НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладної математики і механіки

САВРАНСЬКА АЛЛА ВОЛОДИМИРІВНА

УДК 517.94

РОЗРОБКА МЕТОДІВ ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ РУХУ КЕРОВАНИХ СИСТЕМ

01.02.01. – Теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Запорізького державного університету.

Науковий керівник: доктор технічних наук, доцент, Потапенко Євген Михайлович, Запорізький державний технічний універ-ситет; професор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Жечев Михайло Михайлович, Інститут технічної механіки НАН України та НКА України (м. Дніпропетровськ), провідний науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Кононов Юрій Микитович, (Донецький національний університет), доцент.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ аналітичної механіки, м. Київ.

Захист відбудеться “18” січня 2001 р.. о 15 годині на засіданні специалізованої вченої ради Д 11.193.01 Інституту прикладної математики і механіки НАН України (83114, Донецьк-114, вул. Рози Люксембург,74).

С дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (83114, Донецьк-114, вул. Рози Люксембург,74)

Автореферат розісланий “14” грудня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради | Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Більшість систем керування (сукупність об’єкту керування і керуючого пристрою) є значною мірою невизначеними. Невизначеності істотньо впливають на працездатність систем керування і можуть призвести до її втрати. У зв’язку з цим дуже важливою задачею при дослідженні працездатності систем керування є задача дослідження робастної стійкості їх руху (робастності). Під “робастністю”, взагалі кажучи, мається на увазі здатність системи керування зберігати стійкість в умовах параметричної невизначеності

Проблема розробки методів дослідження систем керування, що мають властивість робастності, далека від розв’язання. Про це свідчить зростаючий потік публікацій за даною тематикою.

Досліджувані в даній роботі системи керування описуються сингулярно збуреними системами звичайних диференціальних рівнянь. Дослідженням поведінки розв’язків сингулярно збурених систем присвячена велика кількість робіт таких авторів, як А.Н. Тихонов, І.С. Градштейн, А.Б. Васильєва, В.Ф. Бутузов, Ф. Хоппенштадт, А.І. Климушев, Н.Н. Красовський, Н.Н. Моісєев, А.А. Мартинюк, Л.Т. Груич, І.В. Бурков, Е.М. Геращенко, С.М. Геращенко, P.V. Kokotovic, H.K. Khalil, J. O’Reilly, G. Leitmann, M. Corless, F. Garofalo, K. Khorasani.

Одним з найбільш важливих моментів дослідження сингулярно збурених рівнянь стосовно систем керування є дослідження асимптотичної стійкості їх розв’язків. Однак при вивченні поведінки розв’язків систем керування важливо не тільки дослідити стійкість цих розв’язків, але й оцінити розміри їх області притягнення, тобто провести дослідження стійкості у великому. Внаслідок дії збурень на систему керування в більшості випадків неможливо забезпечити асимптотичну стійкість програмних рухів. Тому важливим є розмір околу програмного руху у просторі станів, в який гарантовано входять розв’язки.

Дослідженням стійкості у цілому та великому розв’язків сингулярно збурених систем присвячено багато робіт. У більшості цих робіт приведені теореми, сформульовані для вузького класу сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Окрім того, в доведенні цих теорем використовуються функції Ляпунова спеціального виду, які застосовані для дослідження стійкості розв’язків рівнянь конкретного розглядуваного класу і звичайно неприйнятні для інших типів рівнянь. У той ж час, практика автоматичного керування висуває вимоги розробки методів дослідження робастної стійкості руху для широкого класу систем керування, які описуються за допомогою нелінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з не повністю відомими правими частинами.

Розробці таких методів і присвячена подана дисертаційна робота.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках держбюджетної теми № 0197U015128 “Розробка методів синтезу і аналізу робастних систем управління” за замовленням Міністерства освіти і науки України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка методів дослідження робастної стійкості розв’язків сингулярно збурених систем, за допомогою яких описуються системи керування зі спостерігачами, які широко використовуються в робототехніці, при дослідженні динаміки космічних апаратів та в інших областях техніки.

Об’єкт дослідження. Комбіновані системи керування зі спостерігачами вектору стану і вектору невизначеності.

Предмет дослідження. Робастно стійкі системи керування, які описуються за допомогою нелінійних неавтономних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з малими збуреннями правих частин.

Методи дослідження. До аналізу систем керування, які розглядаються у даній роботі, застосовуються методи сучасної теорії автоматичного керування.

При дослідженні стійкості розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь застосовується прямий метод Ляпунова, метод сингулярних збурень.

Для ілюстрації розробленої теорії наводяться результати чисельного моделювання зі застосуванням теорії чисельних методів.

Достовірність одержаних в дисертації результатів підтверджується співпадінням результатів дослідження, отриманих розробленими методами, з результатами, отриманими відомими методами для частинних випадків, а також з результатами чисельного моделювання.

Наукова новизна роботи:

-

-

-

-

-

-

-

-

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати були використані у Запорізькому державному технічному університеті при аналізі динаміки космічного апарату “Січ-2” та використовуються при дослідженні динаміки електроприводів.

Особистий внесок здобувача. По матеріалам дисертації опубліковано 11 рабіт, з яких 5 статей у наукових журналах, 6 публікації у збірниках тез конференцій.

У статті [1] здобувачу належить формулювання та доведення теореми.

У статті [2] – побудова спостерігача вектору стану, регулятора, умови робастної стійкості руху комбінованої системи та твердження.

У статті [3] умови робастної стійкості руху системи керування зі спостерігачем вектору невизначеності, побудова спостерігача та регулятора, твердження.

У статті [4] теорема та її доведення.

У статті [5] здобувачу належить доведення теореми.

Апробація результатів дисертації. Результати, представлені в дисертації, по мірі їх отримання доповідались та обговорювались на наступних наукових конференціях і семінарах: IV і V Кримських Міжнародних Математичних Школах “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Алушта – 1998, 2000), П’ятій Українській конференції з автоматичного управління “Автоматика 98” (Київ – 1998), Міжнародній конференції “Моделювання і дослідження стійкості динамічних систем” (Київ – 1999, 2001), Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівніння” (Одеса – 2000), на семінарі “Актуальные проблемы механики и геометрии” механіко-математичного факультету Московського державного університету ім. М. В. Ломоносова (Москва, листопад 1999, науковий керівник семінару доктор фізико-математичних наук Д. В. Георгієвський), щорічних наукових конференціях професорсько–викладацького складу Запорізького державного університету, науковому семінарі кафедри математичного аналізу Запорізького державного університету – науковий керівник доктор технічних наук, професор С.Ф. Шишканова.

Публікації. За результатами досліджень, проведених у дисертації, опубліковано 11 робіт, з них 5 статей у наукових журналах, 6 публікацій у збірниках тез конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 125 сторінок машинописного тексту складається зі вступу, п’яти розділів, висновків та списку літератури, який містить 130 найменуваннь.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ “СТАН В ОБЛАСТІ ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ РУХУ” складається з трьох підрозділів. В підрозділі 1.1 дається огляд різних означень робастної стійкості, які зустрічаються в літературі, і сформульоване означення, прийняте в даній роботі.

Означення 1. Програмний рух системи

,

де неперервна, задовольняюча умови теореми про існування та єдиність розв’язків, не повністю відома вектор – функція, є робастно стійким, якщо існує закон керування такий, що розв’язок замкненої системи

є практично стійким.

Означення 2. Система називається робастною, якщо поведінка її програмного руху відповідає означенню 1.

У підрозділі 1.2 зроблено огляд методів дослідження робастної стійкості розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Стисло оглянуті роботи попередників, вказані питання, які залишилися невирішеними, визначено місце даної роботи в розв’язанні проблеми, а також сформульовані задачі дисертації.

Перший розділ в дисертації, як і всі наступні, закінчується висновками з даного розділу.

Другий розділ “РІВНЯННЯ, ЯКІ ОПИСУЮТЬ РОБОТУ РОБАСТНИХ КОМБІНОВАНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ” складається з п’яти підрозділів.

В підрозділі 2.1 описаний принцип дії та структура систем керування зі спостерігачами.

В підрозділі 2.2 розглядається абстрактна система (об’єкт регулювання)

(1)

(2)

, (3)

де підвектори повільних та підвектор швидких складових вектора стану розмірностей відповідно ; малий додатний параметр; и неперервні вектори та матриці, які мають неперервні обмежені похідні за всіма аргументами в деякій відкритій області простору змінних , матриці і обертовні; неперервний за всіма аргументами обмежений вектор невизначеності розмірності , який задовольняє умови теореми про існування та єдиність розв’язків, ; відомі матриці розподілу елементів вектора по скалярних диференціальних рівняннях системи, вектор керування.

Для системи (1) – (2) виконується умова узгодженості

, (4)

де деяка відома матриця.

Формується вектор вимірювання у вигляді

. (5)

Побудовано спостерігач вектору невизначеності

, (6)

і регулятор

, (7)

де матриця коефіцієнтів підсилення спостерігача, оцінка вектора , вектор, який задається.

В підрозділі 2.4 розглядається система рівнянь, за допомогою якої можна описати рух роботів, космічних апаратів та інших машин з урахуванням пружності конструкції і зчленувань

, (18)

, (19)

, (20)

де і вектори стану повільних (без урахування пружності) та швидких (що враховують пружність) процесів відповідно; малий параметр (); вектори керування і вимірювання відповідно, ; сталий вектор.

Матриці - функції та вектори-функції неперервні, -разів неперевно диференційовні за , мають неперервні обмежені похідні -го порядку. Вектор-функція неперервна, -разів неперевно диференційовна за і , має неперервні обмежені частинні похідні -го порядку за і .

Третій розділ “РОЗРОБКА МЕТОДІВ ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ РУХУ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ” складається з чотирьох підрозділів.

У підрозділі 3.1 розглядається сингулярно збурена система “тихоновського” типу (29), (30) при постійно діючих невідомих збуреннях , з початковими умовами

, . (31)

Дослiджується поведінка розв’язку задачі (29) (30) на сегментi . Якщо покласти в (29), (30) , одержимо систему

(32)

, (33)

яка за термінологією А.Н. Тихонова називається виродженою системою.

Порядок системи (32), (33) нижче, нiж порядок початкової системи. Для системи (32), (33) задаться менша кiлькiсть початкових умов, а саме

. (34)

З (33) одержимо

. (35)

Підстановка (35) в (32) дає систему

. (36)

, взагалi кажучи, не задовольняє початкову умову (31) для , тобто , і тому принаймні в деякому околі початкової точки розв’язок виродженої системи не близький до розв’язку початково системи (29), (30).

Доведена теорема 1, згідно з якою при досить малих значеннях параметру розв’язок системи (29), (30) за скінченний інтервал часу входить у малий окіл розв’язку виродженої системи, причому розмір околу пропорційний .

Теорема 1 є модифікацією відомої теореми Тихонова для сингулярно збурених систем на випадок, коли на систему діють невідомі збурення. Тому у формулювання теореми додана умова:

існують сумовні функції та і сталі та такі, що в області мають місце нерiвностi

, , (37)

, .

В підрозділі 3.2 система (29), (30) розглядається при початкових умовах, які взяті з малого околу розв’язку виродженої системи, а саме

Теорема 2 є модифікацією відомої теореми Клімушева - Красовського про рівномірну асимптотичну стійкість розв’язків сингулярно збурених систем на випадок, коли на систему діють малі не повністю відомі збурення. У формулювання теореми 2 додані дві умови, які відсутні в теоремі Клімушева - Красовського:

Доведення проводиться з використанням прямого методу Ляпунова.

В підрозділі 3.3 на підставі теорем 1 і 2 сформульована теорема 3, згідно з якою незбурений розв’язок системи (29), (30) є рівномірно асимптотично стійким у великому відносно незбуреного розв’язку виродженої системи (32), (33).

Доведення проводиться у два етапи:

за умов теореми 1 розв’язок системи (29), (30) при початкових умовах з області за скінченний час потрапляє в малий окіл незбуреного розв’язку виродженої системи;

згідно з теоремою 2 розв’язок системи (29), (30) є рівномірно асимптотично стійким з початковими умовами зі вказаного околу.

Це дає рівномірну асимптотичну стійкість у великому розв’язків системи (29), (30) відносно незбуреного розв’язку виродженої системи (32), (33).

У розділі 4 “ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ РОБАСТНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ” розв’язки сингулярно збурених систем, отриманих у другому розділі, досліджуються на робастну стійкість з використанням апарату, який описаний у розділі 3.

У підрозділі 4.1 доведено твердження 1, згідно з яким для спостерігача (6) і регулятора (7) завжди можна підібрати матрицю і вектор такі, що програмний розв’язок повної системи керування (1) (3), (6), (7) буде робастно стійким.

У підрозділі 4.2 доведено твердження 2, згідно з яким для спостерігача (14) і регулятора (15) завжди можна підібрати матриці коефіцієнтів і такі, що програмний розв’язок повної системи керування (12) (15) буде робастно стійким.

У підрозділі 4.3 доведено твердження 3, згідно з яким для спостерігача (21), (22) і регулятора (26) завжди можна підібрати матриці коефіцієнтів і такі, що програмний розв’язок повної системи керування (18) (22), (26) є робастно стійкий.

У підрозділі 4.4 як ілюстрація ефективності розробленого в підрозділі 4.3 методу представлений синтез системи керування і чисельне моделювання динаміки одноланцюгового пружного робота з невідомими масово-інерційними характеристиками транспортованого вантажу. Чисельне моделювання повністю підтвердило теоретичні положення.

У розділі 5 “ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ” розглядаються системи, рівняння руху яких подані у вигляді матричних рівнянь другого порядку (лагранжеві системи). Показано, що для більшості динамічних об’єктів таке подання є більш природним, ніж представлення у формі Коші. При зведенні матричних рівнянь другого порядку до форми Коші втрачається розрідженість, симетричність матриць і фізичний зміст їх елементів, а розмірність матриць збільшується у 2 рази. Відомо, що для одного й того ж об’єкту керування об’єм обчислень при інтегруванні рівнянь руху у вигляді системи рівнянь другого порядку у декілька разів менше, ніж для рівнянь першого порядку. Крім того, критерії стійкості для лагранжевих систем більш прості. Для лагранжевих систем часто роль функції Ляпунова або її частини може грати повна енергія системи (сума кінетичної і потенціальної енергій).

В підрозділі 5.1 розглядаються рівняння збуреного руху механічної системи, на яку діють дисипативні, гіроскопічні і потенційні сили. Розв’язана задача стабілізації руху цієї системи неконсервативними позиційними силами. Наведена оцінка у фазовому просторі області притягнення, яка виражена в термінах самої системи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

В дисертації розроблені методи синтезу і аналізу робастних систем керування, робота яких описується нелінійними параметрично і структурно невизначеними сингулярно збуреними рівняннями. Зокрема, в ній отримані наступні основні результати:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Узагальнення теореми Тихонова для сингулярно-збудженої системи // Вісник Запорізького университету. – 1998. № 1. –С. 61-65.

2. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Дослідження робастної стійкості комбінованої системи з нерозширеним спостерігачем // Вісник Запорізького университету. – 1999. № 1. –С. 90-93.

3. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Дослідження робастної стійкості системи управління зі спостерігачем вектора невизначеності // Вісник Запорізького университету. – 1999. № 2. – С.108-113.

4. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Рівномірна асимптотична стійкість сингулярно-збудженої системи при постійно діючих збудженнях // Вісник Київського університету. – 1999. № 4. – С.55-59.

5. Агафонов С.А., Савранская А.В. Стабилизация движения механических систем неконсервативными позиционными силами с оценкой области притяжения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия “Естественные науки”. 1999. №1. С 70 – 75.

6. Потапенко Е.М., Савранская А.В. Устойчивость в целом и большом сингулярно возмущенной системы при постоянно действующих возмущениях // Тезисы докладов IV Крымской Международной Математической Школы “Метод функций Ляпунова и его приложения”. – Алушта. – 1998. – С. 58.

7. Potapenko Y. M., Savranskaya A.V. Research of robust stability of control systems with the observer of the vector of uncertainty// Thesis of international conference “Dynamical systems modelling and stability investigation”. – Kyiv. – May 25-29,1999. – P. 109.

8. Potapenko Y. M., Savranskaya A.V. Research of robust stability of control systems with the observer of the state vector // Thesis of international conference “Dynamical systems modelling and stability investigation”. – Kyiv. – May 25-29,1999. – P. 110.

9. Потапенко Е.М., Савранская А.В. Равномерная асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных систем в целом и большом// Тезисы докладов Международной конференции “Дифференциальные и интегральные уравнения”. – Одесса. – 2000. – С. 234-235.

10. Агафонов С.А., Савранская А.В. Стабилизация движения механических систем неконсервативными позиционными силами с оценкой области притяжения // Тезисы докладов V Крымской Международной Математической Школы “Метод функций Ляпунова и его приложения”. – Алушта. – 2000. – С. 20.

11. Савранская А.В. Оценка верхней границы малого параметра в исследовании устойчивости решений сингулярно возмущенной системы при постоянно действующих возмущениях // Тезисы докладов международной конференции “Dynamical systems modelling and stability investigation”. – Kyiv. – 2001. – P. 92.

АНОТАЦІЇ

Савранська А.В. Розробка методів дослідження робастної стійкості руху керованих систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк,2001.

В дисертації розглядаються робастні системи керування, які описуються за допомогою диференціальних рівнянь зі спостерігачами. Для кожної з систем формується вектор невизначеності, куди входять саме невизначеності, небажані нелінійності і зовнішні впливи. Вектор невизначеності оцінюється сумісно з оцінкою вектору стану системи керування спостерігачами і компенсується спеціальними складовими закону керування. Ці системи рівнянь зводяться до сингулярно збуреного вигляду з постійно діючими збуреннями, малими за абсолютною величиною.

Сформульовані і доведені теореми, які дають достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості у цілому та великому розв’язків сингулярно збуреної системи. Доведення проводиться за допомогою апарату функцій Ляпунова.

Програмні розв’язки систем, які описуються за допомогою диференціальних рівнянь зі спостерігачем вектора невизначеності, зі спостерігачем повного порядку і з розширеним спостерігачем, досліджуються на робастну стійкість з використанням методу, розробленного в даній роботі.

Розв’язана задача стабілізації руху механічної системи, на яку діють дисипативні, гіроскопічні та потенційні сили, неконсервативними позиційними силами.

Ключові слова: робастна стійкість, спостерігач, вектор невизначеності, сингулярно збурені рівняння.

Савранская А.В. Разработка методов исследования робастной устойчивости движения управляемых систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 – теоретическая механика. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2001.

Многие системы управления являются существенно неопределенными. Неопределенности значительным образом влияют на работоспособность систем управления и могут привести к ее потере. Работоспособность систем управления в условиях неопределенности обычно исследуется с помощью методов теории чувствительности. Система управления называется грубой по отношению к некоторому ее свойству (например, свойству устойчивости), если достаточно малые отклонения параметров в уравнениях движения не приводят к потере этого свойства. На практике неопределенности (возможные отклонения параметров исследуемой системы) могут быть настолько большими, что это приводит к потере устойчивости. Для оценки работоспособности систем управления в условиях большой неопределенности введено понятие робастности.

В диссертации рассматриваются робастные системы управления, описываемые при помощи дифференциальных уравнений с наблюдателем вектора неопределенности, с наблюдателем полного порядка и с расширенным наблюдателем. Для каждой из систем формируется вектор неопределенности, куда входят собственно неопределенности, нежелательные нелинейности и внешние воздействия. Вектор неопределенности оценивается совместно с оценкой вектора состояния системы управления наблюдателями и компенсируется специальными составляющими закона управления. Эти системы уравнений приводятся к сингулярно возмущенному виду с неизвестными постоянно действующими возмущениями, а именно

, ,

где и -мерные вектор-функции, и -мерные вектор-функции, малый параметр, , , неизвестные функции, удовлетворяющие лишь некоторым ограничениям, причем , .

Находятся условия, при которых невозмущенное решение сингулярно возмущенной системы, подверженной действию малых по абсолютной величине возмущений, является равномерно асимптотически устойчивым в целом или большом. Доказательство состоит из трех этапов. На первом этапе находятся условия, при которых невозмущенное решение как угодно близко подходит к решению вырожденной системы за конечный промежуток времени. На втором этапе доказывается равномерная асимптотическая устойчивость невозмущенного решения при начальных условиях, взятых из малой окрестности решения вырожденной системы. На третьем этапе формулируется и доказывается теорема, согласно которой, при равномерной асимптотической устойчивости в большом невозмущенного решения вырожденной системы, невозмущенное решение сингулярно возмущенной системы также будет равномерно асимптотически устойчиво в большом.

Программные решения систем, описываемых при помощи дифференциальных уравнений с наблюдателем вектора неопределенности, с наблюдателем полного порядка и с расширенным наблюдателем, исследуются на робастную устойчивость с использованием метода, разработанного в данной работе.

В качестве иллюстрации эффективности разработанного метода исследования робастной устойчивости рассматривается динамика однозвенного робота, представлены результати численного моделирования.

Рассматриваются уравнения возмущенного движения механической системы, на которую действуют диссипативные, гироскопические и потенциальные силы. Решена задача стабилизации движения этой системы неконсервативными позиционными силами. Приведена оценка в фазовом пространстве области притяжения, выраженная в терминах самой системы.

Ключевые слова: робастная устойчивость, наблюдатель, вектор неопределенности, сингулярно возмущенные уравнения.

Savranskaya A.V. Elaboration of investigation methods of robust stability motion of controlled systems. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree (phys.&math.), speciality 01.02.01 – theoretical mechanics – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Donetsk, 2001.

In the thesis robust control systems, which are described by means of differential equations with the observer of uncertain vector, full order observer and expanded observer, are considered. For every such a system the uncertainties vector is formed. This vector includes the uncertainty in itself, undersirable nonlinearities and external influences. Uncertainty vector is estimated jointly with vector state estimation of the control system by observers and is compensated by means of special components of the control law. These systems of equations are reduced to a singular perturbed form with unknown constantly acting perturbations.

The theorems, which give sufficient conditions of uniform asymptotic global stability of solutions of singular perturbed systems with small perturbation, are proved. The Lyapunov functions approach is used.

The program solutions of system, which are described by means of differential equations with vector uncertainty observer, with full order observer and with expanded observer are investigated according to method, which is accepted in given work.

The problem of motion stabilization of a mechanical system by means of nonconservative positional forces is solved. The estimation of the attraction domain in phase space, which is expressed in terms of the system, is found.

Key words: robust stability, observer, uncertainty vector, singular perturbed equations.