических оценок в задачах кручения изотропных стержней (метод функции напряжений) и плоского деформированного состояния прямоугольной призмы (метод суперпозиции). В диссертации предлагается обобщение достаточного признака существования ненулевого предела решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, предложенного Б.М. Кояловичем, на более широкий класс бесконечных систем. С помощью замены переменных и данного достаточного признака находятся степенные асимптотики решений бесконечных систем в задачах кручения изотропных стержней с сечением в виде равнобокого уголка, полого квадрата, вала с выточками. При решении бесконечных систем применяется метод лимитант _итерационный метод, основанный на свойствах лимитант _специальных выражений, зависящих от первых неизвестных в бесконечной системе и позволяющих оценить остальные.

В задачах кручения стержней вычисляется жесткость, максимальные напряжения, впервые количественно исследуются особенности напряженного состояния в окрестности внутренних угловых точек для различных значений геометрических параметров. Проводится сравнение с известными приближенными решениями.

В четвертой главе диссертации получено аналитическое решение задач о плоской деформации прямоугольной призмы в случаях статической кососимметрической нагрузки и установившихся вынужденных колебаний с тем же типом нагрузки. Выбор общих решений уравнений Ламе в виде, предложенном в диссертационной работе позволяет свести задачу плоской деформации призмы при статической нагрузке к регулярной бесконечной системе, попадающей под достаточный признак существования ненулевого предела, доказанного во второй главе и применить к решению данной бесконечной системы алгоритм лимитант. На основе полученного решения исследовано распределение напряжений для различных значений геометрического параметра.

Задача об установившихся кососимметричных колебаниях призмы сводилась к квазирегулярной бесконечной системе. Данная бесконечная система при помощи замены переменных сводилась к совокупности регулярных бесконечных систем с одинаковой матрицей, удовлетворяющих достаточному признаку существования ненулевого предела для их решения и к конечной системе линейных алгебраических уравнений. Равенство нулю определителя конечной системы дает характеристическое уравнение для определения резонансных частот.

На основе численных расчетов проведен сравнительный анализ напряжений, возникающих при плоской деформации в призме в случаях статики и установившихся вынужденных колебаний. Исследуется поведение компонент тензора напряжений при приближении частоты вынужденных колебаний к собственной частоте.

Ключевые слова: бесконечная система линейных алгебраических уравнений, регулярность, метод лимитант, предел, особенности напряженного состояния, напряжения, собственные частоты.

SUMMARY

Papkov S.O. Asymptotic evaluations of infinite systems solutions of the linear equations and their application in boundary value problems of the theory of elasticity. The manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by specialty 01.02.04 _mechanics of the deformable solid body. _Donetsk National University, Donetsk, 2001.

The dissertation is devoted to the development of asymptotic theory of infinite systems and application of asymptotic evaluations in the problems of isotropic rods torsion (the method of stresses function) and flat deformed condition of a rectangular prism (the method of superposition). The sufficient conditions of existence of a nonzero limit of the infinite system solution of the linear algebraic equations offered by B.M. Kojalovich are concerned to broader classes of infinite systems. For numerical evaluations of the infinite systems solutions the method of limitants was used. The problem concerning to antisymmetric prism oscillations was reduced to a quasiregular infinite system. This infinite system with the help of variables change was reduced to the set of regular infinite systems with an identical matrix which satisfy the sufficient conditions of the nonzero limit existences for their solution and to a finite system of the linear algebraic equations. The equation for defining resonance frequencies is the finite system determination equality to zero. The stress condition of prism is analyzed as well.

Key words: infinite system of the linear algebraic equations, regularity, method of limitants, limit, singularity of stress condition, stress, own frequencies.