д,

де d е степенем f, а гР — число незвгдних множників у розкла-ді f mod р (у прикладі f(X) = Xz - 6Х + 32 із попереднього розділу маємо Д - -26 784 = -25 - З3 * 31 і d = 3). Цю те-орему відкрив Пеллс [74], а перевідкрили Штікельбергер [91] і Вороний [97, 105]. Квадратичний закон взаємності випливає звідси як наслідок.6 Щоб це довести, можна взяти в якості / відповідний многочлен поділу круга (див. також Пелле [74]).

Детальніше про це див. Нарксвич [71]. Нещодавно Врідлхарт і Мортоп [10] застосували трохи узагальнений варіант цієї тео-реми у теорії еліптичних кривих і у важливій проблемі числа класів ідеалів.

Математична творчість Вороного була дуже геометричною за своїм духом. Однак Марков, який був головним опонентом на захисті докторської диссртащї Вороного, на той час тіе схва-лив би дисертації з теорії чисел з використанням геометричних методів (пор. [20]). Тим не менше, результати і доведення Во-роного за своєю суттю є геометричними, хоча й подаються в його дисертаціях у чисто арифметичних термінах.

Після закінчення аспірантури Вороний почав працювати над задачами, яких раніше не розглядали його академічні викла-дачі. Розпочався його найбільш творчий період. Не рахуючи однієї статті [.100] з елементарної тематики, він зосередився па аналітичних та геометричних питаннях.

4. Розбіжні ряди

У 1896 року Адамар [34] і Ваплі-Пуссеп [62] незалежно до-вели гіпотезу Гауса, знамениту теорему про прості числа (1). їхні доведення ґрунтувалися па ідеях Рімана про те, що аналі-тична поведінка несе в собі арифметичну інформацію про розподіл простих чисел. Цей новий результат став початком застосування аналітичних підходів до теорії чисел. Ми може-мо припустити, що Вороний також знаходився під впливом цих ідей.

Першою і важливою особливістю цього підходу є аналітичне продовження. Зображення (2) має місце тільки в півилощипі Пе.$ > 1: для 5 = 1 ряд, який визначає дзета-функцію, стає розбіжним гармонічним рядом, і точніший аналіз показує, що ("(5) має простий полюс при з = 1 із лишком 1 (розбіжний гармонічний ряд, який дає головний внесок V Ш). Рімапу [761

вдалося 7 одержати регулярний вираз для дзета-функції за ме-;ами півплощини абсолютної збіжності; більше того, він отри-ав відоме функціональне рівняння

Ў0)

Г(б) є Ойлеровою гамма-функцією, яка для Яе 5 > 1 задається івністю

для інших значень 5 (крім цілих від'ємних) — за допомогою лалітичного продовження. Уже в статті Ойлера [28] (більше іж за століття до Рімана) можна знайти інтуїтивний здогад, зча він розглядав Ј($; лише як функцію дійсної змінної з (що обило аналітичне продовження за полюс 5 = 1 неможливим), 'им не менше, Ойлер стримав явні значення дзета-функції для ід'ємних цілих чисел:

ц)

е Вт є т-им числом Бернуллі. Поєднавши це з іншою своєю юрмулою (4), яка містить числа Бернуллі, Ойлер прийшов до івності:

і. це рівність (10) дат $ = 2к. Фактично Ойлер працював із >ункцією

де друга рівність має місце для 8 > 0. Ми окреслимо його ідею у частковому випадку 5 = 0 Тоді права частина є розбіжним рядом

(12)

Цей ряд розглядав ще Ляйбніц, який запропонував приписати йому значення і (бо воно є середнім значенням його частинних сум). Ойлер підтримав цю ідею. Його міркування грунтувалися на геометричному ряді

Поклавши тут формально х = 1, одержуємо значення ^. На-справді це також дорівнює —С(0) ~ —В\ (див. розділ 1). Ойлер узагальнив цю ідею і отримав (11). Більше того, він вивів із цих ідей функціонально рівняння для 7](я), рівносильне (10), і ви-словив припущення, що воно справджується для всіх (дійсних) 5, а не тільки для в = 2к. Про це та про багато інших резуль-татів Ойлера, що стосуються дзета-функції, можна прочитати в роботах Люба [5] і Варадараяна [93].

Тривалий час розбіжні ряди не вважалися вартими жодної уваги. Відомий математик Абель писав: "Розбіжні ряди с вина-ходом диявола, і соромно опиратися па них у будь-яких дове-деннях. Здається, що тривалий час математиків більше тур-бувало, яке значення може мати ряд на зразок (12), ніж те, як розумно визначити суму такого ряду. У 19-му столітті вияви-лося, що у багатьох питаннях аналізу вимоги до збіжності ряду можна послабити. Розбіжний ряд можна підсумувати строго, розширивши стандартні правила підсумовування (наприклад.

так звані сумовність за Абелем і сумовиість за Чезаро; розбі-жний ряд (12) має як суму за Абелем9, так і суму за Чезаро, які дорівнюють \). Вороний запропонував метод підсумовування розбіжних рядів, який узагальнює сумовність за Чезаро. Наве-демо означення: нехай дано послідовність додатних дійсних чи-сел Ьк\ формальний ряд J^Lq01* називається сумовмш, якщо існує границя

де; відповідно, в цьому випадку s називається

його сумою.

Наприклад, якщо всі ваги 6/с рівні, то ряд (12) сумовіїий із сумою ^. Поняття с'мовності за Вороним часто приписується Ньорлуиду [72], однак Вороний запропонував його раніше [101], і здається, що першим це зауважив Харді [39|, §4.1. Щоб при-вернути увагу до непоміченої статті Вороного, опублікованої в мало поширеному виданні, її передрукував солідний жур-ная Annals of Mathematics [102] (разом із короткою заміткою перекладача Тамаркліа [102], що містила кілька цікавих заува-жень). Докладніше гро сумовність рядів і, зокрема, про сумов-иість за Вороним, можна прочитати в роботі Харді [39]; цікавою роботою з цієї тематчки є недавня стаття Захароваса [11.6].

Сьогодні завдяки потужним методам комплексного аналі-зу ми маємо кращу техніку для аналітичного продовження дзета-функції [хоча зсе ще є великі