Похибку співвідношень (3.12) може бути отри-мано порівнянням формул (3.9) та (3.11). Перетво-рюючи (3.9), знаходимо

d(t)=d*t+ (3.13)

Отже, похибка t(t,d) заміни точної формули (3.10) наближеною формулою (3.12) дорівнює:

r(t,d)= (3.14)

Бачимо, що наближену формулу (3.11) одержа-но з точної формули (3.9) відкиданням доданка порядку. Тобто при малих рівнях річної облікової ставки d похибка заміни точної формули (3.10) наближеною формулою (3.12) мала. З формули (3.14) видно, що при t = 0 та t = 1 r(t,d) = 0 і фор-мули (3.10) та (3.12) збігаються.

З формули (3.14) випливає, що за розрахунка-ми в межах року (t < 1) за річної облікової став-ки d?10 % максимум похибки формули (3.12) не перевищує 0,27% від номіналу векселя. При d?18% похибка менша 0,9 % номіналу векселя. Тобто в умовах стабільної економіки (коли облікові ставки d малі) похибка формули (3.12) мала, і ці формули можна використовувати в розрахунках векселів. Простота формули (3.12), мала похибка при невеликих d пояснюють їхнє засто-сування при дисконтуванні фінансових інстру-ментів.

При немалих d (у нестабільних економічних умовах) похибка формули (3.12) збільшується. З фор-мули (3.14) випливає, що за розрахунками в межах року (t< 1) при рівнях облікової ставки d= 25 % , 30 % , 35 % , 40 % , 50 % похибка може досягати відповідно 1,8 %, 2,65%, 3,7%, 5% , 8,33% від номіналу векселя. Ще більше зростає похибка при t > 1.

З формули (3.14) також видно, що використан-ня наближеної формули (3.12) приводить до пере-оцінки векселя в межах року (при t< 1), тому що кредитор (покупець векселя) оцінює вексель вище його вартості і тим самим несе втрати в операції обліку. За межами року (при t > 1) ви-користання формули (3.12) призводить до недооцін-ки векселя, тому що кредитор оцінює вексель нижче його вартості, і втрати несе продавець век-селя.

Для кредитора (покупця векселя) також має значення оцінка величини ?D=D(точн.) — ?(набл.) приросту вартості дисконту векселя при використанні точних формул (4.10) замість набли-жених (3.12). З формул (3.12), (3.14) знаходимо віднос-не збільшення дисконту векселя при переході до точних формул (3.10):

?D/D(набл.)=, t<1 (3.15)

і відносне зменшення дисконту при використанні наближених формул (3.12):

?D/D(точ.)= (1-t)d, t<1 (3.16)

При d=25% , 30% , 35% , 40% , 50% збіль-шення дисконту може досягнути відповідно 33%, 43% , 54%, 67%, 100% . Отже, якщо короткотер-мінова позика оформляється векселем і застосо-вується наближена формула (3.12), то це може при-звести до значної недооцінки дисконту і втрат кредитуючої сторони.

При t >1 формула

?D/D(набл.)= (3.17)

дає відносне зменшення суми дисконту при пере-ході до точних формул (3.10), а співвідношення

?D/D(точ.)=(t-1)d (3.18)

дає відносне збільшення дисконту при викорис-танні наближених формул (3.12). При t = 2 роки, d=20%, 30% , 40%, 50% зменшення суми дис-конту може дорівнювати відповідно 17 % , 23 % , 29 %, 33 %. При t > 2 зменшення може бути ще більшим.

III. Застосування наближених формул (3.12) при немалих ставках d може призвести до похи-бок при визначенні параметрів операцій з вексе-лями.

Розглянемо, зокрема, завдання обліку паке-та з двох векселів термінів t1,t2 від дати обліку. Нехай сторони домовились про застосування дисконтної знижки d(t1) до першого векселя. Яку треба застосувати знижку d(t2) до другого векселя, щоб дохідність облікової операції була однаковою для обох векселів?

З точної формули (3.9) знаходимо вираз для знижки:

d(t2)= (3.19)

З наближеної формули (3.11) знаходимо такий вираз для знижки d(t2):

d(t2)= (3.20)

Приклад 1. Обліковуються два векселі з тер-мінами 60 та 90 днів від дати обліку. До 90-денного векселя застосували знижку 30%. Яку знижку застосувати до 60-денного векселя, щоб облікові операції мали однакову дохідність?

1. За точною формулою (3.19) знаходимо

d(60)==0,2222=22,22%

2. За наближеною формулою (3.20) одержуємо менше значення

d(60)==0,2=20%

Розглянемо ще кілька прикладів розрахунків за простими обліковими ставками.

Приклад 2. Кредит сумою 27 000 грн. нада-но на 90 днів. Угоду оформлено векселем за про-стою облікового ставкою 40% річних. Знайти суму векселя.

1. За наближеною формулою (3.12) знаходи-мо нарощенням при t = 90/360 = 0,25; d= 0,4; Р = 27 000 грн.:

S==30000грн.

2. За точною формулою (3.10) знаходимо

S=грн.

Номінал векселя при точному підрахунку збільшився на 1500 грн., або на 5% порівняно зі знайденим за спрощеною формулою (3.12).

Приклад 3. Вексель номіналом 30 000 грн. облікований за 90 днів до терміну за простою річною обліковою ставкою 40%. Знайти дисконт та суму, одержану при обліку.

1. За наближеною формулою (3.12) знаходимо при t = 90/360 = 0,25; d= 0,4:

Р = 30 000 * (1-0.25 * 0,4) = 27 000 грн., D = 3000 грн.

2. За точною формулою (3.10) знаходимо

P=30000*(1-)=25714,28грн.,

D = 4285,72 грн.

Бачимо, що точна формула (3.10) збільшила дисконт на 1285,72 грн., або на 42,85 % порівня-но зі знайденим за наближеною формулою (3.12). Ту ж оцінку можна одержати з (3.15).

Приклад 4. Вексель номіналом 6000 грн. об-ліковано за 30 днів до терміну. Сума, одержана при обліку, дорівнює 5000 грн. Знайдемо просту річну облікову ставку, використану при обліку.

1. За точною формулою (3.10) отримуємо рів-няння для d при t=1/12:

5000=6000*

Звідси d= 70,59 %.

2. За наближеною формулою (3.12) одержуємо рівняння

5000=6000*

Звідси d = 200 % .

Оскільки, згідно з (3.6), облікова ставка завжди менша 100%, то одержаний результат є помилко-вим. Його поява пояснюється неправильним застосуванням наближеної формули (3.12). Справді, за оцінками (3.14), (3.16) отримуємо