НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

ПОЗДЄЄВ Валерій Олександрович

УДК 532.533

НЕСТАЦІОНАРНІ ХВИЛЬОВІ ГІДРОДИНАМІЧНІ ПОЛЯ

В ОБЛАСТЯХ З РУХОМИМИ ГРАНИЦЯМИ

Спеціальність 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2001

Дисертація є рукопис

Робота виконана в Інституті імпульсних процесів і технологій НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, Стеценко Олександр Григорійович,

Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу;

доктор фізико-математичних наук, професор Асланов Сергій Костянтинович Одеський національний університет, завідувач кафедри теоретичної механіки;

доктор технічних наук, професор Воробйов Юрій Леонідович,

Одеський державний морський університет, ректор,

завідувач кафедри теорії і проектування корабля

Провідна установа

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, м. Київ

Захист відбудеться ” 20 “вересня 2001р. о 14 годині

на засіданні спеціалізованої ради Д 26.196.01

при Інституті гідромеханіки НАН України за адресою:

03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4

Автореферат розісланий “14” серпня 2001р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01

доктор технічних наук Криль Степан Іванович

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми

Задачі з рухомими границями в механіці суцільних середовищ виникають на практиці у зв’язку з інтенсифікацією технічної та технологічної діяльності людини. Зокрема, використання імпульсних джерел енергії, таких як електрич-ний розряд, імпульсний оптичний пробій рідини, підводний вибух ВР призводить при розробці мате-матичної моделі фізичних процесів до необхідності врахування рухомості границі контакту плазми (газу) і рідини. Іншим випадком рухомої границі рідини може бути технологічна перешкода, що деформується. Задачі з рухомими границями в гідродинаміці виникають також при розгляді таких питань, як вхід твердих тіл у воду, коли-вання твердих плаваючих тіл на поверхні води (качка судна), нестаціонарна струменева течія рідини, взаємодія хвиль тиску з рухомими об’єктами.

Взагалі, згідно з вимогами практики розвиток механіки рідини та газу іде у трьох напрямках: перехід від стаціонарних до нестаціонарних процесів, урахування нелінійності при описанні руху середовища і перехід від одномірних течій до багатомірних. Нестаціонарний хвильовий рух суцільного середовища, з одного боку, визначається його фундаментальними властивостями, а з другого, - тими фізичними процесами, які відбуваються на його границях і задаються як граничні умови. Звичайно, при розв’язуванні задач механіки суцільного середовища у лінійній постановці граничні умови, внаслідок малого руху границь, задаються на деякому, фіксованому у просторі, їх положенні (початковому або середньому). Однак, у деяких випадках, як відзначалося вище, величина переміщення збуреної границі може бути суттєвою. Внаслідок цього задання граничних умов на рухомій границі буде некоректним.

Урахування рухомості границь робить задачу нестаціонарною і нелінійною. Крім того, врахування рухомості границь веде до появи у розв’язках нелінійних фізичних ефектів, схожих з ефектом Доплера. Разом з тим задачі з рухомими границями утворюють клас задач математичної фізики, які відріз- няються підвищеною складністю для дослідження і внаслідок цього мало розроблені теоретично. Отже, можливо зробити висновок, що проблема рухомості границь у задачах механіки рідини є важливою і актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

У зв’язку з недостатньою теоретичною розробкою питань рухомих границь у задачах механіки суцільних середовищ при імпульсному збудженні, а також у зв’язку з потребами технологічної практики в ПКБ електрогідравліки АН УРСР (зараз Інститут імпульсних процесів і технологій НАН України) за ініціати-вою автора, а також його безпосередньою участю були виконані науково-дослідні роботи:

1.Разработать теоретические методы расчета нестационарного поля давления при возникновении и развитии канала разряда в изменяющихся во времени областях: Отчет о НИР / ПКБЭ АН УССР; № ГР 77014926. - Николаев, 1980. (Рівень участі дисертанта – відповідальний виконавець НДР).

2.Теоретически исследовать механизм возникновения, распро-стра-нения и воздействия на технологические преграды возмущений, возникающих при электрическом разряде в жид-кости: От-чет о НИР / ПКБЭ АН УССР № ГР . - Нико-лаев, 1983. (Рівень участі дисертанта – відповідальний виконавець НДР).

3.Исследовать гидродинамические поля давления при движении жидкости в замкнутых объемах с деформируемыми границами и внут-реннними источниками электровзрывного типа Отчет о НИР / ПКБЭ АН УССР; № ГР 01910008377. - Николаев, 1987. (Рівень участі дисертанта – керівник НДР).

4.Исследовать физические особенности и эффективность переизлучения волн давления электроразрядным генератором упругих колебаний при обработке расплава в ковше: Отчет о НИР / ИИПТ НАН Украины; № ГР 01970016739. – Николаев, 2000. (Рівень участі дисертанта – керівник НДР).

Мета і задачі дослідження

Мета роботи – створення теоретичних основ опису викликаного руху рідини (газу), що стискається в областях з рухомими границями.

Задачі, що необхідно розв`язати для досягнення поставленої мети:

- математична постановка проблеми в цілому і окремих задач механіки рідини і газу з рухомими границями;

-розробка нових засобів аналітичного розв`язування поставлених задач з рухомими границями;

-отримання аналітичних розв`язків задач з урахуванням рухомості границь;

-виявлення і аналіз нелінійних фізичних ефектів, викликаних урахуванням рухомих границь в задачах механіки рідини і газу.

Об'єкт дослідження -хвильова динаміка середовища в областях з рухомими границями.

Предмет дослідження – нелінійні ефекти, викликані врахуванням рухомості границь області, зайнятою рідиною (газом).

Засоби дослідження. В роботі використані такі авторські засоби розв‘язуван-ня задач з рухомими границями:

- метод нелінійного перетворення часу для дослідження хвильового руху суцільного середовища, що стискається в областях з рухомими границями (метод розв`язування початково-крайової задачі з рухомими границями для хвильового рівняння);

- метод використання моделі антени змінної довжини для опису динаміки одновимірних лінійних об'єктів з рухомими границями (струмені, входження вісесиметричних тіл обертання в воду, дифракція нестаціонарної хвилі на тонких тілах обертання);

- метод вступу інтегральної стисливості рідини і газу в малих областях з рухомими границями (тонкий шар між поршнем і ударною хвилею, електровибух у малому об‘ємі рідини);

- метод нестаціонарного конформного відображення для дослідження динаміки ідеальної нестисливості рідини в областях з рухомими границями (метод розв`язування початково-крайової задачі для рівняння Лапласа);

- експериментальне дослідження і створення математичної моделі виникнення періодичних стовщень на струмені, створеному поршневим струменевим генератором.

Вірогідність результатів теоретичних досліджень досягається:

- застосуванням коректних математичних моделей суцільних середовищ і викликаних рухомою границею хвильових рухів стисливої рідини, використанням точних математичних перетворень;

- задовільним збігом результатів розрахунків за теорією автора з результатами розрахунків на основі чисельних засобів за повною системою рівнянь гідродинаміки;

- тотожним збігом асимптотик, отриманих автором аналітичних розв`язків з відомими частинними класичними рішеннями, отриманими раніше іншими дослідниками.

Наукова новизна отриманих результатів

Наукова новизна отриманих в роботі результатів полягає:

1. Вперше сформульовано проблему рухомих границь у механіці рідини, газу і плазми, виконано постанову загального вигляду задачі механіки рідини з рухомими границями.

2. Вперше запропоновані та розроблені нові математичні моделі гідродинамічних об’єктів з рухомими границями (струминевого викиду як тіла змінної маси, випромінювання лінійної антени змінної довжини, хвильового руху середовища, що стискається в щілинах і зазорах підшипників на газовому мастилі, електровибуху в малому об‘ємі).

3. Вперше розроблені нові математичні методи аналітичного розв’язування початково-крайової задачі математичної фізики для хвильового рівняння та рівняння Лапласа з граничними умовами, заданими на поточному положенні рухомої границі.

4. Отримані та досліджені розв’язки класичних задач розширення порожнини в

5. стисливій рідині,аналітичними методами автора, вперше знайдено уявлення для часу перехідного процесу виходу на автомодельний режим, вперше виявлено вплив малих відхилень від лінійного закону розширення порожнини.

6. Вперше отримано аналітичні розв`язки задач взаємодії імпульсів тиску з рухомими границями у вигляді твердої стінки, фронту ударної біжучої хвилі, що утікає, границі розділу двох різноманітних акустичних середовищ.

7. Вперше виявлено нелінійні фізичні ефекти, які є результатом урахування рухомості границь, які подібні ефекту Доплера, при взаємодії хвилі тиску з рухомою границею розділу двох середовищ отримано узагальнення закону Френеля.

8. У рамках моделі хвиль Рімана вперше виконано порівняння вкладів в загальний розв`язок задачі нелінійності середовища і нелінійності від урахування рухомості границі.

Практичне значення отриманих результатів

Отримані в роботі результати мають як теоретичне, так і прикладне значення. Теоретичне значення результатів полягає в розробці нових методів розв`язування початково-крайових задач математичної фізики з рухомими границями, що можуть бути використані не тільки в механіці рідини та газу, але і в теорії пружності, і в електродинаміці.

Прикладне значення результатів полягає в розробці методик розрахунку роботи технологічних установок, що використовують електровибух в рідині.

Практична реалізація результатів роботи.

Результати роботи знайшли впровадження в розробці сейсмоакустичних випромінювачів у прикладній тематиці ІІПТ НАН України.

Результати роботи з визначення імпульсних полів тиску в замкнених об‘ємах під дією внутрішніх джерел впроваджено в ОКБ ВІТ (м. Харків) при оцінці динамічної міцності конструкції внаслідок аварійного пробою масляних конденсаторів.

У спільних розробках автора з ТВАІУ (м. Тула) на основі розрахунків автора з впливу хвиль стиснення при підводному електровибуху була створена машина для дослідження зношування матеріалів в газовому середовищі.

В рамках договору про творчу співдружність з Миколаївським кораблебудівельним інститутом (м. Миколаїв) впроваджено результати автора з теоретич- дослідження хвильової складової тиску, що виникає в газовому зазорі підшипників на газовому мастилі [1,25].

Особистий вклад здобувача

Особистий вклад здобувача з точки зору кількості особистих праць підтверджується тим, що з загального переліку праць автора по темі дисертації в кількості 30, 25 написані ним особисто і опубліковані без співавторів. Опублікована без співавторів монографія “Нестаціонарні хвильові поля в областях з рухомими границями” повністю співпадає з темою дисертації і є основною за обсягом і кількістю використаного в дисертації матеріалу. Із загального списку публікацій автора 20 робіт входять до списку основних, що опубліковані в спеціальних виданнях, в яких можуть публікуватися результати дисертаційних робіт з фізико-математичних наук. Із 20 публікацій цього переліку тільки 3 написані та опубліковані зі співавторами.

Що стосується особистого внеску автора з ідейного боку, то ідеї, що використовуються в дисертації: моделі лінійної антени змінної довжини [1,6]; моделі нестаціонарного струминевого витікання [1,17]; модель руху шару стиснутої рідини між поверхнею порожнини і фронтом відбитої (випроміненої) хвилі [1]; метод нестаціонарного конформного відображення [1,21]; квазістатична модель динаміки рідини в малому об‘ємі при електровибуху з повільним введенням енергії [1,14] належать автору і опубліковані без співавторів.

Автору належить модель хвильових процесів в зазорах підшипників на газовому мастилі, що вперше з'явилася в спільній публікації [25] і після цього розвинена в особистій роботі автора [1].

Автором послідовно і самостійно розвивається метод нелінійного перетворення часу як метод розв`язування хвильових задач з рухомими границями [1,2, 5-15,19,20,26-30]. Водночас слід зазначити, що витоки цього методу лежать в роботі Дж. Тейлора 1946 року та у спільних роботах автора з М. М. Бескаравайним [3,22]. Так Дж. Тейлором вперше введена лінійна операція перетворення часу для лінійного залежного від часу закону руху границі ,сфери R0=0, а М. М. Бескаравайним в спільній роботі з автором [22] використано цей підхід при русі границі за законом у вигляді функції часу, що монотонно зростає в задачі з граничною умовою другого роду (умовою Неймана). Автором в роботі виконано математичну постановку задачі і обговорено всі проміжні результати. Автором самостійно розвинуто підхід з умовою першого роду (умовою Дирихле) і умовою третього роду (умова змішаного типу), що опублікована в роботах без співавторів [1,9,10].

Далі автором в рамках цього підходу виконано врахування часткової проникності кордону [10,26] і врахування нелінійності середовища [19]. Автором самостійно було розглянуто випадок схлопування і пульсації порожнини [1,7,10,13,24]. Отримані результати дозволили автору розвинути підхід як метод [9]. У спільній роботі [16] для циліндричного випадку і в самостійній роботі [10] для сферичного автору належить ідея модифікації методу нелінійного перетворення часу шляхом накладення пульсацій малої амплітуди на лінійний закон руху границі порожнини.

Автором самостійно виконані роботи з визначення часу перехідного процесу системи порожнина-рідина [1,15], із взаємодії хвилі тиску з рухомою перешкодою [1], з рухомою границею розділу акустичних середовищ [1,11,20], з фронтом ударної хвилі [12]. Ці результати, отримані автором, опубліковані без співавторів.

Апробація результатів дисертації

Основні положення і результати роботи доповідалися на:

- Бюро Відділення фізико-технічних проблем матеріалознавства АН УРСР на чолі з академіком-секретарем ВФТПМ АН УРСР академіком АН УССР І.М. Федорченком, Київ, 1977 р.;

- I-V Загальносоюзних науково-техн. конф. “Електричний розряд в рідині і його використання в промисловості”: Миколаїв, 1976, 1980, 1984, 1988, 1992 рр.;

- Щорічних науково-техн. конф. професорсько-викладацького складу Миколаївського кораблебудівельного інституту ім. адм. С.О. Макарова, Миколаїв, 1977-1989 рр.;

- Загальносоюзному семінарі Інституту гідродинаміки СВ АН СРСР на чолі з чл.-кор. АН СРСР Л.В. Овсянніковим, Новосибірськ, 1978 р.;

- Науковому семінарі “Проблеми механіки” Інституту прикладних проблем механіки та математики АН УРСР на чолі з академіком АН УРСР Я.С. Підстригачем, Львів, 1979, 1986 рр., чл.кор. НАН Україні, Г.С. Кітом, 1993р.

- II і III Загальносоюзних сімп. з фізики акусто-гідродинамічних явищ і оптоакустики, Суздаль, 1979р., Ташкент, 1982р.;

- Науковому семінарі Акустичного інституту на чолі з д.ф.-м.н. К.А. Наугольних, Москва, 1982р.;

- IV Загальносоюзному сімп. з імпульсних тисків, Москва, 1983р.;

- Сумістному семінарі сектора акустики океану Інституту океанології і відділу №3 Акустичного інституту на чолі з академіком АН СРСР Л.М. Бреховських, Москва, 1983р.;

- Науковому семінарі Інституту гідромеханіки АН УРСР на чолі з академіком НАН України В.Т. Грінченком, Київ, 1985, 1990, 1993, 2000 рр.;

- 2, 3 Укр. науково-практ. конф. “Проблеми горіння, балістики і механіки співударень”, Одеса, 1996, Шостка, 1997 рр.;

- I, II і III Наук. Школах “Імпульсні процеси в механіці суцільних середовищ”, які проводились ІІПТ НАН України, Інститутом механіки НАН України, Інститутом гідромеханіки НАН України, Коблеве, Мико-лаївська обл., 1994, 1997, 1999 рр.;

- II і III Укр. наук.-практ. конф. “Проблеми горіння, балістики і механіки зіткнень”, Одеса, 1996р., Шостка, 1997р.;

- II Сибірському конгресі з прикладної і індустріальної математики (пам’яті А.А. Ляпунова, А.П. Єршова, І.А. Полетаєва), Новосибірськ, 1996р.

Публікації

Основні результати дисертації опубліковано в 4 монографіях (2 монографії написані без співавторів), в 16 ведучих спеціальних наукових журналах, у 7 наукових збірках, у 2 препринтах і 1 навчальному посібнику. Опублікована монографія без співавторів “Нестаціонарні хвильові поля в областях з рухомими границями” є основною.

Структура і обсяг дисертації. Робота складається з вступу, 6 розділів (глав), висновку, переліку використаних джерел (190 найменувань ). Обсяг роботи дорівнює 306 надрукованим сторінкам.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі показано актуальність роботи, описано методи досліджень, показано зв’язок роботи з плановими науково-дослідними роботами установи і проблемними напрямками досліджень Національної Академії Наук України, було сформульовано основний висновок роботи, відзначено їх наукову і прак-тичну цінність, наведено відомості про апробацію роботи, структуру та обсяг роботи.

У першому розділі виконано аналіз сучасного стану проблеми рухомості границь в задачах механіки суцільних середовищ. Вперше задача з рухомими границями для рівняння теплопровідності була розглянута польським математиком Стефаном. Тепер проблема Стефана в теорії теплопровідності досліджена досить глибоко. Їй присвячено сотні друко-ваних праць різних дослідників. У механіці рідини (суцільних середо-вищ) до наступного часу проблема рухомості границь була визначена як окремий напрямок. Їй присвячена обмежена кількість робіт.

У механіці рідини, газу та плазми задачі з рухомими границями ви-никають при розгляді процесів на границях поділу середовищ. Зокрема, задачі з рухомими границями виникають при розгляді руху рідини з вільною поверхнею (нелінійні поверхні хвилі, утворення струменю), при взаємодії твердих тіл з вільною поверхнею (вхід тонких тіл в воду, качка судна на хвильовій поверхні). Внутрішні рухливі границі утворю-ються при підводних вибухах ВР електровибусі, при взаємодії хвиль тиску з рухомими перешкодами, що деформуються.

У механіці твердого тіла до задач з рухомими границями можливо віднести задачі про коливання одномірних пружних тіл (струн, ниток, тросів) змінної довжини, задачі про стержні-хвильоводи з рухомими торцями, а також задачі з рухомими навантаженнями.

Найбільша кількість робіт у механіці рідини присвячена окремому питанню рухомості границь в задачах динаміки газової порожнини в рідині. Тут можливо перелічити роботи Л.І.Седова, Дж.Тейлора, Р.Коула, І.З.Окуня, К.О.Наугольних, В.К.Кедрінського, В.С.Крутікова та інших авторів. В акустиці деякі задачі з рухомими границями розглянуті Н.І.Андреевим, Е.А.Красильніковою, Л.А.Островським, О.Ю.Жарієм. Окремі задачі з рухомими границями в механіці рідини досліджувалися в роботах А.Є.Бабаєва, Ш.У.Галієва. Пружні одномірні об’єкти змінної довжини досліджувалися Е.Л.Ніколаі, А.М.Дінніком, Ю.І. Ішлінським, О.П.Горошком, Л.І.Весницьким та іншими. Задачі з рухомими границями теорії пружності розглянуті О.Г.Горшковим, Д.В.Тарлаковським.

У механіці рідини варто насамперед відзначити роботу Дж. Тейлора, де ним уперше було шляхом лінійного перетворення часу отримано аналітичне рішення задачі про розширення сфери нульового початкового радіуса з постійною швидкістю в стисливому рідкому середовищі. В рамках аналогічної математичної постановки для лінійного хвильового рівняння в розвиток підходу Дж. Тейлора Н.М.Бескаравайним було отримано розв`язок задачі розширення непроникної межі поршня за довільним законом у вигляді функції часу, що зростає монотонно.

Найбільш загальний метод рішення крайової задачі з рухомими границями для лінійного хвильового рівняння було розвинуто у роботах Г.А.Грінберга, де розв`зок знаходиться у вигляді розвинення в ряд по миттєвих власних функціях. Практичне використання методу пов'язано з труднощами розв`язування нескінченної системи лінійних диференціальних рівнянь. Широко відомий метод Кирквуда-Бете заснований на інтуїтивному виборі інваріанта, що поширюється за характеристикою, дає великі похибки у ближній до поршня зоні, що розширюється. Метод М.А.Ільгамова засновано на розвиненні в ряд Тейлора граничної умови на рухомій границі в малому околі її початкового положення (нерухомої межі). Різні підходи з використанням методу збурень розвинуті в роботах А.Найфе і В.Н.Ліхачова. Тут особливо підкреслимо метод зворотної задачі В.С.Крутікова, що дозволяє за функціями тиску у фіксованій точці хвильового поля знайти закон руху границі і функцію тиску на границі. У загальному випадку в методі зворотної задачі використовується уявлення розв`язку у вигляді розкладання за поліномами Лагранжа.

Для розв`язку практичних задач розширення поршня з великою щодо швидкості звуку швидкістю в нелінійному стисливому середовищу широко використовуються чисельні методи: метод характеристик, метод штучної в'язкості, метод С.К.Годунова і його модифікований варіант Г.А.Атанова. Однак, порівняльна відмінність результатів розрахунків, виконаних для випадку розширення сфери зі швидкістю 500 м/с А.Л. Куперштохом за методом штучної в'язкості та А.Н.Семко за методикою Годунова-Антонова складає за тиском на поршні до десятьох відсотків.

У першому розділі також наведена загальна постановка задачі механіки рідини з рухомими границями. Як модель рідкого середовища прийнята ідеальна стислива рідина, рух якої є потенціальним. У самому загальному випадку під рухомою границею розуміється рухома у суцільному середовищі поверхня розриву параметрів середовища. Пропонується розглядати два вигляди рухомих границь: рухому поверхню розділу двох середовищ з різними рівняннями стану (хімічно різні речовини або різні фазові стани тієї ж самої речовини), поверхня розриву параметрів того ж самого середовища, де рівняння стану є неперервним.

У другому розділі надаються основи нового методу нелінійного перетворення часу аналітичного розв’язку початково-граничної задачі з рухомою границею для хвильового рівняння. Виклад метода виконуватиметься на прикладі розв’язання нестаціонарної задачі випромінювання хвилі тиску для випадку одномірного руху рідини і трьох видів симетрії [1,9]. Нехай в області зміни координати де - радіус порожнини, - ра- діус фронту хвилі, необхідно знайти потенціал швидкості хвильового руху стисливого середовища який задовольняє хвильовому рівнянню у вигляді:

де =0,1,2; c0 - незбурена швидкість звуку, t - час. Додатково потенціал швидкості повинен задовольняти нульовим початковим умовам, які означають, що в момент часу t=0 рідина нерухома та умови випромінювання, яка означає, що розв`язок має лише хвилі, які рухаються у нескінчен-ність. Граничну умову задаємо на поточному положенні рухомої границі у вигляді наступних трьох типів:

де q(t) - деяка функція часу. Обмежимось тут отриманням рішення для граничної умови другого типу (3), де q=п(t), п(t) - масова швидкість на границі.

Розв’язок хвильового рівняння (1), яке задовольняє умові випро-мінювання та нульовим початковим умовам, має вигляд:

де t0- хвильовий аргумент t0=t-(r-R0)/c0. Відзначимо, що розв’язок рівняння вигляду (5) при =1 є наближеним, справедливим при виконанні умови (c0t/R0)2<<1, де R0=Rп(t) t=0. Далі обмежимось розглядом методу нелінійного перетворення часу щодо задання граничної умови вигляду (3). Задовольняючи розв’язок (5) граничній умові вигляду (3), одержимо звичайне диференціальне рівняння:

де використано таке нелінійне перетворення часу

де t=w() - функція обернена функції =u(t). З розв’язку рівняння (6) знайдемо конструктивний вигляд функції джерела f(). Далі підставимо отриманий розв’язок рівняння (6) у вигляді (7) у вираз (5) і покладемо =t0, отримаємо шуканий розв’язок краєвої задачі з рухомою границею,яка випромінює

Отриманий вираз для потенціалу швидкостей (8) перетворимо до вигляду:

В окремому випадку рух непроникної границі у виразах (8) і (9) треба покласти . Для визначення хвильового поля в рідині скористуємось інтегралом Коші-Лагранжа у лінійному вигляді або з урахуванням квадратичної нелінійності:

де 0- щільність незбуреного середовища.

Можливість отримання оберненої функції t=w() дає така відома з математичного аналізу теорема: Якщо функція =u(t) безперервна та монотонно зростає (зменшується) на сегменті [a,b], причому u(a)=, u(b)=, то існує однозначна обернена функція t=w(), яка безперервна та монотонно зростає (зменшується) на сегменті [,].

Пошук оберненої функції може бути виконано трьома способами. У першому способі закон зміни радіуса Rп(t) (координати розташування рухомої границі) у вигляді степеневого ряду. Тому і функція u(t) матиме уявлення у вигляді степеневого ряду:

У цьому випадку обернена функція знаходиться також у вигляді ряду:

де:

У другому випадку функція =u(t) розглядається як нелінійне алгебраїчне рівняння, яке треба розв’язати відносно величини t. Якщо, наприклад, узяти , то рівняння отримає вигляд:

Розв’язуючи одержане вище квадратне рівняння відносно t, отримаємо обернену функцію вигляду:

Перейдемо до третього способу одержання оберненої функції. При виконанні умови можливо отримати наближений аналітичний розв’язок рівняння (7). Так, використовуючи метод послі-довних наближень, одержимо таке представлення для оберненої функції:

За однозначністю визначення оберненої функції =u(t),із єдиності розв’язку хвильового рівняння за умовами випромінювання випливає єдиність розв’язку всієї задачі.

У цьому ж розділі виконано порівняння відомих методів розв`язування задач механіки рідини з рухомими границями і методу нелінійного перетворення часу. Показано, що останній вигідно відрізняється простотою і наочністю результату.

Третій розділ присвячено теоретичному і експериментальному дослідженню нестаціонарних хвильових полів тиску з плоским хвильовим фронтом в областях з рухомими границями. Розглянуто пряму і обернену задачі випромінювання хвилі тиску плоским поршнем. Досліджена взаємодія хвилі тиску, яка падає, з рухомою абсолютно твердою перешкодою; взаємодія з рухомою границею розділу двох різних акустичних середовищ і з плоскою поверхнею розриву гідродинамічних параметрів. Отримано розв`язок задачі що до означення хвильового поля у хвильоводі змінної довжини для випадків повільного та швидкого руху границі (торцю). Досліджено хвильове поле напруг у твердому стержні-хвильоводі змінного перерізу відносно довжини хвильовода у випадку при-кладення імпульсного навантаження до рухливого торця. Запропоновано нові математичні моделі нестаціонарної струминної течії рідини з деякого об’єму з підвищеним тиском через циліндричний насадок. Експериментально досліджено виникнення періодичних вузлових утворювань на струмині. Вперше висловлена і математично обґрунтована гіпотеза виникнення хвильової складової тиску в зазорі підшипника на газовому підшипнику. Всі теоретичні результати розділу отримані з використанням методу нелінійного перетворення часу. Наведемо деякі результати, отримані у третьому розділі роботи.

Насамперед розглянемо пряму та обернену задачі випромінювання хвилі тиску плоским поршнем. У випадку прямої задачі припускаються відомими: закон руху поршня Rп(t) і швидкість руху рідини на стінці поршня . Хвильові поля швидкості рідини і тиску в ній визначаються такими представленнями:

де w() – розв’язок рівняння Розв’язок лінійної задачі при нескінченно малій амплітуді зміщення поршня, як відомо, має вигляд:

Порівняння розв’язків (14) та (15) надає можливість одержати оцінку впливу рухомості границі поршня на поле тиску в рідині у вигляді різниці тисків:

В окремому випадку руху непроникного поршня згідно з законом отримаємо представлення поля тиску (14) також для різниці тисків (16) у вигляді:

Тепер розглянемо обернену задачу визначення закону руху поршня за визначеним профілем випромінювання хвилі тиску p(t), розв’язок якої в загальному випадку має вигляд:

В окремому випадку завдання профілю хвилі тиску в вигляді отримаємо закон руху поршня (18) у вигляді:

При набіганні хвилі тиску профілю p0(t) на тверду перешкоду, яка рухається згідно з законом , отримаємо таке представлення для профілю відбитої хвилі:

де w() - рішення рівняння . У випадку коли перешкода рухається назустріч з постійною швидкістю v0 маємо:

де

Коли хвиля тиску p10(t) падає на границю поділу двох акустичних середовищ, яка рухається згідно з законом Rп(t) отримаємо наступне представлення для прямої і відбитої хвиль[29]

де розв’язок рівняння , а розв’язок рівняння Одержані формули (22) є узагальненням формул Френеля і при переходять у формули Френеля.

Коли хвиля з профілем p0(t) наздоганяє фронт розриву гідродинамічних параметрів, який рухається з постійною швидкістю D, отримаємо наступне представлення для відбитої від розриву хвилі [1,12]:

де густина середовища за фронтом розриву.

Нехай до нерухомого торця нерухомого хвильовода змінної довжини l(t)=v0t прикладено імпульсний тиск p=f(t), який має уявлення у вигляді степеневого ряду Тоді у хвильоводі виникнуть та існуватимуть дві системи хвиль, які рухаються. Покладемо , отримаємо:

Коли досліджують поле тиску, яке виникає у стрижні-хвильоводі з розподілом площини перерізу по поздовжній координаті , а також збурення у вигляді імпульсів тиску pT(t), із рівняння збереження імпульсу отримана гранична умова на рухомому торці у такому вигляді [1,8]:

де u - повздовжня деформація, E- модуль Юнга. В роботі О.Ю. Жарія ця умова прийнята у спрощеному вигляді:

У роботі автора знайдено вплив на розподіл напруг у стрижні способом завдання умови (25) і (26). Показано, що цей вплив збільшується з ростом швидкості руху торця.

Запропоновано дві системи математичного моделювання нестаціонарного струменевоного витоку рідини через циліндричний насадок. У першій моделі струмінь рідини розглядається у вигляді хвилевода змінної довжини. У другої моделі струмина розглядається як тіло змінної у часі маси, створеною рідиною підвищеної густини, однакової по всій довжині струмини.

У цьому розділі показано, що в зазорі газового підшипника можлива дія двох складових тиску: в’язкісної природи внаслідок оберту валу, а також хвильової природи, яка виникає внаслідок радіального зміщення вала відносно центра втулки. Якщо перша складова загально відома, то виникнення другої показано вперше [1,25].

Четвертий розділ присвячено задачам з рухомими границями механіки стисливої рідини для сферичного та циліндричного видів симетрії хвильового руху. Покладаємо,що рух рідини можливо описати лінійним хвильовим рівнянням,а поле тиску при відомій функції потенціалу швидкостей збурюванно- го руху рідини визначається лінійним інтегралом Коші-Лагранжа (10). Гранична умова, яка задається на рухомій границі сфери (циліндра), має вигляд

П’ятий розділ присвячено врахуванню нелінійності середовища в задачах механіки рідини з рухомими границями. Урахування нелінійності щодо сферичних хвиль виконано з урахуванням квадратичних членів в інтегралі Коші-Лагранжа. У цьому випадку тиск у хвильовому полі містить у собі такі складові:

де

У цих же допущеннях отримано рівняння пульсацій сферичної по-рожнини в акустичному середовищі з частково проникною рухомою границею:

Для водонепроникної границі у виразі (31) треба укласти

Для плоских хвиль урахування нелінійності середовища виконано методом послідовних наближень для нелінійного хвильового рівняння до другого порядку малості членів; у межах нелінійного хвильового рівняння з місцевою швидкістю, вигляд якого збігається з лінійним хвильовим рівнянням, а також у межах моделі хвиль Рімана. Щодо останнього підходу методом нелінійного перетворення часу, коли поршень рухається згідно з законом отримані такі представлення полів тиску і швидкості рідини [1,19]

де n - стала у рівнянні стану Тейта (для води n =7). У межах моделі хвиль Рімана виконано порівняння внесків у загальний розв`язок задачі випромінювання хвилі тиску плоским поршнем нелінійності середо-вища, а також рухомості границі поршня. Показано, що коли поршень рухається з великою швидкістю, основний вплив робить нелінійність середовища. Однак, коли швидкість поршня зменшується ,зростає внесок від рухомості границі.

В цьому ж розділі розроблена математична модель руху (розширення) порожнини у стисливій рідині, коли число Маха велике. При цьому розглядається рух підтиснутого шару нестисливого середовища в області між поверхнею поршня (порожнини) та фронтом розриву гідродинамічних параметрів для трьох виглядів симетрії.

Шостий розділ є застосуванням теоретичних розробок, які викона-ні у попередніх розділах щодо дослідження прикладних задач електро-вибуху у рідині. Тут була розглянута неелектопровідна рі-дина. Використано різні математичні моделі рідини: нелінійне середо-вище, яке можливо описати повною системою гідродинамічних рівнянь; стисливе середовище із зосередженими параметрами, акустичне сере-довище. Так, наприклад, у межах моделі рідини із зосередженими па-раметрами отримано аналітичний розв’язок задачі електричного роз-ряду у малому замкненому об’ємі рідини, коли введення енергії повільне.

У цьому розділі досліджено питання керування параметрами випромінювання хвилі тиску за рахунок зміни закону введення енергії у канал розряду для сферичної форми каналу, а також для форми каналу у вигляді циліндру скінченної довжини. Було розв’язано задачу електровибуху пря-мого та спірального провідника у циліндричній трубі, а також для труби, що не деформується.

ВИСНОВОК

1.Основні результати роботи

1.1. Найбільш повно сформульовано проблему рухомості границь у галузі механіки рідини, газу і плазми: виконано математичну постановку загального вигляду нестаціонарної граничної задачі для стисливої ідеальної рідини, отримано найбільш повне уявлення гранич-ної умови на рухомій і частково проникній границі, досліджено питання коректності завдання граничної умови на рухомій і частково проникній границі для лінійного і нелінійного хвильового рівняння.

1.2. Вперше розроблено нові математичні моделі гідродинамічних об'єктів з рухомими границями та границями, що деформуються: модель лінійної антени змінної довжини для розв'язання задач дифракції нестаціонарної хвилі на тонкому тілі обертання, входу тонкого тіла обертання у воду; модель руху шару стисливої рідини поміж поверхнею перешкоди (порожнини) і фронтом хвилі, яка падає (генерується); квазістатична модель динаміки каналу розряду у рідини в камері довільної форми і малого об’єму з повільним вводом енергії.

1.3. Вперше розроблено нові методи аналітичного розв'язання задач математичної фізики з рухомими границями: метод нелінійного перетворення часу для хвильового рівняння і трьох виглядів граничної умови (Неймана, Діріхле і змішаного типу); метод нестаціонарного конформного відображення, контуру, який деформується, на коло у задачі динаміки циліндричної газової порожнини біля границі півпростору, який зайнятий ідеальною нестисливою рідиною.

1.4. Методом нелінійного перетворення часу досліджено класичні задачі пульсації порожнини в рідині, де отримано нові результати: про вплив початкових значень кінематичних параметрів порожнини на час перехідного процесу виходу системи на автомодельний режим; про складну структуру хвиль тиску, коли порожнина періодично закривається; про вплив накладання періодичних пульсацій порожнини на закон рівномірного розширення.

1.5. Поставлено та розв'язано нові задачі: про взаємодію хвилі тиску з рухомою перешкодою, з рухомою границею поділу двох різних сере-довищ, з фронтом ударної хвилі, яку наздоганяє хвиля тиску. У рамках рівняння Рімана вперше отримано точний аналітичний розв'я-зок задачі генерації хвилі тиску поршнем, який рухається згідно з законом h(t)=v0t+a0t2/2.

1.6. Виявлено нелінійні фізичні ефекти, які пов'язані з урахуванням рухомості границь: у задачі взаємодії хвилі тиску з рухомою границею поділу двох середовищ отримано узагальнення закону Френеля; в задачі випромінювання хвилі тиску, яка випромінюється сфе-ричною порожниною ненульового початкового радіуса, яка рухається з постійною швидкістю, отримано узагальнений розв`язок Тейлора і ви-значено час виходу системи на розв'язок Тейлора; вперше показано і теоретично обґрунтовано гіпотезу виникнення хвильової складової тиску у зазорі газового підшипника; експериментально виявлено і теоретично обґрунтовано періодичну структуру стовщування струмини рідини, яка генерується поршневим струминним генератором; на прикладі накладання на закон рівномірного розширення сферичної порожнини гармонічних пульсацій малої амплітуди, пока-зано появу ефекту Допплера.

2. Порівняння результатів роботи з відомими.

2.1. Виконаний і аналіз показал, що метод нелінійного перетворення часу у порівнянні з відомими методами розв'язування хви-льових задач механіки рідини з рухомими границями є переважним, оскільки при цьому розв'язання записується у замкненому інтегральному вигляді, який зручний для аналізу фізичної картини без виконання чисельного розрахунку. Майже всі відомі методи основані на різних представлених розв'язків у вигляді деяких рядів.

2.2. Отримане автором загальний розв'язок задачі про генерацію хвилі тиску порожниною, яка розширюється, зокрема, з постійною швидкістю дає добрий збіг з результатами чисельного розрахунку по загальним рівнянням гідродинаміки.Отриманий автором аналітичний роз-в'язок задачі про розширення сфери з постійною швидкістю для нульового значення початкового ра –діідіусу переходить в розв'язок Тейлора, а у випадку малої амплітуди у розв'язок Л.Д.Ландау.

2.3. Отриманий автором розв'язок задачі взаємодії хвилі тиску з рухомою границею поділу двох середовищ при граничному переході до нерухомості границі збігається тотожно з розв'язком Френеля.

2.4. Отриманий автором розв'язок задачі взаємодії ударної хвилі з рухомою плоскою перешкодою при граничному переході до нерухомості перешкоди збігається з відомим розв'язком Коула.

2.5. Розв'язок автора для граничної умови, яка уточнена, задачі збурення стержня-хвильовода з боку рухомого стержня при лініарізації граничної умови переходить в розв'язок О.Ю.Жарія.

3. Рекомендації щодо використання результатів роботи.

3.1. Метод нелінійного перетворення часу і метод використання ма-тематичної моделі лінійної антени змінної довжини можуть бути використані для розв'язання задач з рухомими границями не тільки в механіці рідини й газу, але і в електродинаміці.

3.2. Теоретичні розробки автора щодо проблеми рухливості границь у задачах механіки рідини можуть бути використані у прикладних задачах визначення поля тиску, яке виникає при дії джерела повільної фізичної природи. Щодо електровибуху таке використання частково виконано автором у самій роботі.

4. Рекомендації щодо подальшого розвитку проблеми рухливості границь в механіці рідини.

4.1. Один з напрямків подальшого розвитку проблеми рухливості границь в механіці рідини з рухомими границями є розробка аналітичних методів розв'язання задач з урахуванням багатомірності руху рідини.

4.2. Другий напрямок, на думку автора, є урахування нелініності хвильового рівняння.

Враховуючи викладене, можливо вважати, що мету автора з дослідження проблеми рухливості границь в механіці рідини, газу та плазми в основному було досягнуто.

Перелік опублікованих робіт автора по темі дисертації.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.