Тоді з різностей (14), (18) і (19)отримуємо:

що з урахуванням функціонального рівняння (10) для дзета-функції і використанням стандартних оцінок дає

Перепишемо інтеграл у вигляді

Стандартна оціню;, двох останніх доданків при а — е дає

Заміна змінної s = 1—oj дозволяє перетворити інтеграл у правій частині до вигляду

Останню рівність одержано за допомогою перетворень Мелліна

застосованих до функцій і

(див. [49] чи [113]). Це дає формулу Вороного (16). Зовсім ін-ше, однак дуже щкаве доведення з використанням гармонічно-го аналізу і видозміненої формули підсумовування Пуассона можна знайти в роботі Хіджала [46].

Тепер, покладагочи N — х*, легко вивести з (17) оцінку А(а?) = 0(х1//3+с). Насправді Вороний отримав навіть оцінку

Вона залишалась найточнішою, доки вав дер Корпут [19| не за-мінив показник і грохи меншим т^. Найточнішою на сьогодні

верхньою оцінкою є оцінка. (20)

отримана Хакслі [47], спираючись на результати роботи Бом-бієрі та Іванєца [9]). Водночас із формули Вороного випливає, що залишковий член не може бути надто малим для всіх х. Харді [38] показав, що показник | не можна замінити жодним показником, меншим ніж \. Найкращий сучасний результат у цьому напрямі належить Сауидарараджану [38], який нещо-давно довів, що

(21) '

Згідно з поширеною гіпотезою справжній порядок показника залишкового члена у проблемі дільників близький до ~. Навіть малі покращення оцінок показника, у цій проблемі становлять інтерес, оскільки демонструють потужність наших методів у боротьбі з залишковим членом (див. Рис. 2, на якому наведено величину А(х) для порівнянно малого інтервалу значень х).

Хіз-Браун [44] показав, що х J А(х). має функцію розподілу і для А є [0,9] середнє значення

збігається до скінченної границі, коли X —> со; Вороний [104] показав, що

а тому А(а:) має середнє значення \.

Коротко оглянемо подальші застосування формули Воро-ного. По-перше, Ландау [59] використав оцінку Вороного для А (аг) для доведення оцінки

(22)

при \t\ -* со; тим не метніте, ця оцінка була покращена майже одразу після її публікації з використанням принципу Фрагме-Лінделефа. Однак сучасні оцінки порядку росту дзета-функції ґрунтуються па інш їх розвинутих техніках. Формулу Вороно-го можна також використати для побудови паближень С(5)2 многочленами Діріхле, при якій залишковий члетт дуже малий; оскільки таке наближення містить члени функціонального рів-няння, то воно називається наближеним функціональним рів-нянням для C(s)2 (див. деталі в [49]). Звідси до подальшого — один крок, однак цей крок демонструє вражаючу відповідність між формулою Вороного для залишкового члена у проблемі дільників і залишкового члена в середньоквадратичіїій форму-лі для дзета-фу п к ці'..

Харді та Літлвуд [41] довели, що Е(Т) мале порівняно з Tlog T. Тим часом цю оцінку покращували кілька разів. Аткінсои [3, 4] помітив вражаючу схожість між формулою Вороного і його асимптотичною формулою для Е(Т):

Цей доволі складний вираз тепер називається формулою Аткін-соїта (див. також Івіч [49]). Фактично у її доведенні використо-вується формула Вороного.

Після спрощення (тобто заміни точного значення / асим-птотичним) виявляється, що всі суттєві члени в цій форму-лі подібні, з точністю до знаку, відповідним членам формули Вороного. Деталі можна знайти в роботі Ютіли [53]. Із цією вражаючою подібністю пов'язані ще кілька нових застосувань формули Вороного. Наприклад, Ютіла [54] отримав формули перетворення многочленів Діріхле. Нещодавно, Лау і Цаиг [60] довели, використовуючи тісну аналогію між формулами Аткіп-сона і Вороного, оцінку для Е(Т), порівнянну з (21). З цими та іншими результатами можна ознайомитися за монографією Івіча [49], а також за оглядом Лаурінчикаса [61].

Потужний аналітичний підхід Вороного застосовується до багатьох інших арифметичних функцій. Кіучі |5Г>] та Штойдіиг [89] розглядали узагальнені функції дільників. Ці узагальнення істотно використовуються в доведеннях середньоквадратичпих формул для дзета-функції, помноженої на оператор згладжу-вання, а такі формули відіграють вирішальну роль у методі Левінсона виявлення нулів Ј(,<?) на критичній прямій.

6. Формули підсумовування Вороного

Насправді Вороги:й довів дещо сильніше за рівність (35). У [104] він показав, що для кожної достатньо гладкої функції /

де зірочка * над знаком суми означає, що при цілому а пер-ший доданок замінюється на |/(й-рО), а при цілому Ь останній доданок замінюється на \$(Ь - 0). Більше того, Вороний сфор-мулював загальнішу гіпотезу.

Позначимо через :і(п) довільну арифметичну функцію (тоб-то, послідовність N Э п ¦-* а(п) Є С), нехай /(ж) — неперервна функція на інтервалі (а,Ь), яка має лише скінченне число ма-ксимумів і мінімумів. Гіпотеза Вороного стверджує існування таких аналітичних функцій а(х) і 5(х), які залежать лише від а(п) (і не залежать від /(.т)), що (23)

Це і є формула підсумовування Вороного. У випадку а(гі) = 1 гіпотеза вірна, бо якщо взяти в (23) 6(х) = 1 і сх(х) — 2со8(27г#), то отримуємо класичну формулу підсумовування Пуссона

справедливу для функцій / обмеженої варіації на [а,Ь].

У випадку функції дільників, тобто а(п) — <1(п), Уілтон [115] довів формулу підсумовування Вороного для функцій обмеже-ної варіації на [а,??], включно з випадками а = 0 і Ь ~- оо; його підхід уточнили Діксон і Ферре |25|. Ґвіпапд [33] довів формулу Вороного для коефіцієнтів Фур'є модулярпих форм. Подальші покращення й узагальнення належать Чапдрасскхарану й На-расімхану [14], а Берндт [Ј| отримав аналогічні результати для характерів Діріхле, сум Ґауса і значень Ь-функцій Діріхле па додатних цілих числах.

На сьогодні в