Харківський національний університет

імені В.Н. Каразіна

Павличков Святослав Сергійович

УДК 517.977

ПОВНА КЕРОВАНІСТЬ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ТРИКУТНИХ

СИСТЕМ, ЯКІ НЕ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КАНОНІЧНОГО ВИГЛЯДУ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Коробов Валерій Іванович, завідувач кафедри диференціальних рівнянь та керування Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Скляр Григорій Михайлович, професор кафедри математичного аналізу Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна;

кандидат фізико-математичних наук, Щербак Володимір Федорович, старший науковий співробітник відділу прикладної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України

Провідна установа: Одеський національний університет імені І.І. Мечникова Міністерства освіти і науки України, кафедра оптимального керування та економічної кібернетики, м. Одеса.

Захист відбудеться 4 січня 2002 р. о 17 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 4 грудня 2001 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Фардигола Л.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математична теорія керування в теперішній час є широким розділом теорії диференціальних рівнянь, який інтенсивно розвивається завдяки зусиллям багатьох українських та закордонних математиків. ЇЇ методи дозволяють ефективно розв’язувати велику кількість задач, що виникають у багатьох галузях промисловості: авіації та космонавтиці, робототехніці, математичній економіці і т.п. Оскільки більшість процесів, які при цьому вивчаються є істотно нелінійними, при їх дослідженні важливого значення набуває нелінійна теорія керування.

Одним із класів систем, які застосовуються для опису цілої низки фізичних, економічних та інших процесів, є системи інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра. Незважаючи на це, задача повної керованості для таких систем досліджена дуже мало, головним чином для лінійних систем та їх обмежених збурень.

З іншого боку, у теорії керування нелінійними системами звичайних диференціальних рівнянь важливе теоретичне та прикладне значення мають системи, що зводяться до так званого “трикутного вигляду”. При аналізі їх властивостей майже в усіх роботах вирішальну роль відіграє припущення, що трикутна система в заданній області має так звану властивість “точної лінеарізовності” або, іншими словами, може бути приведена дифеоморфною заміною координат та керувань до канонічного вигляду. Цю техніку неможливо застосувати при дослідженні керованих систем інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра.

Крім цього, у випадку звичайних диференціальних рівнянь становлять великий інтерес системи трикутного вигляду, що не задовольняють умови, за яких можливе взаємно однозначне відображення їх траєкторій на траєкторії лінійних систем в області, що розглядяється. До цього часу такі системи були недостатньо досліджени, а в усіх роботах, де вони розглядялись, або припускалось, що стандартні умови звідності до канонічної повністю керованої системи виконуються, принаймні на відкритій і всюди щільній в заданій області множині, або всі результати формулювались локально, в околі тих точок, де є можливим зведення системи до канонічного, або в більш загальному варіанті, до так званого ”квазіканонічного” вигляду. Тому дослідження глобальних властивостей вказаних класів систем є актуальною проблемою.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках теми № 0100U003352 “Нелінійни динамічні системи та керування”, яка виконується згідно з кафедральним планом науково-дослідних робіт кафедри диференціальних рівнянь та керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у тому, щоб знайти максимально широкі класи нелінійних систем трикутного вигляду, що містять у собі, як окремі випадки, вже відомі класи трикутних систем, у тому числі і ті, для яких не виконані звичайні умови регулярності, що забезпечують в заданій області властивість звідності до лінійної канонічної системи, так, щоб при вказаному розширенні збереглись основні глобальні властивості систем трикутного вигляду, передусім, властивість повної керованості, як їх самих, так і їх рівномірно обмежених збурень.

Об’єкт дослідження. Нелінійни керованні системи звичайних диференціальних рівнянь та інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра.

Предмет дослідження. Проблема повної керованості для трикутних систем інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра, для трикутних систем звичайних диференціальних рівнянь, траєкторії яких глобально не відображаються на траєкторії лінійних систем, а також для рівномірно обмежених збурень цих класів систем.

Методи дослідження. При побудові сімей процесів, що розв’язують задачу повної керованості, використано методи класичного скінченновимірного аналізу; для розв’язання задачі керовансті для сімей лінійних трикутних систем Вольтерра використано методи лінійної алгебри та опуклого аналізу; при одержанні оцінок множин досяжності для нелінійних систем використано методи теорії звичайних диференціальних рівнянь та методи теорії нерухомих точок.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше поставлено і розв’язано задачу повної керованості для :

1)

2)

Для кожного з цих двох класів керованих систем вперше:

1.

2.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. ЇЇ результати можуть бути використані в подальших дослідженнях з нелінійної теорії керування. Одержані результати можуть стати джерелом нових задач у цій галузі. Оскільки керовані системи трикутного та каскадног вигляду фізічно дуже природні, результати дисертації також можуть бути використані при постанвці та розв’язанні прикладних задач, для яких предметом вивчення є ці класи систем.

Особистий внесок здобувача. В роботі [3] С.С. Павличкову належать результати параграфу 2. Інши результати цієї роботи в дисертацію не входять. Формулювання та доведення усіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції, присвяченій 90-річчю Л.С. Понтрягіна (Москва, серпень-вересень1998), на П’ятій Кримський Міжнародній математичній школі “Метод функций Ляпунова и его приложения” (Алушта, вересень 2000), на Міжнародній науковій конференції “”Диференціальні та інтегральні рівняння” (Одеса, вересень 2000), на наукових семінарах з теорії керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (керівник – професор В.І. Коробов).

Публікації. Основні результати дисертації наведено у роботах [1]-[4], одну з яких опубліковано у провідному міжнародному фаховому журналі, а дві – в наукових виданнях, включених у перелік ВАК України.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновку тс списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації – 127 сторінок, список використаних джерел містить 64 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, викладено зв’язок вибраного напрямку досліджень з науковими програмами, планами, темами, сформульовано мету роботи, описано ступінь новизни і практичне значення одержаних результетів, висвітлено особистий внесок здобувача, вказано, де було опубліковано і де апробовувались результати дисертації.

У розділі 1 наведено огляд літератури за темою дисертації і обгрунтовано вибір напрямків досліджеь.

У розділі 2 викладено допоміжні леми та твердження, які використовуються при доведенні основних результатів дисертації.

У розділі 3 досліджується проблема повної керованості нелінійних систем інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра. У підрозділі 3.1 формулюються основні результати (теореми 3.1-3.3), доведенню яких присвячено розділ 3. Наведемо формулювання цих теорем.

Розглянемо керовану систему інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра на відрізку [t0, T]

(1)

де x=(x1,…,xn) з Rn - фазовий вектор, u з R- керування, вектор-функції f і g мають вигляд

f(t,x,u)=(f1(t,x1,x2),…,fn(t,x,u)) (2)

g(t,s,x,u)=(g1(t,s,x1,x2),…,gn(t,s,x,u)) (3)

та задовольняють наступні умови:

(i) f, g та їх часні похідні за x та u неперевні всюди в області визначення функцій f і g.

(ii) Існує a>0 таке що при всіх (t,x,u) маємо: i=1,…,n.

(iii) Для будь-якого i=1,…,n і будь-якого компакта K з Ri існує LK>0 таке, що при всіх (t,s), з K, y і z з R виконується нерівність:

Розглянемо також збурення системи (1)

(4)

де x з Rn- фазовий вектор u з R - керування а вектор-функції h і r задовольняють наступні умови:

(iv) h і r неперервні всюди в області визначення функцій f і g, і для будь-якого

компаката Q з R n+1 задовольняють умову Ліпшиця за x та u на Q.

(v) h і r рівномірно обмежені всюди в області визначення функцій f і g.

Основними результатами розділу 4 є наступні три теореми.

Теорема 3.1 Нехай для системи (1) вектор-функції f і g мають вигляд (2) і (3) відповідно та задовольняють умови (i), (ii), (iii).

Тоді існує сім’я керувань неперервних на відрізку [t0, T], така, що керування неперервно залежить від x0, xT в метриці C і для всіх x0 та xT переводить x0 в xT за час [t0, T] в силу (1)..

Теорема 3.2 Нехай вектор-функції f і g мають вигляд (2) і (3) відповідно, задовольняють умови (і)-(ііі) і є глобально ліпшицевими за x і u і нехай вектор-функції h і r задовольняють умови (iv), (v).

Тоді система (4) є повністю керованою у класі неперервних керувань.

Теорема 3.3. Нехай вектор-функції f і g вигляду (2) і (3) відповідно задовольняють умови (i), (ii), (iii).

Тоді система (1) є повністю керованою у класі неперервних керувань.

Теорема 3.3 є окремим випадком теореми 3.1. Доведення теореми 3.1 випливає з наступної теореми 3.4, яку сформульовано в підрозділі 3.2. Наведемо її фомулювання.

Для трикутної системи (1) з f, g вигляду (2), (3) зафіксуємо будь-яке k від 1 до n і розглянемо - вимірну керовану систему інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра на відрізку [t0, T]

(5)

де y=(y1,…,yk) з Rk - фазовий вектор, v з R - керування, причому

F(t,y,v)=(f1(t,x1,x2),…,fk(t,y,v)) (6)

G(t,s,y,v)=(g1(t,s,x1,x2),…,gk(t,s,y,v)) (7)

Система (5) є k- вимірною підсистемою системи (1), яку утворюють перші k рівнянь системи (1) із заміною xk+1 на v. Для будь-яких yk з Rk, і будь-якого неперервного керування через позначимо траєкторію k-вимірної системи (5), яку визначено цим керуванням і початковою умовою y(t0)=y0 на деякому максимальному проміжку. Позначимо для скорочення:

Теорема 3.4. Нехай вектор-функції і мають вигляд (2) і (3) відповідно і задовольняють умови (i), (ii), (iii). Нехай для - вимірної системи (5) існує сім’я керувань неперервних яка задовольняє наступні умови:

1) відображення є неперервним відображенням з R2k в клас неперервних керувань.

2) для будь-якого маємо:

Тоді існує сім’я керувань заданих на [t0,T], яка задовольняє наступні умови:

3) для кожного з E керування неперервно диференціюємо, причому

4) керування неперервно залежить від відносно метрики C1.

Мета підрозділу 3.2 полягає в доведенні теореми 3.4. При доведенні цієї теореми для одержання локальних оцінок множини досяжності системи (5) використано лему 3.1 про керованість сімей лінійних трикутних систем інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра, яку сформульовано в пункті 3.2.1. Мета пункту 3.2.1 полягає в доведенні леми 3.1. Пункт 3.2.2 безпосередньо присвячено доведенню теореми 3.4.

У підрозділі 3.3 показано, що теорема 3.1 випливає з теореми 3.4. Далі з використанням теореми Брауера про нерухому точку доведено теорему 3.2.

У розділі 4 результати розділу 3 розвинено на випадок трикутних систем звичайних диференціальних рівнянь, які, взагалі кажучи, не можуть бути зведені дифеоморфною заміною координат і керувань до канонічного вигляду.

У підрозділі 4.1 сформульовано основні результати розділу 4 (теореми 4.1-4.3, з яких випливає, що клас систем, який розглянуто у цьому розділі, неможливо досліджувати методами точної лінеарізації, які традиційно використовувались при вивченні трикутних систем звичайних диференціальних рівнянь. Наведемо формулювання теорем 4.1-4.3.

Розглянемо керовану систему звичайних диференціальних рівнянь на відрізку [t0, T]

(8)

де x з Rn - фазовий вектор u з Rm - керування, а вектор-функція має наступний вигляд

f(t,x,u)=(f1(t,x1,x2),…,fv(t, x1 ,…,xv ,u)), (9)

xi та fi мають вимірність mi, x=(x1,…,xv). Для зручності введемо ще одне позначення для вимірності керування: Протягом усього розділу 4 припускається, що вектор-функція f задовольняє наступні умови:

(I) f, fx та fu неперервні всюди в області визначення функції f.

(II) При кожному i маємо: і при будь-якому (t,x1,…,xi) відображення неперервно диференціюємо раз і його образ дорівнює

Крім цього, розглянемо збурення системи (8)

(10)

де

(III) h неперервна всюди в області визначення функції f і задовольняє локальну умову Ліпшиця, яку наведено в умові (iv).

(IV) h рівномірно обмежена всюди в області визначення f.

Основні результати розділу 4 є наступні три теореми.

Теорема 4.1. Нехай n - вимірна вектор-функція f має вигляд (9) і задовольняє умови (I), (II).

Тоді існує сім’я непрервних на відрізку [t0, T] керувань , така, що керування неперервно залежить від x0 та xT віндосно чебишевської метрики, і для всіх x0 та xT переводить x0 в xT за час [t0 , T] в силу (8).

Теорема 4.2. Нехай вектор-функция f має вигляд (9) і задовольняє умови (I), (II), а також глобальну умову Ліпшиця за x та u. Нехай вектор-функція h задовольняє умови (III), (IV).

Тоді система (10) є повністю керованою у класі неперервних керувань.

Теорема 4.3. Нехай вектор-функція f має вигляд (9) і задовольняє умови (I), (II).

Тоді система (8) є повністю керованою у класі неперервних керувань.

Теорема 4.3 є окремим випадком теореми 4.1. Доведення теореми 4.2. аналогічне доведенню теореми 3.2 із заміною посилання на теорему 3.1 посиланням на теорему 4.1. Тому розділ 4 присвячено виключно доведенню теореми 4.1. Воно здійснюється за тією ж схемою, що використано в розділі 3 при доведенні теореми 3.1. Але спроба безпосередньо перенести доведення, яке викладено в розділі 3, на клас систем, який розглянуто в розділі 4, викликає наступні дві труднощі:

А). Умова (ii), яку задовольняє клас систем вигляду (1), забезпечує розв’язання проблеми повної керованості для сім’ї систем у варіаціях вздовж будь-якої сім’ї процесів системи (5), зокрема вздовж сім’ї, яку визначено в умовах 1)-3) теореми 3.4. Це дає можливість робити локальні оцінки множини досяжності для системи (5) при доведенні теореми 3.4. Для класу систем вигляду (8) умова (II) аналогічної властивості не гарантує.

Б). Умови (ii), (iii) забезпечують розв’язність відносно керування v(t) останнього k - го рівняння системи (5) при кожному фіксованому y(t) класу C1, а також неперервність відповідного відображення, що ставить v(t) у відповідність траєкторії y(t) відносно метрик C1 і C відповідно. Це дозволяє отримати теорему 3.1 безпосередньо з теореми 3.4 індукцією за вимірністю трикутної системи. Умова (II) аналогічної властивості також не гарантує. Якщо при фіксованому y(t)=(x1(t),…,xk(t)) класу C1 для розв’язання k-го рівняння системи (9) відносно xk+1 можливо (у деяких випадках) застосувати лему про вимірний вибір,то відповідне відображення не зобов’язане бути неперервним навіть відносно метрик C1 і L1 відповідно.

У підрозділі 4.2 доведення теореми 4.1 зводиться до твердження, яке аналогічне теоремі 3.4 у розділі 3. Скориставшись умовою (II), зафіксуємо будь-які t1, і точку що задовольняють умови:

(11)

Теорема 4.1. відразу випливає з наступної теореми 4.4.

Теорема 4.4. Нехай для системи (8) виконані всі сформульовані вище припущення . Тоді існують сім’ї керувань і визначених на відрізках [t0 , t1] і [t1, T] відповідно і неперервно залежащих від x0 і xT з відносно метрики C такі, що для всіх x0 і xT з Rn дістаємо: і керування і переводять точку x* в xT і x0 в силу (8) за час [t1,T] і [t0 , t1] відповідно.

Зафіксуємо будь-яке від до і розглянемо керовану систему

(12)

де y=(x1,…,xp) з Rk - фазовий вектор, -керування, а вектор-функція F має вигляд:

F(t,y,u)=(f1(t,x1,x2),…,fp(t,y,u)) (13)

Позначимо: .

Теорема 4.4, в свою чергу, випливає з наступного твердження, яке відіграє в розділі 4 ту ж саму роль, що і теоерма 3.4 у розділі 3. Позначимо для скорочення:

Твердження 4.1. Нехай виконуються всі сформульовані вище припущення. Нехай на відрізку [t1,T] задано сім’ю k-вимірних, неперервно диференціюємих вектор-функцій , які неперервно залежать від відносно метрики C1, для кожного задовольняють перші p-1 рівнянь системи (12), а також рівності:

Тоді існує сім’я керувань класу C1 на відрізку [t1,T] така, що керування неперервно залежить від у метриці C1, для кожного переводить y* в за час [t1,T] в силу (12) і задовольняє наступні умови: .

Із твердження 4.1 відразу випливає існування шуканих в теоремі 4.4 сімей керувань. Таким чином, вирішальну роль у розділі 4 відіграє твердження 4.1. Підрозділ 4.3 повністю присвячений доведенню твердження 4.1.

ВИСНОВКИ

I. У розділі 3 досліджено задачу повної керованості для класу трикутних нелінійних систем Вольтерра (1), де вектор-функції g і f мають вигляд (2) і (3) відповідно та задовольняють умови (i)-(iii). Для цього класу систем:

1)

2)

II. У розділі 4 всі результати розділу 3 розвинуто на клас трикутних керованих систем звичайних диференціальних рівнянь (8) з правою частиню вигляду (9), яка задовольняє умови (I),(II), тобто функції та їх похідні за фазовими змінними та за керуваннями є неперервними за сукупністю змінних, а стандартні умови регулярності вигляду (ii) замінюються на їх більш загальний глобальний варіант, який не забезпечує глобально точної лінеарізовності системи дифеоморфними замінами координат та керувань.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

АНОТАЦІЯ

Павличков С.С. Повна керованість деяких класів трикутних систем, які не зводяться до канонічного вигляду. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2001.

Дисертацію присвячено розв’язанню проблеми повної керованості для двох класів нелінійних керованих систем, які не можуть бути зведені дифеоморфними замінами координат та керувань до лінійних канонічних систем. Для кожного з цих двох класів доведено існування сім’ї неперервних керувань, що розв’язують проблему повної керованості і неперервно залежать від початкового та кінцевого станів. Це дозволяє довести повну керованість рівномірно обмежених збурень цих двох класів систем за умови глобальної ліпшицевості незбуреної системи за фазовими змінними і за керуванням.

Ключові слова: повна керованість, трикутні системи, канонічні системи.

АННОТАЦИЯ

Павличков С.С. Полная управляемость некоторых классов треугольных систем, неприводимых к каноническому виду. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2001.

В данной диссертации предметом исследования является проблема полной управляемости нелинейных систем так называемого “треугольного” вида. Цель работы состоит в том, чтобы максимально расширить класс треугольных систем так, чтобы, с одной стороны, это расширение содержало, как частные случаи, уже изученные ранее классы треугольных систем, а с другой – чтобы при указанном расширении сохранились основные глобальные свойства, присущие треугольным системам, прежде всего, свойство полной управляемости, как их самих, так и их равномерно ограниченных возмущений.

Поскольку в ряде предыдущих работ уже рассматривались треугольные системы обыкновенных дифференциальных уравнений в так называемом “сингулярном” случае, при котором, вообще говоря, не имеет место свойство глобальной приводимости диффеоморфными заменами координат и управлений к линейным каноническим системам, полученные в диссертации классы систем тем более не обладают этим свойством.

Указанное расширение осуществляется в двух направлениях. В диссертации поставлена и решена задача полной управляемости для класса треугольных систем интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра, который при равенстве нулю интегральных слагаемых превращается в хорошо известный класс треугольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющий обычным для треугольных систем условиям регулярности, обеспечивающим приводимость системы к каноническому виду, и для класса треугольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, включающего в себя, как частные случаи, уже известные ранее классы треуголных систем, в том числе и те, для которых не выполнены в заданной области указанные условия регулярности.

Для каждого из этих двух классов управляемых процессов доказана полная управляемость на фиксированном отрезке времени без ограничений на управление. При этом построено семейство непрерывных управлений, решающих задачу полной управляемости и непрерывно зависящих от начального и конечного состояний относительно чебышевской метрики. Это позволяет доказать полную управляемость также и равномерно ограниченных возмущений данных двух классов систем при условии глобальной липшицевости исходной невозмущенной системы по фазовым переменным и по управлению.

При решении этих задач существенно используются методы оценок множества достижимости нелинейных систем, основанные на свойстве управляемости систем в вариациях вдоль семейств соответствующих траекторий ина теореме Брауэра о неподвижной точке. Доказательство основных результатов в обоих случаях проводится по одной и той же схеме, однако в случае обыкновенных дифференциальных уравнений возникает ряд трудностей, обусловленных отсутствием вышеупомянутых услови регулярности. Указанные трудности преодолеваются специальным выбором семейств допустимых траекторий и некоторой модификацией хорошо известной леммы об измеримом выборе, применяемой не к фиксированной траектории, соединяющей фиксированные начальное и конечное фазовые состояния и , а к семейству таких траекторий, которые непрерывно зависят от и относительно метрики C1.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут использоваться в дальнейших исследованиях по нелинейной теории управления. С другой стороны, поскольку управляемые системы треугольного и каскадного вида физически очень естественны, результаты диссертации могут быть использованы при постановке и решении прикладных задач, для которых предметом изучения являются данные типы управляемых процессов.

Ключевые слова: полная управляемость, треугольные системы, каонические системы.

ABSTRACT

Pavlichkov S.S. The complete controllability of some classes of triangular systems, nonreducible to the canonical form. Manuscript.

The thesis for candidat’s (Ph.D.) degree in physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 – differential equations. V.N. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2001.

The thesis is devoted to solving the complete controllability problem for two classes of nonlinear control systems, that can not be reduced to linear canonical systems by diffeomorphic changes of states and controls.

For each of these two classes, we proved the existence of a family of continuous controls, solving the complete controllability problem and continuously depending on the initial and the terminal states. It makes possible to prove the complete controllability of the uniformly bounded perturbations of these two classes of systems under the global Lipszitz condition for the unperturbed systems with respect to states and controls.

Keywords: complete controllability, triangular systems, canonical systems.