НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

РОМАНЕНКО Ігор Борисович

УДК 517.944

ТОПОЛОГІЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЗАГАЛЬНИХ НЕЛІНІЙНИХ

ПАРАБОЛІЧНИХ ЗАДАЧ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі нелінійного аналізу Інституту математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України СКРИПНИК Ігор Володимирович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України МЕЛЬНИК Валерій Сергійович, Інститут прикладного системного аналізу НАН України та міністерства освіти і науки України, завідувач відділу нелінійного аналізу

доктор фізико-математичних наук, професор МАТІЙЧУК Михайло Іванович, Чернівецький Національний університет ім. Ю. Федьковича, завідувач кафедри диференціальних рівнянь

Провідна установа:

Харківський Національний університет ім. В.Н. Каразіна, кафедра математичної фізики та обчислювальної математики

Захист відбудеться 11.12.2001 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м.Київ – 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (м.Київ, вул. Терещенківська, 3)

Автореферат розісланий 10.11.2001 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ПЕЛЮХ Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Питання існування та єдиності розв'язку виникають при розгляді будь-якої крайової задачі математичної фізики. З особливою складністю вони постають у випадку нелінійних крайових задач, зокрема для параболічних рівнянь високого порядку.

Розгляду питань розв'язності нелінійних параболічних крайових задач присвячена велика кількість робіт. Серед них, безумовно, слід згадати праці таких математиків як О.О. Ладиженська, В.О. Солонніков, H.М. Уральцева, М.В. Крилов, С.Д. Ейдельман, І.В. Скрипник, Ж.-Л. Ліонс (J.-L. Lions), О. Лунарді (A. Lunardi), Г.М. Ліберман (G.M. Lieberman), Г. Аманн (H. Amann). Однак, у більшості праць розглядаються окремі випадки проблеми і не дано відповіді на питання розв'язності задач загального вигляду. Більшість авторів досліджують існування та єдиність розв'язку для рівнянь другого порядку, не розглядаючи нелінійних параболічних крайових задач для рівнянь високого порядку. У даній роботі за допомогою топологічного методу досліджуються загальні нелінійні крайові задачі параболічних рівнянь довільного парного порядку. Розроблена методика дозволяє залучати топологічні методи до дослідження широкого класу параболічних крайових задач загального вигляду. Тому тема даної дисертаційної роботи є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу нелінійного аналізу Інституту математики HАH України, її результати використані при виконанні державної науково-дослідної теми "Розробка функціональних та асимптотичних методів дослідження нелінійних рівнянь у частинних похідних" номер державної реєстрації 0198U003052.

Мета і задачі дослідження. Розробка методики дослідження нелінійних параболічних крайових задач загального вигляду за допомогою топологічних методів. Зведення загальної нелінійної параболічної крайової задачі до операторного рівняння з оператором, який задовольняє умову з подальшим введенням топологічних характеристик відображення. Доведення теорем існування та єдиності розв'язку для загальних нелінійних параболічних крайових задач. Отримання теорем збереження області для оператора крайової задачі та сильної збіжності гальоркінських наближень розв'язку.

Наукова новизна отриманих результатів. Розроблена методика, яка дозволяє застосувати топологічні методи до дослідження загальних нелінійних параболічних крайових задач. Вперше виконане зведення загальної нелінійної параболічної крайової задачі високого порядку до операторного рівняння з неперервним обмеженим оператором, який задовольняє умову . Вперше доведені локальне та умовне існування, а також єдиність розв'язку загальної нелінійної параболічної крайової задачі високого порядку при досить загальних та природних обмеженнях на функції задачі та шукану функцію. Отримані теореми збереження області при дії оператором крайової задачі та сильної збіжності до розв'язку послідовності гальоркінських наближень для загальних нелінійних та квазілінійних крайових задач параболічних рівнянь довільного парного порядку.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати, отримані в роботі, можуть використовуватись при обґрунтуванні існування та єдиності розв'язку для нелінійних параболічних крайових задач диференціальних рівнянь довільного парного порядку, а також для доведення сильної збіжності до розв'язку цих задач послідовностей гальоркінських наближень.

Апробація результатів дисертації. Результати, наведені у дисертаційній роботі, доповідалися на семінарі кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету Київського Національного університету імені Тараса Шевченка у 1999 році, Київському семінарі з нелінійного аналізу Інституту математики HАH України у 1999 році, а також на міжнародних конференціях "International Conference on Differential and Functional Differential Equations" (м. Москва, 1999), "Nonlinear Partial Differential Equations" (м. Львів, 1999) та на VIII Міжнародній Науковій конференцї ім. академіка М.Кравчука (м. Київ, 2000).

Публікації. За результатами даної дисертації опубліковано 6 наукових робіт. Основні результати дисертації було надруковано у 3 статтях у провідних наукових журналах, які включено в переліки фахових видань, затверджені ВАК України. Ще три роботи вийшли з друку в збірках праць міжнародних наукових математичних конференцій. Робота [1] опублікована в співавторстві з І.В. Скрипником. В роботі [1] співавторові І.В. Скрипнику належить постановка задачі та ідея доведення, а здобувачем виконана його розробка.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 157 сторінок. Список використаних джерел займає 8 сторінок та складається з 67 найменувань.

Перший розділ дисертації містить огляд літератури за темою роботи. Другий розділ присвячено викладенню застосованої у роботі методики досліджень. Наведені основні твердження з робіт інших авторів, котрі є базовими при отриманні результатів даної дисертації. Третій розділ присвячено доведенню допоміжних результатів для лінійних параболічних крайових задач з коефіцієнтами з соболєвських просторів. У четвертому розділі викладено методику зведення загальної нелінійної мішаної крайової задачі для параболічного рівняння довільного парного порядку до еквівалентного операторного рівняння. У п'ятому розділі методика попередньої частини роботи застосовується до зведення до операторного рівняння загальної квазілінійної мішаної крайової задачі для параболічного рівняння довільного парного порядку при більш слабких, аніж у четвертому розділі роботи, вимогах до функцій задачі. Отримані результати аналогічні результатам четвертого розділу роботи. Шостий розділ роботи присвячений застосуванню топологічних методів до дослідження крайових задач, як у випадку загального нелінійного рівняння, так і у випадку загального квазілінійного рівняння.

Далі подано більш детальну характеристику результатів кожного розділу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі виконаний огляд літератури за темою дисертаційної роботи.

Теорія існування та єдиності розв'язку крайових задач лінійних та квазілінійних параболічних рівнянь другого порядку розвинена у роботах О.О. Ладиженської, В.О. Солоннікова, H.М. Уральцевої . Авторами доведені теореми існування та єдиності розв'язку задач у скінченних та нескінченних областях у класах неперервних функцій та в анізотропних соболєвських просторах. Одержані також апріорні оцінки на розв'язок досліджуваної задачі через функції у правих частинах рівняння та крайових умов. Проте, для забезпечення умов існування розв'язку задачі автори вимагають від коефіцієнтів додаткової гладкості, що звужує діапазон досліджуваних проблем. Зокрема, у статтях В.О. Солоннікова розглядається загальна лінійна крайова задача для системи параболічних рівнянь. Отримані теореми розв'язності досліджуваної задачі в анізотропних просторах неперервних та соболєвських функцій. Робота містить апріорні оцінки шуканого розв'язку через норми функцій з правої частини задачі. Проте, не простежений характер залежності сталих, які фігурують в апріорних оцінках, від коефіцієнтів задачі. Характер останньої залежності є принциповим при дослідженні задач, які виникають при лінеаризації нелінійних проблем.

Розгляду нелінійних задач для параболічних рівнянь присвячені також роботи С.І. Худяєва, С.H. Кружкова, А. Кастро, М. Лопеса, К.H. Солтанова, Ю. Шпрекелса (Sprekels J.), H.В. Крилова, Г. Аманна (Amann H.), А. Лунарді (Lunardi A.), Л. Ванга (Wang L.), П. Аквістапейса (Acquistapace P.) та Б. Террені (Terreni B.). У роботах вищезгаданих математиків досліджені питання, пов'язані з теорією нелінійних крайових задач для параболічних рівнянь з частинними похідними: локальне існування та єдиність розв'язку, умовне та глобальне існування розв'язків, окремі випадки задач, рівняння з виродженнями.

Досягнення суттєвого прогресу у теорії розв'язності нелінійних крайових задач пов'язане із застосуванням топологічних методів. Ідея топологічного методу бере свій початок від знаменитої роботи Лере-Шаудера, де запроваджені основи теорії ступеня суми одиничного та компактного відображення. Подальший розвиток застосувань топологічних методів пов'язаний з роботами М.А. Красносєльського, Л. Hіренберга (Nirenberg L.).

Основи застосувань топологічних методів до дослідження нелінійних крайових задач закладені у роботах Ф. Браудера (Browder F.E.), В. Петришина (Petryshyn W.V.) зі ступеня A-власних відображень та І.В. Скрипника зі ступеня відображення класу . Особливий інтерес викликає монографія І.В. Скрипника, у якій найбільш повно викладено застосування топологічного підходу до вивчення загальних нелінійних еліптичних крайових задач для рівнянь високого порядку.

Спільна стаття А. Картсатоса (Kartsatos A.G.), та І.В. Скрипника поширює топологічний підхід на дослідження загальних нелінійних мішаних крайових задач для параболічних рівнянь другого порядку. За допомогою топологічних методів у статті отримані результати єдиності, локального існування та умовного існування розв'язку за природних обмежень на функції досліджуваної задачі, теорема про збіжність до шуканого розв'язку послідовності гальоркінських наближень.

У другому розділі викладена методика досліджень, застосована у роботі. Наведені основні твердження з робіт В.О. Солоннікова, Ф. Браудера (Browder F.E.), В. Петришина (Petryshyn W.V.), А. Картсатоса (Kartsatos A.G.) та І.В. Скрипника, котрі є базовими при отриманні результатів даної дисертації.

Третій розділ роботи присвячений отриманню апріорних оцінок для лінійних параболічних крайових задач з коефіцієнтами, які належать до певних соболєвських просторів.

Нехай WМ– скінченна область з границею ¶W, а 0<T<Ґ. Позначимо =Wґ(0,T), =¶Wґ(0,T). Нехай – мультиіндекс з невід'ємними цілими компонентами, xО. Позначимо , . Для u:®R будемо використовувати позначення

, .

Під M(k) ми будемо розуміти загальну кількість різних мультиіндексів , порядок яких не перевищує k.

Теорема 1. Нехай границя ¶W скінченної області W задовольняє умову (5), TО(0, ], а для задачі (1) – (3) виконані умови а1), а2), b1), b2), c), (4), (6). Тоді задача (1) – (3) має єдиний розв'язок uО, що задовольняє апріорну оцінку

. (7)

Константи , у нерівності (7) залежать тільки від W, T, n, p, та норм коефіцієнтів у просторах , та у просторах , C().

У дисертаційній роботі розглядається також розв'язність задачі (1) – (3) у просторі . Доведений результат повністю аналогічний сформульованому у теоремі 1.

У четвертому розділі роботи розглянуто загальну нелінійну мішану крайову задачу

, (8)

, (9)

u(x,0)=h(x), xОW. (10)

Розв'язок задачі (8) – (10) буде розглядатись у просторі . Нехай для чисел p, m, n, виконані умови

p і 2, p > , p № , j=1,...m, , (11)

границя області задовольняє умову (5), та справедливі умови (6).

Припустимо, що функції F та задовольняють умови

F1) функція F(x,t,x) має усі неперервні частинні похідні порядку 2ms+|a |+|b | до 2m+1 включно, F(x,t,0) є 0;

F2) існує така неперервна функція , що для (x,t)О , xО, hО виконана нерівність , де ;

G1) при кожному фіксованому j функція (x,t,z) має усі неперервні частинні похідні порядку 2ms+|a |+|b | до 4m – +1 включно, (x,t,0) є 0.

G2) функції крайових умов задовольняють умову Лопатинського (див. [3]).

З початкової умови (10) та рівняння (8) можна знайти значення

, + f(x,0), xОW .

Нехай для задачі (8) – (10) виконані умови узгодженості:

C) для кожного j = 1,...m виконана умова ,

а для тих j, що p>, додатково виконана рівність

.

За допомогою побудови функції vО, яка задовольняє умови , , xОW, від задачі (8) – (10) можна перейти до розгляду задачі

, (12)

(13)

uО, (14)

для функцій якої справедливі умови

F3) функція F(x,t,x) означена при (x,t)О, xО та має усі неперервні мішані похідні по до порядку 2m+1 включно, F(x,t,0) є 0;

F4) оператори , означені рівностями , діють з простору у простір , обмежені та неперервні;

G3) функції (x,t,z) означені при (x,t)О, zО, j=1,...m, та мають усі неперервні похідні вигляду порядку 2ms+|a |+|b | до 2m – включно, а також усі неперервні мішані похідні по до порядку 4m – +1 включно, (x,t,0) є 0;

G4) оператори , означені рівностями , діють з простору у простір , обмежені та неперервні.

У роботі доведено, що справедливі включення

. (15)

Задачі (12) – (14) співставимо нелінійний оператор

. (16)

Теорема 2. Нехай для задачі (12) – (14) виконані умови (5), (6), (11), (15), F2) – F4), G2) – G4). Тоді

i) для довільної фіксованої функції uО Au є лінійним неперервним функціоналом над простором ;

ii) оператор обмежений, неперервний та задовольняє умову на .

Задачі (12) – (14) може бути співставлене операторне рівняння

Au=0, uО , (17)

оператор A у якому означений за допомогою (16).

(19)

u

Теорема 4. Нехай для задачі (24) – (26) виконані умови (21), (22), (27), F2(q)) – F4(q)), G2(q)) – G4(q)). Тоді

i) для довільної фіксованої функції u О Au є лінійним неперервним функціоналом над простором ;

ii) оператор A обмежений, неперервний та задовольняє умову на .

Задачі (24) – (26) може бути співставлене операторне рівняння

Au=0, u О , (29)

оператор A у якому означений за допомогою рівності (28).

Теорема 5. Нехай для задачі (24) – (26) виконані умови теореми 4. Функція uО буде розв'язком задачі (24) – (26) тоді й лише тоді, коли вона є розв'язком рівняння (29).

У шостому розділі роботи розглядаються результати, отримані за допомогою застосування топологічних методів до дослідження розв'язності операторних рівнянь (17) та (29).

Доведені теореми єдиності розв'язку:

Теорема 6. Нехай для задачі (12) – (14) виконані умови (5), (11), (15), F2) – F4), G2) – G4). Тоді розв'язок задачі (12) – (14) єдиний, якщо він існує.

Теорема 7. Нехай для задачі (24) – (26) виконані умови (21), (22), (27), F2(q)) – F4(q)), G2(q)) – G4(q)). Тоді розв'язок задачі (24) – (26) єдиний, якщо він існує.

Отримані теореми локальної розв'язності:

Теорема 8. Нехай для задачі (12) – (14) виконані умови (5), (11), (15), F2) – F4), G2) – G4), а K – деяке додатне число. Тоді існує додатне , залежне від K, але не залежне безпосередньо від функцій у правій частині задачі, таке, що задача (12) – (14) має розв'язок uО при 0<T<, якщо

.

Теорема 9. Нехай для задачі (24) – (26) виконані умови (21), (22), (27), F2(q)) – F4(q)), G2(q)) – G4(q)). Тоді існує додатне , залежне від K, але не залежне безпосередньо від функцій у правій частині задачі, таке, що задача (24) – (26) має розв'язок u О при 0<T<, якщо

.

Теорема 10. Нехай функція та усі її мішані похідні по змінних до порядку 2m+1 включно неперервні по сукупності змінних tО[0,1], (x,t)О , xО, а . Припустимо, що для кожного фіксованого tО[0,1] функція задовольняє умови F2), F4). Нехай при кожному фіксованому jО1,...m функція та усі її мішані похідні по змінних до порядку 4m–+1 включно неперервні по сукупності змінних tО[0,1], (x,t)О, zО, а . Припустимо, що для кожного фіксованого jО1,...m та tО[0,1] функція задовольняє умови G2), G4). Нехай виконані нерівності (5), (11), а для кожного фіксованого tО[0,1] задача (30) – (32) задовольняє умову узгодженості C). Будемо припускати, що існує стала , незалежна від t і така, що при довільному фіксованому tО[0,1] для розв'язку u задачі (30) – (32) справедлива апріорна оцінка .

Тоді задача (12) – (14) має єдиний розв'язок uО.

За допомогою включення досліджуваної квазілінійної задачі до параметричного сімейства операторних рівнянь у дисертації доведена теорема про умовну розв'язність квазілінійних крайових задач, аналогічна до теореми 15.

Дисертаційна робота також містить результати про збіжність до розв'язку задачі послідовності гальоркінських наближень.

Означення 1. Нехай – базис у просторі . Припустимо, що для крайової задачі (12) – (14) виконані умови теореми 3. Для натурального K назвемо K-наближеним розв'язком крайової задачі (12) – (14) таку функцію , що та , k=1,..K, де – дійсні числа, а оператор A означений за допомогою рівності (16).

Означення 2. Будемо говорити, що крайова задача (12) – (14) має обмежену послідовність K-наближених розв'язків, коли існує натуральне , таке, що для кожного K і задача (12) – (14) має K-наближений розв'язок (x,t), а послідовність обмежена у просторі .

Теорема 11. Нехай для задачі (12) – (14) виконані умови (5), (6), (11), (15), F2) – F4), G2) – G4). Крайова задача (12) – (14) має розв'язок О тоді й лише тоді, коли для неї існує обмежена послідовність K-наближених розв'язків . При цьому послідовність сильно збігається до .

Аналогічний результат доведено і для квазілінійної крайової задачі.

ВИСНОВКИ

У дисертації розроблено методику застосування топологічних методів до дослідження загальних нелінійних крайових задач для параболічних рівнянь довільного парного порядку.

У роботі отримані такі наукові результати:

1. Виконано зведення загальної нелінійної параболічної крайової задачі до операторного рівняння з неперервним обмеженим оператором, який задовольняє умову . Запроваджені топологічні характеристики отриманого оператора.

2. Доведені теореми єдиності та локального існування розв'язку для загальної нелінійної параболічної крайової задачі рівняння довільного парного порядку. За допомогою включення досліджуваної крайової задачі у параметричне сімейство нелінійних параболічних задач доведено теорему про існування розв'язку за умов існування певної апріорної оцінки на розв'язки параметричного сімейства задач.

3. Доведено теорему про збереження області під дією оператора крайової задачі для нелінійних параболічних крайових задач загального вигляду. За умов розв'язності крайової задачі отримано твердження про існування та сильну збіжність до розв'язку крайової задачі послідовності гальоркінських наближень.

4. Виконано зведення загальної квазілінійної параболічної крайової задачі до операторного рівняння з неперервним обмеженим оператором, який задовольняє умову . Запроваджені топологічні характеристики отриманого оператора.

5. Теореми єдиності та локального існування розв'язку, а також теорема умовного існування розв'язку для загальних квазілінійних параболічних крайових задач доведені за менш суттєвих обмежень на гладкість функцій досліджуваної задачі, аніж у випадку загальної нелінійної задачі.

6. Доведено теореми збереження області під дією оператора крайової задачі та сильної збіжності до розв'язку послідовності гальоркінських наближень для загальних квазілінійних параболічних крайових задач.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Скрипник І.В., Романенко І.Б. Апріорні оцінки розв'язків лінійних параболічних задач з коефіцієнтами з соболєвських просторів // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 11. – С. 1534 – 1548.

2. Романенко І.Б. Деякі нерівності вкладення для анізотропних соболєвських просторів // Вісн. Київ. ун-ту. Математика. Механіка. – 2000. – № 5. – С. 39 – 46.

3. Романенко І.Б. Зведення загальних нелінійних параболічних крайових задач до операторних рівнянь // Нелінійні коливання. – 2000. – 3, №3. – С. 400 – 413.

4. Романенко І.Б. Апріорні оцінки розв'язків лінійних параболічних крайових задач порядку із соболєвськими коефіцієнтами у просторі // Матеріали VIII Міжнародної Наукової конференції ім. академіка М.Кравчука. – К.: HТТУ(КПІ), 2000. – С. 352.

5. Romanenko I.B. Local solvability of fully nonlinear parabolic problems of higher order // Abstracts of International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". – Lviv, 1999. – P. 178 – 179.

6. Romanenko I.B. Reduction of Higher Order Parabolic Boundary Value Problems to Operator Equations // Abstracts of International Conference on Differential and Functional Differential Equations. – Moskow, 1999. – P. 90

Романенко І.Б. Топологічні характеристики загальних нелінійних параболічних задач. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут математики Національної Академії Наук України, Київ, 2001.

Розглядається загальна нелінійна параболічна задача для рівняння довільного парного порядку у циліндричній області. Розв'язок аналізується у анізотропному соболєвському просторі. Задача зводиться до операторного рівняння з оператором, який задовольняє умову . Вводяться топологічні характеристики відображення. За допомогою топологічних методів доводиться єдиність розв'язку досліджуваної задачі та його локальне існування. Включення досліджуваної проблеми у однопараметричну сім'ю параболічних проблем дозволяє довести теорему про умовне існування розв'язку. Отримані результати про збереження області під дією оператора крайової задачі та про сильну збіжність послідовності гальоркінських наближень.

Ключові слова: параболічні крайові задачі, нелінійне рівняння, нелінійна крайова умова, теорія ступеня відображення, відображення класу , гальоркінські наближення розв'язку.

Romanenko I.B. Topological characteristics of fully nonlinear parabolic problems. – Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02– differential equations. – The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine. Kyiv, 2001.

The high order initial-boundary value problem for parabolic equation is considered in cylindrical domain. The solution is being investigated in anisotropic Sobolev space. The boundary of domain, where the problem is considered, is supposed to be sufficiently smooth. The numbers, that figure in problem formulation, are supposed to satisfy such inequalities that the solution from the Sobolev space will be classical one. The functions from the left side of the problem are supposed to be smooth and the functions from the right side of the problem are supposed to belong to Sobolev spaces that appear when we differentiate the solution or reach the boundary or the bottom of cylindrical domain. The boundary functions should satisfy Lopatinsky condition. The compatibility conditions for investigated problems are also assumed to be fullfilled. The cases of linear and nonlinear problems are considered separately.

In the case of linear problem the existence and uniqueness of solution is being proved. An a priori estimate for the norm of solution by the norms of right-side functions is proved also. These results are considered to be auxiliary and in fact are re-obtained results of V.O. Solonnikov.

The fully nonlinear parabolic initial-boundary value problem of even order is being reduced to operator equation with bounded continuous operator that acts from the Sobolev space of the problem to adjoint one and satisfies condition. The theorem of equivalence between the parabolic problem and operator equation is being proved. The operator that corresponds to the problem allows introduction of topological characteristics such as mapping degree. Thus it is possible to investigate the solvability of operator equation together with investigation of our problem. On this way one can use topological approach developed by Browder, Petryshin and I.V. Skrypnik.

The mapping degree for the operator that corresponds to investigated problem is being introduced. With the use of topological methods the results of uniqueness of solution and local solvability for the investigated problem are obtained. The investigated problem is being included to one-parametric family of initial-boundary value problems and the result of conditional global solvability for the problem is proved also provided that the one-parametric solutions satisfy a priori estimate.

With the use of degree theory the results of domain preservation after mapping by the operator of initial-boundary value problem is being proved too.

With the use of nonlinear operator that corresponds to boundary problem the special sequence of Galerkin approximants is being built as a projections on the corresponding finite-dimensional subspaces built on basis functions. The theorem of strong convergence for the obtained sequence is being proved with the use of topological approach.

The quasi-linear initilal-boundary value parabolic problem is also being considered as a partial case of fully nonlinear boundary value problem. The structure of quasi-linear equation allows to weaken the conditions on functions and the boundary in comparison with the case of fully nonlinear problem.

The quasi-linear boundary-value problem with the weakened conditions is also being reduced to operator equation with the bounded continuous operator that acts from the Sobolev space of the problem to ajoint one and satisfies condition. The theorem of equivalence between the parabolic problem and operator equation is being proved. The operator that corresponds to the problem allows introduction of topological characteristics such as mapping degree. The mapping degree for this operator is being introduced too.

With the use of degree theory the results of uniqueness and local solvability analogous to the corresponding results in the case of fully nonlinear problem are proved for the quasi-linear problem with weaker condition than in the fully nonlinear case. Inclusion of our problem to one parametric family of nonlinear problems gives possibility to prove the theorem of global conditional existence for the solution.

The results of domain preservation and strong convergence for Galerkin approximants analogous to corresponding results for fully nonlinear parabolic problems are also obtained in the case of quasi-linear parabolic problems.

The work contains the methodic of reduction of fully nonlinear boundary value parabolic problems to operator equation with bounded continuous operator that satisfies conditions. This methodic is new in the case of high order boundary value parabolic problems. It gives possibility to investigate the fully nonlinear parabolic problems of the high order using topological methods.

The results of uniqueness of solution, of local solvability, of conditional solvability, of domain preservation and of strong convergence for Galerkin approximants of solution are also new in the case of parabolic initial-boundary value problems of high order.

Keywords: parabolic problems, nonlinear boundary condition, fully nonlinear parabolic equation, degree theory, mappings of type, Galerkin approximants.

Романенко И.Б. Топологические характеристики нелинейных краевых задач общего вида. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт математики НАН Украины. Киев, 2001.

Рассматривается нелинейная параболическая краевая задача для уравнения произвольного четного порядка в цилиндрической области. Решение анализируется в анизотропном соболевском пространстве. Задача сводится к операторному уравнению с оператором, удовлетворяющим условию . Вводятся топологические характеристики отображения. Доказываются единственность решения исследуемой задачи и его локальное существование. Включение исследуемой проблемы в однопараметрическое семейство параболических проблем позволяет доказать теорему об условном существовании решения. Получены результаты о сохранении области под действием оператора краевой задачи и сильной сходимости последовательности галеркинских аппроксимаций решения.

Ключевые слова: параболические краевые задачи, нелинейное уравнение, нелинейные краевые условия, теория степени отображения, отображения класса , галеркинские аппроксимации решения.