Леонард Ейлер - вирішувані задачі, оскільки ця нестандартність могла мати наслідки, що далеко йшл...

Курсова робота - Леонард Ейлер

вирішувані задачі, оскільки ця нестандартність могла мати наслідки, що далеко йшли. У березні 1736 р. Ейлер пише «чоловікові славному і знатному Маріоні»: «Колись мені було запропоновано завдання про острів, розташований в місті Кенігсберг і оточений річкою, через яку перекинуто сім мостів. Запитується, чи може хто-небудь обійти їх, переходячи тільки один раз через кожен міст. І тут же мені було повідомлено, що ніхто до цих пір не міг це виконати, але ніхто і не довів, що це неможливо. Питання це, хоч і банальне, здалося мені, проте, гідним уваги тим, що для його вирішення недостатні ні геометрія, ні алгебра, ні комбінаторне мистецтво. Тому мені прийшла в голову думка, чи не вiдноситься воно випадково до геометрії положення, яку свого часу досліджував Лейбніц.» Лейбніц насправді залишив декілька загадкових реплік про небачену геометрію, «яка розкривається перед нами в положенні, як алгебра у величинах» (лист до Гюйгенсу, 1679 р.). Ейлер безуспішно намагається з'ясувати подробиці про «геометрію положення». Він розробляє метод, що дозволяє вирішити цю задачу і що по суті відноситься до початків топології. Він відчуває, що розглянуте завдання — лише відгомін глибших проблем: «Якби можна було привести тут інші, серйозніші завдання, цей метод міг би принести ще більшу користь, і ним не слід було б нехтувати». Через місяць в листі до Елера Данцига обговорюється узагальнення завдання про мости і констатується: «Ти можеш переконатися, славний чоловіче, що це рішення по своєму характеру, мабуть, має мало відношення до математики, і мені незрозуміло, чому слід скоріше від математика чекати цього рішення, ніж від якої-небудь іншої людини, бо це рішення підкріплюється одним тільки міркуванням, і немає необхідності привертати для знаходження цього рішення які-небудь закони, властиві математиці. Отже, я не знаю, як так виходить, що питання, що мають зовсім мало відношення до математики, скоріше вирішуються математиками, чим іншими. Тим часом ти, славний чоловіче, визначаєш місце цього питання в геометрії положення, що стосується цієї нової науки, то, признаюся, мені невідомо, якого роду завдання, що відносяться сюди, бажані були Лейбніцу і Вольфу.» Так Ейлер услід за Лейбніцем бачив попереду нову область геометрії — геометрії форми, без вимірювань, — риси якої стали вияснюватися через півтора століття.

3.7. Механіка була із самого початку у полі зору Ейлера. Вже в 1736 р. виходить його «Механіка, або наука про рух, викладена аналітично». Це перша книга 29-річного ученого. Ейлер ретельно вивчив «Початки» Ньютона, в яких механіка викладена на геометричній мові. Він виявив, що з погляду додатків до конкретних завдань ефективніший перехід на аналітичну мову за допомогою використання координат. Кінець кінцем механічне завдання перетвориться в чисто математичне завдання рішення диференціальних рівнянь. Цей напрям в механіці продовжив Лагранж, який в передмові до своєї «Аналітичної механіки» констатував: «У цій роботі зовсім немає креслень, в ній тільки операції алгебри». Ейлер ясно віддавав собі звіт, що зведення механічного завдання до математичного ще не означає її рішення: «...Хоча принципи механіки, на яких засновані всі закони руху, мабуть, достатньо відомі і достатньо застосовні до загальних явищ для того, щоб з їх допомогою підпорядкувати зміни руху аналітичним формулам, проте дуже часто аналіз стає недостатнім для вирішення рівнянь... Хіба ми не бачимо, що принципи механіки щодня приводять нас до диференціальних рівнянь, рішення яких може бути знайдене тільки при такому розвитку аналізу, від якого він ще дуже далекий.»

Механіка Ньютона не виходила за межі руху матеріальних точок, потім Декарт розглянув рух плоских пластин, але тільки Ейлер перейшов до вивчення специфіки руху твердого тіла кінцевих розмірів. Зробив він це в книзі, що вийшла в світ через 29 років після виходу його «Механіки».

Механіка Ньютона починається з аксіом — трьох його законів. Ейлер вважав, що вони потребують істотно більшого мотивування, і їх слід вивести з якихось більш первинних законів всесвіту. Зроблена в 1736 р. спроба в цьому напрямі була сумнівною. Коли Ейлер був в Берліні, перед ним несподівано відкрився новий шлях розробити для механіки природніші підстави. У 1744 р. Мопертюї припустив, що всі закони руху і рівноваги в природі можуть бути виведені з того, що всякий рух відбувається так, щоб мінімальне значення прийняла деяка величина — дія. Мопертюї відправлявся від оптики (принцип Ферма), переходив до механіки, але потім тлумачив свій закон максимально широко і плутано, давав своєму закону найменшої дії теологічного тлумачення, стверджуючи, що мінімальність дії є наслідком «найбільш мудрого вживання могутності Творця». Мопертюї не пішов далі за прості механічні застосування, він захопився глобальними проблемами, які незабаром залучили його в гарячу дискусію, яка дорого йому коштувала. Даламбер писав: «Ця суперечка про дію, якщо нам буде дозволено сказати, дещо схожа на деякі релігійні спори по озлобленню, з яким він вівся, і по кількості людей, що взяли в нім участь, нічого в цьому не розуміючи».

Ейлер із самого початку на стороні Мопертюї. Йому не чужа і теологічна інтерпретація: «Дійсно, оскільки будівля всього світу здійснена і зведена премудрим Творцем, то в світі не відбувається нічого, в чому не був би видний сенс якого-небудь максимуму або мінімуму». Але перш за все Ейлер шукає точне формулювання принципу, яке дозволило б йому змінити закони механіки. Він знаходить таке формулювання у разі центральних сил, хоч і не дає доведення. Як писав

Сторінки: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19