14.2.3. Приклад

Розглянемо результат деякої періодичної дії на схему, показану на мал. 14.13. Припустимо, що Увх є послідовність прямокутних хвиль (мал. 14.11,6). З рівняння (14.356) .следует, що всі постійні Аn вхідної' хвилі рівно нулю і всі Вп для парного числа п також рівно нулю. Не рівними нулю виявляються тільки коефіцієнти Вn для непарних чисел n. Ці коефіцієнти рівні 4Vвх/nр амплитуда прямокутної хвилі.

Ми вже визначили [рівняння (14.43)] відгук схеми на таке .воздействие. Підставивши значення Вn в рівняння (14.43), одержимо

(14.44)

Досліджуємо цю форму вихідних коливань при різних значеннях постійної часу /?С.

Випадок 1: щ0 RS=1

Якщо щ0 RS=1, то для декількох перших членів (наприклад до nk ) величиною (екйоКС) 2 (в порівнянні з одиницею) можна

(14.45)

нехтувати. Більш того, якщо тому

Отже, значущими членами ряду Фурье будуть

(14.46)

Це вираз майже точно співпадає з виразом для основних членів ряду Фурье, відповідного періодичній послідовності прямокутних імпульсів, якщо не рахувати невеликих додаткових косинусоидальных членів. Чи вірний цей результат?

Для перевірки зручно узяти прямокутну хвилю, оскільки в

цьому випадку можна знайти рішення для точної періодичної послідовності і порівняти з рядом Фурье. Якщо щ0 RS=1, то постійна часу RС-цепи дуже мала в порівнянні з періодом прямокутної хвилі. Тому прямокутну хвилю можна ;, розглядати як послідовність східчастих функцій, віддалених достатньо далеко один від одного, щоб перехідний процес, .связанный з однією сходинкою, міг повністю закінчитися до настання наступного. На мал. 14.14, а форма вхідної напруженості показана пунктирною лінією з амплітудою Vвх. Вихідна напруга (відгук) протягом дуже короткого інтервалу часу після стрибка змінюється по експоненціальному закону, г:, а потім повторює форму вхідної напруги. За виключенням невеликих відхилень на фронтах, відгук виглядає дуже подібним на прямокутний. Він має плоску вершину для часів, ц великих ЗКС, після зміни полягання виходу; крім того, він має хоча і не зовсім вертикальні, але достатньо круті фронту, і інтервали часу між моментами досягнення вихідною Напругою нульового значення рівні То/2. Проте є і відмінності. По-перше, тимчасова симетрія, характерна для вхідної прямокутної хвилі, повністю відсутній у вихідний. Не можна так вибрати початок відліку часу, щоб vвых стало парною ніби непарною функцією. Тому ряд Фурье, відповідний от-лику, повинен містити як синусоїдальні, так і косинусоїдальні гармоніки. По-друге, точки переходу вихідного напруження через нуль не співпадають за часом з аналогічними точками на вхідній прямокутній хвилі, тобто існує тимчасова затримка, визначувана постійною часу RС. Це може бути важливим, якщо дані крапки використовуються для синхронізації. Нарешті, форма вихідної хвилі змінюється менш різко, ніж форма вхідної. Тому можна чекати, що ряд Фурье, який описує

Мал. 34.14. Реакція схеми, показаної на мал. 14.13, на дію у вигляді послідовності прямокутних хвиль [а-для випадку (щ0RС <1, б-для випадку щ0RС >1].

вихідну хвилю, міститиме високочастотних гармонік менше ніж ряд Фурье, відповідний вхідній послідовності прямокутних хвиль. С-ланцюг є низькочастотним фільтром, що ослабляє високочастотні складові прямокутної вхідної хвилі. Оскільки саме високочастотні гармоніки забезпечують різкі фронти прямокутних хвиль, то не дивно, що на виході фільтру вони стають дещо згладженими. Дійсно, аналіз ряду Фурье для вихідної хвилі показує, що при достатньо великих n вже не можна нехтувати членами (nщ0RС) 2, що стоять під знаком коріння [зрівнення (14.44)]. Для цих членів загальний співмножник поводитиметься як 1/т2, а не як 1/n для членів з n<nk Тому високочастотні гармоніки будуть ослаблені сильніше.

Випадок 2:

Якщо щ0RС>1,то член (nщ0RС) 2 оприділяє значення квадратного кореня.

Для п, в цьому випадку

Отже, ряд Фурье, відповідний вихідній напрузі, матиме вигляд

(14.47)

З виразу (14.47) виходить, що pяд Фурье є періодичною послідовністю трикутних хвиль з амплітудою УвхТо/4RС. Чи вірний цей результат?

На мал. 14.14,6 приведений графік вихідного сигналу, розрахованого для щ0RС>1. Тепер постійна часу фільтру настільки велика, що місткість не встигає заряджати до напруги Vвх до того, як перемикається вхідна напруга. Фактично умова (щ0RС>1означає, що То<RС. Тому вихідна напруга ніколи не виходить за межі лінійної ділянки експоненти і має амплітуду, значне меншу Vвх. Фільтр не порушує тимчасової симетрії хвилі, оскільки фазові зсуви однакові для всіх частот. Проте точки переходу вихідної напруги через нуль зсунуті точно на Tо/4 (фазовий зсув рівний 90°). Таким чином, розглянута RС-цепь працює як ідеальний інтегратор.

Випадок 3:

У цьому випадку вихідна хвиля не схожа ні на прямокутну, ні на трикутну, але схожа з кривою, приведеною на мал. 14.11,г. Після кожного перемикання вхідної напруги на виході виникає експоненціальний перехідний процес, але його постійна часу порівнянна з періодом вхідної послідовності прямокутних імпульсів. В результаті перехідний процес виходить за лінійну ділянку експоненти (випадок 2), але

не встигає досягти повного встановлення (випадок 1), утворюючи сказану на малюнку пилкоподібну криву.

На закінчення як корисна вправа спробуйте визначити, що відбудеться з послідовністю прямокутних хвиль, якщо пропустити їх через резонансну систему (гл. 13.Разд. 13.3).

З. Суперпозиція в тимчасовій області

Аналогічно тому, як в частотній області можна побудувати одну заданої форми підбором відповідних синусоїд, також і в тимчасовій області можна побудувати хвилю заданої форми шляхом суперпозиції відповідних простих тимчасових функцій. На мал. 14.15 показана хвиля, що є одиночним прямокутним позитивним імпульсом тривалістю Т і амплітудою Л.