Вихідний факт, покладений в основу Ньютонової теорії тяжіння, — вага, яку мають всі тіла, що знаходяться на Землі. З рівності прискорення для всіх падаючих тіл, доведеної численними експериментами, Ньютон встановлює, що ваги тіл, рів-новіддалених від центра Землі, відносяться як кількості матерії, чи маси тіл. За умови однакової віддаленості від центра Землі сили, з якими тіла притягають до себе Землю, відповідно пропорційні масам. Звідси випливає, що сила тяжіння, властива конкретному тілу, складається із сил тяжіння його частин. Тому всі земні тіла притягаються одне до одного із силою, пропорційною кількості матерії, тобто масі кожного тіла.

Установивши властивості земної ваги, Ньютон поставив за мету визначити тяжіння в небесному просторі. Як було зазначено вище, сила, що є причиною доцентрового прискорення планети, спрямована, як і саме прискорення, до Сонця, інакше кажучи, ця сила притягає планету до Сонця. Вона дорівнює прискоренню, помноженому на масу. З іншого боку, вага, що надає тілам рівномірного прискорення, спрямована до центра Землі й пропорційна масі. Ньютон припустив, що йдеться не про аналогію, а про тотожність, тобто ототожнив рух небесних тіл з падінням вантажів на Землі.

Установивши цей факт, Ньютон завершив об'єднання астрономії і земної механіки. Усю геніальну сміливість цієї ідеї важко зараз оцінити, настільки глибоко ввійшов закон всесвітнього тяжіння в науку.

Згодом Ньютон досліджує, чи можна за допомогою астрономічних спостережень підтвердити обернену пропорційність між квадратами відстаней і доцентровим прискоренням. Він припустив, що Місяць на орбіті утримують ті ж сили, що притягають предмети до Землі. Взявши за основу астрономічні дані, Ньютон підрахував, наскільки відхиляється Місяць за секунду від прямої лінії, по якій він повинен був би рухатися, якби його не притягувала Земля. Ця величина дещо більша, ніж 1,25 мм. Місяць знаходиться в 60 разів далі від центра Землі, ніж ми. Отже, якщо закон оберненої іропорційної залежності від квадрата відстані є вірним, то предмет біля поверхні Землі при падінні повинен пролітати за секунду 1,25 * 602, тому що на орбіті Місяця предмети притягаються в 60-60 разів слабкіше. Отже, 1,25 602 — це приблизно 5 м. Вимірювання Галілея показали, що, падаючи біля поверхні Землі, тіла пролітають за секунду 5 м. Це означало, що Ньютон на вірному шляху, тому що якщо раніше були відомі два незалежних факти: по-перше, період обертання Місяця й величина його орбіти і, по-друге, відстань, яку пролітає тіло, падаючи біля поверхні Землі, — то тепер ці факти виявилися тісно пов'язаними.

Таким чином, доцентрова сила, яка впливає на рух Місяця, на поверхні Землі повинна була б дорівнювати силі ваги. Сила, з якою Земля притягує Місяць і спричинює його рух по криволінійній орбіті, є земна сила ваги, дія якої поширюється аж до Місяця.

Якщо Земля притягує Місяць, то і Місяць з такою ж силою притягує Землю. З кеплерівських законів обертання планет навколо Сонця випливає, що доцентрова сила планет спрямована до центра Сонця, а доцентрова сила супутників — до центрів планет; ці сили оберненопропорційні квадратам відстаней до центрів тяжіння. Таким чином, закон тяжіння пояснює також рух планет і їхніх супутників. Досліджуючи рух комет, припливи й т.д., Ньютон в усьому бачить підтвердження свого закону.

Пізніше він переходить від небесних тіл до мікросвіту й прагне довести, що дрібні частинки речовини також зазнають взаємного тяжіння, яке пропорційне їх масі. Учений стверджує, що всі, без винятку, тіла — від нерухомих зірок до дрібних частинок — зазнають тяжіння, величина якого пропорційна добутку їхніх мас та оберненопропорційна квадрату відстані. Земля притягує Місяць, але і її саму притягує Сонце, і все це доповнюється зворотним впливом Місяця на Землю, Землі на Сонце й т.д. Відповідно, формула доцентрового прискорення перетворюється на формулу взаємного тяжіння

де G - множник пропорційності, а—

маси тіл, які взаємно притягаються одне до одного.

Віддаючи данину генію Ньютона, усе-таки слід зазначити, що закон всесвітнього тяжіння має ряд недоліків: він неспроможний, коли йдеться про обчислення руху Меркурія, передавання тяжіння через порожнечу, він визнає необхідність першого поштовху. На що "тірокляті питання" старої механіки дала відповідь загальна теорія відносності.

Математичне узагальнення

Математичним узагальненням, які дозволили сягнути злету механічної концепції світу, були поняття похідної, диференціала й інтеграла — основи для аналізу нескінченно малих. Створюючи аналіз нескінченно малих, Ньютон виходив з поняття похідної. її прообразом була змінна швидкість тіла, що рухається під дією сили.

Якщо тіло рухається за інерцією, то рух відбувається за законом, що пов'язує положення тіла з часом, -тобто йдеться про лінійну залежність цього положення від часу. Швидкість на всьому відрізку постійна, вона збігається зі швидкістю в точці, і шлях тіла ми визначаємо, помноживши час руху на цю незмінну швидкість. Якщо ж тіло рухається під впливом незмінної сили, то постійною є не швидкість, а прискорення.

Ньютон узагальнює поняття шляху, пройденого частинкою, і її швидкості й уводить поняття флюенти (змінної) і флюксії (швидкості зміни флюенти, тобто похідної цієї змінної). У Ньютона не було виразного уявлення про флюксії як про границю відношення залежної змінної до її аргументу. Але Ньютон указав шлях, що веде до такого уявлення, ввівши поняття, які допомогли сформулювати концепцію нескінченно малих змінних величин і похідної як їх граничного відношення. Граничне відношення, наприклад граничне відношення шляху до часу, тобто швидкість, з абсолютною точністю характеризує рух у даній точці й у даний момент часу. Констатація швидкості в точці й узагалі будь-якого граничного відношення змінних величин не пов'язана з яким-небудь компромісним ігноруванням справжньої довжини величин, нескінченно малі зберігають свою довжину, і ми визначаємо похідну не як відношення цих змінних величин, а як границю, до якої наближається це відношення, коли змінні прямують до нуля.

Ньютон обрав шлях, що веде до уявлення про нескінченно малі як змінні величини і до поняття границі, уводячи "перші відношення" величин, що зароджуються, і

"останні відношення" зникаючих величин. Ці поняття фігурують у "Міркуваннях про квадратури кривих" і в "Началах". Тут мова йде аж ніяк не про "останні відношення" величин у той момент, коли ми визнаємо їх достатньо малими, щоб знехтувати ними, мова йде про "останні відношення", до яких змінні величини прямують, не досягаючи їх, тобто про граничні відношення.

У роботі "Метод флюксій і нескінченних рядів" Ньютон розглядає дві задачі — визначення флюксій за флюентами, наприклад, миттєвої швидкості за пройденим шляхом (тобто про задачу диференціювання), і визначення флюент за флюксіями, наприклад, шляху за швидкістю (тобто про задачу інтегрування).

Ньютон увів позначення для похідних: першу похідну від величини X він позначив X, другу — X. Таким чином, якщо X — координата частинки, то її швидкість X, а прискорення X. Для похідних за часом ці позначення застосовуються й у наш час. Запропоновані математичні поняття являють собою узагальнення механічних категорій. Відповідно, незалежною змінною може бути будь-яка величина, якщо розглядати відношення до неї всіх інших величин, які можуть змінюватися як рівномірно, так і довільно. Подібне узагальнення сприяє становленню нових фізичних понять. Уявімо собі, що незалежною змінною є простір, наприклад, відстань від центра тяжіння, і нам потрібно обчислити силу тяжіння в кожній точці. У наш час відомо, що розв'язання подібних задач пов'язане з уявленням про силове поле — простір, де кожній точці відповідає певне значення сили, що діє на одиничну масу. Ми знаємо також, що подібна формальна континуалізація тяжіння, що заповнює простір суто математичними величинами, перетворилася згодом на картину матеріального середовища, в якому сила передається від точки до точки (після того, як було доведено існування скінченної швидкості поширення взаємодії). Таким чином, математичне узагальнення механіки дальньої дії сприяло створенню фізики близької дії.

Ньютонівська оптика

Фізичні ідеї, що лежать в основі механіки Ньютона, висловлені переважно в його роботах з оптики. З погляду загальної історії природознавства, оптика Ньютона має першорядне значення, тому що в ній знаходимо найглибші фізичні, часто кінетичні, іноді суто картезіанські за своїм духом корені класичної механіки.

Вихідним пунктом оптичних експериментів Ньютона були