Математик Вороний

На початку своєї математичної кар'єри Вороний займався теорією алгебраїчних чисел; пізніше він вивчав питання ана-літичної теорії чисел і заснував, разом з Мінковським, новий розділ теорії чисел - геомещпю чисел. Важко перерахувати усі здобутки Вороного в теорії чисел, навіть не зважаючи на той сумний факт, що він помер дуже молодим. Наша мета — коротко окреслити увесь йоге ~клад у теорію чисел та обгово-рити деякі з його відкриттів до владніше.4 Більше про досягне-ння Вороного та про його жн-тя можна знайти у монографії Делоне [20], а також у біографічних статтях Ситої [92] і Сако-вича та Слободенюка [7S].

Подяки. Я дуже вдячний моїй дружині Расі за переклад на англійську кількох уривків зі статей українською і російською мовами та за створення рисунків до цієї статті. Рисунок 3 ство-рений за допомогою Mathematics notebooks Еріка Вайсстайна.5 Я також вдячний проф. А.Юрачківському за ретельне про-читання рукопису і хтравлення помилок.

1. Числа Б ер h ул л і

Вчителями Вороного на фізико-математичному факульте-ті в Санкт-Петербурзі були аналітик Сохотський, теорстико-числовик Коркін і відомий імовфносник Марков. Останній тоді був молодим професором і прачював у області теорії чисел та аналізу (теорія неперервних дробів, границі інтегралів, теорія наближень, збіжність рядів).

Пізніше, наслідуючи свого вчителя Чебишова, Марков засто-сував метод неперервних дробів до теорії ймовірностей і став відомим своїми новаторськими роботами в області дискретних випадкових процесів і результатами про марковські спектри квадратичних ірраціональностей. Під його керівництвом Во-роний зацікавився проблемами теорії чисел. У своїй дипломній роботі 1889 року (опублікованій через рік у вигляді статті [96]) він розглянув арифметичні властивості чисел Бернуллі, які ви-кликають інтерес з кількох причин.

Числа Бернуллі Дк- визначаються рівністю

Легко бачити, що числа Вк раціональні, дорівнюють нулю для непарних індексів к > 3 і задовольняють рекурентне співвідно-шення

Через числа Бернуллі виражаються деякі значення ріманової дзета-функції (2). У 1737 році Ойлер [27] довів красиву фор-мулу а також загальнішу (4)

Слід зауважити, що явний вираз для Ј(2п + 1) досі не відомий; Ейпері довів, що число С(3) — ірраціональне, але для кожного п > 2 питання про арифметичну природу числа ((2п + 1) досі лишається відкритим (див. деталі в [90]).

У 19-му столітті фон ПІтаудт і Клаусеп (незалежно) довели, що для кожного парного натурального числа т

(5)

де р — просте число. Наприклад,

Із (5) випливає, що рВт - I mod р для т, кратного р— 1. На-ступною родиною конгруенція для чисел Бернуллі є знамениті конгруенції Куммера:

Ці варті уваги коні руепції здавалися таємничими, аж доки не виявилось, що вот: природно гтипхають у контексті р-адичних чисел, що були придумані Геизелем приблизно тоді ж, коли Вороний зробив своє відкриття.

Числа Бернуллі дуже важливі в теорії чисел також і з ін-шої причини. У своєму підході до останньої теореми Ферма, Куммер виявив повні арифметичні властивості чисел Бернул-лі, пов'язані з нерозв'язністю рівняння Ферма (3) (яро цікаву історію цього відкриття див. статтю Едвардса [26]). Просте чи-сло р називається регулярніш, якщо р не. долить число класів hp поля поділу кола Qfcocpf-"!3)), де hp визначається як поря-док групи иенульозих дробових ідеалів. Куммер з'ясував, що остання теорема Фзрма справедлива для регулярних простих показників п = р. Більше того, він довів наступний простий критерій регулярності: тросте число р ділить lip тоді й лише тоді, коли р ділить чисельник числа Бернуллі Бої для деяко-го. Звідси випливає, наприклад, що остання теорема

Ферма має місце для п — ІЗ. Критерій Куммера спирається на його конгруенцію (7). '

Базуючись на цих результатах, Вороний отримав у [96] кон-груенцію

де а,Р — довільні взаємно прості натуральні числа, Вт = Рт/Qт — нескоротний дріб для деякого парного цілого чи-сла га, а \х] означає найбільше ціле число < х. Він довів, що коли індекс т ділиться на к де колений з простих множників А: не ділить знаменник Вт. то чисельник Вт також ділиться на к. Цей видатний результат узагальнює теорему з роботи Адам-са, [1]. Наведемо приклад: розглядаючи т = 2 * 3 * 5 (див. (6)), знаходимо

861584127С 005 =5 ¦1721 1001259881 і 14322 = 2-3-7-11 -31.

Цей тонкий результат увійшов у ряд підручників (наприклад, Аєрленда і Роузсна [48]); детальніше про це і споріднені пита-ння можна прочитати в статті Порубські [75].

Із сучасної точки зору конгруенції для чисел Бернуллі мають розглядатися у світлі р-адичних чисел. Такий погляд привів до побудови р-адичних дзета-функцій Куботою і Леопольдтом у 1900-х роках. Ці об'єкти несуть важливу арифметичну інфор-мацію про числа класів і еліптичні аналоги р-адичної дзета-функції і є суттєвою складовою доведення Вайлса останньої теореми Ферма. Хорошим вступом до цієї тематики є книга Мерті [701.

2. ллгнв!\\їг-гш цілі числа

У 1870-х роках Золотарьов побудував повну теорію ідеаль-них чисел для довільного алгебраїчного поля, одночасно з ана-логічною теорією Дедскінда, який тоді працював у Ґстіпґс-ні. Його підхід розвивали представники Санкт-Петербурзької школи, особливо Іванов, Марков і, нарешті, але не меншою мі-рою, Вороний (пор. [201)- У 1889 ропі Вороний закінчив Санкт-Петербурзький університет і був залишений у ньому для під-готовки до викладацької роботи. У 1894 році йому присудили ступінь магістра за дисертацію з теорії алгебраїчних цілих чи-сел, асоційованих із