Національна академія НАУК України

Інститут механіки ім. С.П.ТИМОШЕНКА

Скрипник Світлана Валентинівна

УДК 531.38

Два лінійних інваріантних співвідношення

в задачах динаміки твердого тіла,

яке має нерухому точку

01.02.01 – теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Н а у к о в и й к е р і в н и к: доктор фізико-математичних наук, професор Горр Геннадій Вікторович, Донецький національний університет, завідувач кафедри вищої математики та методики викладання математики.

О ф і ц і й н і о п о н е н т и: доктор фізико-математичних наук, професор Лобас Леонід Григорович, Киівський університет економіки і технологій транспорту, завідувач кафедри теоретичної і прикладної механіки; кандидат фізико-математичних наук, Щербина Євген Степанович, Національній технічний університет України “КПІ”, кафедра теоретичної механіки, доцент.

П р о в і д н а у с т а н о в а: Інститут математики НАН України, м.Київ, відділ аналітичної механіки .

Захист відбудеться 29.01.2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 при Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ 57. вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ 57. вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий 27.12.2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор фіз.-матем.наук О.П.Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертації отримано умови існування двох лінійних інваріантних співвідношень (ІС) у трьох задачах динаміки твердого тіла з нерухомою точкою. Знайдено нові частинні розв'язки диференціальних рівнянь руху. Вивчено рухомий і нерухомий годографи для одного розв'язку.

АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ. При теоретичному моделюванні рухів об'єктів сучасної техніки (гіроскопічних систем, маніпуляторів, колісних екіпажів, супутників тощо) в аналітичній механіці широко використовується модель системи зв'язаних твердих тел. Практична важливість розробки в цій області і математична складність моделі визначають ряд актуальних наукових напрямків. Серед них чільне місце займає напрямок, у якому вивчається класична задача про рух важкого твердого тіла та її різні узагальнення: задача про рух тіла в полі потенціальних і гіроскопічних сил (зокрема, у полі, що є суперпозицією електричного, магнітного і центрального ньютонівського полів), задача про рух тіла в ідеальній рідині, задача про рух твердого тіла в магнітному полі сил з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона та інші.

Класична задача про рух важкого твердого тіла була поставлена Л.Ейлером. Пізніше дослідженнями задачі про рух важкого твердого тіла займались Ж.Лагранж, С.Пуассон, Ж.Дарбу, К.Якобі, В.Гесс, О.Штауде, Д.Гріолі та інші. Для задачі про рух важкого твердого тіла за інерцією геометрично наочну картину руху тіла дав Л.Пуансо. Великий внесок у дослідження задачі про рух важкого твердого тіла внесли також С.В.Ковалевська, М.Є.Жуковський, В.А.Стєклов, О.М.Ляпунов, С.О.Чаплигін, Д.М.Горячев, Г.В.Колосов, Г.Г.Апельрот, Л.М.Сретенський та інші.

Дуже перспективним підходом при вивченні задач динаміки твердого тіла є підхід П.В.Харламова. П.В.Харламов розробив метод ІС для побудови точних розв'язків, одержав нові форми рівнянь руху гіростата і системи пов'язаних твердих тіл, розвинув метод годографів прямого кінематичного тлумачення руху і ввів поняття повного розв'язку задач динаміки твердого тіла.

За допомогою цього підходу було узагальнено багато із знайдених раніше і побудовано ряд нових класів розв'язків задачі про рух важкого твердого тіла, що має нерухому точку (П.В.Харламов, О.І.Харламова, М.П.Харламов, А.Й.Докшевич, Б.І.Коносевич, Є.В.Позднякович, Г.В.Мозалевська, Л.М.Ковальова та інші).

У наш час П.В.Харламов та його учні отримали численні результати, що стосуються, в основному, класичних задач. Тому викликає інтерес проведення досліджень в узагальнених задачах динаміки (що не є тривіальними узагальненнями класичної задачі): у задачі про рух тіла під дією потенціальних і гіроскопічних сил, описуваної рівняннями Д.Гріолі-М.П.Харламова, й у задачі про рух тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

ЗВ'ЯЗОК РОБОТИ З НАУКОВИМИ ПРОГРАМАМИ, ПЛАНАМИ, ТЕМАМИ. Дослідження з дисертаційної роботи проводилися відповідно до Плану наукових досліджень відділів технічної і прикладної механіки ІПММ НАН України на 1996-2000 роки у межах держбюджетної теми – 0196U002837 – “Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування і динаміки взаємодіючих тіл”, що виконувалася відповідно до постанови Президії НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є дослідження умов існування двох лінійних інваріантних співвідношень у задачах динаміки твердого тіла з нерухомою точкою, зокрема, передбачалося розв'язання таких задач:

1. Вивчення двох і трьох лінійних інваріантних співвідношень в задачі про рух тіла під дією потенціальних і гіроскопічних сил.

2. Знаходження умови існування двох лінійних інваріантних співвідношень у задачі про рух тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

3. Одержання нових випадків інтегровності диференціальних рівнянь руху.

НАУКОВА НОВИЗНА одержаних результатів.

1. Доведено, що інтегральний многовид диференціальних рівнянь Д.Гріолі-М.П.Харламова (задача І), породжений двома лінійними ІС нульового шару, у випадку цілком визначається потенціальною і гіроскопічною функціями в класі многочленів по до другого порядку.

2. Установлено, що необхідна умова існування двох лінійних ІС, зазначена в п. 1, зберігається для ІС нульового шару спеціальної структури і при ?.

3. Вивчено умови існування двох лінійних ІС ненульового шару. Розглянуто спеціальні випадки трьох лінійних ІС диференціальних рівнянь класу Г. Кірхгофа (задача ІІ).

4. Вивчено ізоконічні рухи тіла в задачі ІІ у випадку трьох ІС. Установлено, що рух тіла має властивість асимптотичності до стану спокою.

5. У задачі ІІ отримано необхідні і достатні умови існування двох лінійних ІС нульового шару. Знайдено нові випадки зведення задачі до квадратур.

6. Досліджено умови існування двох лінійних ІС у задачі Барнетта-Лондона (задача ІІІ). Наведено умови існування ІС нульового шару і показано, що для ІС ненульового шару виконується додаткове лінійне ІС. Знайдено нові розв'язки задачі ІІІ.

7. Вивчено рухомий і нерухомий годографи кутової швидкості для розв'язання задачі ІІ, де третє ІС має раціональну структуру.

ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕННЯ одержаних результатів. Результати дисертації можуть бути використаними в ІПММ НАН України (м. Донецьк), у Донецькому національному університеті, в Інститутах механіки і математики НАН України (м. Київ) для подальших досліджень кінематичного тлумачення руху в знайдених випадках інтегровності рівнянь руху, а також асимптотичних рухів.

ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК ЗДОБУВАЧА. У роботі [9] здобувачу належать результати з дослідження умов існування трьох інваріантних співвідношень в окремому випадку ізоконічних рухів тіла. У роботі [10] здобувачу належать результати з інтегрування рівнянь у частинних похідних.

АПРОБАЦІЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ДИСЕРТАЦІЇ. Результати дисертації представлялися:

·

· на вузівській науковій конференції професорсько-викладацького складу за підсумками науково-дослідницької роботи “Математика, фізика, екологія” (ДонДУ, Донецьк, 1997 р.),

· на Міжнародній конференції “Математика в індустрії” (ICIM-98, Росія, Таганрог, 1998р.),

· на VII Міжнародній конференції “Стійкість, керування і динаміка твердого тіла” (ICSD – 99) (Донецьк, 1999 р.),

доповідалися на семінарах відділів прикладної механіки, технічної механіки ІПММ НАН України,

на семінарі кафедри вищої математики Донецького національного університету.

ПУБЛІКАЦІЇ. Результати дисертаційної роботи опубліковані в статтях [1, 6 - 10], працях конференцій [4], тезах доповідей [2,3,5].

СТРУКТУРА ТА ОБСЯГ ДИСЕРТАЦІЇ. Дисертація складається із вступу, 6 розділів, висновку та списку літератури із 139 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 152 машинописні сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, наводяться означення і формулюються задачі дослідження.

В першому розділі дається огляд літератури, присвяченій тематиці дисертаційної роботи.

В другому розділі розглянуто моделі і методи розв'язання задачі динаміки твердого тіла.

У пункті 2.1 наведено рівняння Д.Гріолі-М.П.Харламова, що описують рухи твердого тіла з нерухомою точкою під дією потенціальних і гіроскопічних сил. Маючи в цих рівняннях потенціальну і гіроскопічну функції у вигляді многочленів по компонентах вектора вертикалі до другого порядку, отримано рівняння руху тіла в узагальненій задачі. Дане диференціальне рівняння відноситься до класу рівнянь Кірхгофа.

У пункті 2.2 розглянуто рівняння руху тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

У пункті 2.3 викладено метод інваріантних співвідношень для побудови частинних розв'язків рівнянь руху, запропонований П.В.Харламовим.

У пункті 2.4 описано метод годографів тлумачення руху тіла. Він грунтується на теоремі Пуансо і кінематичних рівняннях П.В.Харламова.

У пункті 2.5 містяться стислі довідки з теорії еліптичних функцій Якобі.

В третьому розділі розглянуто два лінійних ІС у загальній задачі динаміки.

У пункті 3.1 розглянуто диференціальні рівняння Д.Гріолі-М.П.Харламова.

(1)

(2)

(3)

У (1)-(3) введено наступні позначення: - вектор моменту кількості руху тіла, - одиничний вектор осі симетрії силових полів, - гіраційний тензор.

Для рівнянь (1)-(3) розглянуто задачу про умови існування двох ІС

(4)

де - сталі, .

Відповідно до теорії інваріантних співвідношень, розвинутої А.Пуанкаре, Т.Леві-Чивіта і П.В.Харламовим для ІС (4) нульового шару, похідні від даних ІС, у відповідності з диференціальними рівняннями (1), (2), тотожно дорівнюють нулеві на даних ІС. Якщо ІС - ненульового шару, то зазначені похідні від ІС на даних ІС дорівнюють нулеві не тотожно, а є функціями змінних задачі, що перетворюються на нуль внаслідок перших інтегралів (3).

У пункті 3.2 розглянуто випадок, коли система (4) є системою ІС нульового шару. Отримано диференціальні рівняння в частинних похідних, яким повинні задовольняти функції й і рівняння для визначення .

Доведено, що інтегральний многовид рівнянь (1), (2), породжений двома лінійними ІС , цілком визначається потенціальною і гіроскопічною функціями в класі многочленів за змінними до другого порядку.

У пункті 3.3 вивчено два лінійні ІС для рівнянь (1), (2) у випадку, коли . Знову показано, що інтегральний многовид диференціальних рівнянь (1), (2) цілком визначено в зазначеному вище класі функцій і .

У пункті 3.4 досліджено лінійні ІС (4) ненульового шару. Обчислено похідні від ІС (4) і перші інтеграли на даних ІС. Цей підхід застосовано до випадку, коли і мають вигляд:

(5)

тобто до випадку, коли рівняння (1), (2) стають рівняннями Кірхгофа.

У пункті 3.5 лінійні ІС ненульового шару (4) розглянуто у загальному випадку. Доведено, що якщо аналіз проводити на основі інтегралів, то ІС (4) породжують третє лінійне ІС:

. (6)

За допомогою методу ІС знайдено умови на параметри, при виконанні яких рівняння руху допускають три ІС (4), (6). При цьому розглянуто той випадок трьох ІС, що є виключенням у роботі П.В.Харламова.

У пункті 3.6 вивчено ізоконічні рухи тіла у випадку трьох лінійних ІС:

(7)

де - кутова швидкість, - одиничний вектор.

Припускаємо, що підстановка в рівність (7) дає геометричний інтеграл. Рівняння Пуассона (2) запишемо так:

(8)

Нехай виконано умови:. Тоді рівняння (8) допускають розв'язок:

де а - довільна стала.

В четвертому розділі розглянуто два лінійні ІС для задачі ІІ, що описується диференціальними рівняннями класу Кірхгофа

, (9)

, (10)

, (11)

(12)

У пункті 4.1 поставлено задачу про дослідження в системі (9)-(12) двох ІС

У пункті 4.2 проведено аналіз двох ІС у випадку, коли і є многочленами другого порядку.

У пункті 4.3 розглянуто окремий випадок двох ІС виду . Виписано умови існування даних ІС.

У пункті 4.4 виявлено зв'язок двох лінійних ІС у задачі з рівняннями (9), (10) і в задачі про рух тіла в рідині.

Пункт 4.5 присвячено дослідженню загального випадку двох лінійних ІС (4).

У пункті 4.6 проведено аналіз варіанта Доведено, що є лінійною функцією по

У пункті 4.7 розглянуто випадок Тоді

Диференціальні рівняння на змінні такі

(13)

і мають інтеграли

(14)

де - довільні сталі. На основі інтегралів (14) реалізовано зведення задачі (13) до квадратур.

У пункті 4.8 досліджено випадок Показано, що . З рівняння руху знайдено додатковий інтеграл

де - довільна стала, а залежить від параметрів задачі. Для зведення задачі до квадратур розглянуто рівняння

(15)

де залежать від параметрів задачі. Окремо у рівнянь (13) розглянуто два варіанти зведення задачі до квадратур: ; .

В п'ятому розділі вивчаються ІС у задачі ІІІ.

У пункті 5.1 виписано диференціальні рівняння розглянутої задачі

(16)

(17)

(18)

де Вказано шляхи одержання умов існування двох лінійних ІС (4).

У пункті 5.2 вивчено ІС нульового шару рівнянь (16)-(18). Структура цих ІС така: . Умови існування цих ІС записано у вигляді системи алгебраїчних рівнянь. Повністю досліджено розв'язок цієї системи. Розглянуто випадки: Диференціальні рівняння Пуассона (17) мають вигляд:

(19)

і допускають два інтеграли

Тому задача інтегрування системи (19) зводиться до квадратур. Доведено, що в цьому випадку де - параметри.

У пункті 5.3 вивчено два лінійних ІС ненульового шару, отримано умови існування при обмеженні

У пункті 5.4 запропоновано інший метод дослідження ІС на основі перших інтегралів (18). У результаті отримано новий розв'язок розглянутої задачі, що виражається еліптичними функціями часу:

,

Залежність одержуємо оберненням еліптичного інтеграла

В шостому розділі вивчено рухомий і нерухомий годографи кутової швидкості в задачі II для розв'язку. що характеризується двома лінійними ІС і одним дробово-лінійним ІС

Доведено, що рухомий годограф – це лінія перетину двох поверхонь другого порядку, а нерухомий – це крива, що описана двома алгебраїчними рівняннями відносно допоміжної змінної і одним диференціальним

,

Тут - сталі, які залежать від параметрів задачі.

Показано, що рух тіла буде або асимптотично рівномірним, або ж-умовно-періодичним рухом.

ВИСНОВКИ

Підводячи підсумки досліджень умов існування двох лінійних інваріантних співвідношень основні результати дисертаційної роботи є.

1. Установлено умови існування двох лінійних інваріантних співвідношень в задачі про рух твердого тіла в полі потенціальних і гіроскопічних сил, що описана диференціальними рівняннями Д. Гріолі – М.П. Харламова.

2. У задачі Г. Кірхгофа вивчено два лінійних інваріантних співвідношення нульового та ненульового шару. Встановлено, що для лінійних інваріантних співвідношень нульового шару третє співвідношення може бути або дробово-лінійним, або лінійним першим інтегралом. Для ІС ненульового шару встановлено, що третє співвідношення є лінійним інваріантним співвідношенням.

3. Для випадку трьох лінійних інваріантних співвідношень отримано новий частинний розв'язок диференціального рівняння Кірхгофа, яке описує ізоконічний рух гіростату.

4. В задачі про рух твердого тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона вивчено спеціальні випадки двох лінійних ІС. Знайдено нові частинні розв'язки задачі.

5. Вивчено властивості рухомого і нерухомого годографів для частинного розв'язку задачі Кірхгофа, для якого третє ІС має раціональну структуру.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Скрыпник С.В. О двух линейных инвариантных соотношениях в обобщенной задаче динамики твердого тела с неподвижной точкой / Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины. – Донецк, 1995. – 16 с. – Библиогр. : 7 назв. – Рус. – Деп. в ГНТБ Украины 11.12.95, № 2654-Ук95.

2. Скрыпник С.В. Условия существования двух линейных инвариантных соотношений в двух задачах динамики твердого тела // Тез. докл. Межд. конф. "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", 2-6 сент. 1996 г. – Донецк: ИПММ НАН Украины. – 1996. – С.103-104.

3. Горр Г.В., Скрыпник С.В. Об условиях существования двух линейных инвариантных соотношений в задачах динамики твердого тела // Матеріали вузівської наукової конференції професорсько- викладацького складу за підсумками науково-дослідницької роботи: математика, фізика, екологія. – Донецьк: ДонГУ. – 1997. – С.5.

4. Скрыпник С.В. О двух линейных соотношениях в одной задаче динамики // Труды Межд. конф. "Математика в индустрии" (ICIM-98). – Таганрог: Издательство Таганр. гос. пед. ин-та. – 1998. – С.283-288.

5. Скрыпник С.В. О двух линейных инвариантных соотношениях обобщенных уравнений динамики твердого тела // Тез. докл. VII Межд. конф. "Устойчивость, управление и динамика твердого тела"" (ICSD-99). – Донецк: ИПММ НАН Украины. – 1999. – С.38.

6. Скрыпник С.В. О двух линейных инвариантных соотношениях в задаче о движении тела в магнитном поле // Прикладная механика, Киев: – 1999. – Т.35. – №2. – С.98-104.

7. Скрыпник С.В. Об одном классе двух линейных инвариантных соотношений в обобщенной задаче динамики // Механика твердого тела. – 1999. – Вып.28. – С.31-40.

8. Скрыпник С.В. О двух линейных инвариантных соотношениях в одной задаче динамики твердого тела //Труды ИПММ НАН Украины. - 1999. - Т.4. - С.171-179.

9. Горр Г.В., Скрыпник С.В. О двух инвариантных соотношениях дифференциальных уравнений динамики // Труды ИПММ НАН Украины. – 2000. – Т.5. – С.38-44.

10. Горр Г.В., Саркисьянц Е.В., Скрыпник С.В. Об изоконических движениях тела в случае трех линейных инвариантных соотношений // Механика твердого тела. – 2000. – Вып.30. – С.93-100.

АНОТАЦІЇ

Скрипник С.В. Два лінійних інваріантних співвідношення в задачах динаміки твердого тіла, що має нерухому точку. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2001.

Дисертація присвячена дослідженню умов існування двох лінійних інваріантних співвідношень у трьох задачах динаміки твердого тіла з нерухомою точкою. У першій задачі – задачі про рух тіла в полі потенційних і гіроскопічних сил, показано, що в розглянутих випадках інваріантне різноманіття рівнянь руху цілком визначено потенційною і гіроскопічною функціями в класі багаточленів до другого порядку. В другій задачі, що описується диференціальними рівняннями Кірхгофа, два лінійних інваріантних співвідношення досліджені повністю, показано, що розглянутими в дисертації випадками вичерпуються усі випадки існування даних інваріантних співвідношень. У третій задачі – задачі про рух твердого тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона вивчені два лінійних інваріантних співвідношення спеціального виду. В останніх двох задачах отримані нові випадки інтегрування диференціальних рівнянь, що виражаються еліптичними функціями часу. Розглянуто властивості рухомого і нерухомого годографів в одному з зазначених частинних розв'язків, що характеризується дробово-лінійною формою інваріантного співвідношення.

Ключові слова: гіростат, інваріантне співвідношення, точний розв'язок, умова існування, задача Кірхгофа, ефект Барнетта-Лондона.

Скрыпник С.В. Два линейных инвариантных соотношения в задачах динамики твердого тела, имеющего неподвижную точку. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 – теоретическая механика. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2001.

Диссертация посвящена исследованию условий существования двух линейных инвариантных соотношений в трех задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой. В первой задаче – задаче о движении тела в поле потенциальных и гироскопических сил, показано, что в рассматриваемых случаях инвариантное многообразие уравнений движения полностью определено потенциальной и гироскопической функциями в классе многочленов до второго порядка. Во второй задаче, которая описывается дифференциальными уравнениями Кирхгофа, два линейных инвариантных соотношения исследованы до конца, показано, что рассмотренными в диссертации случаями исчерпываются все случаи существования данных инвариантных соотношений. В третьей задаче – задаче о движении твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона изучены два линейных инвариантных соотношения специального вида. В последних двух задачах получены новые случаи интегрирования дифференциальных уравнений, которые выражаются эллиптическими функциями времени. Рассмотрены свойства подвижного и неподвижного годографов в одном из указанных частных решений, характеризующимся свойством, что третье инвариантное соотношение является дробно-линейным.

Ключевые слова: гиростат, инвариантное соотношение, точное решение, условие существования, задача Кирхгофа, эффект Барнетта-Лондона.

Skrypnik S.V. Two linear invariant relation for problems of dynamics of a rigid body with a fixed point. – Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical- Mathematical Sciences on speciality 01.02.01 – theoretical mechanics. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2001.

The thesis is devoted to investigation of conditions of existence of two linear invariant relations for three problems of dynamics of a rigid body with a fixed point. For the first problem – the problem on motion of a body in a field of potential and gyroscopic forces it is pointed out that in the cases under the study the invariant manifold for the motion equations is completely defined by the potential and gyroscopic functions in the class of polynomials of the order less then the second. For the second problem which is described by the differential Kirchoff equation the two linear invariant relations are investigated and it is established that all the cases of existence of these relations are found. For the third problem – which conserns with the motion of a rigid body in a magnetic field with account of the Barnett-London effect the two linear invariant relations of the special kind are studied. For two latter problems the new cases of integration of the motion quations are obtained when the principle variables are expressed by the elliptic functions of the time. The properties of mobile and unmovable hodographs for the particular solution characterized by the fact that the third invariant relation has a linear fractionary structure are considered.

Key words: gyrostat, invariant relation, exact solution, condition of existence, the Kirchoff problem, the Barnett-London effect.