про всі локальні .поля для отримання інформації про глобаль-не поле. Цей принцип надзвичайно плідний, і відома теорема Гассе-Мінковського дає паступну характеризацію кадратичних форм: квадратична форма над Q ізотропна (тобто має нетри-віальні нулі) тоді й .тише тоді, коли вона ізотропна над усіма р-адичними полями і R. У Санкт-Петербурзькій школі з теорії чисел квадратичні форми, зокрема, інтенсивно вивчали Кор-кін, Золотарьов і Марков (див. [20J).

У революційні 1905-1907 роки варшавський університет бу-ло закрито, тож із .'905 року до осені 1908, коли викладан-Іня у Варшаві поновилося, Вороний і деякі його колеги жили і І працювали у Новочеркаську в Росії. Вороний був деканом фа-Ікультету механіки в політехнічному інституті. У 1907 році йо-Іго обрали членом-кореспондентом Санкт-Петербурзької Ака-Ідемії Наук. Незважаючи на ці обов'язки і відзнаки, Вороний І багато працював і опублікував дві об'ємні статті [107, 108] з І квадратичних форм; це його останні прижиттєві публікації —

ні

І і, можливо, найважливіші в його доробку. їх можна вважати І основоположними в "еорії квадратичних форм. Ними Вороний ¦ фактично, поряд із Мінковським, заснував геометрію чисел.14 І Ця теорія ґрунтується на зв'язку між опуклими множинами І та ґратками і має численні застосування в діофаїттовому ана-I лізі. Інтуїція й методи доведення п цій теорії за своєю природою І геометричні, однак застосування арифметичні. Вороний запро-I поиував такі важливі нові поняття, як досконала квадратична І форма і знаменита -тепер комірка Вороного.

Коротко розповімо про останнє поняття, позаяк воно сталої фундаментальним в різноманітних математичних дисциплінах І та інших науках. У багатьох випадках важливо розглядати за-1 гальніші ґратки, ніж 1?. Ґратка Л складається з векторних сум І вигляду І

де zi,..., zr, — п лінійно незалежних векторів із Rn. Така ґра-1 тка є групою, ізоморфною Zn. Нехай А — п х п матриця, стов-1 пчиками якої є вектори щ. Тоді А1 А - додатна симетрична І матриця, а І—

додатно визначена квадратична форма,. Можна й навпаки, І спочатку взяти додатну квадратичну форму й очевидним чи- І иом визначити асоційовану з нею ґратку. Однією з важливих І рис граток є їх симетрія. Тому ми маємо вивчити дію загаль- І ної лінійної групи GLn(Z) п х п матриць з цілими коефіцієи-1 тами і визначником 1; зокрема, в теорії еліптичних кривих і І автоморфних форм. Існує тісний зв'язок, мі ж ґратками і за- І моїценнями. Тут комірки Вороного входять у гру. Нехай дано І ґратку А С IRn, для кожної точки z Є А ґратки визначимо ко- І мірку Вороного V(z) як множину векторій х Є Щп, для яких І х ближчий до z, ніж до кожної іншої точки ґратки А. Легко І бачити,- що довільна комірка V(z') є опуклим многогранником і що їх об'єднання дає диз'юнктне замощення усього простору Rn. Детальніше про це молаїа. прочитати в монографії Конвея і Слоена [18]. У майже тривіальному прикладі цілочислової ґра-тки 1? па евклідовій площині комірками Вороного є квадрати, які І аус розглядав у своїй оцінці для числа точок ґратки всере-дині даного круга (див. рис. 3). Чому ця ідея також виявилася плідною в теорії граток, і, відповідно, в теорії квадратичних форм?

Важливим аспектом теорії чисел є класифікація квадрати-чних форм. Слідуючі' Лагранжу, бінарну квадратичну форму

зазивають зведеною, якщо 0 < 26 < а і 2Ь < с. Така форма 5 представником свого класу еквівалентності відносно унімо-хуляриих перетворень М Є Наприклад, квадратичні

^юрми х1 4- у2 і 5а;2 + $ху !- 2у2 еквівалентні: перша зведена, а друга — ні. Діріхле [24] (зть-зу!) зауважив, що ці умови завжди задовольняються, коли ба пені вектори гі,.22 для відповідної братки вибрані найменшої г >вжини і з невід'ємним скалярним добутком. Більше того, віті зауважив, що перпендикулярні бісе-ктриси ±7.2 і ±(гі — 7,2) визначають опуклий многокутник область Діріхле), який е не що інше, як область площини, Злижча до початку координат, ніж до довільної іншої точки 'ратки; легко бачити що цей многокутник є прямокутником ібо шестикутником зглежио від того, дорівнює скалярний до-Зуток (гі,22) нулю, *.м ні. Вороний розширив це поняття на 'ратки довільної розмірності; комірки Вороного є узагальнен-ими областей Діріхле.

Щільність регулярного сферичного пакування, коли центри ;фер є точками евклідової ґратки Л, пропорційна ермітовому нваріанту 7(Л) останньої. Ґратки, на яких досягається локаль-ній максимум щільності, так звані екстремальні ґратки, хара-ктеризуються знаменитого теоремою Вороного в термінах до-гконалості і евгпаксіг. Детальніше з цим можна ознайомитися іа роботою класика Мінковського [68], монографією Касселса 12] і роботою Сенсшаїь [82] з теорії ґраток Вороного. Наукове і;ослідження праць Вороного