відповідно,

гідно з теорією діофантових наближень, колене таке хороше аціональпе наближення має збігатися до нескінченного непер-ервного дробу для >Ді- У цьому місці необхідно перерватися, юб сказати кілька, слів про неперервні дроби.

Неперервні дроби діють найкращі раціональні наближення ійсних чисел. Використовувати їх на практиці вміли вже ста-одавні китайські математики, однак вивчати їх систематично перше почав астрономом Гюйгепс. Розклад дійсного числа а в еперервний дріб можна одержати за допомогою ітераційного роцесу

Покладаючи ап = [ап], одержимо

або, у скороченому записі, [ао, аі,а2, ¦ * *]- Очевидно, що коли число а раціональне, то ітерування зупиниться після скінчен-ного числа кроків, і цей алгоритм є ніщо інше, як замаскований алгоритм Евкліда. Якщо ж а ірраціональне, то процес не зу-пиниться і ми одержимо нескінченну послідовність скінченних неперервних дробів з границею, яку позначають

Ця границя [ао,аі,а2» * * *] є нескінченним неперервним дро-бом. Можна показати, що він збігається до а. Якщо ми покла-демо 2а = [од, а\,..., ап], то

Зокрема,

У випадку ірраціонального а послідовності рп і qu строго зростають для п > 2. Тому послідовність дробів 2п. збігається до а. Швидка збіжність робить неперервні дроби дуже кори-сним інструментом у діофантовому аналізі.

У нашому прикладі ми маємо:

де вираз 3,6 позначає періодичну послідовність 3,6,3,6,.... Ця еріодичність не є випадковою. Можна показати, що для до-ільної квадратичної ірраціональності розклад у неперервний ріб буде періодичним: для алгебраїчних чисел третього степе-я не відомо жодного прикладу розкладу. Перші члени збіжної

0 \/тї послідовності ї~ мають вигляд

в дійсності ми отримуємо для р2ь - 11с/2 значення

І^е дає нам перші нетривкльтй розв'язки рівняння (9). Вра-саюча закономірність Насправді ми можемо взяти фундамен-альний розв'язок, тобто розв'язок з мінімальним у > 1, і отри-гати всі інші піднесенням ного до степенів, наприклад,

І^я закономірність має: теоретико-групове підґрунтя. Розв'язки рівняння (9) є одиницями в^(\/ТЇ) і тому утворюють рупу. Ця група — циклічна, і фундаментальний розв'язок є

1 твірним елементом. Це фактично було відомо вже Ойлеру а Лагранжу для довільного рівняння Пелля. (Детальніше про озв'язування рівняння Пелля див. [90].)

Таким чином, поле С^(\/ІЇ) має безліч одиниць; насправді це иконується для всіх дійсних квадратичних полів, тоді як усі явні квадратичні числові поля мають лише скінченне число диниць, кожне з яких е коренем з одиниці. Випадок кубічних олів або числових полів вищих степенів набагато складніший. лочний опис структури множини фундаментальних одиниць у ільці цілих чисел поля дає знаменита теорема Діріхле про оди-ниці [22]: максимальне число мультиплікатпивно незалежних

елемеитгв (ранг) дорівнює г і +Гг - 1, де гі число дійсних за-нурень і ?"2 — число спряжених пар комплексних занурень у К (тобто г і + 2?-'2 — [К : Q]). Із доведення Діріхле цієї структурної теореми випливає, що знання коефіцієнтів мінімального мно-гочлена числа о приводить після скінченного числа спроб до знаходження повної множини фундаментальних одиниць. Але навіть у випадку кубічних полів далеко до побудови реально-го алгоритму обчислення цих одиниць, порівнянного з мето-дом неперервних дробів для квадратичних полів. Цю пробле-му намагались розв'язати кілька відомих математиків, зокре-ма, Якобі, Пуанкаре і Гурвіц. Вороний [98] знайшов ефективне розв'язання, яке ґрунтується на. попередніх ідеях Ерміта.

Крім того, Вороний досяг .успіху у розв'язанні двох інших, пов'язаних між собою проблем для довільних кубічних полів. По-перше, з'ясувати, чи два дані ідеали еквівалентні, і по-друге, визначити число класів ідеалів. З цією метою Вороний розвинув алгоритмічну теорію для послідовних відносних мі-німумів систем лінійних форм. Деякі з поставлених ним пи-тань щодо розподілу відносних мінімумів і досі залишаються без відповіді. Зауважимо, що Вороний усвідомлював, наскільки важливими в теорії чисел можуть бути явні методи. Зокрема, Вороний сам обчислив за допомогою одного із своїх алгоритмів алгебраїчну фундаментальну одиницю для кубічного рівняння г*3 = 23:

2 166 673 601 + 761875 860а + 267 901370а2.

У випадку дійсного квадратичного числового поля його метод зводиться до описаного вище алгоритму неперервних дробів для квадратичних ірраціональностей. Детальніше з цим .мо-жна ознайомитися за роботою Делоне й Фаддеев а [21]. Явні методи Вороного набули особливої важливості в еру комп'юте-рів. Це добре відображено в недавніх роботах Бухмапиа [11] та Шайдлера і Штайна '80], які поширили ідеї Вороного на поля вищих степенів і поля функцій відповідно.

Теорія Вороного має ще одне важливе застосування. Однією з перлин теорії чисел є знаменитий квадратичний закон вза-ємності, вперше сформульований Ойлером і вперше доведений Ґаусом. Він стверджує, що для довільних двох різних непарних простих чисел р, q виконується співвідношення

тут символ Лежандра (*) набуває значення +1, якщо конгру-енція X2 = q mod р має розв'язок, і значення —їв противному разі. Значна частина сучасної алгебраїчної теорії чисел при-свячена пошуку узагальнень квадратичного закону взаємності. Важливим інструментом в алгебраїчній теорії чисел є так звана теорема Пелле-Штіксльбсргера, яка стосується квадратичних характерів дискримінантів много члена і поля: якщо f Ј ЩХ] — нормований незвідний многочлен, а Д — його дискримінант, то для довільного