ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Родзинський Анатолій Анатолійович

УДК 519.21

Методи фокусування і стабілізації розподілів неоднорідних

марковських процесів та їх застосування

Спеціальність 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському державному технічному університеті радіоелектроніки, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник | доктор фізико-математичних наук, професор

Дікарєв Вадим Анатолійович,

Харківський державний технічний університет радіоелектроніки, професор кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, доцент

Смеляков Сергій В’ячеславович,

Харківський військовий університет, начальник кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем управління;

доктор технічних наук, професор,

Комяк Валентина Михайлівна,

Харківський інститут пожежної безпеки, професор кафедри фундаментальних наук.

Провідна установа | Національний технічний університет України "КПІ", м. Київ.

Захист відбудеться "19" червня 2001 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 у Харківському державному технічному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці університету за адресою:

61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розіслано "23" квітня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато процесів, що досліджуються в різних галузях науки і техніки, можуть бути з тим або іншим ступенем точності описані за допомогою відповідним чином підібраних марковських процесів. Виникаючі при цьому задачі складаються у виборі марковського процесу, що достатньо точно описують заданий реальний процес, у аналізі змін у часі точності такого опису й урахуванні в цьому описі зовнішніх впливів, яким реальний процес може піддаватися. Великий інтерес з погляду додатків подають задачі про оптимальне керування конкретним процесом. Критерії оптимальності визначаються самою природою досліджуваного об'єкта і тих цільових задач, що ставляться перед виробництвом, його що використовує. Ці задачі виникають і при дослідженні “марковських дублікатів” – марковських процесів, що достатньо точно описують заданий технологічний режим. Для марковських дублікатів потрібно розглянути задачі про керування їхніми параметрами з урахуванням природи останніх і меж, у межах яких вони можуть змінюватися. При цьому варіювання параметрами варто робити так, щоб марковський дублікат на часовому проміжку, у якому це варіювання проводиться, по старому достатньо точно описував технологічний процес, що відповідає йому.

Таким чином, практика ставить перед дослідниками задачі про побудову марковських моделей (дублікатів), що достатньо точно описують конкретні технологічні процеси. При цьому потрібно, щоб точність такого опису мала місце і на тих проміжках часу, на яких керуючі параметри перетерплюють швидкі зміни. Реалізація описаного зв'язку між технологічними процесами і їхніми марковськими дублікатами й аналіз властивостей останніх потребує використання ряду результатів із теорії марковських процесів.

У останні десятиліття вимоги практики ініціювали в дослідників інтерес до неоднорідним марковським процесів. Такі процеси розглядалися в роботах Колмогорова, Саримсакова, Баруча-Ріда, Карліна, Дуба й інших. Однією з найважливіших задач теорії марковських процесів й їх додатків до практики є знаходження умов, за виконання яких має місце стабілізація процесу. Під стабілізацією розуміється така властивість процесу, коли з плином часу основні його характеристики приймають деякі фіксовані значення або локалізуються поблизу них. Найбільше докладно умови стабілізації вивчені для однорідних процесів. При переході до неоднорідних процесів коло задач про стабілізацію істотно розширюється. Задачі про стабілізацію неоднорідних марковських процесів досліджувалися в ряді робіт.

У роботах Дикарєва В. А. були досліджувані задачі про стабілізацію процесу на кінцевому часовому проміжку. У них було встановлено, що стабілізація може бути зроблена за будь-який як завгодно малий проміжок часу і що її можна досягти за рахунок повідомлення параметрам процесу сильних (неінтегрованих або “майже неінтегрованих”) збурень, розподілених на тимчасових проміжках малої тривалості. При відповідному виборі таких збурень можна керувати марковським процесом. Під керуванням тут розуміється формування таких умов, за виконання яких основні параметри процесу локалізуються поблизу деяких наперед заданих значень. Цей підхід застосуємо і до марковських дублікатів, що дозволяє в ряді випадків зробити керування технологічним процесом, що відповідає цьому дублікату. Реалізація такого засобу керування пов'язана з проведенням багатьох серій комп'ютерних експериментів, найчастіше пов'язаних із великими витратами машинного часу. Особлива увага тут варто приділяти виборові таких керуючих впливів, енергетичні витрати на які мінімальні.

Описане вище керування процесом може бути реалізовано різноманітними засобами. Відзначимо особливо два випадки. У першому з них обуренням піддається весь процес. В другому випадку керування реалізується за допомогою локальних впливів на процес; послідовно збурюються лише окремі його фрагменти. Якщо такі обурення, що випливають одне за іншим, пов'язані між собою рядом умов, то й у цьому випадку можна домогтися керування процесом.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася відповідно плану науково-технічних робіт ХТУРЭ в рамках держбюджетних тем: 443-1 “Синтез алгоритмів керування процесами стабілізації в економічних та технічних системах без післядії” (№ДP0196U011360) і 320 “Розробка теоретичних методів аналізу швидкоплинних електродинамічних процесів з метою ідентифікації їх характеристик” (№ДP0296U000663).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є розробка обчислювальних методик і створення комплексів програм, що дозволяють моделювати неоднорідні марковські процеси, параметри яких піддаються сильним збуренням, що змінюються швидко в часі; використання отриманих результатів при дослідженні процесів випадкових блукань на графах різних видів і при вивченні процесів, що відбуваються в рідких сумішах.

Задачі дослідження:

1) Чисельне моделювання неоднорідних марковських процесів, що піддаються сильним збуренням, із метою проведення чисельного аналізу процесів фокусування і стабілізації.

2) Вивчення найбільше типових випадків фокусування і стабілізації, що мають інтерес із погляду додатків.

3) Дослідження процесу -фокусування. Чисельне моделювання неоднорідних марковських процесів, що розпадаються на фрагменти, що не взаємодіють, з одночасною стабілізацією в кожному з фрагментів, що розпався. Моделювання за допомогою сильних обурень осциляцій, що необмежено частішають, з амплітудами, що не убувають.

4) Аналіз і комп'ютерне моделювання процесів випадкових блукань на графах, у тому числі на графах із числом станів, що змінюється, на багатошарових графах і на графах, що містять зони Саргасса. З'ясовування ролі точок скидання в процесах стабілізації випадкових блукань на графах.

5) Побудова марковських дублікатів, що дозволяють робити дослідження процесів, що відбуваються в рідких сумішах і виявлення умов, при виконанні яких зазначені процеси припускають стабілізацію.

Наукова новизна отриманих результатів.

1) Вперше на багаточисельних прикладах був зроблений детальний комп'ютерний аналіз процесів фокусування і стабілізації. При цьому були вивчені процеси, на які впливають збурення, що мають різні порядки росту.

2) Вперше були досліджувані неоднорідні марковські процеси з множиною станів, що змінюється; було проведене дослідження задачі про стабілізацію таких процесів.

3) Обгрунтована придатність отриманих раніше результатів про фокусування і стабілізацію до марковським процесів із континуальною множиною станів.

4) Зроблений чисельний аналіз процесів із числом станів, що змінюється; на конкретних прикладах зроблені чисельний аналіз динаміки процесу стабілізації.

5) Запропоновані методи чисельного моделювання процесів неоднорідних блукань на графах різноманітних видів: графи з числом станів, що змінюється, слабко пов'язані графи, багатошарові графи. Вивчені процеси стабілізації на цих графах.

6) Запропонований метод дослідження процесів, що відбуваються в рідких сумішах, зокрема, процесів, що мають місце при виготовленні лікарських форм. Цей метод грунтується на аналізі відповідних марковських дублікатів.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є процеси нейрофізіології, біології, економіки, техніки, що можуть бути достатньо точно описані відповідними марковськими дублікатами.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є задачі про стабілізацію основних характеристик марковських дублікатів, що відповідають процесам, із якими доводиться зштовхуватися в наукових дослідженнях і на практиці.

Методи дослідження. Основним інструментом дослідження є методи, засновані на повідомленні параметрам марковських дублікатів направляючих обурень, що дозволяють проводити стабілізацію їхніх основних характеристик за малі проміжки часу. Концентрованим вираженням цього підходу є керування характеристиками процесу за допомогою явища фокусування.

Практична цінність отриманих результатів.

Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні марковських дублікатів технологічних процесів, що протікають в умовах зовнішніх впливів, що змінюються швидко; при дослідженні марковських дублікатів із числом станів, що змінюється; при аналізі деяких економічних задач і задач нейрофізіології, що засновані на відповідних марковських дублікатах, що є процесами випадкових блукань, при дослідженні систем масового обслуговування з характеристиками, що змінюються швидко в часі , а також при дослідженні процесів, що відбуваються в рідких сумішах, з метою з’ясування умов їх стабілізації.

Розроблені методи і комплекси програм були використані при дослідженні марковських дублікатів, що описують процеси, що відбуваються в рідких сумішах, зокрема, технологічних процесів пов'язаних із готуванням деяких лікарських форм у Державному науковому центрі лікарських засобів Держкоммедбіопрому і НАН України.

Математичні моделі і програми, що реалізують явище стабілізації та схемі випадкових блукань, використовуються в навчальному процесі Харківського державного технічного університету радіоелектроніки при читанні курсів “Теорія ймовірностей і математичної статистики” і “Випадкові процеси”. Дослідження, проведені в дисертації, ініціювали написання навчального посібника – збірника задач з теорії ймовірностей, співавтором якого є дисертант. Цей посібник використовується при проведенні практичних занять по зазначеним курсам.

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота є результатом самостійної роботи автора. У монографії [1, 11] автору належить розробка алгоритмів і чисельне моделювання неоднорідних марковських процесів із фокусуванням. У роботі [2] автором досліджувана можливість додатків умовних ймовірностей до марковським процесів зі зліченим числом станів. У [4] запропонована математична модель і вивчені умови стабілізації для марковського процесу, що розпадається на незв'язані фрагменти. У [5] проведений чисельний аналіз редукування нескінченовимірний марковських систем. У [6] запропонований і чисельно реалізований алгоритм відновлення марковського ланцюга по фрагментах, що спостерігаються в різні моменти часу. У роботі [8] запропонована модель стабілізації марковських дублікатів, що відповідають процесам, що мають місце в рідких сумішах. У [9] автором запропонований і обгрунтований метод аналізу марковських систем із континуальною множиною станів шляхом послідовної апроксимації процесами з кінцевим числом станів. У [10] проведений чисельний аналіз процесу стабілізації дискретних марковських систем. У [12] автором запропонована модель нейронної структури, що має властивість короткочасної пам'яті. У [13] проведений чисельний аналіз стабілізації випадкових блукань на графах. У [14] автором проведений чисельний експеримент для моделювання збурених марковських систем і розпізнавання процесів, що їх збурюють.

Апробація результатів дисертації. Основні результати проведених досліджень доповідалися і обговорювалися на: –

3-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому й обробки інформації” (Туапсе, 1997 р.); –

Всеросійській молодіжній науковій конференції “XXIV Гагаринские чтения” (Москва. 1998 г.); –

4-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому й обробки інформації” (Харків, 1998 р.); –

2-у молодіжному форумі “Радіоелектроніка і молодь у ХХІ сторіччі” (Харків, 1998 р.); –

3th Ukrainian-Scandinavian conf. in Probability “Theory and Mathematical Statistics” (Kiev, Ukraine, 1999);–

Всеросійській молодіжній науковій конференції “XXV Гагаринские читання” (Москва. 1999 г.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 1 монографії, 8 наукових статтях, 1 доповіді і 4 тезах доповідей.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з введення, чотирьох розділів, висновків і додатків. Повний обсяг дисертаційної роботи – сторінок, малюнків, таблиць. Список використаних літературних джерел містить найменувань на сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У першому розділі подані деякі результати з теорії марковських процесів, що лежать в основі досліджень, проведених у дисертації. Особлива увага приділена проблемі стабілізації основних характеристик марковських дублікатів.

Перераховано ряд задач біології, нейрофізіології, економіки, техніки, вивчення яких може бути зроблене за допомогою методів, розроблених у дисертації. Сформульовано основні задачі, що лягли в основу проведених досліджень.

У дисертації досліджуються реальні процеси, що можуть бути описані за допомогою марковських процесів. Розглядаються процеси, що піддаються сильним впливам (збуренням), що змінюють їхні основні характеристики за малі проміжки часу.

Другий розділ присвячений детальному аналізу явищ фокусування і стабілізації. У першій частині розділу ці явища досліджуються для марковських процесів зі скінченим числом станів. За визначених обмежень на інфінітезимальну матрицю процесу мають місце такі випадки:

а) за настільки завгодно малий час ймовірності станів процесу приймають задані значення (фокусування);

б) за скінчений проміжок часу ймовірності станів процесу приймають задані значення з похибкою (-фокусування);

в) на часовому відрізку довільної довжини ймовірності станів ( ) еволюціонують, ухиляючись від заданих функцій менше, ніж на (-стабілізація).

Якщо виконується хоча б одне з перерахованих умов, то будемо говорити про стабілізацію процесу. Перераховані випадки звичайно мають місце при впливі на процес факторів, що швидко змінюються. Ці фактори повинні бути такими, щоб елементи матриці (усі або хоча б їх частина) одержували сильні збурення, локалізовані на малих проміжках часу. У випадку фокусування збурені елементи інфінітезимальної матриці повинні бути неінтегровані, а у випадку -фокусування – “майже неінтегровані”. Останнє означає, що абсолютні розміри інтегралів від обурених елементів матриці повинні бути достатньо великі. У випадку -стабілізації збурення елементів повинні бути деяким чином розподілені на часовому відрізку .

У розділі проведений детальний чисельний аналіз поводження розв'язків систем Колмогорова, матриці яких містять точки фокусування або -фокусування. Оскільки в аналізованих випадках інфінітезимальні матриці досліджуваних систем мають у точках фокусування неінтегровані або “майже неінтегровані” особливості, для чисельного моделювання були застосовані неявний метод Ейлера і неявний методу трапецій. Проведено чисельне моделювання і вивчена динаміка збіжності ймовірностей станів до компонентів граничного розподілу. При цьому були розглянуті марковські процеси з інфінітезимальними матрицями, що мають в околі точки фокусування різні порядки росту. Результати обчислень показали, що швидкість збіжності ймовірностей станів до компонентів граничного розподілу (при наближенні аргументу до точки фокусування ) зростає зі збільшенням збурень.

Зроблено комп'ютерний аналіз еволюції ймовірностей станів марковського процесу для випадку, коли елементи його інфінітезимальної матриці приймають екстремальні значення в незбіжні моменти часу. На практиці цей випадок може мати місце, коли марковська система має достатню протяжність. Якщо така система піддається сильним впливам, то різні елементи її інфінітезимальної матриці збурені в різні моменти часу. Результати обчислень показали, що в цьому випадку ймовірності станів перетерплюють локалізації своїх значень у різні моменти часу. Підкреслимо, що у випадку -фокусування зазначена локалізація відбувається для всіх станів у той самий момент часу.

Зроблено чисельний аналіз еволюції марковського процесу, що розпадається на незв'язні фрагменти. Досліджено поводження ймовірностей станів такого процесу, за умови, що фокусування у фрагментах, що розпаслися, відбувається в момент розпаду.

Зроблено дослідження процесу, інфінітезимальна матриця якого має на скінченому часовому проміжку нескінчене число точок фокусування або -фокусування. Показано, що в цьому випадку зі зміною часу ймовірності станів перетерплюють безкінечне число осциляцій. При виконанні деяких умов ці осциляції мають неспадні амплітуди. Показано, що отримані в розділі результати можуть бути використані при аналізі роботи систем масового обслуговування з параметрами, що швидко змінюються.

У розділі обгрунтована придатність отриманих раніше результатів про фокусування і стабілізацію до марковським процесів із континуальною множиною станів. Для певності вважаємо, що множина всіх елементарних подій . У цьому випадку множина всіх подій складається з усіх борелівських множин . Нехай задане сімейство стохастичних ядер . Тут – відрізок або полуінтервал дійсної осі, – умовна ймовірність того, що в момент процес знаходиться в борелівській множині , якщо в момент часу він знаходився в стані , – точка з . Передбачається, що на множині задана ймовірнісна міра.

Нехай – злічена система подій, усюди щільна в множині . Розглянемо стохастичну матрицю , . Тут є умовна ймовірність того, що досліджуваний процес у момент часу потрапляє в стан , якщо в момент він знаходився в стані .

У розділі доведено таке твердження.

Твердження 1. Нехай виконані перераховані умови. Припустимо також, що матриця , задовольняє умовам:

1) існує така послідовність індексів і монотонної послідовності , , для котрих

, (1)

де ;

2) власний вектор матриці , що відповідає власному числу одиниці, має границю при :

. (2)

Тоді для будь-якого початкового розподілу ймовірностей , заданого в

. (3)

Якщо ряд (1) збігається, але сума його достатньо велика, або послідовність власних векторів (3) не має границі, але її верхня і нижня границі відрізняються незначно при , тоді компоненти вектора будуть локалізуватися в -околах компонент деякого вектора .

У третьому розділі зроблене дослідження процесів випадкових блукань на графах. Розглянуто випадкові блукання на графах, що містять саргасові зони, графах, на окремих фрагментах яких можлива часткова стабілізація, а також на графах із числом станів, що змінюється, і на багатошарових графах. Для всіх перерахованих типів графів отримані умови, за виконання яких, має місце стабілізація процесу блукань.

Розглянуто процеси випадкових блукань із неперервним часом на множинах , елементами яких є графи . Передбачається, що: серед елементів із є графи, що мають непорожні перетинання (загальні вершини і ребра); процес випадкових блукань на будь-якому графі не залежить від процесів випадкових блукань на інших графах із .

Приведемо умови, при виконанні яких має місце стабілізація процесу блукань на графі . Нехай – будь-яка замкнута крива, що знаходиться в тому ж просторі , що і графи з , така, що ( – порожня множина). Поставимо вимогу виконання умови: будь-яку зазначену криву можна за допомогою безупинних деформацій стягти в точку так, щоб при стягуванні виконувалися умови .

Нехай перераховані умови виконані і на усіх графах із має місце фокусування. Позначимо через вектор розподілу, на який фокусує процес, що відбувається на графі . Нехай , – будь-який графи із , такі, що , а , – вектори розподілів, на котрий ці графи фокусують. Якщо для будь-якої такої пари , загальні компоненти векторів , однакові, то на графі можливе фокусування. Для довільного початкового розподілу ймовірностей фокусування на буде мати місце, якщо на кожному графі з фокусування відбудеться безкінечне число разів. При достатньо великому числі фокусувань на кожному графі буде мати місце -фокусування. Якщо розходження між загальними компонентами векторів , малі, то на графі можливе -фокусування.

Для конкретних графів було проведено чисельне моделювання процесу випадкових блукань на графі і вивчена динаміка збіжності до граничного розподілу.

Процеси випадкових блукань на графах із числом вершин, що змінюється, потребують розширення критеріїв стабілізації, приведених у другому розділі. З цією метою розглянута задача про стабілізацію розподілів марковського процесу з числом станів, що змінюється. Виявлено, при виконанні яких умов ця стабілізація буде мати місце. Описано деякі ситуації, що часто мають місце при розгляді блукань на графах. Зокрема, уведені поняття точок скидання – вершин, у які блукаюча частка може повертатися з ненульовою ймовірністю, і зон Саргасса – груп вершин (станів), у якомусь сенсі ізольованих від інших вершин графа.

У четвертому розділі описана схема, що дозволяє зводити дослідження процесу дифузії, що відбуває в рідкій суміші, до розв'язання системи рівнянь Колмогорова для процесу з скінченим числом станів. Описано методи фокусування і стабілізації, що можуть бути використані при формуванні лікарських сиропів. Ці методи при певному впливі на фармакологічний сироп дозволяють на останній стадії його готування одержати лікарську форму, що задовольняє всім нормативним вимогам.

В даний час є великий досвід по впровадженню новітніх методів, що інтенсифікують масообмін і процеси розчинення в системі тверде тіло – рідина, в основі яких лежить метод передачі системі вібрацій, пульсацій або коливань різноманітних амплітуд, частот і інтенсивностей. Для цього використовуються різноманітні механічні, гідравлічні, електроімпульсні, магнітоімпульсні, оптикоімпульсні (лазерні) пристрої. Серед численних факторів зовнішнього впливу головними є швидкі зміни температури і тиски. Зміна цих параметрів може бути досягнуте за допомогою ряду засобів впливу на середовище: хімічного вибуху, імпульсного магнітного поля, термічної і механічної дії лазерного випромінювання на рідину, акустичного випромінювання й імпульсного електричного розряду.

Процес імпульсної обробки лікарської сировини складається із сильних впливів – ударів, що слідують один за іншим через короткі проміжки часу. Кожний із цих ударів локалізований у межах достатньо малого об’єму оброблюваної суміші. Сумарний ефект при зазначеному засобі впливу на рідку суміш при виконанні деяких умов (перемішування, роздрібнення твердих компонент) призводить до однорідності їх властивостей після закінчення процесу обробки. На останньому етапі цієї операції оброблюваний екстракт не містить твердих фрагментів і процеси, що відбуваються в ньому, – це процеси дифузії.

Показано, що процес готування рідкої суміші, що піддається впливу різноманітних факторів, локалізованих на малих проміжках часу і таких, що слідують друга за другом достатньо часто, можна описати марковським процесом із скінченим числом станів і тридіагональною або п’ятидіагональною інфінітезимальною матрицею. Під станом тут розуміється визначений етап готування рідкої суміші.

Реалізація процесу стабілізації в кожному конкретному випадку потребує проведення попередніх досліджень. Нехай, для певності, мова йде про такі впливи на процес розчинення твердих домішок у рідкому середовищі, при яких до моменту часу швидкість розчинення твердої домішки , , повинна бути дорівнює . Тоді, знаючи масу кожної домішки , що розчиняється, можна знайти її відносну щільність у всьому розчині в припущенні, що він однорідний. На практиці описаний процес є лише частиною деякого технологічного процесу і потрібно вибрати такого зовнішнього впливу на нього, щоб на останній стадії готування лікарської форми відносні щільності приймали задані значення , наприклад, не змінювалися: .

У такій ситуації припадає вирішувати декілька задач. Варто розбити робочий простір , у якому відбувається розчинення, на декілька частин , у кожній із котрих потрібно розташувати джерела збурень, що породжують фрагменти, що фокусують. Ці джерела варто вибрати так, щоб у моменти часу, близькі до завершення процесу, розміри приймали задані значення (або мало відрізнялися від них). Розбивка робочого простору на області може бути зроблено багатьма засобами. Тут виникає задача про оптимальний вибір областей із метою підвищення якості суміші, що готується, і мінімізації витрат. Мова може йти також про такий вибір , при якому для фіксованого обсягу енерговитрат процес розчинення відбувався за мінімальний час. Зі зміною часу фізичні характеристики робочої суміші змінюються, у зв'язку з чим потрібно певним чином змінювати потужності джерел збурень у кожній області . Ці зміни вибираються так, щоб основні робочі характеристики процесу мало відрізнялися від паспортних. З перерахованих задач очевидно, що керування процесом розчинення потребує проведення додаткових досліджень і розв'язання ряду допоміжних задач.

Фармакологічний сироп наприкінці його готування повинний представляти однорідну суміш – їх властивості повинні бути однакові у всіх точках об’єму, що вона займає. Тому описаний вище процес стабілізації, реалізований за допомогою узгоджених локальних збурень, повинний являти собою фокусування на рівномірний розподіл. При реалізації фокусування на рівномірний розподіл фармакологічний розчин варто піддавати систематичному перемішуванню. Потрібно, щоб локальні збурення, що впливають на розчин у всіх частинах, що займається їм об’єму, були однакові з погляду їхнього впливу на розчин. Дотримання цих умов наближає час стабілізації процесу в цілому. Підкреслимо, що при виконанні перерахованих умов це буде стабілізація на рівномірний розподіл.

Встановлено, що процеси, що протікають у рідких сумішах (зокрема, процеси формування лікарських форм) не залежать від того, яка природа високочастотних вібрацій (детерміновані або випадкових), що впливають на рідку суміш.

При контрольних зондуваннях фармакологічного сиропу останнім часом починаються спроби використовувати зондуючі графи. За допомогою таких графів, поміщених у сироп, можна простежити за розподілом у них електричних полів і динамікою їхньої зміни в часі. Ті варіанти неоднорідних випадкових блукань на графах, що були розглянуті в третьому розділі, при відповідній їхній адаптації можуть бути використані для зондування фармакологічної маси. При цьому можуть бути застосовані розроблені в дисертації алгоритми і програми для дослідження процесів випадкових блукань на графах.

ВИСНОВКИ

1. Перераховано задачі, що виникають в економіці, техніці, біології, нейрофізіології при розв'язанні яких може бути використаний підхід, заснований на процесах фокусування і стабілізації.

2. На численних модельних прикладах зроблений чисельний аналіз явищ фокусування і стабілізації. З цією метою були розглянуті неоднорідні марковські процеси, інфінітезимальні матриці яких одержували збурення, що мають різні порядки росту. Розроблені для проведення зазначеного аналізу комплекси програм були використані при дослідженні ряду прикладних задач. До їхнього числа відноситься задача дослідження систем масового обслуговування з характеристиками, що швидко змінюються в часу.

3. Вперше поставлена і вирішена задача про стабілізацію розподілів ймовірностей неоднорідних марковських процесів із числом станів, що змінюється. Такі процеси знаходять застосування при описі нейронних мереж і аналізі основних показників економік, що розпадаються.

4. Обгрунтовано придатність методу збурень інфінітезимальних матриць при стабілізації розподілів марковських процесів із континуальною множиною станів. Запропонований при цьому підхід дозволяє робити дослідження таких процесів за допомогою відповідно обраних марковських процесів із кінцевим числом станів. Цей результат важливий із погляду додатків. Зокрема, він був застосований при вивченні процесів, що відбуваються в рідких сумішах.

5. Був зроблений детальний аналіз процесів випадкових блукань на графах різних видів (графи, для окремих компонент яких можлива їхня часткова стабілізація; графи із числом станів, що змінюється; багатошарові графи; графи, що містять зони Саргаса). Досліджено задачу про стабілізацію процесу блукань на графах перерахованих типів. Вивчено процес стабілізації випадкових блукань на графах, що мають непорожні перетинання. Зазначено умови, при виконанні яких ця стабілізація можлива.

6. Запропоновано підхід, що дозволяє описати процеси, що відбуваються в рідких сумішах, за допомогою відповідним чином обраного неоднорідного марковського процесу. Точність такого опису може бути поліпшена шляхом збільшення числа ненульових елементів інфінітезимальної матриці процесу.

7. Запропоновано засіб керування процесом, що протікає в рідкій суміші за допомогою направляючих збурень, що впливають на цю суміш через малі проміжки часу. Сумарний ефект, що виникає за рахунок таких впливів, призводить до стабілізації процесу на заданому часовому проміжку.

9. Результати досліджень, зроблених у дисертації, були використані для розробки математичних моделей, що описують процеси, що відбуваються у фармакологічних сиропах. Запропоновано спосіб, що дозволяє впливати на ці процеси на останніх стадіях готування лікарських форм. Були розроблені комплекси програм, що моделюють запропонований засіб впливу на фармакологічний сироп. Запропонований підхід був апробований у Державному науковому центрі лікарських засобів Держкоммедбіопрому і НАН України.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Веприк А. Е., Герасин С. Н., Дикарев В. А., Родзинский А. А., Числин Н. И. Методы и алгоритмы фокусировки распределений марковских процессов. –Харьков: ХТУРЭ, 1997. – 160 с.

2. Басманов А. Е., Дикарев В. А., Родзинский А. А. Приложение условных вероятностей к марковским процессам // АСУ и приборы автоматики. 1998. – Вып. 107. – С. 17 – 21.

3. Родзинский А. А. Марковские процессы с изменяющимся числом состояний // Радиоэлектроника и информатика, №1 (2), 1998. С. 73 75.

4. Герасин С. Н., Дикарев В. А., Родзинский А. А. Расщепление процесса на несвязные фрагменты с одновременной фокусировкой в каждом из них // Радиоэлектроника и информатика, №3 (4), 1998. С. 111 114.

5. Герасин С. Н., Кириченко Л. О., Родзинский А. А. Анализ эргодического режима бесконечных марковских систем методом редукции // Автоматизированные системы управления и приборы автоматики – 1999. – Вып. 109. – С. 61 – 66.

6. Басманов А. Е., Дикарев В. А., Родзинский А. А. Восстановление дискретной цепи Маркова по ее фрагментам // Доп. НАН України, №7, 1999. С. 93 95.

7. Родзинский А. А. Стабилизация распределений процессов, возникающих при случайных блужданиях // Радиоэлектроника и информатика, №1 (6), 1999. С. 43 45.

8. Герасин С. Н., Кириченко Л. О., Родзинский А. А. Применение марковских моделей фармакокинетики при анализе стабильности лекарственных форм // Радиоэлектроника и информатика. – 1999. – №2. – C. 107 – 109.

9. Басманов А. Е., Герасин С. Н., Дикарев В. А., Родзинский С. Н. Фокусировка распределений марковских процессов в широком смысле // Радиоэлектроника и информатика. – 1999. – №3. С. 15 16.

10. Герасин С. Н., Дикарев В. А., Родзинский А. А. Стабильные состояния дискретных марковских систем // 3 Межд. конференция "Теория и техника передачи, приема и обработки информации", Туапсе, 1997. С. 182.

11. Родзинский А. А., Семерич Ю. С. Фокусировка и стабилизация основных характеристик марковских процессов // Сборник тезисов докладов Всероссийской молодежной научной конференции XXIV Гагаринские чтения, Москва. 1998. Ч. 3 С.17 18.

12. Герасин С. Н., Родзинский А. А. Моделирование динамики нейронной структуры обладающей свойством кратковременной памяти // Сборник науч. трудов 4 Межд. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”. – Харьков, 1998. С. 157158.

13. Dikarev V.Gerasin S.Rodzinsky A.Stabilisation of process of random walks in graphs // 3 Ukrainian-Scandinavian conf. in Probability Theory and Mathematical Statistics, Kiev, Ukraine, 1999. Р. 39.

14. Залесская Е. В., Родзинский А. А. Распознавание хаотических колебаний, возмущающих марковский процесс // Сборник тезисов докладов Всероссийской молодежной научной конференции XXIV Гагаринские чтения, Москва. 1999. С.149.

АНОТАЦІЯ

Родзинський А.А. Методи фокусування і стабілізації розподілів неоднорідних марковських процесів та їх застосування. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський державний технічний університет радіоелектроніки, Харків, 2001.

У дисертаційній роботі розглядаються питання моделювання неоднорідних марковських процесів, параметри яких піддаються сильним збуренням. Описано явища фокусування і стабілізації, що мають місце в неоднорідних марковських процесах із неперервним часом. Обґрунтовано застосовність отриманих результатів до процесів із континуальною множиною станів. Розглянуто загальну схему випадкових блукань на графах. Вивчено задачу про стабілізацію розподілів ймовірностей для процесів із множиною станів, що змінюється. Наведено умови, при яких стабілізація має місце. Розроблено обчислювальні методики та комплекси програм, які дозволяють застосувати отримані результати при дослідженні процесів, що відбуваються у рідких сумішах. Описано методи фокусування і стабілізації, які можуть бути використані при формуванні лікарських сиропів. Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні марковських дублікатів технологічних процесів, що протікають в умовах зовнішніх впливів, що швидко змінюються; при дослідженні марковських дублікатів із кількістю станів, що змінюється; при аналізі деяких економічних задач і задач нейрофізіології, які є процесами блукань на графах, а також при дослідженні процесів дифузії, що відбуваються в рідких сумішах.

Ключові слова: неоднорідний марковський процес, марковський процес із властивостями, що фокусують, фармакологічний розчин, випадкове блукання на графах.

АННОТАЦИЯ

Родзинский А.А. Методи фокусировки и стабилизации распределений неоднородных марковских процессов и их применение. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский государственный технический университет радиоэлектроники, Харьков, 2001.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы моделирования неоднородных марковских процессов, параметры которых подвергаются сильным возмущениям. Разработаны вычислительные методики и комплексы программ, позволяющих использовать полученные результаты при исследовании процессов, происходящих в жидких смесях

Во втором разделе описаны явления фокусировки и стабилизации, которые при выполнении некоторых условий имеют место в неоднородных марковских процессах с непрерывным временем. Обоснована применимость полученных ранее результатов о фокусировке и стабилизации к марковским процессам с континуальным множеством состояний. Проведено численное моделирование и изучена динамика сходимости вероятностей состояний к компонентам стационарного распределения. Рассмотрены марковские процессы с различными типами инфинитезимальных матриц. В частности, процессы с конечным числом состояний и инфинитезимальной матрицей, распадающиеся при на несвязанные фрагменты; процессы, у которых элементы инфинитезимальной матрицы имеют несовпадающие точки разрывов; процессы с континуальным множеством состояний, редуцированные к процессам с конечным множеством состояний.

В третьем разделе рассмотрены некоторые типы случайных блужданий на графах. Изучена задача о стабилизации распределений вероятностей для процессов с изменяющимся числом состояний. Приведены условия, при выполнении которых эта стабилизация имеет место. Рассмотрена общая схема случайных блужданий на графах. При этом вводятся некоторые понятия (точки сброса, частичная стабилизация, зоны Саргасса), использование которых позволяет более полно описать особенности конкретного процесса блужданий. С помощью специализированной программы, позволяющей моделировать процессы блужданий на графах различных видов, это моделирование реализуется для ряда конкретных графов. Процессы блужданий рассмотрены для графов, содержащих зоны частичной стабилизации и зоны Саргасса, графов с изменяющимся числом состояний и многослойных графов. Кроме того, рассмотрен процесс блужданий на парах графов, имеющих непустые пересечения. Указаны условия, при выполнении которых, процесс блужданий на таких парах допускает стабилизацию. Эти условия состоят в том, чтобы компоненты финальных векторов распределений графов, отвечающие их пересечению, совпадали.

В четвертом разделе описана схема, позволяющая свести исследование процесса диффузии, происходящей в жидкой смеси, к решению системы уравнений Колмогорова для процесса с конечным числом состояний. Описаны методы фокусировки и стабилизации, которые могут быть использованы при формировании лекарственных сиропов. Эти методы при определённом воздействии на фармакологический сироп позволяют на последней стадии его приготовления получить лекарственную форму, удовлетворяющую всем нормативным требованиям. Показано, что процесс приготовления жидкой смеси, который подвергается воздействию различных факторов, локализованных на малых промежутках времени и следующих друг за другом достаточно часто, можно описать марковским процессом с конечным числом состояний и трёхдиагональной или пятидиагональной инфинитезимальной матрицей.

Показано, что процесс стабилизации, реализуемый с помощью согласованных локальных возмущений, представляет собой фокусировку на равномерное распределение. При реализации фокусировки на равномерное распределение требуется лишь, чтобы локальные возмущения, воздействующие на раствор во всех частях занимаемого им объёма, были идентичны с точки зрения их воздействия на раствор. Установлено, что процессы, протекающие в жидких смесях (в частности, процессы формирования лекарственных форм) не зависят от того, какова природа высокочастотных вибраций (детерминированных или случайных), воздействующих на жидкую смесь.

Все предложенные в диссертационной работе алгоритмы реализованы в виде пакетов прикладных программ в системе символьной математики Mathematica-4. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании марковских дубликатов технологических процессов, протекающих в условиях быстро изменяющихся внешних воздействий; при исследовании марковских дубликатов с изменяющимся числом состояний; при анализе некоторых экономических задач и задач нейрофизиологии, основанном на марковских дубликатах, представляющих собой процессы блужданий на графах, а также при исследовании процессов диффузии, происходящих в жидких смесях.

Ключевые слова: неоднородный марковский процесс, марковский процесс с фокусирующими свойствами.

ABSTRACT

Rjdzinsky A.A. Methods of focusing and stabilization of distribution of inhomogeneous Markov processes and its using. – Manuscript.

Thesis for the candidate degree of the technical sciences on the specialty 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods. – Kharkov state technical university of radioelectronics. Kharkov, 2001.

The thesis is devoted to problems of simulation and research of evolution inhomogeneous Markov processes under operation powerful influence. The processes of focusing and stabilization are described. The application of results for processes with continuous number of states is proved. The general random walk scheme on graphs is considered. The problem of stabilization for processes with changing number of states is studied. The conditions of stabilization are found. The program complexes for researching of processes, occurring in fluid mixtures, are created. Results of thesis can be used at the study of technological processes, running in conditions of quickly changing external influences; at processes with changing number of states; at the analysis of some economuc tasks; the study of processes of diffusion, occurring in mixtures.

Keywords: inhomogeneous Markov process, Markov process with focusing properties, pharmacological grout, random walk on graphs.

Відповід. за випуск Семенець В.В.

Підписано до друку_________. Формат 60х84 1/16

Папір друк. офсетний. Умов. друк. арк. 1,2

Зам. №____. Тираж 100 прим.

Надруковано в ТОВ “Яна”

61166, м. Харків, пр. Леніна, 38.