зокрема, не до кіпця вивчене питання розташування компле-ксних нулів дзета-функції (2). З функціонального рівняння лег-ко випливає, що З(s) обертається в нуль при s = — 2n,n Є N. Решта нулів дзета-функції, так звані нетривіальні нулі, ле-жать усередині смуги 0 < Res < 1, і відома гіпотеза Рімана стверджує, що всі вони лежать на так званій критичній пря-мій Res = \ (це одна з семи проблем третього тисячоліття

!0).

Щоб засвідчити слушність такого припущення, зауважимо, що гіпотеза Рімана еквівалентна проблемі знаходження най-кращого можливого залишкового члена у теоремі про прості числа (1). Використовуючи метод Левінсона, Конрі [17] пока-зав, що більш ніж сорок відсотків із нескінченної множини не-тривіальних нулів поводяться саме так, однак навіть невідомо, чи існує якесь таке є > 0, що всі нулі знаходяться на відстані більшій, ніж є, від прямої 1 + Ш-

5. Проблема дільників

У 1904 році Вороний зацікавився теорією арифметичних функцій. Його формула підсумовування для числа дільників дала цілковито нове розуміння так званої проблеми дільників і вплинула на багато досліджень аж до сьогоднішнього дня.

Нехай п - - натуральне число. Позначимо через d(n) (вжи-вається також позначення т(н)) число додатних дільників п\ наприклад

гі(1) = 1, d{2) = 2, d(3) = 2, d(81) = 5, d(97) = 2, ї(120) = 16.

Функціяназивається функцією дільників.

Розподіл значень функції d(n) доволі складний. Для простого

п маємо d(n) = 2. З іітшого боку, d(n) необмежена па N. Хар-ді і Рамануджан [42] показали, що d(n) в середньому набуває достатньо великих значень, а саме:

для майже всіх п.

Величина в правій частині рівності є так званий нормальний порядок функції с(п).і1 Ще наочніше середнє значення дає формула Діріхле [23]

(із)

де— константа

Ойлера-Машероні. Виникає природне запитання, чи можна по-кращити залишковий член. Поштовх для роботи Вороному дав знову-таки Діріхле. і знову розв'язання проблеми ґрунтувало-ся на геометричній ідеї. Коротко рівність (13) можна пояснити так. Маємо d(n) — Saнn -И т0му> записуючи п = об, ліву части-ну можемо замінити на

Тепер замінимо ступінчасту функцію [~] неперервною функці-єю І з похибкою 0(1). Одержимо:

Порівняння суми в правій частині з відповідним інтегралом по-казує, що вона дорівнює log ж + 0(1), звідки отримуємо посла-блений варіант рівності (13). Переглядаючи наші оцінки для Еп<ж^(п)> бачимо, що задача звелася до підрахунку точок ці-лочислової ґратки (тобто точок з цілими координатами), які ле-жать під гіперболою. Щоб довести (13), Діріхле розбив область під гіперболою, провівши два перпендикуляри до осей, які про-ходять через точку {[у/х], \у/х\) (див. рис. 1). Тепер, підрахову-ючи точки ґратки в кожній із цих трьох областей окремо, одер-жуємо, що залишковий член можна оцінити величиною 0(хЛ).

»

РИС. 1. Точки ґратки під гіперболою

Проблема дільників полягає в знаходженні найкращої мо-жливої оттінки залишкового члена

(14)

де доданок d(x) слід замінити на \d(x), якщо число х — ці-ле. ПерШИЙ, ХТО ПОКПаШИВ OnmncV ГГІгиутм» fT*} о~~-.—

За допомогою складних міркувань [104] він отримав у пробле-мі дільників явний точний (\) вираз для залишкового члена в термінах т.зв. функцій Бесселя, а саме

(15) де

і—

функції Вессел*.. а логарифмічна похідна

гамма-функції. Цс справді визначна тотожність. Фактично, Во-роний дав два доволі складні доведення. Перше стало продов-женням згаданих вище ідей Діріхле. У ньому початкова про-блема зводилася до геометричної задачі про підрахунок точок ґратки у певній області, апроксимоваиій многокутником з ра- . ціональними кутовими коефіцієнтами сторін; із цією метою він використав послідовність Фарея (вона складається з нескоро-тних дробів з одиничного інтервалу, впорядкованих за зроста-нням знаменників). Його другий метод використовував серйо-зний аналітичний апарат. Особливо плідним виявився аналі-тичний підхід.. Ідея використання в аналітичній теорії чисел функцій Бесселя і досі використовується для отримання най-кращих оцінок.

. Для практичного використання часто зручнішою є слабша версія рівності (15): для N <§: х,

(іб)

або, беручи до уваги асимптотику функцій Бесселя (див., на-приклад, Вотсон [113]), (17)

На сьогодні ми знаємо багато різних, зокрема, й простіших, доведень формули підсумовування Вороного для функції діль-ників. Кошляков [58] був перший, хто знайшов коротше, ніж у Вороного, доведення загальної формули підсумовування (23), окремим випадком якої є (15). Це коротке доведення фактично пролило нове світло на відкриття Вороного: Соні [86] довів за допомогою підходу Кошлякова, що формула Вороного еквіва-лентна функціональному рівнянню (10) для С(5)2 (в |вТ] було отримано й інші еквіваленти).12 Як таке може бути? Дзета-функція і функція дільників пов'язані тотожністю

(для доведення досить у лівій сумі спочатку згрупувати всі доданки, для яких Ьсі —- п). Тому говорять, що Сі8)2 є генера-тртісою Діріхле для послідовності (і(п). Ця тотожність також істотно використовується в начерку доведення формули Воро-ного, який ми зараз наведемо, дотримуючись Івіча [49]. Для простоти припустимо, що х $ Z. Насамперед зауважимо, що для с> 0

Використовуючи цю рівність, можна пов'язати функцію, яка підсумовує коефіцієнти Діріхле (1(п)у з криволінійним інтегра-лом від ((з)2:

де с = 1 + (І05а:)_і, а Т визначається із співвідношення 2і2 = 47г2ж(ЛГ + ^), де Лг = 0(хл) для деякої фіксованої додатної сталої А. Тепер перемістимо шлях інтегрування у ліву півпло-щину. Для а > 0 знаходимо за допомогою теорії лишків:

де (19)

---- сума лишків функції

Враховуючи (11), перший доданок у правій частині (19) до-рівнює 1/4. Позначимо

Функція 5(5) — ціла, а к(в) — аналітична при в Ф 0« Тому можна записати розвинення в ряд Лорана

І

Із тотожності

випливає, що с_і — 2аф{) + Ъ\.