Ковалевська показує свої матема-тичні праці Чебишову. Він дав їм високу оцінку за свіжість, глибину думок і порадив одну з них прочитати на VI з'їзді природодослідни-ків і лікарів, що мав відбутися у Петербурзі в 1879 р. Доповідь Ковалевської на тему «Зведення деякого класу абелевих інтегралів третього рангу до еліптичних інтегралів” вислухали з великою увагою. Видатні вчені М.Є. Жуковський і К.А. Тимирязєв щиро радили їй працювати й далі в цій галузі, бо вона «народилася для математики».

У 1880 р. Ковалевська переїжджає в Москву і просить дозволу складати екзамени на ступінь магістра, але її прохання було відхи-лено. У 1881 р. вона виїхала у Бер-лін, а потім у Париж. Але і тет не змогла знайти місця викладача у вищій школі. Того ж 1881 р. Ко-валевська повернулася до Росії.

У серпні 1883 р. VII з’їзд приро-додослідників і лікарів, що відбув-ся її Одесі, одноголосне обрав Со-фію Василівну головою математич-ної секції. Тут було зачитано дві до-повіді - доктора філософії С.В. Ковалевської і професора Московсько-го університету Л.Є. Жуковського. Доповідь, С.В. Ковалевської „Про інтегрування диференціальних рів-нянь з частинними похідними, що визначають заломлення світла в прозорому кристалічному середови-щі» викликала великий інтерес. На-ступного, 1884 р. Софія Василівна зробила доповідь на цю саму тему на засіданні Паризької академії наук. Пізніше її було надруковано в запис-ках Паризької академії наук і Сток-гольмської академії наук. Праця була високо оцінена вченими всього світу, вона принесла авторці широ-ку популярність у наукових колах.

На VII з'їзді природодослідни-ків Софія Василівна зустрілась з професором Стокгольмського уні-верситету Міттаг-Леффлером і ді-стала запрошення зайняти посаду приват-доцента в новому Стокгольмському університеті. Ковалевська дала згоду і незабаром була запро-шена в Стокгольм офіційно.

До Стокгольма Софія Василівна приїхала в листопаді 1883 р, а з січня 1884 р. почала читати лекції про диференціальні рівняння з час-тинними похідними. У першому семестрі вона читала лекції німецькою мовою, а до початку другою семестра оволоділа шведською мовою настільки, що читала цією мо-вою лекції шведським студентам.

Рада університету обрала С. В Ковалевську штатним орди-нарним професором. Шведські газе-ти помістили її портрети і біогра-фію. Професор Міттаг-Леффлер одержував листи від газетярів Па-рижа, Лондона і Відня з проханням надіслати портрет і біографію С. В. Ковалевської. Наступного ро-ку в Стокгольмському університеті С. В. Ковалевській запропонували читати, крім лекцій з чистої мате-матики, курс лекцій з механіки.

Поряд з читанням лекцій в уні-верситеті Софія Василівна наполег-ливо проводила дослідження. Сві-тову славу Ковалевській принесла її фундаментальна праця «Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки». До Ковалевської над цим питанням працювали Ейлер і Лагранж. Після їх праць тільки праці Ковалевської просунули вперед розв’язання цієї задачі.

У 1888 р. Паризька академія наук оголосила третій конкурс ні кращу працю з цієї темп з видачею премії Бордена на три тисячі фран-ків. Перші два конкурси не дали очікуваних результатів, і премію ні-кому не присудили. Софія Василів-на надіслала свою роботу на кон-курс, узявши за девіз французьку приказку: «Говори, що знаєш, роби, що повинен; що буде, те й буде”. На конкурс було подано 15 праць. Спеціальна комісія Паризької академії визнала, що твір під девізом «Говори, що знаєш», відмінний, що в ньому відкрито новий випадок. Враховуючи всі наукові якості цієї праці, комісія ухвалила присудити авторові твору збільшену премію: замість трьох тисяч — п'ять тисяч франків. Ця праця була надруко-вана в наукових записках Паризь-кої академії наук за 1889 р.

Повернувшись у Стокгольм, Со-фія Василівна з властивою їй наполегливістю знову взялася за до-слідження і написала ще дві праці про рух тіла навколо нерухомої точ-ки, за які Стокгольмська академія наук видала їй премію 1500 крон.

Але слава, блискучі успіхи в на-уці, вечори і прийоми, що влашто-вувались на її честь, не могли за-глушити в Ковалевської бажання жити і працювати на рідній землі. Вона робить останню спробу: у квітні 1889 р. виїздить у Росію з на-дією, що її оберуть членом Петер-бурзької Академії наук. Зустріли її н Петербурзі сердечне, з радістю. Група визначних учених щиро під-гримувала наміри Ковалевської і намагалася допомогти їй. У листо-паді 1889 р. за пропозицією акаде-міків Чебишова, їм ненецького і Буняковського її було обрано почес-ним членом-кореспондентом Петер-бурзької Академії наук, проте це обрання не давало їй ніяких прав щодо роботи в Росії.