при прямують до нескінченності, тобто прямує до нескінченності при , чого не може відбутися з виразом (3), якщо число різних звичайне. Може здатися, що гора народила мишу, але чуття не обдурило Ейлера. Це стало ясно, коли Діріхле довів нескінченність числа простих чисел в арифметичній прогресії з взаємно простими першим членом і різницею (узагальнення теореми Евкліда), відправляючись саме від наміченого доведення Ейлера (доведення Евкліда не переноситься на випадок арифметичних прогресій, відмінних від натурального ряду).

Ейлер вiдкриває ще одну таємницю в світі простих чисел. Його аналітичне чуття, що сильно випереджало технічні можливості, підказує, що при великих близька до — перший крок в отриманні закону розподілу простих чисел в натуральному ряду. Ейлер відчуває, що функцію можна продовжити навіть на ті значення , для яких її не можна визначити як суму ряду. Більш того, він помічає зв'язок між значеннями в точках і (те, що пізніше буде сформульоване Ріманом у вигляді знаменитого функціонального рівняння). Ейлер досліджує значення в цілих точках. Ми розповімо нижче, як він розібрався з випадком парних аргументів, а симетрію між і він розраховував застосувати до дослідження ж в непарних точках. Відзначимо, що про арифметичну природу значень дзета-функції в непарних точках стало дещо відомо лише в найостанніші роки: у 1979 році було доведено, що число ірраціональне, а літом 2000 року був анонсований результат, згідно якому серед чисел, що є значеннями дзета-функції в непарних точках, міститься нескінченно багато різних ірраціональних чисел.

3.3. Нескінченні суми і нескінченні вирази були улюбленим об'єктом Ейлера в аналізі. Нескінченними сумами (рядами), зокрема, степеневими рядами

багато користувався Ньютон (наприклад, при дослідженні бінома для нецілих ). Ньютон, не дуже акцентуючи на цьому увагу, мав на увазі ряди, у яких збiгаються суми послідовних доданків (як у спадної геометричної прогресії). Хоча Ейлер чудово розуміє, що ряд може не підсумовуватися, він сміливо працює з рядами, не піклуючись про збіжність: формально перемножує, ділить ряди, почленно диференціює і т.д. Це передвістя сучасної роботи з формальними рядами в алгебрі. Не обмежуючись формальними діями, Ейлер хотів приписувати числові значення рядам, що розбiгалися. Нащадки неодноразово засуджували його за насправді сумнівні твердження типу

А з іншої сторони, Ейлер брав часткові суми гармонійного ряду і помічав, що якщо відняти , то різниця прямуватиме до кінцевої константи ..., що нині носить ім'я Ейлера. Це — важливий приклад виявлення природи розбiжностi. Не маючи необхідного апарату, Ейлер відчув, що ряди, що розбiгаються, необхідні в математиці, а вражаюча інтуїція страхувала його при нестрогих міркуваннях від помилкових висновків. В той же час його епігони, що не мали такого могутнього захисту, допустили немало помилок і безглуздостей.

Ейлер дивиться на нескінченні ряди як на многочлени нескінченного степеня і аналогічно формулює для них правило розкладання в нескінченний многочлен лінійних множників. Якщо сума ряду

рівна нулю в точках ., то вона співпадає з нескінченним виразом

Ейлер не дає цьому затвердженню ні обгрунтування, ні строгого формулювання, а прямо переходить до прикладів. Він виходить з нескінченного ряду

його сума має нулі при , звідки робиться висновок:

Формально виконуючи множення дужок, збираючи коефіцієнт при і порівнюючи з коефіцієнтом в ряду зліва, отримуємо

Це — значення дзета-функції в точці . Отриманий ряд досліджував ще Я. Бернуллі, але не зміг знайти його суму. Ейлер до цього ряду придивлявся давно. Він спочатку знав його суму з сімома знаками: , а потім обчислив ще вісім знаків. Розуміючи, що проведені ним викладення строго не виправдані, Ейлер перш за все знайшов з сімома знаками і порівняв з відомою йому відповіддю. Вийшов збіг! Це відбувалося в 1735 р. Порівнюючи коефіцієнти при подальших степенях в ряду і многочлені, Ейлер без зусиль знаходить , . Він розуміє, що і цікавиться природою коефіцієнтів . Для них він отримує рекурентні формули, достатні для обчислень, але це не задовольняє Ейлера.

Майже в той же час Ейлера хвилювала інша числова послідовність, що виникла з абсолютно іншого завдання. Він хотів застосувати інтеграли до оцінки сум великого числа доданків

(4)

Вийшла формула (тепер її називають формулою Ейлера — Маклорена):

(5)

і далі при наступних похідних — загадкові коефіцієнти, які Ейлер умів обчислювати, але не знав простій закономірності для них. Яке ж було здивування Ейлера, коли виявилося, що коефіцієнти в його формулі рівні

(6)

Тільки найбільшим математикам природа дарує такі дивовижні збіги! Адже прямого зв'язку між завданнями немає. А потім Ейлер пригадав про чудову числову послідовність , що виникла у Я. Бернулли при обчисленні суми кiлькох степенів перших натуральних чисел ( зараз називають числами Бернуллі), і виявилось, що

крім того, при розкладанні по степенях коефіцієнт при рівний . Числа Бернуллі були відомі до Ейлера, але Ейлер був першим, хто зрозумів, що вони таємничим чином виникають в різних завданнях. Ейлера постійно хвилювало, що його обчислення необгрунтовані. Він придумує ще один аргумент, що підсилює висновки з його числових експериментів. Серед розглянутих ним прикладів був приклад, заснований на розкладанні в ряд і нескінченний многочлен. Він приводив до співвідношення

,

яке вже було строго виведено Лейбніцем безпосередньо з геометричного визначення . Ейлер оцінює цей збіг як дуже сильний: «Для нашого методу, який може деяким показатися недостатньо надійним, тут виявляється велике підтвердження. Тому ми взагалі не повинні сумніватися в інших результатах, виведених тим