можуть сприяти вихованню довершеного монарха (можна пригадати про Лейбніце і курфюрста Ганновера — майбутньому королеві Англії, Декарті і шведській королеві Хрістіне). Навряд чи Ейлер мав такі плани відносно принцеси Ангальт-дессауськой, старшої дочки маркграфа Бранденбург-шверінського, племінниці Фрідріха II. Ймовірно, Ейлерові було приємно займатися з допитливою тямущою принцесою, та і її відношення до ученого відрізнялося від відношення більшості родичів короля. Поступово у принцеси стає все менше часу для занять, і Ейлер вирішує заповнити пропуски в уроках листами: «Мої наміри продовжувати з Вами заняття геометрією зустрічають нові перепони, це складає для мене дійсно горе, але я хочу заповнити пропуски своїми листами, наскільки це можливо по суті предмету». Ейлера захоплює можливість систематично викласти свої глобальні погляди на всесвіт, життя, релігію. Поступово листи до принцеси орієнтуються на подальшу публікацію. У 1768 - 1774 рр. виходять три томи «Листів про різні фізичні і філософські матерії, що пишуться до деякої німецької принцеси».
Листи енциклопедичні, створюється враження, що Ейлер прагне розповісти все, що встиг продумати. Деяке уявлення про широту обговорюваних питань дає перелік тим, з яких починається перший том: поняття тяжіння, швидкість звуку і музика, світло, зір і будова ока, закон всесвітнього тяжіння, морські приливи і відливи, «про явища природних», «про кращий з світів і походженні всіх злих», «про стан душі після смерті», «о ідеалістах, егоїстах і матеріалістах», «про досконалість мови», «про силогізм», «про етичні і фізичні страждання», «про призначення людини», «звернення грішників», «про чудеса людського голосу» і т.д.
Більшість учених не прийняли філософські тексти, хоча багато хто відзначав гідність сторінок, що відносяться до популярного викладу наукових знань. Доброзичливий Кондорсе писав: «ця праця представляє щось вельми цінне по тій ясності, з якою в нім викладене все найголовніше і важливе з області астрономії, оптики і теорії звуку. Що стосується тих думок Ейлера, які відносяться до філософії, вони скоріше дотепні, чим глибокі.» Ейлер скористався сторінками «Листів» для боротьби проти вільнодумства в науці, проти матеріалізму. Він висміює «односторонніх хіміків, анатомів, фізиків, які всі пішли в свої досліди. Скільки б їм не говорили про властивості і істоту душі, вони погоджуються тільки з тим, що вражає їх зовнішні відчуття.» Все це, разом з роздумами Ейлера про релігію, викликало різкі відгуки Лагранжа і Даламбера. 2 грудня 1768 р. Лагранж писав Даламберу: «...имеется один твір, якого він не повинен був би публікувати ради своєї честі: це Листи до німецької принцеси" ». А 15 липня 1769 року він писав, що «Листи», можливо, потішать Даламбера витівками проти вільнодумців. У відповідь Даламбер порівнює «Листи» з ньютонівськими коментарями до Апокаліпсису і пише: «Наш друг — великий аналітик, але досить поганий філософ»; у листі від 7 серпня: «Ви мали повну підставу говорити, що, дороживши своєю честю, він не повинен був друкувати цей твір. Це просто неймовірно, як такий великий геній, яким він є в геометрії і аналізі, може бути в метафізиці нижче за найменшого школяра, щоб не сказати таким плоским і абсурдним, і ось дійсно відповідний випадок вигукнути: не все богами дарувало одному».
А публіці «Листа» сподобалися! Про це свідчить, що тільки в XVIII столітті вони витримали чотири видання російською мовою (спочатку вони були надруковані по-французьки). Це контрастує з тим, як туго розходилися наукові праці Ейлера (у листі до конференц-секретаря Міллеру з Берліна Ейлер пише, що з 500 екземплярів «Диференціального числення» розійшлося лише 100; на «Теорію руху твердого тіла» насилу знайшли 12 підпищиків). Вже в наші дні В. И. Вернадский писав, що перед «Листами до принцеси» «зупиняєшся в захопленні перед широтою і обдуманістю в єдине, яке б'є ключем з цього твору його дозвілля, не менш характерного для XVIII століття, чим які-небудь створення тодішнього мистецтва або музики».
Популяризаторське мистецтво, що виявилося на кращих сторінках «Листів до принцеси», було одним з проявів видатної педагогічної майстерності Ейлера. Іншим його проявом є продуманість понять, що вводяться, і сучасність позначень (від Ейлера йдуть позначення тригонометричних функцій; він вперше розглядав значення останніх за межами [0; 2р] і т.д.). Багато сил учений віддавав вихованню своїх учнів, які постійно жили в його будинку. Тексти його творів були орієнтовані не тільки на повідомлення його результатів, але і на демонстрацію його мистецтва: «Він віддавав перевагу навчанню своїх учнів над тим невеликим задоволенням, яке він би отримав, вражаючи їх. Він думав, що недостатньо зробив би для науки, якби не додав до відкриттів, якими він збагатив науку, щиросердого викладу ідей, що привели його до цих відкриттів» (Кондорсе). Звідси і готовність публікувати недоведені результати з мотивуванням їх правдоподібності, і навіть неточні, але повчальні обчислення. От як він відповів критикові, що виявив пропуски в його роботі по діоптриці: «Ви помиляєтеся, мій дорогий, якщо думаєте, що ця робота тому даремна. Навпаки, вона дуже цінна, бо містить розрахунки, які незалежно від об'єкту самого по собі, по своєму ходу і додатку, можуть служити зразком; коротше кажучи, це все-таки розрахунки нового вигляду, а це вельми не марно».
Ми не торкнулися багатьох сторін діяльності Ейлера: оптики, картографії, балістики, теорії корабля і т.д. Ми хочемо ще раз підкреслити, що в багатій спадщині Ейлера математика займає особливе місце, а в своїх математичних роботах він був перш за все аналітиком. По роботах Ейлера вчилися великі математики XIX