Ейлер продовжує маніпуляції з нескінченними многочленами. Він обчислює ряд, що відповідає нескінченному многочлену

,

і помічає, що в нім багато степенів відсутні:

у ненульових членів знаки міняються через два. Для Ейлера не склало труднощів розгадати закономірність послідовності показників ненульових доданків. Він розглядає послідовні різниці: розбиває послідовність, що вийшла, на дві: натуральний ряд і послідовність непарних чисел, і в результаті для початкової послідовності показників отримує вираз: члени -ї пари — це , причому знак при співпадає з . Проте Ейлерові не вдається навіть на формальному рівні довести збіг нескінченного многочлена і ряду: «Я довго марно розшукував строге доведення рівності між цим рядом і нескінченним многочленом

,

і я запропонував це питання деяким з моїх друзів, здібності яких в цьому відношенні мені відомі, але всі погодилися зі мною, що це перетворення многочлена в ряд вірне, хоча ніхто не зумів розкопати який-небудь ключ для доказу. Таким чином, це пізнана, але не доведена істина...». До речі, числа виду були відомі ще грецьким математикам (принаймні, Нiкомаху в I столітті); це так звані п'ятикутні числа.

До обговорюваного завдання Ейлер прийшов, відштовхуючись від іншого завдання. Хай — число представлень натурального числа у вигляді суми парного (непарного) числа різних доданків. Проаналізувавши, якими способами виникає член при перемножуванні неважко переконатися, що коефіцієнт при в точності рівний . Це означає, що твердження, до доведення якого прагнув Ейлер, рівносильне тому, що для всіх , відмінних від , а для цих чисел

(знак можна уточнити). Саме це твердження цікавило Ейлера, а розгляд нескінченних многочленiв і рядів — це лише спосіб довести його.

Ейлер пов'язує з розглянутим поряд ще одне чудове арифметичне твердження для — суми дільників числа . Маніпулюючи з , Ейлер отримує

Отримане співвідношення Ейлер називає «найбільш надзвичайним законом чисел, що відноситься до суми їх дільників». Не вбачивши ніякого шляху до його прямого доведення, він перевіряє закон при , а потім при (просте число) і і пише: «Приклади, які я тільки що розібрав, безумовно розсіють будь-які сумніви, які ми могли б мати відносно справедливості цієї формули. Це прекрасна властивість чисел тим більше дивно, що ми не відчуваємо ніякого розумного зв'язку між структурою моєї формули і природою дільників, з сумою яких ми тут маємо справу».

3.4. Завдання про число представлень натуральних чисел у вигляді сум доданків деякої природи (як говорив Ейлер, завдання про «розбиття чисел») довго були в центрі його уваги. Можливо, первинний поштовх дали завдання, що містилися в листі Ф. Ноде (1740 р.), прізвище якого нічого не говорить нашому сучаснику. До цих завдань Ейлер застосував апарат нескінченних многочленiв. Ось декілька прикладів. Ейлер стверджує, що

(7)

Міркування полягає в тому, що якщо помножати ліву частину послідовно на ., то поступово зникатимуть всі ненульові степені, а це і означає тотожність (це міркування можна зробити строгим за допомогою теорії меж). Після розкриття дужок в лівій частині виходить ряд —

число уявлень у вигляді суми різних натуральних доданків. Права частина за допомогою суми нескінченної геометричної прогресії записується у вигляді

,

і вона рівна , де — число уявлень у вигляді суми непарних доданків, серед яких можуть бути однакові (чому?). Ейлер робить висновок про збіг числа представлень . Спробуйте довести цей збіг безпосередньо, і ви переконаєтеся, що не видно, як підійти до цього завдання.

Наступне міркування виходить з тотожності

щоб переконатися в його правдоподібності, можна помножити обидві частини і прослідкувати, як послідовно зникають ненульові степені в обох частинах. З нього відразу виходить, що кожне число одним і лише одним способом представляється у вигляді суми різних степенів двійки.

Метод Ейлера пізніше отримав назву методу функцій, що проводили. Функції натурального аргументу (наприклад, число якогось розбиття)ставиться у відповідність функція, що є сумою нескінченного ряду

Ідея Ейлера, підтверджена на численних прикладах, полягала в тому, що у властивостях функції своєрідно виявляються арифметичні властивості послідовності . Характерно, що чисте арифметичне доведення результатів Ейлера про розбиття, доведене Ейлером аналітично, було отримане лише в другій половині XIX століття. Методом Ейлера був пізніше доведений ряд чудових результатів. Наприклад, Якобі не тільки передовiв теорему Лагранжа про представлення натурального числа у вигляді суми чотирьох квадратів, але і знайшов число таких представлень.

Завдання про розбиття відходили від арифметики Діофанта і Ферма не тільки по методах, але і по постановках. Вони починали адитивну теорію чисел (на відміну від мультиплікативної). До адитивної теорії чисел відносилися і знамениті проблеми Гольдбаха, поставлені в листі до Ейлера. Серед них широко відома гіпотеза, що кожне непарне число можна подати у вигляді суми трьох простих, а кожне парне — двох. Для чималих непарних чисел це було доведено І. М. Віноградовим. Ейлер, вірний своїм правилам, ретельно продумав ці завдання. Гіпотезу про те, що кожне непарне число є сумою простого і подвоєного квадрата, він перевірив при (це не доведено і до цього дня). Він сформулював декілька нових гіпотез. Наприклад, залишилася