7. Задача про круг

На підтвердження гіпотези (23) Вороний [106] зміг поширити свій аналітичний метод для функції дільників па інші ариф-метичні функції. Нехай 'дано додатно визначену квадратичну форму від двох змінних

з цілими коефіцієнтами і неперервну па інтервалі (а,Ь] функцію /. Покладемо

де сума береться по всіх парах (т,п) Є які задовольняють нерівність а < С}(т.п) Ј Ь. Позначимо через т(к) число цілих розв'язків рівняння С?(.Т7,п) — к. Тоді

Тепер напишемо

Перший член у правіП частині рівності є очікуваний голов-ний член для (р{х). Залишковий член р(х) можна записати у термінах функцій Бесселя (як і у випадку проблеми дільни-ків); на жаль, Вороний не мав строгого доведення для цього зображення (і це яв^о зазначено в [100]). Тим не менше з цього зображення можна, використовуючи квазізбіжні розклади від-повідних функцій Б'-сселя, одержати для II дуже хороші набли-ження. Це цікаве і далекосяжне узагальнення внеску Вороного в проблему дільник; .з.

Розглянемо один випадок детальніше. Нехай г(п) — число зображень невід'ємного цілиго числа п у вигляді суми двох цілих квадратів. Ґаус [311 довів, що

Він міркував суто геометоичтю. Оскільки п — а2 + Ь2 < sfx. сума значень г{п) дорівнює числу точок ґратки (а, 6) Є Z2 у крузі радіуса у/х з центром у початку координат/ Ідея поляга-ла у прикріпленні до кожної точки ґратки (а, Ь) Є %" квадрата зі стороною 1 і центром (а. Ь) так, щоб ці квадрати не перетина-лись і покривали всю площину. Тоді число точок і'ратки всере-дині диска приблизно дорівнює площі круга. Неважко оцінити різницю, розглядаючи також трохи менший і трохи більший круги. Виявляється, що похибка і довжина кола, яке обмежує цей круг, мають однаковий порядок. Звідси й випливає оцінка. Ґауса (рис. З ілюструє ці міркування).

.РИС. 3. Число точок ґратки всередині круга приблизно дорівнює ЇЮІХ> площі

Задача про круг гіл"в™е *» ° -одженні найкращої можливої оцінки для різниціЩе в 190-1 році Серпінськип

[83] знайшов оцінку

(24)

За допомогою техт ічних удосконалень що оцінку кілька ра-зів покращували. На сьогодні найкращою є оцінка Хакслі [47]: , — більш-менш така ж, як і в проблемі діль-ників (див. (20))! Насправді ці дві проблеми пов'язані, тому й оцінки залишкових членів в обох випадках схожі. Аналітичний підхід показує, що проблема дільників пов'язана з функцією С (s)2; аналогічно, задача про круг пов'язана з рядом Діріхле

(25)

де— /„-функція Діріхле, асоційована

з нетривіальним характером \ niod4. Якщо гіпотеза Рімапа вірна і для функції L(.VA') (тобто L(s,x) не має нулів у пізпло-щині Re.s- > |), то можна показати (використовуючи точнішу ніж (22) оцінку), ш/> в обох задачах залишковий член має ви-гляд 0^х:ї+г'^, де . > 0 — довільне. У задачі про круг цей

висновок спирається ще й па оціпку, аналогічну (21).

Є багато подібних проблем про точки ґратки. Наприклад, НІлежевічене і Штойдінг [84, 85] за допомогою адитивних хара-ктерів отримали аналогічні оцінки для зважених сум для г(п). Більше того, можна поставити питання про число точок ґратки в кулі. Число цілих точок ґратки Ъа всередині d-вимірної кулі радіуса у/х приблизно дорівнює її об'ємові. Об'єм d-вимірної одиничної кулі мак дуже гарну властивість: він прямує до 0 при d —* со. Звідси стає зрозумілим, чому зі зростанням роз-мірності багатовимірні задачі про ґратки розв'язуються легше. Справді, Вальфігп [112] показав, що для d > 5 залишковий

член у d-вимірній проблемі кулі дорівнює 0(хї~1) і що пока-зник не можна замінити жодною меншою сталою; у випадку d = 4 він отримав залишковий член 0(х log:c), і знову ця оцінка' є найкращою. У тргвимірному випадку питання залишається

відкритим (див. також Фріккер [ЗО]). Звичайно, можна заміни-ти кулю іншими опуклими тілами; див., наприклад, Новак [73] (для довільних тіл), Чамізо |13] (для тіл обертання) та Венткус і Ґетце |б] (для ірраціональних еліпсоїдів). Також цікаво накла-сти додаткові арифметичні умови. Наприклад, Варбанець [94] підрахував точки ґратки, відстані від яких до початку коорди-нат утворюють арифметичну прогресію. Найкращим оглядом цієї тематики є робота Івіча та ін. [50].

Можливо, найважливішим результатом у цьому напрямі є наступний частковий випадок недоведепого результату Воро-ного з [106]. Нехай / — нескінченно диференційовпа функція на Е. Тоді

де ./0(2) — ще одна функція Бесселя. У літературі цю рівність часто називають формулою Харді-Ландау-Воропого. Однак перше її доведення дав Ссрпінський [83], простіше доведення запропонували Харді та Ландау [40], а зовсім просте доведе-ння, яке використовує тільки формулу підсумовування Пуас-сона, можна знайти в роботі їваиеця й Ковальського