Обидві задачі, про дільники і про круг, пронизані геометри-чними ідеями. Досі немає повної теорії підрахунку точок ґра-тки в певних плоских областях чи областях більшої розмірно-сті. Формули підсумовування Вороного відіграють центральну роль у більшості з того, що було зроблено у минулому столітті.

Того ж 1904 року, коли він здійснив своє відкриття, Воро-ний відвідав Третій Міжнародний Конгрес Математиків у Гай-дельберзі. Там він зустрів Мінковського, і вони з'ясували, що працюють над близькими проблемами. Дивно, що обидва були більш-менш одного віку, піонерами у використанні геометрії в теорії чисел, і обох чекала одна й та ж доля — раптова і неспо-дівана смерть у молодому віці.13

8. Геометрія чисел

У творчості Вороного завжди відчувався вплив геометрії, і в його роботі з квадратичних форм це проявилося настільки явно, як у жодному іншому його дослідженні.

Після публікації листування Ферма і агШітеН-сае Ґауса квадратичні форми опинилися серед тих об'єктів те-орії чисел, які викликали пайбільшрій інтерес. По-перше, їх до-сліджували у зв'язку з дІофантовими рівняннями. Далі, кла-сичний результат Ферма стверджує, що кожне просте число

р = 1 mod 4 має зображення у вигляді суми двох цілих ква-дратів, як от

5 = 22 + І2, 97 = 92 -І-42, 30 449 = 1002 + 1432,

однак прості числа вигляду р = 3 mod 4 не можна подати в такий спосіб. Більше того, ціле число п можна подати у ви-гляді суми двох квадратів тоді й лише тоді, коли усі прості дільники р = 3 mod 4 мають парну кратність. У подальшому розвитку алгебраїчної теорії чисел квадратичні форми вияви-лися важливими в задачі опису структури алгебраїчних цілих чисел; наприклад, ми можемо розглянути ґаусове числове поле

Його кільцем цілих чисел є 2[г], а норма його елементів зада-ється квадратичною формою (а, Ь) і—> а2 + Ь2. Отже, згідно з результатом Ферма, цілі прості числа 7; =і 3 mod 4 відповіда-ють простим ідеалам у Q(i), тоді як прості числа р 5= 1. mod А розкладаються в добуток двох простих. Це також пов'язує чи-сло зображень ті у вигляді суми двох цілих квадратів із задачею про круг. Справді, ряд у (25) є аналогом для Q(i), так зва-ної дзета-функції Дедекінда. Із задачею про круг пов'язана й рівність

яка приписується Ґреґорі й Ляйбніцу. Третя, але не менш ва-жлива, властивість квадратичних форм полягає у локально-глобальних принципах, встановлених Мінковським [66] і Гас-се [43] (див. [90]). Числові поля і функціональні поля кри-вих над скінченними полями називаються глобальними, а роз-ширення глобальних полів із дискретного нормою і скінчен-ним полем лишків називаються локальними. Локальні поля містять значну інформацію про вихідне глобальне поле: ідея локально-глобального принципу полягає в збопі інгЬопмяттїї про всі локальні поля для отримання інформації про глобаль-не поле. Цей принцип надзвичайно плідний, і відома теорема Гассе-Мінковського дає наступну характеризаціто кадратичних форм: квадратична форма над Q ізотропна (тобто має нетри-віальні нулі) тоді й лише тоді, коли вона ізотропна над усіма р-адичними полями і R. У Санкт-Петербурзькій школі 3 теорії чисел квадратичні форми, зокрема, інтенсивно вивчали Кор-кін, Золотарьов і Марков (див. [20]).

У революційні 1905-1907 роки варшавський університет бу-ло закрито, тож із 1905 року до осені 1908, коли викладан-ня у Варшаві поновилося, Вороний І деякі його колеги жили і працювали у Новочеркаську в Росії. Вороний був деканом фа-культету механіки в політехнічному інституті. У 1907 році йо-го обрали членом-кореспондентом Санкт-Петербурзької Ака-демії Наук. Незважаючи на ці обов'язки і відзнаки, Вороний багато працював і опублікував дві об'ємні статті [107, 108] з квадратичних форм; це його останні прижиттєві публікації — і, можливо, найважливіші в його доробку. їх можна вважати основоположними в ^еорії квадратичних форм. Ними Вороний фактично, поряд із Міпковським, заснував геометрію чисел.14 Ця теорія ґрунтується на зв'.язку між опуклими множинами та ґратками і має численні застосування в діофаитовому ана-лізі. Інтуїція й методи доведення r цій теорії за своєю природою геометричні, однак застосування арифметичні. Вороний запро-понував такі важливі нові поняття, як досконала квадратична форма і знаменита-тепер комірка Вороного.

Коротко розповімо про останнє поняття, позаяк воно стало фундаментальним в різноманітних математичних дисциплінах та інших науках. У багатьох випадках важливо розглядати за-гальніші ґратки, ніж 1?. Ґратка Л складається з векторних сум вигляду

де zi,..., Zr, — ¦ п лінійно незалежних векторів із Rn. Така ґра-тка є групою, ізоморфною 27і. Нехай А — п х п матриця, стов-пчиками якої є вектори 7,j. Тоді А1 А — додатна симетрична матриця, а—

додатно визначена квадратична форма.. Можна й навпаки, спочатку взяти додатну квадратичну форму й очевидним чи-ном визначити асоційовану з нею ґратку. Однією з важливих рис граток є їх симетрія. Тому ми маємо вивчити дію загаль-ної лінійної групи GLn(Z) п х п матриць з цілими коефіцієн-тами і визначником 1; зокрема, в теорії еліптичних кривих і автоморфних форм. Існує тісний зв'язок.між ґратками