НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

САМОЙЛЕНКО Ігор Валерійович

УДК 519.21

АНАЛІТИЧНА ТЕОРІЯ

МАРКОВСЬКИХ ВИПАДКОВИХ

ЕВОЛЮЦІЙ В Rn

01.01.05 – теорія ймовірностей

і математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

ТУРБІН Анатолій Федорович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ДОРОГОВЦЕВ Андрій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЮРАЧКІВСЬКИЙ Андрій Павлович,

Національний Університет ім.Т.Г.Шевченка,

кафедра математики і теоретичної радіофізики

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки

НАН України, м. Донецьк.

Захист відбудеться “19” березня 2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою:

01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “---” лютого 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія випадкових еволюцій – одна з найбільш інтенсивно досліджуваних галузей теорії ймовірностей. Однак слід зазначити, що найбільш розвинутими є асимптотичні методи, що дозволяють отримати важливі граничні теореми для випадкових еволюцій. Цим проблемам присвячені роботи американських математиків Г.Папаніколау, Р.Херша, М.Пінського, Р.Грієго, Л.Горостізи, вітчизняних математиків В.С.Королюка, А.В.Скорохода, А.Ф.Турбіна, А.В.Свіщука та ін. У цих роботах вивчено умови, за яких випадкові еволюції є вінеровими або дифузійними процесами.

При цьому слід зауважити, що становлять інтерес не тільки граничні теореми, але і дограничні, аналітичні характеристики випадкових еволюцій, тим більше що граничні результати одержуються з аналітичних шляхом граничного переходу. Але існує невелика кількість робіт, у яких, крім того, досліджуються лише рівняння, які задовольняють випадкові еволюції. У зв’язку з цим необхідно згадати роботи В.А.Фока, С.Гольдштейна, М.Каца, М.Бартлетта, В.Кейна, Е.Орзінгера, А.Ф.Турбіна і його учнів Ю.Д.Жданової, О.Д.Колесника.

Дисертація присвячена вивченню марковських випадкових еволюцій у просторі Rn, знаходженню аналітичних властивостей цих еволюцій: моментів, матриць перехідних ймовірностей, розподілів перебування еволюції на межі фронту та поза межею фронту тощо. Вивчаються також інтегральні та диференціальні рівняння для функцій від еволюції, а також узагальнюється поняття симетрії випадкових величин на випадок простору Rn.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась в Інституті математики НАН України згідно із загальним планом дослідження в рамках науково-дослідної роботи "Стохастичні еволюційні системи: аналітичні та прикладні проблеми". Номер держреєстрації 0198U003054.

Мета і задачі дослідження. Означення поняття марковської випадкової еволюції в Rn, яке узагальнює модель Гольдштейна-Каца, і знаходження аналітичних характеристик цього процесу.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Одержано системи прямих і зворотних рівнянь Колмогорова для процесу марковських випадкових еволюцій в Rn.

2. Знайдено еволюційний оператор марковської випадкової еволюції в Rn і доведено теорему про слабку збіжність мір, породжених процесом марковської випадкової еволюції до міри вінерового процесу.

3. Виписано гіперпараболічні рівняння, що їх задовольняють функції від марковських випадкових еволюцій в Rn, і запропоновано два методи розв'язування цих рівнянь.

4. Знайдено інтегральні рівняння, еквівалентні гіперпараболічним рівнянням, і доведено існування в них єдиного розв’язку.

5. Введено поняття затухаючої марковської випадкової еволюції в Rn, яка моделює рух частинки під дією зовнішньої сили, коли швидкість руху зменшується з часом. Для затухаючої марковської випадкової еволюції знайдено відповідні нелінійні інтегральні і диференціальні рівняння та їх розв’язки.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати дисертації можна застосовувати в дослідженнях із теорії випадкових еволюцій, при розв'язуванні диференціальних рівнянь у частинних похідних, дослідженні різних моделей математичної фізики, теорії дифузії зі скінченною швидкістю поширювання.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності і постановка задач належать науковому керівнику А.Ф.Турбіну. Доведення всіх результатів дисертації проведено особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на семінарах відділу теорії ймовірностей і математичної статистики, відділу функціонального аналізу, відділу звичайних диференціальних рівнянь, відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України, а також на конференціях:

-

- Восьмій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 11-14 травня 2000 р.)

- Українському математичному конгресі (Київ, 21-23 серпня 2001 р.)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-3] і працях міжнародних конференцій [4-6].

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел і містить 141 сторінку друкованого тексту. Список використаних джерел містить 105 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі подано огляд робіт, повязаних із темою дисертації, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, проведено стислу анотацію отриманих результатів.

У першому розділі введено використовувані в дисертації поняття, вказано їх властивості, а також розглянуто деякі задачі, які виникли у зв'язку з дослідженням марковських випадкових еволюцій – задачі про симетризацію та симетричні розподіли в Rn. Зокрема в пункті 1.1.5 введено поняття n+1-едра, вписаного в одиничну сферу в Rn.

Вектори, які мають початок у центрі n+1-едра і кінці в його вершинах, позначено т0,...,тn. Координати цих векторів явно виписуються, і надалі ці вектори визначають напрями руху марковської випадкової еволюції у просторі Rn.

У підрозділі 1.2 узагальнено поняття симетричних випадкових величин на випадок векторів у просторі Rn.

У підрозділі 1.3 виписано симетричні розподіли для випадкових векторів – аналоги відомих симетричних розподілів: подвійного експоненційного, беселевого, а також розподіли на n+1-едрах.

У другому розділі введено поняття марковських випадкових еволюцій у просторі Rn і вивчено їхні характеристики: моменти, матриці перехідних ймовірностей, системи зворотних і прямих диференціальних рівнянь Колмогорова, еволюційний оператор. Доведено центральну граничну теорему і теорему про симетрію марковських випадкових еволюцій в Rn.

Означення 2.1.1. Марковською випадковою еволюцією в Rn з циклічною (рівномірною) зміною напрямів руху називається процес S(t), що задовольняє умови:

1. Процес стартує в точці x=(x1,…,xn).

2. Початковий напрям руху ті.

3. Якщо - час, протягом якого процес рухається в деякому напрямі, то >t)=e-лt.

4. За k-м напрямом слідує k+1-й, за n-м 0-й (за k-м слідує будь-який з інших з ймовірністю 1/n).

5. Швидкість руху не змінюється і дорівнює v.

Досліджено також розподіли перебування еволюції на межі фронту і поза межею фронту, а також ймовірність перебування в деякій області, яка лежить поза межею фронту еволюції.

У підрозділі 2.2 досліджено і знайдено в явному вигляді моменти багатовимірного однорідного альтернуючого процесу в Rn – аналога телеграфного процесу і відповідної марковської випадкової еволюції (тj(i)– i-а компонента j-го вектора, wn+1 – корінь n+1-го степеня з

1, r0 ,…,rn– початковий розподіл напряму руху процесу, r0+…+rn=1).

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню аналітичних характеристик процесу марковської випадкової еволюцій в Rn, який узагальнює модель Гольдштейна-Каца руху частинки на прямій. У роботі отримано наступні результати:

1. Виписано системи прямих і зворотних диференціальних рівнянь Колмогорова, що їх задовольняють функції від марковських випадкових еволюцій в Rn, і доведено теорему про слабку збіжність мір, породжених процесом марковської випадкової еволюції, до міри вінерового процесу.

2. Виписано гіперпараболічні рівняння, що їх задовольняють функції від марковських випадкових еволюцій в Rn, і запропоновано ймовірнісний метод розв'язування цих рівнянь: розв'язок задачі Коші з дійсно-аналітичними початковими умовами.

3. Гіперпараболічні рівняння високого порядку зведено до еквівалентних інтегральних рівнянь, які є рівняннями Вольтерра II роду і мають, відповідно, єдиний розв'язок, зокрема виписано інтегральне рівняння, еквівалентне задачі Коші для телеграфного рівняння.

4. Введено поняття затухаючої марковської випадкової еволюції в Rn, яка моделює рух частинки під дією зовнішньої сили, коли швидкість руху зменшується з часом. Цей процес, на відміну від марковської випадкової еволюції, має граничний розподіл при , який знайдено в явному вигляді.

5. Для функцій від затухаючої марковської випадкової еволюції отримано відповідні нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними та еквівалентні нелінійні інтегральні рівняння, для яких доведено існування єдиного розв’язку.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Турбин А.Ф., Самойленко И.В.Вероятностный метод решения телеграфного уравнения с вещественно-аналитическими начальными условиями // Укр. мат. журн. --- 2000.--- № 8. --- С. 1127-1134.

2. Самойленко И.В. Моменты марковских случайных эволюций // Укр. мат. журн. --- 2001. --- №7. --- С. 1002-1008.

3. Samoilenko I.V. Markovian random evolution in Rn // Rand. Operat. and Stoc. Equat. --- 2001. --- №2. --- P. 139-160.

ПРАЦІ МІЖНАРОДНИХ КОНФЕРЕНЦІЙ

4. Самойленко І.В. Марковські випадкові еволюції в Rn // Международная конференция по математическому моделированию: Сборник научных трудов. (Херсон 3 - 6 сент. 1998 г.). --- Киев, 1998. --- С. 191-195.

5. Самойленко І.В. Затухаюча марковська випадкова еволюція // Український математичний конгрес-2001:Тези доповідей (Київ 21 - 23 серпня 2001 р.). --- Київ, 2001. --- С. 28-29.

6. Самойленко І.В. Мінімальна симетризація випадкових векторів в Rn // VIII Міжнародна конференція ім. акад. М. Кравчука (Київ 11 - 14 травня 2000 р.). --- Київ, 2000. --- С. 462.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук Турбіну Анатолію Федоровичу за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі.

Самойленко І.В. Аналітична теорія марковських випадкових еволюцій в Rn. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України. Київ, 2001.

З усіх підходів до вивчення випадкових еволюцій асимптотичний є найбільш розвинутим. Однак становлять інтерес і аналітичні, дограничні, характеристики. Дисертація присвячена дослідженню аналітичних характеристик марковських випадкових еволюцій в Rn. Знайдені пряма і зворотна системи диференціальних рівнянь Колмогорова для функцій від марковських випадкових еволюцій. Виписано гіперпараболічні рівняння високого порядку для функцій від марковських випадкових еволюцій – аналоги телеграфного рівняння – і запропоновано два методи їх розв’язування: розвинення в ряд у випадку дійсно-аналітичних початкових умов і зведення до еквівалентного інтегрального рівняння. Введено і досліджено поняття затухаючої марковської випадкової еволюції в Rn, яка моделює рух частинки під дією зовнішньої сили.

Ключові слова: марковська випадкова еволюція в Rn, затухаюча марковська випадкова еволюція в Rn, телеграфне рівняння, гіперпараболічне рівняння, інтегральне представлення гіперпараболічного рівняння, нелінійне інтегральне рівняння, нелінійне диференціальне рівняння в частинних похідних.

Samoilenko I.V. Analytic theory of Markovian random evolutions in Rn. – Manuscript. Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.05 – probability theory and mathematical statistics. Institute of mathematics of NASU. Kyiv, 2001.

Asymptotic approach is the most tool for the investigation of Markovian random evolutions. But analytic, pre-limit, characteristics of evolutions are also interesting. In the thesis analytic characteristics of Markovian random evolutions in Rn are studied. Straightforward and backward systems of Kolmogorov differential equations for functions of Markovian random evolution are obtained. Hyperparabolic equations of high degree – analogues of the telegraph equation – are also derived. Two methods for solving of hyperparabolic equations are proposed: series expansion in the case of real-analytic initial conditions and reduction of hyperparabolic equation to integral equation. The last one is Volterra II type equation and has the unique solution. The notion of fading Markovian random evolution in Rn is introduced and studied, that models particle’s motion under an outer force.

Key words: Markovian random evolutions in Rn, fading Markovian random evolutions in Rn, telegraph equation, hyperparabolic equation, integral representation of hyperparabolic equation, non-linear integral equation, non-linear differential equation with partial derivatives.

Самойленко И.В. Аналитическая теория марковских случайных эволюций в Rn. – Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика. Институт математики НАН Украины. Киев, 2001.

Асимптотическая методика в изучении теории случайных эволюций широко развита отечественными и зарубежными авторами. Основной целью их исследований является доказательство различных предельных теорем. Кроме предельных теорем интерес представляют уравнения и системы уравнений, описывающие допредельное поведение случайных эволюций, другие аналитические характеристики процесса. Эти исследования были начаты С.Гольдштейном и М.Кацем с изучения модели движения частицы на прямой. Плотность распределения вероятности координаты частицы в модели Гольдштейна-Каца удовлетворяет задаче Коши для телеграфного уравнения. Некоторыми авторами получены результаты, связанные с уравнениями, которые описывают случайные эволюции в Rn. Для некоторых моделей в R2 найдены решения соответствующих уравнений.

В диссертации изучаются аналитические характеристики марковских случайных эволюций в Rn. При этом некоторые асимптотические теоремы можно получить, исходя из аналитических результатов путем предельного перехода. Модель, описанная в диссертации, обобщает модель Гольдштейна-Каца на случай пространства Rn. Основной целью диссертации является отыскание допредельных, аналитических характеристик марковских случайных эволюций: моментов, вероятностей пребывания эволюции на границе и внутри фронта распространения, системы уравнений и уравнения высокого порядка, которым удовлетворяют функции от эволюций. Предъявлены два метода решения гиперпараболических уравнений высокого порядка, которым удовлетворяют функции от эволюций. Изучен процесс затухающей марковской эволюции в Rn, которая обобщает модель марковской случайной эволюции. Затухающая марковская случайная эволюция моделирует движение частицы под действием внешней силы, когда скорость движения уменьшается с течением времени. Для процесса затухающей марковской случайной эволюции в явном виде найдено распределение координаты процесса при , нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения, которым удовлетворяют функции от затухающей марковской случайной эволюции.

Таким образом, в диссертации получены следующие результаты:

- изучены аналитические характеристики марковских случайных эволюций в Rn, прямая и обратная системы дифференциальных уравнений Колмогорова, которым удовлетворяют функции от случайных эволюций.

- найден эволюционный оператор марковской случайной эволюции в Rn и доказана теорема о слабой сходимости мер, порожденных процессом эволюции, к мере винеровского процесса. Таким образом доказано, что в гидродинамическом пределе марковская случайная эволюция является винеровским процессом.

- выписаны гиперпараболические уравнения, которым удовлетворяют функции от случайных эволюций в Rn. Предъявлены два метода, которые позволяют решать гиперпараболические уравнения: вероятностное решение задачи Коши для действительно-аналитических начальных условий и приведение гиперпараболического уравнения к соответствующему интегральному уравнению. Полученные интегральные уравнения являются уравнениями Вольтерра второго рода и имеют единственное решение.

- введено понятие затухающей марковской случайной эволюции в Rn, которая моделирует движение частицы под действием внешней силы, когда скорость движения уменьшается с течением времени. Этот процесс, в отличие от процесса марковской случайной эволюции в Rn, имеет предельное распределение при . Предельное распределение найдено в явном виде. Для процесса затухающей марковской случайной эволюции в Rn найдены аналитические характеристики, аналогичные описанным выше.

- для процесса затухающей марковской случайной эволюции получены соответствующие нелинейные интегральные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Доказана эквивалентность этих уравнений и существование у них единственного решения.

Ключевые слова: марковская случайная эволюция в Rn, затухающая марковская случайная эволюция в Rn, телеграфное уравнение, гиперпараболическое уравнение, интегральное представление гиперпараболического уравнения, нелинейное интегральное уравнение, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных.