Від геометричного методу до аналітичної механіки

План

1. Принцип найменшої дії

2. Принцип Даламбера

3. Аналітична механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла Ейлера

4. Аналітична механіка системи матеріальних точок і тіл Лагранжа

У XVIII-XIX ст. багато фізиків і філософів вдавалися до серйозного аналізу й перегляду вчення Ньютона про простір і час. З того часу, як основи класичної механіки" набули завдяки Ньютонові своєї завершеної форми, їх значення продовжувало залишатися предметом суперечок — принаймні до 1905 р. Боротьба розгорталася на найрізноманітніших ділянках науки й життя. Теорія перевірялася в експедиціях, в астрономічних спостереженнях, в обчисленнях математиків, обговорювалася у філософських і наукових дискусіях, викладалася в підручниках і монографіях.

Там, де в Ньютона йшлося про абсолютний простір і час, де він посилався при цьому на експерименти, деякі з його послідовників заявляли, що вони не потребують таких гіпотез і навіть доходило до того, що вони зводили його другу аксіому до простого визначення; через це відмінність між математикою і фізикою як експериментальною наукою сильно зміщувалася за рахунок останньої, від якої було відділено так звану чисту механіку.

Інші, навпаки, наполягали на істотно експериментальному характері цієї аксіоми. Сторони, які брали участь у цих дуже заплутаних суперечках, намагалися навести численні аргументи на підтримку своїх точок зору.

"Начала" Ньютона були викладені важкою геометричною мовою. Доведення були громіздкі та складні. У XVIII ст. в механіку проникають методи диференціального й інтегрального числення, які не наважився застосувати у своїй основній праці один із творців цих методів.

У XVIII ст. відбувалися не тільки перетворення методів ньютонівської механіки. Це століття відзначене пошуками загальних принципів механіки, еквівалентних законам Ньютона, або навіть більш загальних, ніж ці принципи. У результаті цих пошуків було відкрито принципи можливих переміщень у статипі, принцип Даламбера й принцип найменшої дії Мопертюї-Ейлера в динаміці.

Принцип найменшої дії

Історія цього принципу корінням сягає Герона Александрійського, його твердження про найкоротший час поширення світла, за допомогою якого Герой обгрунтував закон відображення.

Ферма (1601-1665) застосував цей принцип до заломлення світла й сформулював закон заломлення світла, виходячи з постулату: "Природа діє найбільш легкими й доступними шляхами".

Пізніше цю ідею розвинув І. Бернуллі (1667-1748). Він зіставив принцип Ферма із запропонованою ним варіаційною механічною задачею про лінію найкоротшого спуску важкої точки в полі ваги (брахістохрону). Цю задачу Бернуллі сформулював у такий спосіб: "У вертикальній площині дано дві точки: А і В. Визначити траєкторію, рухаючись по якій під впливом власної ваги, тіло М, почавши рухатися з точки А, досягне іншої точки В у найкоротший час". У

принципі Ферма й у задачі про брахістохрону мова йде про встановлення мінімального значення інтеграла

"Я, - писав І. Бернуллі, - відкрив дивну схожість між кривизною променя світла в середовищі, яке постійно змінюється, і нашою брахістохрониою кривою". Так уперше було помічено оптико-механічну аналогію, що відіграла важливу роль в історії фізики.

Надалі цю ідею розвивав стосовно Механіки П. Мюпертюї (1698-1759). У статті "Закон спокою" (1740) він поставив за мету вивести принцип рівноваги системи тіл і сформулював його як екстремальний принцип для деякої величини, яка дістала назву "суми сил спокою".

Через чотири роки потому Мопертюї виступив зі статтею "Узгодження різних законів природи", в якій стверджував, що закони оптики є наслідком "метафізичного закону", який полягає в тому, що "природа, реалізуючи свої дії, завжди вдається до найбільш простих засобів" і що принцип Ферма є принципом найменшої дії. Світло, на думку Мопертюї, вибирає шлях, "на якому кількість дії є найменшою". При цьому він пояснює, що слід розуміти під "кількістю дії". "Ця дія, — стверджує Мопертюї, — залежить від швидкості, з якою рухається тіло, і від простору, який долає останнє, але вона не є ні швидкістю, ні простором, узятими окремо. Кількість дії тим більша, чим більша швидкість тіла; вона пропорційна сумі добутків відрізків на швидкість, з якою тіло долає кожний з них". Принцип Ферма-Мопертюї виражається у вигляді твердження:

У сучасній редакції принцип Мопертюї стверджує: коли в природі відбувається якась зміна, кількість дії, необхідна для цієї зміни, є найменшою з можливих.

Принцип Даламбера

Основна праця Ж.Л. Даламбера (1717-1783) — "Трактат про динаміку" — була опублікована в 1743 р.

Перша частина трактату присвячена побудові аналітичної статики. Тут Даламбер формулює "основні принципи механіки", серед яких "принцип інерції", "принцип додавання рухів" і "принцип рівноваги".

"Принцип інерції" сформульований окремо для випадку спокою і для випадку рівномірного прямолінійного руху. "Силою інерції, — пише Даламбер, т я разом з Ньютоном називаю властивість тіла зберігати той стан, в якому воно перебуває".

"Принцип додавання рухів" являє собою закон додавання швидкостей і сил за правилом паралелограма. На основі цього принципу Даламбер вирішує задачі статики.

"Принцип рівноваги" сформульовано у вигляді такої теореми: "Якщо два тшщ що рухаються зі швидкостями, оберненопропорційними їхнім масам, мають протилежні напрямки, так що одне тіло не може рухатися, не зрушуючи з місця інше тіло, то ці тіла перебуватимуть у стані рівноваги". У другій частині "Трактату" Даламбер запропонував загальний метод складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, заснований на зведенні задачі динаміки до статики. Він сформулював правило для будь-якої системи матеріальних точок, назване згодом "принципом Даламбера", відповідно до якого прикладені до точок системи сили можна розкласти на "діючі", тобто такі, які спричинюють прискорення системи, і "загублені", необхідні для рівноваги системи. Даламбер вважає, що сили, які відповідають "загубленим" прискоренням, утворюють таку сукупність, яка ніяк не впливає на фактичну поведінку системи. Іншими словами, якщо до системи прикласти тільки сукупність "загублених" сил, то система залишиться в спокої. Сучасне формулювання принципу Даламбера дав М Є. Жуковський у своєму "Курсі теоретичної механіки": "Якщо в який-небудь момент часу зупинити систему, що рухається, і додати до неї, крім її рушійних сил, ще всі сили інерції, що відповідають даному моменту часу, то спостерігатиметься рівновага; при цьому всі сили тиску, натягу й т.д., що розвиваються між частинами системи при такій рівновазі, будуть справжніми силами тиску, натягу й т.д. при русі системи в розглянутий момент часу". Слід зазначити, що сам Даламбер при викладі свого принципу не вдавався ні до поняття сили (вважаючи, що воно не є достатньо чітким, щоб входити в перелік основних понять механіки), ні тим більше до поняття сили інерції. Виклад принципу Даламбера із застосуванням терміна "сила" належить Лагранжу, який у своїй "Аналітичній механіці" дав його аналітичне вираження у формі принципу можливих переміщень. Саме Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) і особливо Леонардо Ейлер (1707-1783) відііграли істотну роль в остаточному перетворенні механіки на аналітичну механіку.

Аналітична механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла Ейлера

Леонардо Ейлер — один з видатних учених, який зробив великий внесок у розвиток фізико-математичних наук у XVIII ст. Його творчість вражає проникливістю дослідницької думки, універсальністю обдарування й величезним обсягом залишеної наукової спадщини.

Уже в перші роки наукової діяльності в Петербурзі (Ейлер приїхав у Росію в 1727 р.) він склав програму грандіозного й всеосяжного циклу робіт в галузі механіки. Ця програма міститься в його двотомній праці "Механіка, або наука про рух, викладена аналітично" (1736). "Механіка" Ейлера була першим систематичним курсом ньютонівської механіки. Вона містила основи динаміки точки - під механікою Ейлер розумів наукучхро рух, на відміну від науки про рівновагу сил, чи статики. Визначальною рисою "Механіки" Ейлера було широке використання нового математичного апарата — диференціальнотвчй інтегрального числень. Коротко охарактеризувавши основні праці з механіки, що з'явилися на межі XVII-XVIII ст., Ейлер відзначав син-тетико-геометричний стиль їхнього викладу.що створював для читачів надзвичайно багато труднощів. Саме в такій манері написані "Начала" Ньютона і більш пізня "Фо-рономія" (1716) Я. Германа. Ейлер указує, що роботи Германа і Ньютона викладені "за звичаєм стародавніх за допомогою синтетичних геометричних доведень" без застосування аналізу, "тільки завдяки якому й можна досягти повного розуміння цих речей".

Синтетико-геометричний метод не мав узагальнюючого характеру, а вимагав, як правило, індивідуальних побудов стосовно кожної задачі окремо. Ейлер зізнається, що після вивчення "Форономії" і "Начал" він, як йому здавалося, "досить ясно зрозумів вирішення багатьох задач, однак задач, що якоюсь мірою відступають від них, уже розв'язати не міг". Тоді він спробував "виділити аналіз із цього синтетичного методу і ті ж пропозиції для власної користі проробити аналітично". Ейлер відзначає, що завдяки цьому він значно краще зрозумів суть питання. Він розробив принципово нові методи дослідження проблем механіки, створив її математичний апарат і блискуче застосував його до багатьох складних задач. Завдяки Ейлеру диференціальна геометрія, диференціальні рівняння, варіаційне числення стали інструментом механіки. Метод Ейлера, розвинутий пізніше його наступниками, був однозначним й адекватним предмету.

Праця Ейлера з динаміки