Одного разу Ферма запропонував Френклю і Сенмартену побудувати прямокутний трикутник з цілочисельними сторонами, у якого сума катетів і гіпотенуза — квадрати, тобто розв’зати в цілих числах систему рівнянь

,

Ферма запідозрили в тому, що він дав «неможливе» завдання. Ейлер досліджував цю систему, чудову тим, що її найменше розв’язання задається 13-цифровими числами: 1 061 652 293 520, 4 565 486 027 761.

Ейлер розглядає рівняння

,

яке він називає рівнянням Пелле. Він виявляє зв'язок його найменшого розв’язку з розкладанням в нескінченний ланцюговий дріб. Численні приклади переконують Ейлера, що виходить періодичний ланцюговий дріб, але доведення цього факту лише пізніше знайшов Лагранж.

Ферма стверджував, що всяке просте число вигляду може бути представлене у вигляді суми двох квадратів, причому єдиним чином (прості числа виду , як легко показати, не представляються у вигляді суми квадратів). Ейлер встановлює, що вірне і обернене: якщо представлення у вигляді суми квадратів існує і єдине, то — просте число. Він показує, що цією властивістю іноді можна користуватися для доведення простоти . Наприклад, число складене, оскільки разом з сумою є сума . Далі, Ейлер показує, що аналогічною властивістю володіють форми , . У вигляді представляються, причому єдиним чином, прості числа виду , , а числа, що допускають неєдине уявлення, є складеними. Аналогічне єдине уявлення у вигляді допускають тільки прості числа (вони мають вигляд ). Після цього Ейлер переходить до загального завдання: чи вірно, що число допускає єдине уявлення у вигляді ( фіксоване) тоді і тільки тоді, коли — просте число. Це твердження виявилося вірним при всіх , але при вдалося пред'явити складене число, допускаючи єдине уявлення. Ситуація заінтригувала Ейлера. Він назвав число зручним, якщо у вигляді єдиним чином представляються лише прості числа. Ейлер отримує критерій, що дозволяє перевіряти зручність чисел, і з цікавістю виписує зручні числа одне за іншим; після 10 йдуть 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24... Поступово зручні числа зустрічаються все рідше. У першій тисячі їх набралося 62, але Ейлер наполегливо продовжує обчислення, ймовірно сподіваючись помітити закономірність. Він виявив ще тільки три зручні числа: 1320, 1365, 1848, хоча, не втрачаючи терпіння, він перебрав всі числа до 10000 і декілька далі. Ейлер мав всі підстави висловити гіпотезу, що сукупність зручних чисел обмежується знайденими їм 65 числами. Гаус зробив розгляди Ейлера коректнішими, але нових зручних чисел не знайшов. Зараз доведена кінцівка безлічі зручних чисел, але невідомо, чи існують зручні числа, більші 1848. Ця робота дуже характерна для творчого методу Ейлера, що проробляв величезну експериментальну обчислювальну роботу як для перевірки гіпотез, так і з метою побачити нові закономірності. З великих математиків цим індуктивним методом досконало володів, мабуть, тільки Гаус.

На цьому ми закінчимо огляд тієї сторони арифметичної діяльності Ейлера, в якій він був послідовником Ферма. Він включив твердження Ферма в далеко продуману картину мультиплікативної (пов'язаною з подільністю) теорії чисел, безпомилково побачивши практично всі її основні теореми і проблеми. Доведення деяких ключових тверджень залишилося на долю послідовників Ейлера. Вже по деяких прикладах можна побачити особливості наукового стилю Ейлера. Перед ним було декілька прекрасних завдань, на яких можна було зосередитися на роки, якщо не на все життя, але жодна конкретна проблема не мала для Ейлера пріоритету перед відтворенням цілісної картини, перед нестримним бажанням рухатися вперед. Він постійно повертався до завдань, що не вийшли, уміло дозуючи час, що приділяється тій або іншій проблемі. Трудність виникаючих проблем, свідомість, що він вимушений відмовитися від отримання строгого доведення, привели Ейлера до формування способів встановлення математичної істини, відмінних від доведення. Експеримент виходить на перший план не тільки при обдумуванні завдання або гіпотези: ретельно проведений числовий експеримент на великому матеріалі у внутрішній системі цінностей Ейлера іноді рівнозначний встановленню істини. Він говорить про «пізнані, але не доведені істини» і прагне до того, щоб такого роду аргументація отримала громадянство в математиці. Отримання строгого доведення для Ейлера залишається найважливішою метою, але на деякій стадії він свідомо відмовляється від подальшого пошуку, ретельно опрацьовуючи евристичні міркування.

3.2. Теорія чисел зобов'язана Ейлерові ідеєю, яка незабаром абсолютно змінила її обличчя. Йдеться про застосування в арифметиці математичного аналізу. Важко було уявити таку можливість. Спочатку вона здивувала самого Ейлера: «І хоча ми тут розглядаємо природу цілих чисел, до якої Числення Нескінченно Малих здається неприкладеним, проте я прийшов до свого висновку за допомогою диференціювань і інших прийомів».

Ейлер для рiзних розглядає суму нескінченного ряду

(2)

Шляхом нестрогого міркування Ейлер доводить, що ця нескінченна сума співпадає з нескінченним виразом по простих числах

(3)

Це міркування полягає в наступному: при множник розглядати як суму нескінченної геометричної прогресії

Перемножуючи ці нескінченні суми по всіх простих і обмежуючись доданками, в яких при всіх , окрім кінцевого числа, береться 1, ми приходимо до нескінченної суми (2). Тут треба ще багато що додати, щоб це міркування стало строгим, починаючи з надання сенсу сумі нескінченного числа доданків і нескінченного числа множників. У Ейлера цього немає.

Він відчуває, що ці розгляди ведуть до виключно серйозних арифметичних результатів, але сам може пред'явити лише новий доказ висхідною ще до Евкліда теореми про нескінченність безлічі простих чисел. Річ у