.

Виявилось, що Ейлер знав про чудові властивості цієї функції, зокрема, про теореми складання.

Найважливіший технічний прийом, якого не вистачало Ейлерові, — це продовження спеціальних функцій в комплексну область. Але Ейлер вже робив перші кроки в побудові комплексного аналізу: він разом з Даламбером (правда, у зв'язку із задачами гідромеханіки) розглянув рівняння Коші — Рімана, які задають аналітичні функції комплексних змінних; користувався комплексними підстановками для обчислення інтегралів, а в останні роки життя обчислював невизначені інтеграли через інтеграли від комплексних функцій, дуже близько підійшовши до теорії Коші контурної інтеграції на комплексній площині.

Найбільш знаменитим результатом Ейлера в комплексному аналізі є його відкриття зв'язку між показниковою і тригонометричною функціями в комплексній області, яку неможливо побачити, залишаючись в межах дійсних чисел. Формулу Ейлера

.

Ж.Л.Лагранж (1736-1813) назвав «одним з найбільш прекрасних аналiтичних відкриттів, зроблених в справжньому столітті». Формула справляє сильне враження і сьогодні. Її можна дуже легко отримати через ряди або функціональні рівняння, і рідко згадують, як вона з'явилася в математиці XVIII століття. Дивно, що логіка її відкриття була достатньо прямолінійною. На початку століття Бернуллі (1667-1748), вчитель Ейлера, займаючись завданням про інтеграцію раціональних дробів, звернув увагу на співвідношення

Якщо його формально проінтегрувати, то зліва виходить арктангенс, а справа — логарифм, правда, уявного аргументу. Після нескладних перетворень виходить формула

(9)

яка тривіально перетвориться у формулу Ейлера. Хоча Бернуллі і не виписав (9), він безуспішно намагався додати сенс обчисленням, що зустрічалися тут, з уявними величинами. На цьому грунті виникла відома дискусія (1712 — 1713 рр.) між Бернуллі і його вчителем Лейбніцом про логарифми вiдэмних чисел, а в 1714 р. «формула Ейлера» промайнула без необхідних обґрунтувань у Рождера Коутса (1682 — 1716), рано померлого сподвижника Ньютона. Ейлер, будучи добре поінформованим в проблемах, що хвилювали його вчителів, в 1728 р., використовуючи обчислення, виводить (9), а в 1739 р. він розвинув теорію логарифмів в комплексній області так, що всі формули стали коректними і суперечності зникли , де — довільне ціле число).

Пошуки спеціальних функцій неможливо відокремити від виділення важливих класів диференціальних рівнянь. Вже ніхто не сумнівався, що явно проінтегрувати довільні диференціальні рівняння не можна. Ейлер бере активну участь у виділенні тих рівнянь, які виникають з фізики. Він розглядає ряд рівнянь у зв'язку із завданнями гідромеханіки, коливання струн і мембран, розповсюдження звуку: тут і рівняння Лапласа, і деякі варіанти хвильового рівняння, і ін. Для Ейлера був характерний аналітичний погляд на фізику. Він прагнув звести фізичні завдання до рішення тих або інших диференціальних рівнянь. У механіці він перший перейшов від геометричної мови Ньютона до аналітичної.

Підводячи підсумки діяльності Ейлера в області аналізу, підкреслимо, що Ейлер віддавав перевагу аналітичним методам при рішенні як загально математичних, так і прикладних задач. Але ніколи аналіз не був для Ейлера самоціллю. Можна пригадати, що він (на відміну від Даламбера) наполегливо шукав доведення основної теореми алгебри (існування комплексного кореня у будь-якого рівняння алгебри). Доведення алгебри знайти не вдалося, і Г. Фробенiус (1849 - 1917) з жалем відзначав, що чудовим розглядам алгебри Ейлера не віддано належного, а багато чого з неї несправедливо приписується Гаусу.

3.6. Заняття Ейлера геометрією носили більш уривчастий характер. Другий том «Введення в аналіз» є першим підручником аналітичної геометрії. Дуже багато що в аналітичній геометрії йде від Ейлера. Він першим розглянув афiнне перетворення (і ввів цей термін), досліджував групу обертань, пов'язавши отримані при цьому результати з рухом твердого тіла. Ейлер продумував можливості застосування аналізу до геометрії, зробивши перші кроки в диференціальній геометрії. Одним з перших розглянув він і геометричні завдання, пов'язані з картографією, відштовхуючись від питання, в якому сенсі плоске зображення на карті подібне до відповідної картини на сфері (поверхні земної кулі). Багатьом здався несподіваним зв'язок, що виявився при цьому, з комплексними числами.

Навіть у елементарній геометрії Ейлер виявив факти, які ніхто не відмітив раніше, наприклад, що в трикутнику ортоцентр, центр описаного кола і центр тяжіння лежать на одній прямій — прямій Ейлера. Здається, і теорему про перетин трьох висот трикутника в одній точці , пропущену у Евкліда, ніхто до Ейлера явно не сформулював.

Ейлер і в геометрії бореться за довіру до математичного експерименту: «Отже, оскільки вірність цього твердження у всіх цих випадках виправдовується, немає ніякого сумніву, що воно має місце для будь-яких тіл, так що ця пропозиція представляється достатньо обгрунтованою». Лише пізніше він знайшов загальне доведення.

Ейлер вже не викликав своїх колег на змагання за рішенням завдань, як це робив ще Ферма, але він охоче обмінювався з ними як вирішеними, так і невирішеними задачами. Звідси його результати з традиційної тематики математичних змагань: магічних квадратiв, дружніх чисел і т.д. Популярні книги до цих пір зберегли декілька просто сформульованих завдань, або придуманих Ейлером, або ним вперше вирішених. Можна пригадати про обхід шахівниці конем так, щоб жодна клітка не проходилася двічі. Інше відоме завдання — довести неможливість обійти сім кенiнгберських мостів так, щоб жоден міст не проходився двічі. На прикладі цього завдання видно, що Ейлера інтригували нестандартно