Тепер математики розглядають комірки Вороного для до-вільних дискретних точкових множин. Ця вольність привела до цікавих і досить несподіваних застосувань цього поняття в обчислювальній дискретній геометрії (див. Матоугаек [64]), а також у багатьох інших областях науки, наприклад, у біології, фізиці, хімії і кристалографії, а' також у географії, метеоро-логії і навіть астрономії. Мабуть, найпершою задокументова-ного згадкою комірок Вороного є малюнок сонячної системи в Principia Philosophiae Декарта 1644 року (nop. Матоушек [64], стор. 120). Однак строге математичне означення вперше дали Діріхле [24] і Вороний [108].15

Певно, найбільш вражаючим результатом недавнього ми-нулого з геометрії чисел стало доведення гіпотези Ксплера, що серед усіх сферичних пакувань у тривимірному просторі шестикутне сферичне і кубічно--центроване пакування е пай-щільиішими. Це видається доволі простим завданням, оскіль-ки кожен продавець фруктів саме так і пакує апельсини.16 До-ведення для всіх ґраткових пакувань уперше одержав 1 аус, який показав, що оптимальною щільністю пакування в Ш.л є -|= = 0.74..., і що це значення досягається на шестикутній і

Vio

на кубічно-центровапій ґратках; однак було незрозуміло, чому не існує неправильного пакування куль з більшою щільністю. Усі спроби довести твердження Кеплера в загальному випадку зазнавали невдачі протягом більше ніж трьох століть. Число дотиків визначається як число еквівалентних u-вимірних гі-перкуль, які можуть дотикатися до еквівалентної гіперкулі без жодних перетинів. У випадку розмірності три числом дотиків

€ 12. Це навело Ф. Тэта [29] на думку, що в кожному пакуванні одиничними кулями об'єм довільної комірки Вороного навколо довільної сфери щонайменше такий же, як і об'єм правильного додекаэдра з одиничним радіусом вписаної сфери. Це твердже-ння відоме як додекаедральна гіпотеза. З неї випливає верхня оцінка 0.75469... щільності сферичного пакування, а відтак і оцінка найшДльнішого можливого сферичного пакування. Про-те цього недостатньо для доведення гіпотези Кеплера.

У 1998 році Хейлс [36] анонсував доведення гіпотези Кепле-ра. Окрім винахідливості, доведення Хейлса містить величезну кількість обчислень. У ньому ідея комірок Вороного також віді-грала вирішальну роль (див. ескіз доведення в [35]). Після три-валого рецензування доведення Хейлса було зрештою опублі-коване зі скороченнями у вигляді статті [36] обсягом 121 стор. (повне доведення надруковано в серії статей, частково у співав-торстві з С.П.Фергюсоном, у 36 томі Discrete and Computational Geometry). Додскаедральпу гіпотезу довели в 2002 році Хейлс і МакЛафлін [37].

Епілог

Георгій Феодосійович Вороний помер надто молодим 20 ли-стопада (7 листопада за старим стилем) 1908 року у Варшаві: похований у його рідній Журавці. В останні роки свого життя він страждав від жовчокам'яної хвороби і колік (пор. [20] і [92]), що до відкриття в 1929 році антибіотиків часто призводило до смерті. Марно запитувати, чим би ще він збагатив математи-ку, якби прожив довше..Вважається, що частина його роботи з невизначених квадратичних форм, закінченої в останні дні, втрачена (пор. [78]) — непоправна втрата для математики. Інші статті [110, 111] було знайдено і опубліковано після його смерті.

17

Його роботи дали сильний поштовх розвитку теорії чисел у 20-му столітті, і ми вважаємо, що у найближчому майбутньо-му це не зміниться. Ми вже розповіли, як його дослідження були продовжені багатьма математиками з усього світу і як його ідеї стали фундаментальними в нових областях науки, що швидко розвиваються. Однак Вороний значно вплинув па ма-тематику і в інший спосіб, і, можливо, розповідь про це гар-но завершить нашу мандрівку його математичною біографією. Серед його студентів у Ягеллонському університеті був вида-тний Вацлав Сернінський. У 1903 році факультет математики і фізики варшавського університету запропонував нагороду за кратну студентську роботу про внесок Вороного в теорію чи-сел. Наступного року золоту медаль у цьому конкурсі отримав Сернінський за свою дисертацію, присвячену задачі про круг; проте з політичних причин його результат (24) побачив світ ли-гає в 1906 році (спогади самого Серпінського про ці події див. у статті Роткєвича [77]). Після закінчення університету Серпій-ський тимчасово працював шкільним учителем математики і фізики у Варшаві, але пізніше він перебрався до Кракова для навчання в докторантурі Ягеллоиського університету. Тут він відвідував лекції Заремби з математики, вивчаючи додатково астрономію н філософію. У 1906 році він написав дисертацію з проблем точок ґратки, науковими консультантами якої були Вороний і Заремба. Він отримав ступінь доктора і в 1908 році був направлений до Львівського університету. Сернінський за-снував сильну школу з теорії чисел; серед його студентів були

Щіицель (який також написав дуже інформативну статтю [81] про варшавський період життя Вороного) і Роткєвич.

У Росії деякі нагрямки досліджень Вороного продовжив Іван Матвійович Виноградов, який, як і до нього Вороний, був студентом Маркова. Тут слід згадати узагальнення Виноградо-вим результатів Вороного в проблемі дільників, яке дозволило йому отримати дужо хороші оцінки для числа точок ґратки між даною кривою у --- J(x) (а не лише гіперболою чи ду-гою кола) і віссю аг; зокрема, його оцінка залишкового члена в проблемі дільників залишалася тривалий час найкращою. Ви-ноградов прославився своїм розв'язанням тернарної проблеми Гольдбаха: кожне достатньо велике непарне ціле число можна подати у вигляді суми трьох простих чисел (див. [20]). Бінарна проблема Ґольдбаха - чи кожне парне ціле число N > 4 мо-жна подати у вигляд: суми двох простих чисел.....досі відкрита

(і схоже, далека