На 1740 р. доводиться ще один випадок, коли Ейлер відхилився від даного йому доручення (інших прикладів не відомо): він переадресував придворному астрономові складання гороскопу «Івану-царевичеві», майбутньому недовговічному імператорові Іоанну Антоновичу; втім, О. С. Пушкін повідомляє іншу версію цієї історії: «Коли народився Іоанн Антонович, то імператриця Ганна Іоанівна послала до Ейлера наказ скласти гороскоп новонародженому. Ейлер спочатку відмовлявся, але примушений був покорятися. Він зайнявся гороскопом разом з іншим академіком. Вони склали його за всіма правилами астрології, як добросовісні німці, хоч і не вірили їй. Висновок, виведений ними, налякав обох математиків — і вони послали імператриці інший гороскоп, в якому передбачали новонародженому всякі благополуччя. Ейлер зберіг проте ж перший і показував його графу Р. Разумовському, коли доля нещасного Іоанна Антоновича здійснилася».

Не перестаєш дивуватися, що всі ці численні обов'язки залишали Ейлерові час для його головної справи — для занять математикою. Саме у ці роки він склався як великий учений. Критично переосмисливши праці Лейбніца і Ньютона з математичного аналізу і механіки, і роботи Ферма по теорії чисел, він знайшов свій власний шлях в науці. Майже всі його книги і статті були опубліковані пізніше, але головне в науковій долі Ейлера трапилося в його перше петербурзьке десятиліття. Тільки фантастична працездатність і вражаюча цілеспрямованість дозволили Ейлерові сумістити малопомітні світу заняття математикою з повсякденними академічними турботами. Пізніше він писав, що для молодого ученого необхідно, щоб його спеціальність «була у нього головним предметом, і він не відривався від неї ніякими іншими заняттями». На думку Ейлера, він мав таку можливість в Петербурзі: «Такому жаданому випадку не тільки доктор Гмелін зобов'язаний всім, що зробило відомим його ім'я, але і я, та всі інші, такі, що мали щастя полягати якийсь час при Російській Імператорській Академії. Повинен признатися, скільки ми зобов'язані сприятливим обставинам, в яких тільки що знаходилися. Що власне до мене торкається, то, у разі відсутності такого чудового випадку, я б вимушений був належати до інших наук, від яких, за всіма ознаками, я б отупів тільки. Його королівська величність (Фрідріх II ) недавно мене питав, де я вивчив те, що знаю. Я згідно істині відповів, що всім зобов'язаний моєму перебуванню в Петербурзькій академії Наук».

У 1733 р. Ейлер одружувався на Катерині Гзель, дочці академічного живописця родом з Швейцарії, вивезеного Петром I з Голландії. З тринадцяти їх дітей вижили три сини і дві дочки. Для благочестивого сина сільського пастора сім'я була фортецею, в якій він міг уберегтися від вільних вдач північної столиці. Розмірене сімейне життя, маленькі радощі були необхідні Ейлерові для спокійної роботи. Ніякі наукові заняття не могли бути для нього приводом нехтувати сімейними обов'язками. Наприклад, він ніколи не був байдужим до фінансових проблем (йому приписуються слова «Де більше дадуть, туди і служити піду»).

1740 рік був, можливо, найважчим роком в житті Ейлера. З одного боку, всі ознаки благополуччя: його академічний оклад досяг максимуму—1200 крб. (стільки отримував Д. Бернуллі); він встиг багато що зрозуміти в житті російського суспільства і, зокрема, в тонкощах академічних взаємин. Йому надавав «честь своїм особливим розташуванням» фельдмаршал Мініх; Ейлер ладнав навіть зі всемогутнім управителем академії Шумахером, що вдавалося не багатьом академікам. (Можливість спокійно займатися наукою була для Ейлера найважливішою справою, та і взагалі він все життя уникав конфліктів. Можна пригадати багаторічні добрі відносини І. Бернуллі, який постійно сварився не тільки з учнями, але і з братом Яковом і сином Данилом.) З іншого боку, великий учений, що тільки наближався до тридцяти трирічного рубежу, встиг із-за постійних перевантажень ґрунтовно підірвати своє здоров'я. У 1740 р. він опинився у важкій депресії, що була пов'язана не тільки із здоров'ям, але і з постійною напругою із-за нестійкості політичного життя в Росії. У Ейлера вистачило витримки пережити десятиліття бароновщини, але передуюче після смерті Ганни Іоанновни нове регентство налякало його. Він згадував, що «передбачалося щось небезпечне», і «після кончини достославної імператриці Ганни — при тому, що послідував тоді регентстві — справи стали йти погано». На той час з'являється можливість переїхати до Берліна до Фрідріха II, і Ейлер подає прохання про відставку: «.. .того ради знаходжуся примушений, як ради слабкого здоров'я, так і інших обставин, шукати приємного клімату і прийняти від його королівської величності пруського покликання, що чинить мені. Того ради прошу імператорську академію наук мене прихильно звільнити і забезпечити для мене і домашніх моїх проїзду потрібним паспортом... ». Він обіцяє зберегти контакти з Академією, «в здоров'ї, з німецької землі знову до Росії повернутися». Втім, до Пруссії Ейлер писав, що «твердо зважився жити під славним правлінням» Фрідріха. 29 травня 1741 р. Ейлер звільняється із служби, а пізніше задовольняється його прохання «почесним членом Академії наук чинити, з визначенням пенсії по двісті рублiв в рік ». З Ейлера береться обіцянка «через повсякчасну кореспонденцію і іншими математичними засобами більш того служити, ніж як він в дійсній академічній службі був».

2.2. Отже, Ейлер в Берліні. Фрідріха II немає в місті. Від занять наукам його постійно відволікає війна: за його власними словами, йому постійно доводилося воювати з «трьома блудницями» (Марією-Терезою, Єлизаветою, маркізою Помпадур). З року в рік відкладається відкриття Берлінської Академії наук