як синусоїда є непарною функцією, оскільки вона задовольняє відношення f(t) = -f( -t). Звідси витікає, що періодичні коливання, є парними функціями часу, міститимуть тільки косинусоїдальні гармоніки, а непарні полягатимуть ДВз одних тільки синусоїдальних гармонік. З мал. 14.11 видно .^ що форми а і б є непарними і тому можуть бути представлені рядом Фурье, що складається з одних синусоїд. Крива , навпаки, є парною функцією часу. Тому відповідний ряд Фурье міститиме одні косинусоїди. Форма г є ні парною, ні непарною функцією, тому слідує очікувати, що у відповідному ряду Фурье будуть присутні як синусоїдальні, так і косинусоїдальні гармоніки.
Питання парності або непарності коливань є якоюсь мірою невизначеним, оскільки залежить від положення початку відрахунку часу (1=0). Природно, що зсув в часі приведе до зміни парності або непарності функції. Припустим наприклад, що початок відліку часу зафіксований вербальною стрілкою, показаною на мал. 14.11, д. В цьому випадку коливання а і б є парними функціями часу, в є непарна функція. Якщо тепер вибрати початок відліку часу десь ще усередині періоду, то кожна крива не матиме ніякої симетрії і будь-яка з чотирьох лав Фурье міститиме і синусоїдальні, і косинусоїдальні гармоніки. Принципово важливим в цьому міркуванні є те, що тимчасові зсуви можуть змінювати відносні значення Аn і Вn. Проте (якоюсь мірою аналогічно комплексним числам) існує величина, включаюча An і Вn, яка не залежить від початку відліку часу. Ця величина є (А2n\-В2n)Ѕ Хоча цей факт в подальшому міркуванні ми не використовуватимемо, необхідно наголосити на наступному: не дивлячись на те що ряди Фурье, одержані для різних положень початку відліку часу, можуть виглядати сильно відмінними один від одного, є набір величин, що характеризує періодичний процес незалежно від положення початку відліку часу. Для періодичних функцій з тимчасовою симетрією можна вибрати початок відліку таким чином, що або все Аn, або все Вn будуть рівно нулю, тоді як для коливань без симетрії будь-який вибір початку відліку часу даватиме ряд Фурье, що містить і синусоїдальні, і косинусоїдальні гармоніки.
Набір констант Аn, Вn для будь-якої заданої форми коливань може бути одержаний безпосередньо з самої форми при використовуванні інтегральних виразів, приведених нижче (докази цих виразів можна знайти в будь-якій математичній допомозі):
(14.34)
Ці співвідношення були використані для визначення рядів Фурье, відповідних коливанням а, б і в на мал. 14. 11:
Синусоїдальна хвиля:
(14.З5а)
Прямокутна
хвиля:
(14.356)
Трикутна
хвиля
(14.З5в)
Для представлення синусоїдальної хвилі потрібен тільки один член, тоді як для представлення прямокутної і трикутної хвиль потрібні нескінченні суми.
Одержавши аналітичні вирази ряду Фурье для трьох щодо простих періодичних форм, проілюструємо графічно на мал. 14.12, як суперпозиція все більшого і більшого числа членів ряду Фурье дає всю більшу схожість з початковою формою.
На мал. 14.12,а показано графічне зображення перших трьох членів ряду Фурье для послідовності прямокутних хвиль, побудованих на одній і тій же осі. Графічна сума цих трьох членів показана на мал. 14.12,6. Видно, що навіть три члени дають суму, що наближається формою до прямокутних' хвиль, проте фронти і плоска вершина передані недостатньо добре. На мал. 14.12,8 побудована тричленна сума, відповідна послідовності трикутних хвиль. В цьому випадку три члени ряду Фурье дають дуже хороше представлення початкової форми (деякі відхилення є тільки на гострих
списах).
З цих двох прикладів виходить важливий висновок. Ніж більш різкі зміни присутні у формі коливань, тим більше членів ряду Фурье необхідно використовувати для досягнення певного рівня апроксимації такої форми. Послідовність трикутних хвиль має плавну форму і різко змінюється тільки під час переходу через списи. Тому вона достатньо добре зображається тричленним рядом Фурье. Навпаки, прямокутна хвиля є різко функцією, що змінюється. Тому ті ж три члена ряду Фурье зображають прямокутну хвилю менш точно, ніж трикутну, тобто ряд Фурье відповідає прямокутній хвилі, повинен містити більше число членів (гармонік), щоб дати представлення хвилі такої ж якості, як при тричленному ряду Фурье для трикутної хвилі. Це відображає загальне співвідношення між часом і частотою: ніж більш різкі зміни форми хвилі в часі, тим більші частоти гармонік, які повинні бути використані для відображення форми за допомогою ряду Фурье.
14.2.2. Ряд Фурье і лінійні системи
Використовуємо представлення періодичних коливань поряд Фурьє для визначення реакції (відгуку) лінійної системи (мал. 14.13) на періодичну дію.
Періодична дія в загальному вигляді дана рівнянням
(14.33). Для простоти використовуватимемо його окремий випадок
а саме синусоїдальний ряд
(14.36)
Рис. 14.12. Представлення періодичних коливань рядом Фурье.
Цей ряд Фурье можна записати як уявну частину суми комплексний функцій
(14.37)
Для визначення відгуку схеми на таку дію використовуємо метод суперпозиції. По-перше, представимо кожну складаючи
Рис. 14.13.
незалежною дією і визначимо відгук на нього.
, Потім для отримання загальної реакції системи підсумуємо одержані приватні відгуки. Наприклад, в системі з передавальною функцією Н{s) відгук системи на будь-який член ряду Фурье можна
'записати у вигляді
(14.38)
Тому вираз для сумарного вихідного напруги має вигляд
(14.39)
Для приватного прикладу на мал. 14.13, де вихідна напруга
де
(14.40)
(14.41)
. Виконуючи рівність
(14,42)
отримаємо
(14.43)
З аналізу цього виразу можна наголосити на декількох важливих властивостях відгуку "на періодичні дії. По-перше, вихідні коливання є періодичними з тим же періодом, що і вхідні коливання. Більш того, вихідні коливання складаються тільки з гармонік, що є у складі вхідних коливань. Проте форма вихідних коливань відрізняється від форми вхідних рядом особливостей. Зокрема, фазові зсуви в передавальній функції системи перетворюють чисто