Комплексне число а називається алгебраїчним над <0>, якщо існує такий не тотожно рівний нулю многочлен /(X) з цілими коефіцієнтами, ..до /(а) - 0. Многочлен найменшого степеня з цими властивостями і взаємно простими коефіцієнтами назива-ється мінімальним многочленом числа ог; степенем а називає-ться степінь його мінімального многочлена. Алгебраїчне число а. називається алгебраїчним цілим, якщо мінімальний много-член / є нормованим (тобто зі старшим коефіцієнтом 1). Це узагальнює поняття цілого числа на алгебраїчні розширення поля <0>. Наприклад, дійсний розв'язок а незвідного рівняння ХЛ — 6X4-32 = 0 є алгебраїчним цілим числом степеня 3 і явно задається виразом рівністю

Алгебраїчні цілі числа утворюють кільце. Числовим иазиває-2 ться поле ЕС, яке містить поле раціональних чисел О і є скін-* ченновимірним векторним простором над 0>. Розмірність 1К як ((^-простору називається степенем К. Нехай <0>(а) — числове по-ле степеня сі. Без п'гаатп загальності можемо вважати, що а є

алгебраїчним цілим числом. Кожен елемент із Q(o) зображує-ться у вигляді

Деякі базиси кращі за інші. Набір алгебраїчних цілих чисел {он,... ,ат] називається цілочисловим базисом Q(a), якщо ко-жне алгебраїчне число Ь Є Q(or) можна єдиним чином подати у вигляді

Неважко бачити, що кожен цілочисловий базис є просто бази-сом (і, отже, 77і = d). Більше того, можна показати, що кожне поле алгебраїчних чисел має принаймні один цілочисловий ба-зис (що доводиться трохи складніше).

Найпростішим прикладом є випадок квадратичних число-вих полів Q(\/D), де D С Z і D не є повним квадратом. Яктно D = 2,3 mod 4, то 1, ^/D є цілочисловим базисом для Q(\/T))\ якщо жІ) = 1 mod 4, то цілочисловим базисом є 1, J(l + \/D). Трохи складніше влаштовані поля поділу кола Q(c), ДС с в пер-вісним коренем степеня р з одиниці для непарного простого чи-слар. Тут цілочисловим базисом для q(c) с набір 1, Ј,..., Јр-2. Однак це єдині прості випадки. Визначити цілочисловий базис для кубічного поля набагато важче.

Вороний першим отримав алгоритми і навіть явні формули для цілочислових базисів для довільних кубічних полів. Нехай а — корінь незвідного многочлена

Насправді Вороний показав, як можна знайти цілочисловий базис Q(ct) в термінах а і Ь. Цілочисловий базис містить 1, най-менше ІіІГіе ЧИСЛЇЛ f'TPTTPHn 1 Тії ГГТТЛР1ТЛ Ги і иайчисЧГ.ТГТГЛ »гі гтг> тттл/іттг»

тєпеня 2 відносно а. Найменше ціле число степеня 1 має ви-ляд або и+а, або ~(и+а), де и — ціле число; останній випадок устрічається тоді й лчгае тоді, коли

8) а = З mod 9 і b2 = а + 1 mod 27.

Гкщо ж принаймні одна з цих конгруепцій не виконується, по-начимо через п2 такий найбільший квадратичний дільник дис-римінапта Л = 4а3 — 21Ь2 многочлена /, для якого конгруенції

\t) = t3-ai + b = 0 n od п2 і Ґ(і) = З*2 - а = 0 mod п

озв'язні відиоспо t. V цьому випадку цілочисловим базисом ,ля Q(a) є набір

Наприклад, для а3 — 6а 4-32 = 0 одержуємо цілочисловий базис ^(10Н-4о: + а2)}. Якщо ж обидві конгруенції (8) виконую-ься. то позначимо через гг найбільший квадратичний дільник исла (яке в такому разі є цілим), для якого система кон-руенцій

(Ј) = t3-at+b - 0 mcd 27л2 і f'(t) = Зі2-а - 0 mod 9n умісна. Тоді цілочисловим базисом є на,бір

[е вперше довів Вороний у своїй магістерській роботі [97]. Най-ростіше доведення цього результату читач знайде в роботі л аси і Вільямса [2].

Поряд із степенем дискримінант поля К є мірою відхилення дитивної арифметики К від адитивної арифметики Q. Його ожна обчислити за допомогою цілочислового базису і, таким ином, явні формули Вороного є дуже важливими для обпи-лювальної алгебраїчної теорії чисел.

3. Неперервні дроби

Після захисту магістерського диплому у 1894 році Воро ний працює у Варшавському університеті, куди його призна чили викладачем чистої математики. У 1897 році він захистиі у Санкт-Петербурзько му університеті докторську дисертацію Обидві дисертації Вороного — магістерська .і докторська бу ли такого високого рівня, що Салкт-Петербурзька Академія на ук відзначила їх премією іметіі Буняковського. Продовл^уючі свої попередні дослідження, Вороний розглянув у своїй доктор ській дисертації алгоритми для неперервних дробів з метою об числення одиниць у випадку кубічних полів. Ще Золотарьов розвиваючи ідеї Ерміта, побудував одиниці у випадку чисто ку бічних полів; однак загатьпий кубічний випадок був вивченні Вороним [98].

Для простоти ми спочатку розглянемо класичний прикла; квадратичного числового поля, наприклад <0і(\/ЇЇ) (хоча біль шість наших міркувань можна легко поширити на довільні ква дратичні поля); у цьому випадку кільцем цілих чисел поля і Норма елемента(добуток всіх спряжених :

ним) задається квадратичною формою х2 —Ну2. Норма міститз у собі поняття величини (як стандартна абсолютна величин; для <0>) і тому є важливим інструментом в алгебраїчній теорії чисел. Для кращого розуміння структури числових полів важливо вивчити їхні цілі числа і, зокрема, їхні одиниці. Кажуть що алгебраїчне ціле число є одиницею, якщо абсолютна, вели чина його норми дорівнює 1. Отже, знаходження всіх одиниці поля ^(%/її) тісно пов'язане з відшуканням цілих розв'язки рівняння

(9)

Якщо в правій частині (9) маємо +1, то це діофантове рівнянні — типовий приклад відомого рівняння Пелля, яке вивчали щ<

Архімед та його сучасники. Як знайти його розв'язки? Дивля-ись на цю задачу очима геометра, ми